Quadriláteros Inscritíveis

[bmat]

Apareceu esse problema no colégio e estou tendo dificuldade em resolvê-lo:

Seja ABCD um quadrilátero inscritível. Os segmentos AB, BC, CD, DA são cordas(não
necessariamente diâmetros) de quatro outros círculos. Seja:
E != A intercessão dos círculos das cordas DA e AB
F != B intercessão dos círculos das cordas AB e BC
G != C intercessão dos círculos das cordas BC e CD
H != D intercessão dos círculos das cordas CD e DA

Prove que EFGH também é iscritível.

Grato pela ajuda, 
Bernardo



___

http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde você está.

Re: Fórmula de Heron

[Eduardo Wagner]

Title: Re: Fórmula de Heron



Pontape inicial para a formula de Heron.
Considere um triangulo ABC de lados AB = c, BC = a, CA = b
e area S.
Calcule cosA pela lei dos cossenos.
Calcule senA pela relacao fundamental da trigonometria.
Calcule S = (1/2)bc.senA.
Eh preciso alguma habilidade nas fatoracoes lembrando
sempre que 2p = a + b + c.

--
From: [EMAIL PROTECTED] (Hugo Iver Vasconcelos Goncalves)
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Fórmula de Heron
Date: Tue, May 29, 2001, 14:12


Olá colegas da lista, 
Na minha aula de matemática hj pela manhã surgiu uma discussão sobre a fórmula de Heron para o cálculo da área de triângulos... meu prof. disse que nunca havia visto a dedução dessa fórmula e q também nunca havia tentado deduzi-la... será q vcs podem mostrar a dedução dessa fórmula aqui na lista ou pelo menos dar o pontapé inicial???
Ahhh, e jah li aqui na lista algo q dizia q a fórmula de Heron pode ser usada analogamente para qualquer poligono inscritível em uma circunferência... será q vcs poderiam mostrar como fazer isso, pois eu tentei e nao deu certo...???
Desde jah agradeço a vcs e peço desculpas se minhas duvidas foram triviais e pouco empolgantes :PPP até mais
 
Hugo

Re: dúvidas banais Hipérboles

[Eduardo Wagner]

Title: Re: dúvidas banais Hipérboles



Caros amigos:

Cilindro equilatero e aquele que tem diametro igual a altura.
Este cilindro eh importante pois dado o volume de um cilindro,
o equilatero eh o que possui area total minima (eh um bom
problema verificar isto). Por isso eh o preferido para as
embalagens de diversos produtos. Veja, por exemplo a
lata do leite condensado ou creme de leite da Nestle.
Eh um cilindro perfeitamente equilatero.

A hiperbole equilatera eh a que possui eixos transverso
e nao transverso iguais, ou seja, eh a hiperbole que possui
assintotas perpendiculares. Na forma canonica, a 
hiperbole equilatera tem equacao x^2 - y^2 = a^2. 
Fazendo uma rotacao de 45 graus nos eixos, ela toma
a forma xy = k.

Abraco,

Wagner.

--
From: "Luis Lopes" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: dúvidas banais Hipérboles
Date: Tue, May 29, 2001, 18:20


Sauda,c~oes,
 
Se não estou enganado, cilindro equilátero é aquele no
qual a relação entre o diâmetro e a altura é a mesma que
os lados e a altura de um triângulo equilátero.
 
Hipérbole equilátera eu esqueci mas acho que a hipérbole
y = 1/x é equilátera.
 
E tem também a hipérbole retangular??
 
A propósito desta hipérbole, ver o email abaixo. Ele veio de
uma outra lista.
 
[ ]'s
Lu'is


>From: [EMAIL PROTECTED]  
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]  
>To: [EMAIL PROTECTED]  
>Subject: [EMHL] Re: Altitude problem
>Date: Tue, 29 May 2001 18:45:34 -
>
>Dear Antreas,
>
>
>[APH]:
>Let ABC be a triangle and AD the altitude from A.
>
>  DC AC
>If BC is fixed, and  -- =   (--)^2, which is the locus of A ?
> DB AB
>
>
>[PY]:
>The locus of A is the circle with BC as diameter. This is the
>converse of Euclid's proof of Pythagoras theorem.
>
>Dear Paul,
>
>That's at first glance.
>
>At second glance, the locus is something more:
>
>    (circle with diam BC) + (perp. bis. of BC)
>
>That is what you call an ``impure'' locus.
>
>
>and at third glance, the locus is something more !
>
>[PY]And the rectangular hyperbola with B and C as vertices!
>
>Best regards
>Sincerely
>Paul
>
>APH
>
-Mensagem Original- 
De: Alexandre F. Terezan   
Para: OBM   
Enviada em: Terça-feira, 29 de Maio de 2001 09:35
Assunto: dúvidas banais

Estou com 2 dúvidas banais, mas que nao consigo solucioná-las por nao ter a possibilidade de consultar um livro do ensino médio. Sao elas:
 
O que define uma hipérbole EQUILÁTERA?
 
