Re: Duas =?x-user-defined?q?quest=F5ezinhas=21=21=21?=
Bonitas questoes. A primeira (com outros numeros) caiu num vestibular da UERJ e nao houve 50 candidatos que conseguissem resolve-la. Via Lux wrote: > > Olá pessoal, > > Aí vão duas questões que deixam muitos alunos confusos... > > E vcs que dizem? > > 1) Numa pesquisa sobre o consumo dos produtos A, B e C, obteve-se o seguinte > resultado: 68% dos entrevistados consomem A, 56% consomem B, 66% consomem C > e 15% não consomem nenhum dos produtos. Qual a porcentagem mínima de > entrevistados que consomem A,B e C? > > 2) Considerando que em uma festa há 15 pessoas, não podemos afirmar que: > > a)pelo menos duas nasceram no mesmo mês do ano. > > b)pelo menos três nasceram no mesmo dia da semana > > c)se uma das pessoas conhece as demais então existem pelo menos duas com o > mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco) > > d)se uma pessoa não conhece ninguém então pode não existirem duas pessoas > com o mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco) > > e) a diferença de idade "em anos" de duas delasé um múltiplo de 14 > > Lembranças a todos, > > Fui! > > Luciano M. Filho
Re: Parte Inteira
Experimente abrir em casos, conforme x/2 esteja entre um inteiro e ele mais 0,5 ou entre um inteiro e um inteiro mais 0,5. > Rodrigo Villard Milet wrote: > > Uma vez eu vi algo muito intuitivo sobre a parte inteira de um n?mero > [x]. ? o seguinte : > [x/2] + [(x+1)/2] = [x] > Como se prova isso ?? Algu?m me ajuda ?? N?o sei se ? f?cil ou n?o, > mas eu n?o estou conseguindo provar. > Abra?os, > ? Villard !
RE: 3^x=5
Jorge Peixoto Morais wrote: > Como eh um absurdo que uma potencia inteira de 3 seja tambem uma > potencia inteira de 5, chegamos a uma contradicao... Poderia explicar melhor este "absurdo"? Luiz
Re: quadrado
Olá Marcelo, Vai abaixo uma possível solução para o seu problema. Sugiro que faça uma figura e acompanhe a solução abaixo. (Envio a você uma solução mais detalhada e com figura) Uma possível solução Seja P a intersecção das retas suportes dos lados ND e AM. Do enunciado, tem-se que os triângulos MBA e NDC são congruentes. Assim,da construção do ponto P e do enunciado, decorre a congruência de ângulos abaixo : PAD = MBA = NDC e PDA = MAB = NCD Mas, como AD = AB = 1,segue-se desta congruência que os triângulos PAD e MBA são também congruentes (ALA), conseqüentemente, o ângulo APD é reto , MA = DP e BM = AP. Nestas condições, o triângulo MPN é isósceles e retângulo em P , com MP = MA + AP = a + b = DP + ND = NP. Portanto, MN = (a+b)sqrt(2) . De seu amigo, PONCE Marcelo Souza wrote: Olá pessoal! Alguém poderia resolver o seguinte problema para mim. -Num quadrado ABCD de lado 1. Pelo lado AB, constroi-se (externamente) um triangulo retângulo ABM, tal que AM = a e BM=b. No lado oposto a AB, constroi-se (também externamente), o triagulo retangulo CND, tal que CN=a, ND=b. Calcule MN em função de a e b. Obirgado abraços Marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: Parte Inteira
Augusto Morgado wrote: > > Experimente abrir em casos, conforme x/2 esteja entre um inteiro e ele > mais 0,5 ou entre um inteiro e um inteiro mais(ERA MENOS< DROGA) 0,5. > > > Rodrigo Villard Milet wrote: > > > > Uma vez eu vi algo muito intuitivo sobre a parte inteira de um n?mero > > [x]. ? o seguinte : > > [x/2] + [(x+1)/2] = [x] > > Como se prova isso ?? Algu?m me ajuda ?? N?o sei se ? f?cil ou n?o, > > mas eu n?o estou conseguindo provar. > > Abra?os, > > ? Villard !
