Desigualdade Wagner
Ola Pessoal, E verdade que : EM QUALQUER TRIANGULO, O SEMI-PERIMETRO NUNCA E MENOR QUE A SOMA DOS PRODUTOS DE CADA LADO PELO COSSENO DO ANGULO OPOSTO. Para ver isso, seja ABC um triangulo qualquer, imaginado como se BC fosse a base ( B a esquerda, C a direita ) e A o vertice. 1) Prolongando CA a partir de A, no sentido de C para A, de um segmento AD igual AB. 2) Prolongando BA a partir de A, no sentido de B para A, de um segmento AE igual a AC 3) Ligando D com E Os triangulo ABC e ADE sao iguais (caso LAL), pois : 1) AD = AB (por construcao) 2) AE = AC (por construcao) 3) Angulo BAC = Angulo DAE (opostos pelo vertice) Segue que DE=BC. Trancando por A uma paralela a BC. Seja r esta paralela. Agora, seja F o pe da perpendicular a r tracado por D. Seja G o pe da perpendicular a r tracada por E. Entao, claramente : DE = AD*cos(DAF) + AE*cos(EAG) Mas : 1)DE = BC = a 2)AD = AB = c 3)AE = AC = b 4)Angulo DAF = Angulo ACB ( Angulos Correspondentes ) = Ang C 5)Angulo EAG = Angulo ABC ( Angulos Correspondentes ) = Ang B Portando : a = c*cos(C) + b*cos(B) Repetindo construcoes e raciocinios semelhantes para os demais vertices, chegaremos a : b = a*cos(A) + c*cos(C) c = b*cos(B) + a*cos(A) Somando estas tres desigualdades : a + b + c = 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C) 2p = 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C) Portanto : DESIGUALDADE WAGNER : p = a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C) Eu acho que a melhor maneira de homenagear e demonstrar gratidao para um Grande Mestre e mostrando que, com ele, aprendemos alguma coisa ... A desigualdade acima e simples, bem como a sua demonstracao, mas e uma sincera homenagem aquele que muito me (nos) ensinou : Prof EDUARDO WAGNER. ( Wagner - me permita chama-lo assim agora, Prof - voce provou que NEM TODAS AS ESTRELAS ESTAO MAPEADAS ... ) Um abraco a Todos, Um abraco especial ao Prof Eduardo Wagner Paulo Santa Rita 5,1141,10052001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: desigualdade
Note que a expressão pode ser desenvolvida da forma: (1 + 1/x)(1 + 1/y)(1 + 1/z) = (1 + 1/x + 1/y + 1/z) + (1/xy + 1/yz + 1/xz + 1/xyz) = = (1 + x + y + z) + (z + x + y + 1)/xyz = 1 + 1/x + 1/y + 1/z + 2/xyz Pela Desigualdade entre as médias aritmética e geométrica podemos mostrar que: (x + y + z)(1/x + 1/y + 1/z) = 9 = 1/x + 1/y + 1/z = 9 Novamente pela Desigualdade entre as MA e MG: 1 = x + y + z = 3(xyz)^1/3 = 1/(xyz)^1/3 = 3 = 1/xyz = 27 Assim, (1 + 1/x)(1 + 1/y)(1 + 1/z) = 1 + 9 + 2.27 = 64 - Original Message - From: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, November 15, 2000 9:44 PM Subject: desigualdade olá pessoal! Alguém poderia resolver a seguinte desigualdade pra mim (1 + 1/x)(1 + 1/y)(1 + 1/z) = 64 sendo x + y + z = 1, e x, y e z reais positivos. Obrigado abraços Marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: desigualdade