O que define um cilindro EQUILÁTERO?

Re: Fórmula_de_Heron

[Carlos Yuzo Shine]

Um jeito bem natural (porém trabalhoso) é assim:

Sejam a>=b>=c as medidas dos lados do triângulo. Seja
h a medida da altura relativa ao maior lado a e seja x
a medida da projeção ortogonal do lado de medida c
sobre o lado de medida a. Por Pitágoras, temos

|x^2 + h^2 = c^2
|(a-x)^2 + h^2 = b^2

Resolvendo este sistema, você encontra x e h em função
de a, b e c. Se não errar conta, encontrará 
h = 2*\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}/a. A área é então a*h/2
= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.

As contas podem ser um pouco chatas, mas não se deve
ter medo de se fazê-las, pois é fácil ver que o
sistema pode ser resolvido e que se continuarmos as
contas com certeza chegaremos ao resultado esperado.

Segunda maneira: usando a fórmula S = área =
bc*senA/2.

Elevando ao quadrado, temos

4S^2 = b^2c^2*sen^2 = b^2c^2(1-cos^2 A)
 = b^2c^2*(1-cosA)(1+cosA)

Usando a lei dos co-senos, temos

cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)

Observe que agora é só substituir e completar as
contas que chegaremos ao resultado esperado. Mas
podemos dar uma melhorada na conta:

1 + cosA = (2bc + b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)
 = ((b+c)^2 - a^2)/(2bc)
 = (b+c-a)(b+c+a)/(2bc)
 = 2(p-a)p/(bc)

Fatore 1 - cosA, subtitua tudo lá em cima e seja
feliz!

Ah, na hora de fazer estas contas, é sempre importante
ter uma estratégia para fazê-las... Isto é, um "plano"
para fazer as contas. Em problemas cuja resolução é
longa, isso é muito importante!!

Sobre as fórmulas para polígonos inscritíveis: só
conheço a de Bramagupta: se um quadrilátero é
inscritível, a área dele é sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},
sendo a,b,c,d os lados do quadrilátero e p =
(a+b+c+d)/2. Você pode pensar na fórmula de Heron como
um caso particular de Bramagupta onde um dos lados do
quadrilátero é zero.

Espero ter ajudado.

[]'s
Shine



--- Hugo Iver Vasconcelos Goncalves
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Olá colegas da lista, 
> Na minha aula de matemática hj pela manhã surgiu uma
> discussão sobre a fórmula de Heron para o cálculo da
> área de triângulos... meu prof. disse que nunca
> havia visto a dedução dessa fórmula e q também nunca
> havia tentado deduzi-la... será q vcs podem mostrar
> a dedução dessa fórmula aqui na lista ou pelo menos
> dar o pontapé inicial???
> Ahhh, e jah li aqui na lista algo q dizia q a
> fórmula de Heron pode ser usada analogamente para
> qualquer poligono inscritível em uma
> circunferência... será q vcs poderiam mostrar como
> fazer isso, pois eu tentei e nao deu certo...???
> Desde jah agradeço a vcs e peço desculpas se minhas
> duvidas foram triviais e pouco empolgantes :PPP até
> mais
> 
> Hugo
> 


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Re: Somatório !

[Luis Lopes]

Sauda,c~oes,

Vejam a resposta do prof. Rousseau para as questões
dos somatórios.

Uma introdução sumária sobre a fórmula da soma de
Euler-Maclaurin pode ser vista no meu livro de Seq. e
Séries no site

http://escolademestres.com/qedtexte

no formato .pdf.

Para mais detalhes, ver a bibliografia, também mostrada
no site.

[ ]'s
Lu'is


Dear Luis:

If  the question is whether or not there are known exact values for
these sums, I am rather confident that the answer is no.  The first is
a rapidly convergent series, and one can show that its sum has
the value \int_0^1 x^x dx, but this integral can be done only by
numerical methods.  Proof (neglecting some fine points):

\int_0^1 x^x dx = \int_0^1 e^{x \ln x} dx
 = \int_0^1 \sum_{k \geq 0} (x \ln x)^k/k!
 = \sum_{k \geq 0} (1/k!) \int_0^1 (x \ln x)^k dx
 = \sum_{k \geq 0} (1/k!) \int_0^{\infty} t^k
e^{-(k+1)t} dt
   (by the substitition x = e^{-t})
 = \sum_{k \geq 0} (1/k!) k!/(k+1)^{k+1}
 = \sum_{n \geq 1} 1/n^n.