Eureka
Qual a verdadeira Agencia para depositar: 1564-4 ou 0598-3?? uma ta na internet outra na eureka 6
Matemática do Xadrez
Olá! Alguém poderia me indicar ou um livro ou um site (com algum artigo) que dissertasse sobre a Matemática do Xadrez? obrigado abraços marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: Eureka
1564-4. Eh a mesma agencia, o Banco do Brasil adora trocar os numeros de suas agencias. Morgado Carlos Stein Naves de Brito wrote: > > Qual a verdadeira Agencia para depositar: > 1564-4 ou 0598-3?? uma ta na internet outra na eureka 6
Re: Eureka
Essa eu sei responder porque eu tenho conta nessa agência... A agência do banco do Brasil que tem todas as contas do IMPA mudou há pouco tempo de 0598-3 para 1564-4; assim, o número correto é, agora, 1564-4 (Agência Ataulfo de Paiva, eu acho). Abraço, Ralph Carlos Stein Naves de Brito wrote: > > Qual a verdadeira Agencia para depositar: > 1564-4 ou 0598-3?? uma ta na internet outra na eureka 6
RE: 3^x=5
On Wed, 15 Nov 2000 [EMAIL PROTECTED] wrote: > Jorge Peixoto Morais wrote: > > > Como eh um absurdo que uma potencia inteira de 3 seja tambem uma > > potencia inteira de 5, chegamos a uma contradicao... > > Poderia explicar melhor este "absurdo"? > Luiz > Me metendo na conversa alheia... Se 3^a = 5^b onde a e b são inteiros positivos, isto contradiz o teorema fundamental da aritmética, que diz que um inteiro positivo admite fatoração única em primos. Se você não desejar usar este teorema tão forte, observe que toda potência de 5 termina em 5 (pois é ímpar e múltipla de 5) ao passo que as potências de 3 teminam com 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, ... []s, N.
Re: 3^x=5
ambos sao primos. Rodrigo [EMAIL PROTECTED] wrote: > Jorge Peixoto Morais wrote: > > > Como eh um absurdo que uma potencia inteira de 3 seja tambem uma > > potencia inteira de 5, chegamos a uma contradicao... > > Poderia explicar melhor este "absurdo"? > Luiz
Re: Matemática do Xadrez
On Wed, 15 Nov 2000, Marcelo Souza wrote: > Olá! > Alguém poderia me indicar ou um livro ou um site (com algum artigo) que > dissertasse sobre a Matemática do Xadrez? > obrigado > abraços > marcelo Provavelmente não é isso que você está perguntando, mas Raymond Smullyan, lógico profissional, mágico, autor de vários livros de problemas de lógica e matemática, autor da frase "superstição dá azar" (citada no pêndulo de Foucault) tem um livro com título "Chess mysteries of Sherlock Holmes" com problemas de xadrez reverso. Acho que um exemplo explica o que é um problema de xadrez reverso. Considere a posição abaixo: B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R onde R é o rei branco, r o rei preto e B um bispo branco. Pergunta-se: de quem foi e qual foi a última jogada? (A posição pode parecer impossível, mas pense com cuidado!) []s, N.
Numeros transcedentes
* Como se prova que x eh transcedente, se a^x=b, sendo que a e b sao inteiros e b nao e potencia inteira de a? * Um polinomio de coeficientes irracionais algebricos pode ter um transcedente como raiz?
Re: 3^x=5
Claro que posso. Vou ser bem passo-a-passo. Olhe: se 3^x=5, e x é igual a p/q, entao 3^(p/q)=5. Vou elevar os dois membros a q: 3^[(p/q)q]=5^q. Cancelando os "q"s no expoente de 3, temos: 3^p=5^q. Mas lembre-se de que, se um número é racional, é resultado da divisão de dois inteiros; e x deve ser maior que zero, pois x<0 => 3^x<3<5, ou seja, 3^x não é igual a 5 se x<0. Então podemos admitir que os dois inteiros sao positivos (pois x eh positivo). E isso eh um absurdo: 3 elevado a um inteiro positivo soh tem fatores iguais a 3 (por exemplo, 3^3 =3x3x3) e 5 elevado a um inteiro numero positivo soh tem fatores iguais a 5 (por exemplo: 5^4=5x5x5x5). Entao como 3^p e 5^q podem ser iguais? A resposta eh: não podem. Entao, algo no raciocinio deve estar errado. Como fiz tudo rigorosamente certo desde que admiti que x=p/q, p e q inteiros, o erro soh pode estar nisso: p e q serem inteiros. Ou seja: x nao eh racional pois nao pode ser colocado como divisao de inteiros. PS: A minha intuicao masculina me diz que x tambem deve ser trascedente, mas eu nao consigo provar (numero transcedente eh um numero que nao pode ser a raiz de um polinomio de coeficientes racionais - por exemplo, raiz de 3 nao eh transcedente porque x^2 -3 = 0 tem 3 como raiz, mas pi eh transcedente porque nehuma equacao de coeficientes racionais pode ter pi como raiz).
