[obm-l] Álgebra
Obrigado, Raphael. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Somatórios
On Sat, Jul 20, 2019 at 10:38 PM Eduardo Henrique wrote: > Pessoal, podem me indicar algum material que explique como funcionam os > somatórios? Gostaria de algum que explicasse em que casos podemos inverter > somatórios, quais as condições... tanto pra finitos quanto pra infinitos. > Pode ser apenas nomes de livros que tenham isso que eu corro atrás. Valeu! Concrete Mathematics, Graham-Knuth-Patashnik. Provavelmente um livro que vai te abrir a mente, além de te ensinar a nunca mais ter medo de somatórios. Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Álgebra
a^2 - ab = b^2 - bc (a2-b2)=(a-c)b (a+b)(a-b)=(a-c)b (i) Mas c^2 - ac = 1 (a-c)=-1/c e, de modo análogo, (a-b)=1/a (ii) Voltando em (i) a+b=-ab/c a+b+c=(c2-ab)/c (a+b+c)abc=ab(c2-ab)=ab(1+ac-ab)=ab(1+a(c-b))=k Utilizando (ii) k=(ab)(1-a/b)=ab-a2=-1 -- Cordialmente, Raphael Aureliano 1ON/IMT - Full DPO Em domingo, 21 de julho de 2019, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Se a^2 - ab = b^2 - bc = c^2 - ac = 1, determine abc.(a + b + c) > Não consigo resolver > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l]
Em seg, 15 de jul de 2019 às 22:54, Matheus Bezerra < matheusbezerr...@gmail.com> escreveu: > Os números naturais a,b e c têm a propriedade que a³ é divisível por b, b³ > é divisível por c e c³ é divisível por a. Prove que (a+b+c)¹³ é divisível > por abc. > > > Se pegarmos um primo p, fator p^A em a,p^B em b,p^C em c, temos 3a>=b, 3b>=c, 3c>=a. Os termos de (a+b+c)^13 serão da forma a^x b^y c^z vezes uma constante, onde x+y+z=13. Queremos que isso seja sempre divisível por abc. Vamos olhar o fator primo p em cada um deles. O fator primo p aparece elevado a Ax+By+Cz neste fator a^x b^y c^z, ao passo que aparece elevado a A+B+C em abc Queremos sempre que Ax+By+Cz >= A+B+C se x+y+z=13 e 3A>=B, 3B>=C, 3C>=A. Vou tentar uma ideia aqui: uma substituição esperta! Seja *A = r+3s+9t, B = 3r+9s+t, C = 9r+s+3t*. Assim, obtemos 3A-B=26t 3B-C=26s 3C-A=26r E portanto a nossa antiga condição é o mesmo que dizer que r,s,t são positivos! Vamos substituir então: Queremos sempre que A(x-1)+B(y-1)+C(z-1) >= 0 se x+y+z=13 e 3A>=B, 3B>=C, 3C>=A. Ou (r+3s+9t)(x-1)+(3r+9s+t)(y-1)+(9r+s+3t)(z-1) >=0 se r,s,t forem >=0 e x+y+z=13, com x,y,z >=0. Ou r(x+3y+9z-13) + s(3x+9y+z-13) + t(9x+y+3z-13) >=0 Mas aí 13=x+y+z, e portanto isso é o mesmo que r(2y+8z) + s(2x+8y) + t(8x+2z) >= 0 E tudo ok! E, acaso você pergunte, a ideia da substituição esperta foi pensada de trás para frente: se eu tenho 3A>=B, 3B>=C e 3C>=A, o que eu tenho na verdade é um sistema de equações 3A-B=t,3B-C=s e 3C-A=r onde t,s,r não são negativos. Usando a regra de Cramer, obtemos aqueles valores, só que divididos por um 26. Desta maneira, eu multipliquei por 26 para me livrar deles. -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Em sex, 14 de jun de 2019 às 10:05, Caio Costa escreveu: > > A resposta é o coeficiente de x^15 no polinômio de grau infinito > (1+x+x^2+x^3)^n, com n natural indo para infinito. Faz sentido tal afirmação? Não faz não. Por que um natural indo ao infinito teria alguma coisa a ver aqui? > > Em sex, 14 de jun de 2019 às 08:34, Vinícius Raimundo > escreveu: >> >> Obrigado >> >> Tinha pensado em recorrência, mas não achei a correta >> Alguém conhece um material bom para o estudo deste assunto? >> >> Em qui, 13 de jun de 2019 às 18:41, Claudio Buffara >> escreveu: >>> >>> Chame isso de a(15). >>> Vale a recorrência a(n) = a(n-1) + a(n-2) + a(n-3), com a(1) = 1, a(2) = 2 >>> e a(3) = 4. >>> Isso porque você pode chegar ao n-ésimo degrau a partir do (n-1)-ésimo, >>> (n-2)-ésimo ou (n-3)-ésimo degrau. >>> E você pode chegar ao (n-1)-ésimo de a(n-1) maneiras, ao (n-2)-ésimo de >>> a(n-2) maneiras, e ao (n-3) ésimo de a(n-3) maneiras. >>> >>> Daí, com uma planilha... >>> a(4) = 4+2+1 = 7 >>> a(5) = 7+4+2 = 13 >>> ... >>> a(15) = 5768. >>> >>> >>> On Thu, Jun 13, 2019 at 6:03 PM Vinícius Raimundo >>> wrote: Pedro tem que descer uma escada com 15 degraus. Porém, ele só pode descer 1, 2 ou 3 degraus de cada vez De quantas maneiras ele pode fazer isso? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Álgebra
Se a^2 - ab = b^2 - bc = c^2 - ac = 1, determine abc.(a + b + c) Não consigo resolver -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
