[obm-l] + DIVERSÃO PROBABILÍSTICA!
Ok! Nicolau e demais colegas! Se não for muito incômodo, gostaria que enviasse a sua discussão, pois tenho dúvidas se os dois problemas são básicamente o mesmo raciocínio, já que ninguém conseguiu justificar o porquê da "sétima noite"? Ao guardar casualmente meus quatro únicos CD'S em cada caixa, qual a probabilidade de acertar exatamente três CD'S nas caixas corretas? Jogando 24 vezes sucessivas um par de dados não-viciados, é mais vantajoso apostarmos que não ocorre um par de 6 ou que ocorre pelo menos um par de 6? Afinal! Por que num jogo de par ou ímpar os dois jogadores têm a mesma chance de vencer se os resultados de dois números pares ou ímpares dá par? A propósito! Como justificar se uma moeda é viciada ou não pelo simples fato de sairem 12 caras consecutivas em 12 lançamentos de uma moeda. (Essa é boa!) Abraços e Bom Final de Semana! _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] DIVERSÃO PROBABILÍSTICA!
Eu tinha pensado em "marcar n" após um número finito de lançamentos. Mas seu raciocínio está perfeito e realmente é mais próximo do (impreciso) enunciado. []'s, Leo.On 11/3/05, Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: O que eu calculei (ou acho que calculei!) foi a probabilidade de que uma dada sequencia crescente de numeros gerados pelo lancamento da moeda contenha o numero "n". Fiz isso porque o enunciado nao dava nenhuma dica de haver uma ordem temporal no problema. Mas admito que haja outras interpretacoes. []s, Claudio. on 03.11.05 16:32, leonardo maia at [EMAIL PROTECTED] wrote: Claudio, é preciso introduzir uma segunda variável t (o tempo, discreto) para que a questão > Um jogador lança uma moeda não viciada e marca um ponto cada vez que obtém > uma cara e dois pontos quando obtém coroa. Qual a probabilidade do jogador > marcar exatamente "n" pontos? faça sentido. Você resolveu a recorrência P(n) = (1/2)*P(n-1) + (1/2)*P(n-2) como se essas probabilidades fossem definidas no mesmo instante, o que não é verdade. A equação correta é P(n,t) = (1/2)*P(n-1, t-1) + (1/2)*P(n-2, t-1). Se você introduzir uma função geradora (ou geratriz) g, pode obter uma recorrência (em t) para g, resolvê-la, e descobrir que P(n,t) é zero, se n2t, e que, para t <= n <= 2t, vale P(n,t) = [(1/2)^t] . C(t, n-t). []'s, Leo. On 11/3/05, Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: on 03.11.05 11:27, Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Um jogador lança uma moeda não viciada e marca um ponto cada vez que obtém > uma cara e dois pontos quando obtém coroa. Qual a probabilidade do jogador > marcar exatamente "n" pontos? > P(n) = P(n|n-1)*P(n-1) + P(n|n-2)*P(n-2) = (1/2)*P(n-1) + (1/2)*P(n-2) P(1) = 1/2 e P(2) = 1/2 + 1/4 = 3/4 Eq. caracteristica: t^2 = (t+1)/2 ==> 2t^2 - t - 1 = 0 ==> t = 1 ou t = -1/2 ==> P(n) = A + B*(-1/2)^n P(1) = A - B/2 = 1/2 P(2) = A + B/4 = 3/4 ==> A = 2/3 B = 1/3 ==> P(n) = 2/3 + (1/3)*(-1/2)^n \
Re: [obm-l] DIVERSÃO PROBABILÍSTICA!
Title: Re: [obm-l] DIVERSÃO PROBABILÍSTICA! O que eu calculei (ou acho que calculei!) foi a probabilidade de que uma dada sequencia crescente de numeros gerados pelo lancamento da moeda contenha o numero "n". Fiz isso porque o enunciado nao dava nenhuma dica de haver uma ordem temporal no problema. Mas admito que haja outras interpretacoes. []s, Claudio. on 03.11.05 16:32, leonardo maia at [EMAIL PROTECTED] wrote: Claudio, é preciso introduzir uma segunda variável t (o tempo, discreto) para que a questão > Um jogador lança uma moeda não viciada e marca um ponto cada vez que obtém > uma cara e dois pontos quando obtém coroa. Qual a probabilidade do jogador > marcar exatamente "n" pontos? faça sentido. Você resolveu a recorrência P(n) = (1/2)*P(n-1) + (1/2)*P(n-2) como se essas probabilidades fossem definidas no mesmo instante, o que não é verdade. A equação correta é P(n,t) = (1/2)*P(n-1, t-1) + (1/2)*P(n-2, t-1). Se você introduzir uma função geradora (ou geratriz) g, pode obter uma recorrência (em t) para g, resolvê-la, e descobrir que P(n,t) é zero, se n2t, e que, para t <= n <= 2t, vale P(n,t) = [(1/2)^t] . C(t, n-t). []'s, Leo. On 11/3/05, Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: on 03.11.05 11:27, Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Um jogador lança uma moeda não viciada e marca um ponto cada vez que obtém > uma cara e dois pontos quando obtém coroa. Qual a probabilidade do jogador > marcar exatamente "n" pontos? > P(n) = P(n|n-1)*P(n-1) + P(n|n-2)*P(n-2) = (1/2)*P(n-1) + (1/2)*P(n-2) P(1) = 1/2 e P(2) = 1/2 + 1/4 = 3/4 Eq. caracteristica: t^2 = (t+1)/2 ==> 2t^2 - t - 1 = 0 ==> t = 1 ou t = -1/2 ==> P(n) = A + B*(-1/2)^n P(1) = A - B/2 = 1/2 P(2) = A + B/4 = 3/4 ==> A = 2/3 B = 1/3 ==> P(n) = 2/3 + (1/3)*(-1/2)^n \
Re: [obm-l] DIVERSÃO PROBABILÍSTICA!
