Re: [obm-l] triângulo
Prezado amigo fael para este problema uma possivel solução seria: Tendo o lado BC e o AC e o angulo beta pela lei dos cossenos vem que: AC*2=BC*2+BA*2-2.CB.BA.cosbeta sendo o AB o lado que queremos achar então fica: 49=64+AB*2-2.8.AB.1/2 dai sai que AB=3 ou AB=5 enatão para AB= 3 tem-se: S=BC.AB.senbeta/2, então S=6. raiz de (3) m*2 ou para AB=5 tem-se com o mesmo raciocinio S`= 10. raiz de (3) m*2 Espero que entenda um abraço Felipão --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal, Veja esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] triângulo
Oi para todos! Seja d a distância pedida. O triângulo CBM éretângulo porquê ABC é isóceles. Logo a área A de CBM é A =4.3/2 = 6 cm^2.(tomando BM como base) Mas também temos que A = 5.d/2 cm^2.(tomando BC como base). Logo 5d/2 = 6 = 5d = 12 = d = 12/5 = d = 2,4 cm. André T. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 09, 2003 2:53 AM Subject: [obm-l] triângulo Olá pessoal, A questão abaixo caiu na prova da fuvest, ela é composta por dois ítens. (FUVEST) Num triângulo ABC tem-se AB= 6 cm, AC= BC= 5 cm. a) Ache a área do triângulo ABC. b) Sendo M o ponto médio de AB, calcule a distância de M à reta BC. Obs: O item "a" eu não encontrei dificuldade em fazê-lo (foi só aplicar pitágoras), minha dúvida está no item "b", pois estou chegando muito perto do resultado, digo muito perto mesmo, pois o gabarito dá como certo 2,4 cm e estou chegando ao resultado de 2,5. Mas como Matemática é uma ciência exata estou a procura do caminho certo para chegar a resposta certa. Abaixo direi o que fiz e no final farei um comentário: Parti da premissa que M encontra CB no ponto médio de BC (vamos chamar este ponto médio de D) e obtive assim dois triângulos semelhantes: ABC e MBF. Através da semelhança obtemos: AC/MF= AB= MB ,ou seja, 5/MF= 6/3, portanto MF=5/2= 2,5 A partir disso acho que estou errando em minha premissa que foi considerar que o ponto de tangência da reta MF é o ponto médio de BC, pois o enunciado não diz isso, apenas diz para calcular a distância de M à BC, mas eu estava pensando... o ponto B pertence a retá BC, mesmo sendo extremidade, certo? Então uma possível resposta não seria a metade de AB, ou seja, 3 cm?
[obm-l] triângulo
Olá pessoal, A questão abaixo caiu na prova da fuvest, ela é composta por dois ítens. (FUVEST) Num triângulo ABC tem-se AB= 6 cm, AC= BC= 5 cm. a) Ache a área do triângulo ABC. b) Sendo M o ponto médio de AB, calcule a distância de M à reta BC. Obs: O item "a" eu não encontrei dificuldade em fazê-lo (foi só aplicar pitágoras), minha dúvida está no item "b", pois estou chegando muito perto do resultado, digo muito perto mesmo, pois o gabarito dá como certo 2,4 cm e estou chegando ao resultado de 2,5. Mas como Matemática é uma ciência exata estou a procura do caminho certo para chegar a resposta certa. Abaixo direi o que fiz e no final farei um comentário: Parti da premissa que M encontra CB no ponto médio de BC (vamos chamar este ponto médio de D) e obtive assim dois triângulos semelhantes: ABC e MBF. Através da semelhança obtemos: AC/MF= AB= MB ,ou seja, 5/MF= 6/3, portanto MF=5/2= 2,5 A partir disso acho que estou errando em minha premissa que foi considerar que o ponto de tangência da reta MF é o ponto médio de BC, pois o enunciado não diz isso, apenas diz para calcular a distância de M à BC, mas eu estava pensando... o ponto B pertence a retá BC, mesmo sendo extremidade, certo? Então uma possível resposta não seria a metade de AB, ou seja, 3 cm?