Re: Numeros transcedentes
On Wed, 15 Nov 2000, Jorge Peixoto Morais wrote: > * Como se prova que x eh transcedente, se a^x=b, sendo que a e b sao inteiros > e b nao e potencia inteira de a? Isto eh um teorema classico e dificil. > * Um polinomio de coeficientes irracionais > algebricos pode ter um transcedente como raiz? > N~ao.
Re:_Matemática_do_Xadrez
Concordo...esta configuração é realmente enganadora, já q pensariam q o rei preto não pode se "suicidar" e q o bispo branco não poderia chegar até aquela posição sem estar previamente dando cheque no rei preto. É...mas quem disse q bispo branco estava lá? Está provado q o último movimento não pode ter sido do rei preto (ou seja, do jogador preto, já q ele só tem o rei). Então, creio q a única solução seja q havia um peão branco na casa A7 (logo abaixo da posição atual do bispo). No q ele se move pra cima, o jogador tem a opção de trocar o peão por qualquer peça q seja, daí a "aparição" do bispo. No entanto, fazer um mate agora seria tão mais dificultoso...pq ele não escolheu logo a rainha? Tsc tsc... Vik > B . . . . . . . > . . . . . . . . > . . . . . . . . > . . . r . . . . > . . . . . . . . > . . . . . . . . > . . . . . . . . > . . . . . . . R > > onde R é o rei branco, r o rei preto e B um bispo > branco. > Pergunta-se: de quem foi e qual foi a última jogada? = "Meu Deus, protegei-me de meus amigos! Dos meus inimigos eu me encarregarei." Voltaire __ Do You Yahoo!? Yahoo! Calendar - Get organized for the holidays! http://calendar.yahoo.com/
Re:_Matemática_do_Xadrez
Concordo...esta configuração é realmente enganadora, já q pensariam q o rei preto não pode se "suicidar" e q o bispo branco não poderia chegar até aquela posição sem estar previamente dando cheque no rei preto. É...mas quem disse q bispo branco estava lá? Está provado q o último movimento não pode ter sido do rei preto (ou seja, do jogador preto, já q ele só tem o rei). Então, creio q a única solução seja q havia um peão branco na casa A7 (logo abaixo da posição atual do bispo). No q ele se move pra cima, o jogador tem a opção de trocar o peão por qualquer peça q seja, daí a "aparição" do bispo. No entanto, fazer um mate agora seria tão mais dificultoso...pq ele não escolheu logo a rainha? Tsc tsc... Vik > B . . . . . . . > . . . . . . . . > . . . . . . . . > . . . r . . . . > . . . . . . . . > . . . . . . . . > . . . . . . . . > . . . . . . . R > > onde R é o rei branco, r o rei preto e B um bispo > branco. > Pergunta-se: de quem foi e qual foi a última jogada? = "Meu Deus, protegei-me de meus amigos! Dos meus inimigos eu me encarregarei." Voltaire __ Do You Yahoo!? Yahoo! Calendar - Get organized for the holidays! http://calendar.yahoo.com/
RES: Equação em inteiros !!!
n=15 e n=16. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Rodrigo Villard Milet Enviada em: terça-feira, 14 de novembro de 2000 23:45 Para: Obm Assunto: Equação em inteiros !!! Problema : Seja a equação x # 2y # 2z = n. Determinar os únicos dois valores de n, para os quais a equação tenha 28 soluções inteiras positivas.