A natural approach to approximating the finite sum is though the
Euler-Maclaurin sum formula, but again one runs into the fact that
x^x does not have an antiderivative expressible in elementary terms.
There must be a known asymptotic formula for the finite
sum, but I don't know what it is off hand.

This summer, the IMO will be in the United States, and I will
be there. I am chair of the Problems Committee and also
Chief Coordinator.  The committee met in Memphis earlier
this month to choose the problems for the Short List, and we
are now busy preparing the book of short listed problems.
After the IMO is over, .

Cecil


Luis Lopes wrote:

> Dear Cecil,
>
> Hi. Hope you are fine.
>
> Would you have any comments about the series:
>
> a) S = \sum 1/k^k  ,k=1,2,...
>
> b) S_n = \sum k^k   ,  k=1,2,...,n
>
> Are you going to attend the next IMO?  Where will it take place?
>
> As always, it is a pleasure to write you.
>
> Best regards,
> Sincerely,
> Luís



> -Mensagem Original-
> De: Bruno Leite <[EMAIL PROTECTED]>
> Para: <[EMAIL PROTECTED]>
> Enviada em: Domingo, 27 de Maio de 2001 01:50
> Assunto: Re: Somatório !
>
> Usando computador: o somatório de 1/k^k converge para
>
1.29128599706266354040728259059560054149861936827452231731000244513694453876
> 523448817041129429709...
>  Dá para provar que converge, sem computador: se você comparar os termos
da
> sua série com alguma série geométrica fica fácil. Explicando melhor: Para
> k>2, 0<1/k^k< 1/2^k, e como a soma até infinito de 1/2^k converge, a soma
> até infinito de 1/k^k deve convergir.
>
> Em relação à primeira questão, acho (eu ACHO!) que não tem forma
fechada.(eu
> ACHO)
>
> Bruno Leite
> -Mensagem original-
> De: Rodrigo Villard Milet <[EMAIL PROTECTED]>
> Para: Obm <[EMAIL PROTECTED]>
> Data: Domingo, 27 de Maio de 2001 01:14
> Assunto: Somatório !
>
> 1) É possível calcular o somatório de k^k, com k variando de 1 até n
??
> 2) O somatório de (1/k)^k, com k variando de 1 até infinito converge
??
> pra qt ?
> Tenho quase certeza de q ela converge,. mas ñsei pra qt...
> ¡Villard!

-Mensagem Original-
De: Bruno Leite <[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: Domingo, 27 de Maio de 2001 01:50
Assunto: Re: Somatório !


Usando computador: o somatório de 1/k^k converge para
1.29128599706266354040728259059560054149861936827452231731000244513694453876
523448817041129429709...
 Dá para provar que converge, sem computador: se você comparar os termos da
sua série com alguma série geométrica fica fácil. Explicando melhor: Para
k>2, 0<1/k^k< 1/2^k, e como a soma até infinito de 1/2^k converge, a soma
até infinito de 1/k^k deve convergir.

Em relação à primeira questão, acho (eu ACHO!) que não tem forma fechada.(eu
ACHO)

Bruno Leite
-Mensagem original-
De: Rodrigo Villard Milet <[EMAIL PROTECTED]>
Para: Obm <[EMAIL PROTECTED]>
Data: Domingo, 27 de Maio de 2001 01:14
Assunto: Somatório !


1) É possível calcular o somatório de k^k, com k variando de 1 até n ??
2) O somatório de (1/k)^k, com k variando de 1 até infinito converge ??
pra qt ?
Tenho quase certeza de q ela converge,. mas ñsei pra qt...
¡Villard!

Re: dúvidas banais Hipérboles

[Nicolau C. Saldanha]

Toda elipse, após rotação e translação, é da forma

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.

Os valores de a e b admitem interpretações geométricas
como os semi-eixos da elipse. A elipse é um círculo se a=b.

Toda hipérbole, após rotação e translação, é da forma

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.

O valor de a novamente pode ser interpretado como um semi-eixo
ou como metade da distância mínima entre os dois ramos da hipérbole.
A interpretação de b é menos óbvia mas as retas x/a = +- y/b
são as assíntotas da hipérbole. A hipérbole é equilátera quando a=b.