Original Message Olá pessoal! Alguém poderia resolver a seguinte desigualdade pra mim (1 + 1/x)(1 + 1/y)(1 + 1/z) = 64 sendo x + y + z = 1, e x, y e z reais positivos. (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)= (x+1)(y+1)(z+1)/(xyz) = (xyz +xy + xz +yz +x +y +z +1)/(xyz) Como x+y+z=1, a expressao acima eh igual a (xyz +2 +xy+xz+yz)/(xyz), que eh igual a 1 +2/(xyz) +1/y +1/z +1/x - Como a media aritmetica de quaisquer n numeros eh maior ou igual aa harmonica (e soh eh igual se todos os numeros forem iguais), temos que (x+y+z)/3 = 3/(1/z +1/x +1/y). Lembre-se de que x+y+z=1. Entao temos que 1/z +1/y +1/x = 9 Entao (1 +1/x)(1+1/y)(1+1/z)=10 +2/xyz (o que jah eh um enorme progresso). Se provarmos que 10 +2/xyz eh, no minimo, 64, ficaremos felizes. Entao vamos lah: 10+ 2/xyz eh minimo quando xyz eh maximo. Basta calcular qual eh o maior valor que pode ter o produto de tres numeros positivos que somam 1. Chame y+z de k. Sabemos que o produto yz eh maximo se y=z=k/2; ou seja, o produto maximo eh (k^2)/4. Como x=1-k, xyz eh (k^2/4)(1-k)=k^2/4-(k^3)/4. Espero que voce conheca Calculo Integral e Diferencial (eh uma das maiores conquistas intelectuais da humanidade). Vendo que o produto maximo nao ocorre no extremo do intervalo onde k pode estar (o intervalo aberto de 0 a 1), e que a funcao eh continua, vemos que o maximo ocorre onde a derivada for zero (se houver esse ponto). Bom, a derivada eh k/2 - 3(k^2)/4. Isso eh zero se k=0 ou se k=2/3. Se k=2/3, lembrando que z=y=k/2, temos x=y=z=1/3. Para esses valores, a expressao acima eh 10 +2(27)=64; portanto, podemos ficar felizes. PS: Leia a Eureka número 5, artigo "Desigualdades Elementares", e entenderah tudo o que eu fiz. PS_2: Se tiver alguma duvida, me mande um e-mail.
Re: desigualdade
Marcelo Souza wrote: ol pessoal! Algum poderia resolver a seguinte desigualdade pra mim (1 + 1/x)(1 + 1/y)(1 + 1/z) >= 64 sendo x + y + z = 1, e x, y e z reais positivos. Obrigado abraos Marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com. Ol Marcelo, Na lista j apareceu vrios demonstraes bonitas, entretanto equivalentes,para a desigualdade proposta por voc. Esta desigualdade foi proposta numa olimpiada Russa. Com intuito de colaborar , apresento mais uma demonstrao abaixo: Uma possvel demonstrao para a desigualdade: Da desigualdade entre a mdia aritmtica e geomtrica, para tres nmeros reais quaisquer, a, b e c, no negativos, tem-se: (1/3).(a+b+c)>= (a.b.c)^(1/3) (*) Assim, sendo X , Y e Z nmeros reais positivos quaisquer, tem-se: Para a = X/(X+1) , b = Y/(Y+1) e c = Z/(Z+1) de (*): (1/3).[ (X/(X+1) + Y/(Y+1) + Z/(Z+1)] > = [ X.Y.Z /(X+1).(Y+1).(Z+1) ] ^ (1/3) (I) Para a = 1/(X+1) , b = 1/(Y+1) e c = 1/(Z+1) de (*): (1/3).[ (1/(X+1) + 1/(Y+1) + 1/(Z+1)] > = [ 1 /(X+1).(Y+1).(Z+1) ] ^ (1/3) (II) Adicionando-se, (I) e (II), membro a membro, obtm-se: 1> = [ 1 + ( X.Y.Z) ^ (1/3) ] / [ [(X+1).(Y+1).(Z+1)] ^ (1/3) ] Fazendo X = 1/x , Y = 1/y e Z = 1/z , com x + y +z = 1, na desigualde acima, resulta [ (1+1/x).(1+1/y).(1+1/z) ] ^ (1/3)>= 1+ [ 1/(x.y.z) ^ (1/3) ] (III) Por outro lado, decorre de (*), que 1 / [(x.y.z) ^ (1/3) ] > = 1 / [(x+y+z) / 3] = 3 Portanto, podemos escrever de (III) que: [(1+1/x).(1+1/y).(1+1/z)] ^ (1/3) > = 1+ 3 = 4, ou melhor ainda, [(1+1/x).(1+1/y).(1+1/z)] > = 4^3 = 64 PONCE
desigualdade
olá pessoal! Alguém poderia resolver a seguinte desigualdade pra mim (1 + 1/x)(1 + 1/y)(1 + 1/z) = 64 sendo x + y + z = 1, e x, y e z reais positivos. Obrigado abraços Marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
ajuda-desigualdade
Lopes e Wagner grato pelos comentrios. Um quadriltero tem um vrtice em cada lado de um quadrado unitrio. Mostre que os comprimentos a,b,c e d do quadriltero satisfazem as desigualdades: 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 4 .
