Pelo teorema do valor intermediario, tambem nao estou vendo como provar.
Suponhamos que f seja monotonicamente crescente (se for decrescente, o
raciocinio eh inteiramente analogo). Sabemos que, por ser monotonica, f so pode
apresentar descontinuidades do tipo salto, isto eh, existencia de limites aa
esquerda e aa direita mas em valores diferentes. Suponhamos que f seja
descontinua em um ponto interior x de I e sejam Le e Ld os limites de f aa
esquerda e aa direita de x. Suponhamos que y <> x seja outra descontinuidade de
f em I. Se, y < x, entao, entao L'd < Le, sendo L'd o limite de f aa direita de
y; se y >x, entao Ld < L'e, sendo L'e o limite de f aa esquerda de y. Desta
forma, o intervalo [Le, Ld] nao contem os limites nem aa esquerda nem aa
direita de nenhuma descontinuidade de f distinta de x. A cada um dos intervalos
deste tipo, corresponde uma e somente uma descontinuidade de f em I, havendo
assim uma bijecao entre a colecao de tais intervalos e o conjunto dos pontos de
descontinuidade de f em I. Em cada um dos intervalos [Le, Ld] escolhamos um
racional. Como estes intervalos sao disjuntos 2 a 2, hah uma bijecao entre eles
e um subconjunto dos racionais, de modo que a colecao de tais intervalos eh
enumeravel. E como este colecao esta em correspondencia biunivica com o
conjunto dos pontos de descontinuidade, concluimos que tambem este eh
enumeravel.
Nesta prova ssumimos implicitamente que I eh aberto. Mas como intervalos
fechado contem, 2 pontos a mais que o seu interior, a conclusao eh
automaticamente extendida para intervalos fechados (como tambem aos dos tipos
[a, b) e (a, b]).
Este teorema eh um caso particualr de um outro, de demonstracao um pouco mais
dificil, o qual afirma que, se uma f qualquer apresentar limites em todos os
pontos de um intervalo I, entao o conjunto de suas descontinuidades em I eh
enumeravel.
A conclusao referente a funcoes monotonicas nos proporciona uma forma imediata
de mostrar que tais funcoes sao Riemann integraveis em intervalos fechados.
Abracos
[Artur Costa Steiner]
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos
Enviada em: sábado, 30 de junho de 2007 21:49
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Continuidade em intervalo I.
Gente to resolvendo uma lista de exercícios de análise , pois tenho prova
semana que vem , e os que naum consigo ver a solução , eu estou mandando para
cá , e vcs estão me judando muito . Esse aqui eu tentei por teorema do valor
intermediário e naum consigo ver que são enumeraveis . Me ajudem !
Seja I um intervalo e f: I -> R uma função monótona .
Prove que o conjunto dos pontos da descontinuidade de f é ENUMERÁVEL.