RES: Equação em inteiros !!!
supondo n par, ficamos com a equacao x+2y+2z=2n'. logo x deve ser par, por exemplo x=2t. Fica-se entao com o problema de resolver a equacao: t+y+z=n' nos inteiros positivos, ou (a+1)+(b+1)+(c+1)=n' ou a+b+c=n'-3 nos inteiros nao negativos, i.e., temos binomial(3+n'-3-1, n'-3)= bin(n'-1, n'-3) = (n'-1)(n'-2)/2 solucoes. Ou seja, se n eh par a resposta eh (n/2 - 1)(n/2 -2)/2 e portanto teremos 28 solucoes quando n=16. Agora, se n for impar, temos por exemplo n=2n'-1, logo x+2y+2z=2n'-1. segue que x eh impar donde x=2t-1 e entao t+y+z=n' com t,y,z inteiros positivos. (obs: eh importante fazer x=2t MENOS 1 para garantir que ele pode ser qualquer inteiro positivo). Logo, Se para n=16 temos 28 solucoes, o mesmo deve acontecer para n=15 (é o caso n'=8). Marcio -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Marcio Enviada em: terça-feira, 14 de novembro de 2000 18:57 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: RES: Equação em inteiros !!! n=15 e n=16. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Rodrigo Villard Milet Enviada em: terça-feira, 14 de novembro de 2000 23:45 Para: Obm Assunto: Equação em inteiros !!! Problema : Seja a equação x # 2y # 2z = n. Determinar os únicos dois valores de n, para os quais a equação tenha 28 soluções inteiras positivas.
Fatorial
Alguém sabe de uma demonstração ou de um contra-exemplo para: Supondo p um primo (p >= 2), p divide ( (p-1)! + 1 ) ?? Bernardo http://www.pele.net - Confira as últimas notícias do futebol no site oficial do Pelé
desigualdade
olá pessoal! Alguém poderia resolver a seguinte desigualdade pra mim (1 + 1/x)(1 + 1/y)(1 + 1/z) >= 64 sendo x + y + z = 1, e x, y e z reais positivos. Obrigado abraços Marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: Fatorial
Este é o Teorema de Wilson e com certeza já foi comentado na lista dê uma procurada se ninguém mandar nada, eu mando a resolução. Abraços, ¡ Villard ! -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Quarta-feira, 15 de Novembro de 2000 21:25 Assunto: Fatorial >Alguém sabe de uma demonstração ou de um contra-exemplo para: > >Supondo p um primo (p >= 2), p divide ( (p-1)! + 1 ) ?? > >Bernardo > > > >___ _ >http://www.pele.net - Confira as últimas notícias do futebol no site oficial >do Pelé > > > >
Sobre sua solucao(brilhante) de um problema da Cone Sul
Eu estava vendo as melhores solucoes para problemas da Cone Sul (parabens pela prata) e, na sua solucao, nao conseguia imaginar de onde voce tirou a ideia de fazer k=5q +1. Fiquei com a impressão de que voce "tirou um coelho da cartola"; na solucao do Humberto(O Terrível) para aqueles numeros divisiveis pelo produto dos digitos, entao... Eh essa a minha duvida: de onde voces (os deuses) tiram essas ideias? Quando eu tento resolver esses problemas, nada me vem à cabeça... Ps: Bem-vindo ao Mega! (eu vou estar no 1º ano em 2001; se voce se lembra, eu sou aquele cara de 1,90m ao lado do Xavier no coquetel da Olimpiada Goiana (e parabens pelo ouro))
Re: _Matemática_do_Xadrez
na verdade, seria impossível, já que não existe nenhum mate de Rei x Rei e Bispo... (prove isto!) Biscoito wrote: > Concordo...esta configuração é realmente enganadora, > já q pensariam q o rei preto não pode se "suicidar" e > q o bispo branco não poderia chegar até aquela posição > sem estar previamente dando cheque no rei preto. > É...mas quem disse q bispo branco estava lá? Está > provado q o último movimento não pode ter sido do rei > preto (ou seja, do jogador preto, já q ele só tem o > rei). Então, creio q a única solução seja q havia um > peão branco na casa A7 (logo abaixo da posição atual > do bispo). No q ele se move pra cima, o jogador tem a > opção de trocar o peão por qualquer peça q seja, daí a > "aparição" do bispo. No entanto, fazer um mate agora > seria tão mais dificultoso...pq ele não escolheu logo > a rainha? Tsc tsc... > > Vik > > > B . . . . . . . > > . . . . . . . . > > . . . . . . . . > > . . . r . . . . > > . . . . . . . . > > . . . . . . . . > > . . . . . . . . > > . . . . . . . R > > > > onde R é o rei branco, r o rei preto e B um bispo > > branco. > > Pergunta-se: de quem foi e qual foi a última jogada? > > = > "Meu Deus, protegei-me de meus amigos! > Dos meus inimigos eu me encarregarei." > > Voltaire > > __ > Do You Yahoo!? > Yahoo! Calendar - Get organized for the holidays! > http://calendar.yahoo.com/
Foi mal...