Re: ajuda-desigualdade
Um quadrilátero tem um vértice em cada lado de um quadrado unitário. Mostre que os comprimentos a,b,c e d do quadrilátero satisfazem as desigualdades: 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 4 . Basta usar o teorema de pitagoras ( 4 vezes). manuel
Re: uma desigualdade!
1) No livro The Art of Computer Programming Vol 1, de D. Knuth,
temos o seguinte resultado:
Um limite superior para a soma S = 1/i^r, i=1,2,...n com r1 e real é dado
por 2^{r-1}/(2^{r-1}-1). Colocando r=3, obtemos S 4/33/2.
Essa desigualdade é muito boa! Você tem uma demonstração?
Não, não tenho. A afirmação é dada como um exercício. Você pode encontrar
esse livro numa biblioteca. Outro que é muito bom e que fala disso também
(mas não tenho certeza desse exercício em particular) é o "Matemática
Concreta" de Graham, R.L., Knuth, D.E. e Patashnik, O., Livros Técnicos e
Científicos Editora, Rio de Janeiro, 1995.
[ ]'s
Luís Lopes
Re: uma desigualdade!
Saudações a todos,
Para que saibamos do que vou falar, copio a mensagem recebida:
On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300
Bruno Leite [EMAIL PROTECTED] wrote:
At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote:
Caros amigos, como posso verificar a desigualdade
1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2 para todo
n natural ?
Um esbo=E7o de solu=E7=E3o:
Provar por indu=E7=E3o que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+
1/n^3 3/2(1-1/n)
para n1
Ent=E3o quando n-infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+
1/n^33/2
A s=E9rie 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 =E9 crescente,
limitada
superiormente e tem um limite que =E9 menor que 3/2.
Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 +
...+ 1/n^3 3/2.
Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3
1.202057
Abra=E7o
Bruno Leite
1) No livro The Art of Computer Programming Vol 1, de D. Knuth,
temos o seguinte resultado:
Um limite superior para a soma S = 1/i^r, i=1,2,...n com r1 e real é dado
por 2^{r-1}/(2^{r-1}-1). Colocando r=3, obtemos S 4/33/2.
2) Gostaria de ter mais detalhes para a prova por indução.
3) Como achar o limite superior 1.202057 ?
[]s
Luís Lopes
Re: uma desigualdade!
... 3) Como achar o limite superior 1.202057 ? Você pode ver http://www.lacim.uqam.ca/piDATA/Zeta3.txt Eu não sei como achar esse limite com papel e caneta. Quero dizer, não sei se realmente temos que fazer muitas contas ou se alguma boa idéia nos leva rapidamente ao resultado. []s Luís Lopes
Re: uma desigualdade!
Carissimo Bruno, Antes de mais nada, registro minha alegria em "reve-lo virtualmente". Saudacoes ! Parece que aqui na lista temos a oportunidade de consquistar nao so conhecimentos, mas, tambem, amigos ! Esta serie e, de fato, interessantissima ... Ela guarda um evidente parentesco - ao menos quanto a forma - com a serie dos inversos dos quadrados 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... Tio Euler pode somar esta serie, mas, a dos inversos dos cubos, nao. E digno de nota que tanto Bernoulli quanto Leibniz tentaram, sem sucesso, obter o mesmo resultado. Posteriormente Tio Euler generalizou para uma potencia par qualquer. Voce sabe como ele concluiu que 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... = ((pi)^2)/6 ? Nao ? Observando o desenvolvimento em serie de Taylor do seno(x). Como seno(x)=0 = x=k*(pi), K inteiro, Euler concluiu que o desenvolvimento em serie de seno(x) era um polinomio infinito que obedecia as relacoes de girard entre os coeficientes e as raizes de uma equacao(valido para um polinomio finito ). Dai aplicou estas relacoes para encontrar a soma dos inversos dos quadrados das raizes (infinitas) do polinomio infinito. Genial, nao ? Mas, conforme falei, Tio Euler nao teve sucesso ( e nenhum outro matematico depois dele, ate hoje - pelo que sei ) com a soma dos inversos dos cubos. Por que ? Bom, "pi" aparece com muitas caras. Em particular aparece tal como Gregori o viu: pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... Por outro lado, qualquer quadrado pode ser expresso como uma soma de numeros impares, a saber: N^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*N - 1) E portanto podemos expressar o resultado de Euler como: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...=(1/6)*(1 - 1/3 + 1/5 - ...)*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... ) Ocorre que se (a1, a2, a3, ... ) e uma progressao harmonica, entao, sempre, (a1 - a2 + a3 - a4 + ...) e uma serie convergente e a soma dos inversos dos quadrados e da masma natureza que a soma dos numeros triangulares. Esta series formam um triangulo aritmetico. On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300 Bruno Leite [EMAIL PROTECTED] wrote: At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: Caros amigos, como posso verificar a desigualdade 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2 para todo n natural ? Um esboço de solução: Provar por indução que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2(1-1/n) para n1 Então quando n-infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^33/2 A série 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 é crescente, limitada superiormente e tem um limite que é menor que 3/2. Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2. Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 1.202057 Abraço Bruno Leite Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: uma desigualdade!
