Kiedy dowolny ulamek, na przyklad 10/51, da sie
przedstawic jako suma dwoch ulamkow prostych
1/A + 1/B ?
Rozpatrzmy sumy par dzielnikow wzglednie
pierwszych mianownika, w danym wypadku 51:
1 3 17 51
Widzimy, ze nasz licznik 10 jest dzielnikiem
sumy
3 + 17 = 20 = 2*10
Zatem, biorac pod uwage pojawiwszy sie dzielnik 2,
otrzymujemy:
10/51 = 1/(2*3) + 1/(2*17)
Przy okazji wyliczmy **wszystkie** skrocone
ulamki o mianowniku 51, ktore rozkladaja sie
w sume dwoch ulamkow prostych.
1 jest dzielnikiem 51, wiec najpierw
rozpatrzmy 1 + 1 = 2. Wynik dodawania
ma dwa dzielniki: 1 i 2, wiec dostajemy
dwa rozklady:
1/51 = 1/(2*51) + 1/(2*51)
oraz
2/51 = 1/51 + 1/51
1 oraz 3 sa dzielnikami 51. Z kolei dzielnikami
1+3 = 4 sa 1, 2 i 4. Poniewaz liczniki 1 i 2
juz mielismy, to nowym jest tylko 4 = 1 + 3, ktora
prowadzi do:
4/51 = 1/51 + 3/51 = 1/51 + 1/17
1 i 17 sa dzielnikami 51, a dzielniki 1+17 = 18,
to liczby 1,2,3,6,9. Dostalismy wiec nowe liczniki:
3,6 i 9, ale nie daja one ulamkow skroconych,
gdy mianowmnikiem jest 51. Wiec tylko ekstra
zajmijmy sie licznikiem 3 mimo, ze ulamek 3/51
skraca sie (do 1/17); daje to jedna wiecej ilustracje
do naszej metody:
3*6 = 18, wiec
3/51 = 1/(6*51) + 17/(6*51) = 1/306 + 1/18
Dzielniki 1 i 51 daja w sumie 52, ktore z kolei ma
za dzielniki 1,2,4,13,26 i 52. Nowymi licznikami
sa 13, 26, 52. Otrzymujemy rozklady:
13/51 = 1/(4*1) + 1/(4*51)
26/51 = 1/(2*1) + 1/(2*51)
52/51 = 1/1 + 1/51
Dzielniki 3 i 17 daja w sumie 20, ktore ma
za dzielniki 1,2,4,5,10,20, przy czym 5,10 i 20
sa nowe w naszej systematycznej procedurze; daja
one:
5/51 = 1/(4*3) + 1/(4*17)
10/51 = 1/(2*3) + 1/(2*17)
20/51 = 1/3 + 1/17
Dzielniki 3 i 51 daja w sumie 54,
a 54 za dzielniki ma 1,2,3,6,9,27 i 54
czyli nie otrzymujemy nowych licznikow,
ktore by sie nie skrocily z mianownikiem 51.
jedziemy zatem dalej. Dzielniki 17 i 51
daja w sumie 67, ktore za dzielniki ma
tylko 1 i 67. Dostajemy wiec jeden wiecej
rozklad:
67/51 = 1 + 1/3
Tak wiec nastepujace skrocone ulamki
o mianowniku 51 sa sumami dwoch prostych:
1/51 2/51 4/51 5/51 10/51
13/51 20/51 26/51 52/51 67/51
i zadne inne!
Milej zabawy,
Wlodzimierz Holsztynski