Claudio, é preciso introduzir uma segunda variável t (o tempo, discreto) para que a questão > Um jogador lança uma moeda não viciada e marca um ponto cada vez que obtém > uma cara e dois pontos quando obtém coroa. Qual a probabilidade do jogador > marcar exatamente "n" pontos? faça sentido. Você resolveu a recorrência P(n) = (1/2)*P(n-1) + (1/2)*P(n-2) como se essas probabilidades fossem definidas no mesmo instante, o que não é verdade. A equação correta é P(n,t) = (1/2)*P(n-1, t-1) + (1/2)*P(n-2, t-1). Se você introduzir uma função geradora (ou geratriz) g, pode obter uma recorrência (em t) para g, resolvê-la, e descobrir que P(n,t) é zero, se n2t, e que, para t <= n <= 2t, vale P(n,t) = [(1/2)^t] . C(t, n-t). []'s, Leo. On 11/3/05, Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: on 03.11.05 11:27, Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis at[EMAIL PROTECTED] wrote:> Turma! Gostaria de dedicar esse singelo artigo ao "amigo postal" Chicão > Valadares, por três motivos pessoais: primeiro, por ter sido o único que> encaminhou minhas mensagens à lista na ocasião do meu afastamento; segundo,> por ter veiculado meu retorno à mesma e terceiro, por ser um assunto que faz > parte da sua "praia estatística".>> Existem bolas azuis e vermelhas em uma caixa. A probabilidade de sortear> duas bolas de cores diferentes, ao retirar duas bolas ao acaso, é 1/2. Prove > que o número de bolas na caixa é um quadrado perfeito.>a bolas azuis e v bolas vermelhas na caixa.Bolas de mesma cor sao supostas indistinguiveis.2 bolas de cores distintas podem ser retiradas de 2av maneiras 2 bolas podem ser retiradas de (a+v)(a+v-1) maneirasProb(2 bolas de cores distintas) = 2av/((a+v)(a+v-1)) = 1/2 ==>a^2 + v^2 + 2av - a - v = 4av ==>(a - v)^2 = a + v ==>no. de bolas na caixa = a + v = quadrado perfeito > Um jogador lança uma moeda não viciada e marca um ponto cada vez que obtém> uma cara e dois pontos quando obtém coroa. Qual a probabilidade do jogador> marcar exatamente "n" pontos? >P(n) = P(n|n-1)*P(n-1) + P(n|n-2)*P(n-2) = (1/2)*P(n-1) + (1/2)*P(n-2)P(1) = 1/2 e P(2) = 1/2 + 1/4 = 3/4Eq. caracteristica: t^2 = (t+1)/2 ==> 2t^2 - t - 1 = 0 ==>t = 1 ou t = -1/2 ==> P(n) = A + B*(-1/2)^nP(1) = A - B/2 = 1/2P(2) = A + B/4 = 3/4 ==>A = 2/3 B = 1/3 ==>P(n) = 2/3 + (1/3)*(-1/2)^n> Jogamos 10 dados comuns (com 6 faces equiprováveis numeradas de 1 a 6). > Calcule a probabilidade de que a soma dos 10 resultados seja igual a 20.>A probabilidade eh igual a N/6^10, onde:N = coeficiente de x^20 na expansao de(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^10 > Guilherme lançou uma moeda quatro vezes. A probabilidade de ele obter no> mínimo tantas caras quanto coroas é ?>Supondo a moeda honesta, P(2, 3 ou 4 caras) = (6+4+1)/2^4 = 11/16.> A propósito, quantos dados devem ser lançados ao mesmo tempo para maximizar > a probabilidade de se obter exatamente um 2?>Lancemos N dados honestos.Escolha do dado que vai dar 2: NEscolha dos resultados dos outros N-1 dados: 5^(N-1)Probabilidade = f(N) = N*5^(N-1)/6^N = f'(N) = (5^(N-1)/6^N)*(1 + N*log(5/6)) = 0 ==>N = 1/log(6/5) ~ 5,48N = 5 e N = 6 dao a mesma probabilidade maxima, igual a (5/6)^5.Acho que eh isso.[]s,Claudio. =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] DIVERSÃO PROBABILÍSTICA!