[obm-l] Re:[obm-l] triângulo
Exato, vc não pode afirmar que M encontra BC no seu ponto médio. Vc deve apenas unir M a BC(que se encontram no pondo D) de forma que a reta se perpendicular a BC,sem se preocupar com a distãncia BD. aí só fazer semelhança de triangulos e deu pra bola. __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] triângulo
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[obm-l] Re: [obm-l] triângulo
Aproveitando a sua figura: Eh fato conhecido que AF = AH = semiperimetro - CB por exemplo (pois CG+CF+AF+AH+HB+BG=2(CG+BG+AH)=perimetro, e BG+CG=BC). No seu problema, AF = AH = 3. Pondo EF=EI=x e ID=DH=y, basta notar que os triangulos AED e ACB sao semelhante para escrever (3-x)/5 = (3-y)/8 = (x+y)/7 = 6/20=3/10 donde x = 3/2; y = 3/5 e ID/DE=2/5. t+ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] triângulo
Oi de novo! Já que ninguém respondeu, estou mandando a minha resolução que achei horrível! Por isso quero saber se alguém tem alguma idéia de fazer de uma maneira mais simples do que isso. --- Rafael WC [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Pessoal! Alguém conseguiria resolver essa pra mim? Não tô conseguindo... AB = 8,AC = 5 e BC = 7 são os lados de um triangulo ABC. Inscreve-se neste triangulo uma circunferencia e traça-se-lhe a tangente paralela ao lado BC, cujos pontos de interceção com os lados AB e AC são D e E. Calcular a razão ID/IE, sendo I o ponto de contato da tangente DE com a circunferencia inscrita no ABC. Estou enviando uma figura pra ver se ajuda. Na figura desenhei o triângulo ABC, inscrevi uma circunferência de centro O, cujos pontos de tangência aos lados AAC, BC e AB são respectivamente F, G, H. Depois tracei uma tangente ao círculo paralela ao lado BC, com ponto de tangência I e cruzando os lados AB e AC em D e E. Ainda marquei dois ângulos que iremos precisar, os ângulos ABC e ACB, que chamei de b e c respectivamente. Primeiro vamos calcular a altura do triângulo para sabermos o seno e cosseno dos ângulos b e c. Poderíamos usar aqui a lei dos cossenos, mas também podemos usar a fórmula de Herão para a área, que é dada por: área = raiz[p.(p - AB).(p - AC).(p - BC)] onde p = semi-perímetro Como AB = 8, AC = 5 e BC = 7, o semi perímetro é: 2p = 8 + 5 + 7 2p = 20 p = 10 E a área será: área = raiz[p.(p - AB).(p - AC).(p - BC)] área = raiz[10.(10 - 8).(10 - 5).(10 - 7)] área = raiz(10.2.5.3) área = raiz(10.10.3) área = 10.raiz(3) Então podemos encontrar a altura AK do triângulo, relativa ao lado BC por exemplo: área = base x altura/2 área = BC x AK/2 10.raiz(3) = 7 x AK/2 20.raiz(3) = 7 x AK AK = 20.raiz(3)/7 Então podemos achar seno, cosseno e tangente de b e c: sen b = AK/AB sen b = [20.raiz(3)/7]/8 sen b = [20.raiz(3)/7].(1/8) sen b = [5.raiz(3)/7].(1/2) sen b = 5.raiz(3)/14 cos² b + sen² b = 1 cos² b + [5.raiz(3)/14]² = 1 cos² b = 1 - [5.raiz(3)/14]² cos² b = 1 - 75/196 cos² b = (196 - 75)/196 cos² b = 121/196 cos b = 11/14 tg b = sen b/cos b tg b = [5.raiz(3)/14]/(11/14) tg b = 5.raiz(3)/11 sen c = AK/AC sen c = [20.raiz(3)/7]/5 sen c = [20.raiz(3)/7].(1/5) sen c = 4.raiz(3)/7 cos² c + sen² c = 1 cos² c + [4.raiz(3)/7]² = 1 cos² c = 1 - [4.raiz(3)/7]² cos² c = 1 - 48/49 cos² c = (49 - 48)/49 cos² c = 1/49 cos c = 1/7 tg c = sen c/cos c tg c = [4.raiz(3)/7]/(1/7) tg c = 4.raiz(3) Como ED é paralela a BC, quando traçamos os raios OI e OG até os pontos de tangência, eles formam um segmento de reta GI, pois os dois raios são perpendiculares a duas paralelas por um mesmo ponto. No quadrilátero BGOH, como a soma dos ângulos internos tem que dar 360°, sabemos que o ângulo GOH = 180° - b. Como GOI = 180° (pois vimos que é uma reta), concluímos que HOI = b (pois é suplementar de GOH). Os triângulos ODH e ODI são congruentes, pois são triângulos retângulos com dois lados congruentes: o lado OD comum e os lados OH e OI, que são raios da circunferência. Assim, o ângulo entre esses lados é congruente. Isso quer dizer que OD divide o ângulo HOI (que vale b) em dois ângulos congruentes, de medida b/2. Com isso, podemos achar o lado DI em função de OI, pela tangente de b/2. Pela fórmula da tangente do arco duplo temos: tg 2x = 2.tg x/(1 - tg² x) (tg 2x).