Eu acho que voces ja perceberam que a mensagem que eu mandei para a lista deveria ser mandada para o Carlos Stein... Mas que vergonha... ;( Ps. Nao a leiam! EH assunto privado!
Re: _Matemática_do_Xadrez
concordo plenamente com a sua resolução, mas devo acrescentar que quem fez o ultimo lance foi as brancas(como ele falou, peão em a8=B), sendo impossivel o lance ser das pretas, pois o rei não pode se colocar em xeque...mas acrescentando, a posisão se faz empate por falta de material, sendo impossivel mate de Rei e bispo ou 2 cavalos contra Rei..e lembrando a pergunta: de quem foi e qual foi a última jogada? e não se é possivel ou não dar xeque mate. !! Sandoval de Almeida e Silva !! - Original Message - From: "sidd" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, November 15, 2000 10:24 PM Subject: Re: _Matemática_do_Xadrez na verdade, seria impossível, já que não existe nenhum mate de Rei x Rei e Bispo... (prove isto!) Biscoito wrote: > Concordo...esta configuração é realmente enganadora, > já q pensariam q o rei preto não pode se "suicidar" e > q o bispo branco não poderia chegar até aquela posição > sem estar previamente dando cheque no rei preto. > É...mas quem disse q bispo branco estava lá? Está > provado q o último movimento não pode ter sido do rei > preto (ou seja, do jogador preto, já q ele só tem o > rei). Então, creio q a única solução seja q havia um > peão branco na casa A7 (logo abaixo da posição atual > do bispo). No q ele se move pra cima, o jogador tem a > opção de trocar o peão por qualquer peça q seja, daí a > "aparição" do bispo. No entanto, fazer um mate agora > seria tão mais dificultoso...pq ele não escolheu logo > a rainha? Tsc tsc... > > Vik > > > B . . . . . . . > > . . . . . . . . > > . . . . . . . . > > . . . r . . . . > > . . . . . . . . > > . . . . . . . . > > . . . . . . . . > > . . . . . . . R > > > > onde R é o rei branco, r o rei preto e B um bispo > > branco. > > Pergunta-se: de quem foi e qual foi a última jogada? > > = > "Meu Deus, protegei-me de meus amigos! > Dos meus inimigos eu me encarregarei." > > Voltaire > > __ > Do You Yahoo!? > Yahoo! Calendar - Get organized for the holidays! > http://calendar.yahoo.com/
Re: RES: Equação em inteiros !!!
Nao deu 16 e 17 nao? se a parte inteira de n/2 é k n pode ser 2(2) + n-4, ou 2(3) + n-6, ... , 2(k) +1ou0 onde entre parenteses esta y+z, e fora esta x. se entre praenteses esta j, entao há j-1 jeitos de fazer y+z, logo ha tantos jeitos: 1+2+3+...+k-1. que deve ser 28. como se acha k=8, entao n pode ser 16 ou 17 para n/2 ser 8. > From: "Marcio" <[EMAIL PROTECTED]> > Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > Date: Tue, 14 Nov 2000 20:14:38 -0200 > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Subject: RES: Equação em inteiros !!! > > supondo n par, ficamos com a equacao x+2y+2z=2n'. > logo x deve ser par, por exemplo x=2t. Fica-se entao com o problema de > resolver a equacao: > t+y+z=n' nos inteiros positivos, ou > (a+1)+(b+1)+(c+1)=n' ou a+b+c=n'-3 nos inteiros nao negativos, i.e., > temos binomial(3+n'-3-1, n'-3)= bin(n'-1, n'-3) = (n'-1)(n'-2)/2 solucoes. > Ou seja, se n eh par a resposta eh (n/2 - 1)(n/2 -2)/2 e portanto teremos 28 > solucoes quando n=16. > > Agora, se n for impar, temos por exemplo n=2n'-1, logo > x+2y+2z=2n'-1. segue que x eh impar donde x=2t-1 e entao t+y+z=n' com t,y,z > inteiros positivos. (obs: eh importante fazer x=2t MENOS 1 para garantir que > ele pode ser qualquer inteiro positivo). > > Logo, Se para n=16 temos 28 solucoes, o mesmo deve acontecer para n=15 (é o > caso n'=8). > > Marcio > > -Mensagem original- > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em > nome de Marcio > Enviada em: terça-feira, 14 de novembro de 2000 18:57 > Para: [EMAIL PROTECTED] > Assunto: RES: Equação em inteiros !!! > > > n=15 e n=16. > > -Mensagem original- > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de > Rodrigo Villard Milet > Enviada em: terça-feira, 14 de novembro de 2000 23:45 > Para: Obm > Assunto: Equação em inteiros !!! > > > Problema : Seja a equação x # 2y # 2z = n. Determinar os únicos dois valores > de n, para os quais a equação tenha 28 soluções inteiras positivas. >
Re: Duas questõezinhas!!!