Paulo Santa Rita wrote: Carissimo Bruno, Antes de mais nada, registro minha alegria em "reve-lo virtualmente". Saudacoes ! Parece que aqui na lista temos a oportunidade de consquistar nao so conhecimentos, mas, tambem, amigos ! Esta serie e, de fato, interessantissima ... Ela guarda um evidente parentesco - ao menos quanto a forma - com a serie dos inversos dos quadrados 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... Tio Euler pode somar esta serie, mas, a dos inversos dos cubos, nao. E digno de nota que tanto Bernoulli quanto Leibniz tentaram, sem sucesso, obter o mesmo resultado. Posteriormente Tio Euler generalizou para uma potencia par qualquer. Voce sabe como ele concluiu que 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... = ((pi)^2)/6 ? Nao ? Observando o desenvolvimento em serie de Taylor do seno(x). Como seno(x)=0 = x=k*(pi), K inteiro, Euler concluiu que o desenvolvimento em serie de seno(x) era um polinomio infinito que obedecia as relacoes de girard entre os coeficientes e as raizes de uma equacao(valido para um polinomio finito ). Dai aplicou estas relacoes para encontrar a soma dos inversos dos quadrados das raizes (infinitas) do polinomio infinito. Genial, nao ? Mas, conforme falei, Tio Euler nao teve sucesso ( e nenhum outro matematico depois dele, ate hoje - pelo que sei ) com a soma dos inversos dos cubos. Por que ? Bom, "pi" aparece com muitas caras. Em particular aparece tal como Gregori o viu: pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... Por outro lado, qualquer quadrado pode ser expresso como uma soma de numeros impares, a saber: N^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*N - 1) E portanto podemos expressar o resultado de Euler como: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...=(1/6)*(1 - 1/3 + 1/5 - ...)*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... ) Ocorre que se (a1, a2, a3, ... ) e uma progressao harmonica, entao, sempre, (a1 - a2 + a3 - a4 + ...) e uma serie convergente e a soma dos inversos dos quadrados e da masma natureza que a soma dos numeros triangulares. Esta series formam um triangulo aritmetico. On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300 Bruno Leite [EMAIL PROTECTED] wrote: At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: Caros amigos, como posso verificar a desigualdade 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2 para todo n natural ? Um esboço de solução: Provar por indução que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2(1-1/n) para n1 Então quando n-infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^33/2 A série 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 é crescente, limitada superiormente e tem um limite que é menor que 3/2. Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2. Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 1.202057 Abraço Bruno Leite Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ Houve uma pequena distração. Leia-se série de Fourier onde está série de Taylor. Morgado
uma desigualdade!
Caros amigos, como posso verificar a desigualdade 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2 para todo n natural ? Um abraço , Carlos A Gomes.
Re: uma desigualdade!
Este problema pode ser resolvido de modo analogo ao da hiperbole: A soma 1/2^3 + 1/3^3 + ... + 1/n^3 eh a soma das areas dos retangulos inscritos sob a curva y=1/x^3, de 1 ateh n, para a particao: 123...n. Entao, ela eh menor que a integral de 1/x^3 dx de 1 a n, a qual eh: 1/2 - 1/2n^2 1/2. Somando 1 a ambos os lados, a soma he menor que 3/2. JP -Mensagem original- De: Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 9 de Julho de 2000 22:14 Assunto: uma desigualdade! Caros amigos, como posso verificar a desigualdade 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2 para todo n natural ? Um abraço , Carlos A Gomes.
uma desigualdade
Caros amigos, como posso verificar a desigualdade 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 +...+ 1/n^3 3/2 para todo n natural ? Um abraço , Carlos A Gomes.