>   Estou com 2 dúvidas banais, mas que nao consigo solucioná-las por nao ter a 
>possibilidade de consultar um livro do ensino médio. Sao elas:
> 
>   O que define uma hipérbole EQUILÁTERA?

dúvidas banais Hipérboles

[Luis Lopes]

Sauda,c~oes,
 
Se não estou enganado, cilindro equilátero é aquele 
no
qual a relação entre o diâmetro e a altura é a mesma 
que
os lados e a altura de 
um triângulo equilátero.
 
Hipérbole equilátera eu esqueci mas acho que a 
hipérbole
y = 1/x é equilátera.
 
E tem também a hipérbole retangular??
 
A propósito desta hipérbole, ver o email abaixo. Ele veio 
de
uma outra lista.
 
[ ]'s
Lu'is
>From: [EMAIL PROTECTED]>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]>To: 
[EMAIL PROTECTED]>Subject: 
[EMHL] Re: Altitude problem>Date: Tue, 29 May 2001 18:45:34 
->>Dear Antreas,>>>[APH]:>Let ABC 
be a triangle and AD the altitude from 
A.>>  
DC     AC>If BC is fixed, and  -- =   (--)^2, 
which is the locus of A 
?> 
 DB     AB>>>[PY]:>The locus of A is 
the circle with BC as diameter. This is the>converse of Euclid's proof of 
Pythagoras theorem.>>Dear Paul,>>That's at first 
glance.>>At second glance, the locus is something 
more:>>    (circle with diam BC) + (perp. bis. of 
BC)>>That is what you call an ``impure'' 
locus.>>>and at third glance, the locus is something more 
!>>[PY]And the rectangular hyperbola with B and C as 
vertices!>>Best 
regards>Sincerely>Paul>>APH>

  -Mensagem Original- 
  De: Alexandre F. Terezan 
  Para: OBM 
  Enviada em: Terça-feira, 29 de Maio de 
  2001 09:35
  Assunto: dúvidas banais
  
  Estou com 2 dúvidas banais, mas que nao consigo 
  solucioná-las por nao ter a possibilidade de consultar um livro do ensino 
  médio. Sao elas:
   
  O que define uma hipérbole EQUILÁTERA?
   
  O que define um cilindro 
EQUILÁTERO?

Equipe selecionada para IMO.

[Olimpiada Brasileira de Matematica]

Caros amigos da lista:

A equipe que representara ao Brasil na 42a. IMO
a ser realizada entre os dias 1 a 14 de julho proximo 
em Washington - DC, EE.UU e' a seguinte:

Lider: Prof. Nicolau C. Saldanha (Rio de Janeiro - RJ)
Vice - Lider: Prof. Antonio Caminha Muniz Neto (Fortaleza - CE)

BRA 1: Alex Correa Abreu (Rio de Janeiro - RJ)
BRA 2: Carlos Stein Naves de Brito (Goiania - GO)
BRA 3: Daniel Pinheiro Sobreira (Fortaleza - CE)
BRA 4: Davi Maximo Alexandrino Nogueira (Fortaleza - CE)
BRA 5: Humberto Silva Naves (Sao Paulo - SP)
BRA 6: Thiago Barros Rodrigues Costa (Fortaleza - CE)


Abracos,

Nelly. 

Fórmula de Heron

[Hugo Iver Vasconcelos Goncalves]

Olá colegas da lista, 
Na minha aula de matemática hj pela manhã surgiu uma discussão 
sobre a fórmula de Heron para o cálculo da área de triângulos... meu prof. disse 
que nunca havia visto a dedução dessa fórmula e q também nunca havia tentado 
deduzi-la... será q vcs podem mostrar a dedução dessa fórmula aqui na lista ou 
pelo menos dar o pontapé inicial???
Ahhh, e jah li aqui na lista algo q dizia q a fórmula de Heron 
pode ser usada analogamente para qualquer poligono inscritível em uma 
circunferência... será q vcs poderiam mostrar como fazer isso, pois eu tentei e 
nao deu certo...???
Desde jah agradeço a vcs e peço desculpas se minhas duvidas 
foram triviais e pouco empolgantes :PPP até mais
 
Hugo

mais uma banal

[Alexandre F. Terezan]

Mais uma coisinha...
 
Quais sao os eixos da 
HIPÉRBOLE?

dúvidas banais

[Alexandre F. Terezan]

Estou com 2 dúvidas banais, mas que nao consigo solucioná-las 
por nao ter a possibilidade de consultar um livro do ensino médio. Sao 
elas:
 
O que define uma hipérbole EQUILÁTERA?
 
O que define um cilindro 
EQUILÁTERO?