(1 - tg² x) = 2.tg x tg 2x - (tg 2x).(tg² x) = 2.tg x (tg 2x).(tg² x) - tg 2x + 2.tg x = 0 Fazendo x = b/2, temos: (tg 2x).(tg² x) - tg 2x + 2.tg x = 0 (tg 2.b/2).(tg² b/2) - tg 2.b/2 + 2.tg b/2 = 0 (tg b).(tg² b/2) - tg b + 2.tg b/2 = 0 Como sabemos o valor de tg b: [5.raiz(3)/11].(tg² b/2) - 5.raiz(3)/11 + 2.tg b/2 = 0 multiplica tudo por 11, [5.raiz(3)].(tg² b/2) - 5.raiz(3) + 11.2.tg b/2 = 0 [5.raiz(3)].(tg² b/2) - 5.raiz(3) + 22.tg b/2 = 0 multiplica tudo por raiz(3), [5.raiz(3)].(tg² b/2) - 5.raiz(3) + 22.tg b/2 = 0 (5.3).(tg² b/2) - 5.3 + 22.raiz(3).tg b/2 = 0 15.(tg² b/2) - 15 + 22.raiz(3).tg b/2 = 0 Mas iso é uma equação do segundo grau. Vamos chamar tg b/2 de y, para facilitar: 15.(tg² b/2) - 15 + 22.raiz(3).tg b/2 = 0 15.y² - 15 + 22.raiz(3).y = 0 15.y² + 22.raiz(3).y - 15 = 0 E pela fórmula de Báskara encontramos que: y = [-11.raiz(3) +- 17.raiz(3)]/15 tg b/2 = [-11.raiz(3) +- 14.raiz(3)]/15 Como b/2 é um ângulo do primeiro quadrante, sua tangente é positiva: tg b/2 = [-11.raiz(3) + 14.raiz(3)]/15 tg b/2 = 3.raiz(3)/15 tg b/2 = raiz(3)/5 E finalmente encontramos: tg b/2 = ID/OI raiz(3)/5 = ID/OI ID = OI.raiz(3)/5 E agora faremos as mesmas contas para encontrar IE em função de OI. No quadrilátero CGOF, como a soma dos ângulos internos tem que dar 360°, sabemos que o ângulo GOF = 180° - c. Como GOI = 180° (pois vimos que é uma reta), concluímos que FOI = c (pois é suplementar de GOF). Da mesma forma são congruentes os triângulos OEI e OEF: são retângulos e têm dois lados congruentes, OE (comum) e OI = OF (raios). Assim, o ângulo entre esses lados é congruente. Isso quer dizer que OE divide o ângulo FOI (que
[obm-l] triângulo
Olá Pessoal! Alguém conseguiria resolver essa pra mim? Não tô conseguindo... AB = 8,AC = 5 e BC = 7 são os lados de um triangulo ABC. Inscreve-se neste triangulo uma circunferencia e traça-se-lhe a tangente paralela ao lado BC, cujos pontos de interceção com os lados AB e AC são D e E. Calcular a razão ID/IE, sendo I o ponto de contato da tangente DE com a circunferencia inscrita no ABC. Obrigado! Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? LAUNCH - Your Yahoo! Music Experience http://launch.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo.
Nem um pouquinho Rafael. Basta usar o seguinte resultado: dois triângulos que compartilham uma altura têm a razão entre as áreas igual a razão entre as respectivas bases. Resultado esse facilmente estabelecido usando-se a tradicional fórmula para a área de um triângulo. Pois bem, de acordo com esse resultado e com sua figura podemos escrever: [ 84 + x + 40 ] / [ y + 35 + 30 ] = 40 / 30 e, também, [ x + 84 + y ] / 40 + 30 + 35 ] = y / 35 . Resolvendo esse pequeno sistema temos: x = 56 e y = 70. Basta somar todos os números e obter a área do triângulo. Saudações. Claudio. - Original Message - From: Rafael WC [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, April 29, 2002 12:48 AM Subject: [obm-l] Triângulo. É muito trabalho pra se resolver o problema da figura anexada? Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! Health - your guide to health and wellness http://health.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Triângulo.
É muito trabalho pra se resolver o problema da figura anexada? Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! Health - your guide to health and wellness http://health.yahoo.com
Re: [obm-l] Triângulo(Fig. para resolução)
--- [EMAIL PROTECTED] wrote: Bomtentei mandar , agora se consegui não sei ..rsrs Oi Luiz! Esse problema é antigo e bem conhecido, com várias resoluções. Há uma resolução em português em: http://membros.aveiro-digital.net/pinto/11ano00/11geo1res.pdf Parece que na Revista do Professor de Matemática nº 4, se não me engano, foi enviada uma resposta trigonométrica bem interessante também. Um abraço, Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! Movies - coverage of the 74th Academy Awards® http://movies.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Triângulo(Fig. para resolução)
Bomtentei mandar , agora se consegui não sei ..rsrs -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br attachment: Triângulo.jpg