on 03.11.05 11:27, Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Turma! Gostaria de dedicar esse singelo artigo ao "amigo postal" Chicão > Valadares, por três motivos pessoais: primeiro, por ter sido o único que > encaminhou minhas mensagens à lista na ocasião do meu afastamento; segundo, > por ter veiculado meu retorno à mesma e terceiro, por ser um assunto que faz > parte da sua "praia estatística". > > Existem bolas azuis e vermelhas em uma caixa. A probabilidade de sortear > duas bolas de cores diferentes, ao retirar duas bolas ao acaso, é 1/2. Prove > que o número de bolas na caixa é um quadrado perfeito. > a bolas azuis e v bolas vermelhas na caixa. Bolas de mesma cor sao supostas indistinguiveis. 2 bolas de cores distintas podem ser retiradas de 2av maneiras 2 bolas podem ser retiradas de (a+v)(a+v-1) maneiras Prob(2 bolas de cores distintas) = 2av/((a+v)(a+v-1)) = 1/2 ==> a^2 + v^2 + 2av - a - v = 4av ==> (a - v)^2 = a + v ==> no. de bolas na caixa = a + v = quadrado perfeito > Um jogador lança uma moeda não viciada e marca um ponto cada vez que obtém > uma cara e dois pontos quando obtém coroa. Qual a probabilidade do jogador > marcar exatamente "n" pontos? > P(n) = P(n|n-1)*P(n-1) + P(n|n-2)*P(n-2) = (1/2)*P(n-1) + (1/2)*P(n-2) P(1) = 1/2 e P(2) = 1/2 + 1/4 = 3/4 Eq. caracteristica: t^2 = (t+1)/2 ==> 2t^2 - t - 1 = 0 ==> t = 1 ou t = -1/2 ==> P(n) = A + B*(-1/2)^n P(1) = A - B/2 = 1/2 P(2) = A + B/4 = 3/4 ==> A = 2/3 B = 1/3 ==> P(n) = 2/3 + (1/3)*(-1/2)^n > Jogamos 10 dados comuns (com 6 faces equiprováveis numeradas de 1 a 6). > Calcule a probabilidade de que a soma dos 10 resultados seja igual a 20. > A probabilidade eh igual a N/6^10, onde: N = coeficiente de x^20 na expansao de (x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^10 > Guilherme lançou uma moeda quatro vezes. A probabilidade de ele obter no > mínimo tantas caras quanto coroas é ? > Supondo a moeda honesta, P(2, 3 ou 4 caras) = (6+4+1)/2^4 = 11/16. > A propósito, quantos dados devem ser lançados ao mesmo tempo para maximizar > a probabilidade de se obter exatamente um 2? > Lancemos N dados honestos. Escolha do dado que vai dar 2: N Escolha dos resultados dos outros N-1 dados: 5^(N-1) Probabilidade = f(N) = N*5^(N-1)/6^N = f'(N) = (5^(N-1)/6^N)*(1 + N*log(5/6)) = 0 ==> N = 1/log(6/5) ~ 5,48 N = 5 e N = 6 dao a mesma probabilidade maxima, igual a (5/6)^5. Acho que eh isso. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] DIVERSÃO PROBABILÍSTICA!
Turma! Gostaria de dedicar esse singelo artigo ao "amigo postal" Chicão Valadares, por três motivos pessoais: primeiro, por ter sido o único que encaminhou minhas mensagens à lista na ocasião do meu afastamento; segundo, por ter veiculado meu retorno à mesma e terceiro, por ser um assunto que faz parte da sua "praia estatística". Existem bolas azuis e vermelhas em uma caixa. A probabilidade de sortear duas bolas de cores diferentes, ao retirar duas bolas ao acaso, é 1/2. Prove que o número de bolas na caixa é um quadrado perfeito. Um jogador lança uma moeda não viciada e marca um ponto cada vez que obtém uma cara e dois pontos quando obtém coroa. Qual a probabilidade do jogador marcar exatamente "n" pontos? Jogamos 10 dados comuns (com 6 faces equiprováveis numeradas de 1 a 6). Calcule a probabilidade de que a soma dos 10 resultados seja igual a 20. Guilherme lançou uma moeda quatro vezes. A probabilidade de ele obter no mínimo tantas caras quanto coroas é ? A propósito, quantos dados devem ser lançados ao mesmo tempo para maximizar a probabilidade de se obter exatamente um 2? Divirtam-se! _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