Resolvendo as questoes 1 e 2 ,ou tentando :-) ... 1) Sejam: a = percentagem de entrevistados que consomem A, mas nao consomem nem B nem C b = percentagem de entrevistados que consomem B, mas nao consomem nem A nem C c = percentagem de entrevistados que consomem C, mas nao consomem nem A nem B m = percentagem de entrevistados que consomem A e B, mas nao consomem C n = percentagem de entrevistados que consomem B e C, mas nao consomem A p = percentagem de entrevistados que consomem A e C, mas nao consomem B x = percentagem de entrevistados que consomem A, B e C A percentagem de entrevistados que consomem algo é 85%, logo: a + b + c + m + n + p + x = 85 (I) Por outro lado, se tomarmos que 32% não consomem A, 44% não consomem B e 34% não consomem C, temos: b + c + n + 15 = 32 (32% não consomem A) a + b + m + 15 = 34 (34% não consomem C) a + c + p + 15 = 44 (44% não consomem B) Somando as três equacoes, temos: 2a + 2b + 2c + m + n + p = 65 (II) Fazendo (I - II), vem: x - (a + b + c) = 20, ou: x = 20 + (a+b+c) x será mínimo quando (a+b+c) = 0, ou seja, em tal caso, x = 20% Basta verificar se é possível que haja a = b = c = (a+b+c) = 0 Isso é possível, resultando em m = 29%, n = 27% e p = 39% Logo, a porcentagem mínima de entrevistados que consomem A, B e C é de 20%. 2) Resposta: d. a) Pelo princípio de Dirichlet, vemos q essa afirmaçao é verdadeira (15 > 1 x 12) . b) Pelo princípio de Dirichlet, vemos q essa afirmaçao também é verdadeira ( 15 > 2 x 7). e) Sejam as pessoas (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O) Imagine que a idade da pessoa A seja igual a 14a + a', a idade da pessoa B seja igual a 14b + b' e assim sucessivamente, até que a idade da pessoa O seja igual a 14o + o'. Todo Y' deve obedecer 0 <= y' <= 13 Ora, há 14 y' possíveis e 15 pessoas. Logo, há pelo menos duas pessoas q possuam o mesmo y'. Sem perda de generalidade, seja a' = b'. A diferenca de idade de A e B será: 14a + a' - 14b - b' =14a - 14b + a' - a' = 14 (a - b) , q é um múltiplo de 14. Logo, esta afirmativa também é verdadeira. c) Seja y o número de pessoas q a pessoa Y conhece, e sejam as pessoas (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O). Sem perda de generalidade, seja a = 14, pelo enunciado. Ora, nenhuma das outras pessoas pode conhecer ZERO pessoas, visto q A conhece todas (reciprocidade mencionada). Caso i) Alguma das outras pessoas (q nao A) conhece 14 pessoas. Isto torna a afirmativa c verdadeira. Caso ii) Nenhuma das outras pessoas (q nao A) conhece 14 pessoas. Assim, há 13 "y" possíveis (1 <= y <= 13) para 14 pessoas, o q faz com q pelo menos 2 pessoas conhecam o mesmo número de pessoas. Logo, a afirmativa c é verdadeira. d) Seja y o número de pessoas q a pessoa Y conhece, e sejam as pessoas (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O). Sem perda de generalidade, seja a = 0 (pelo enunciado) Neste caso, visto q A nao conhece nenhuma pessoa, nenhuma das outras pessoas pode conhecer 14 pessoas (reciprocidade mencionada). Caso i) Alguma das outras pessoas (q nao A) conhece ZERO pessoas. Isto torna a afirmativa d falsa. Caso ii) Cada uma das outras pessoas (q nao A) conhece mais de uma pessoa. Assim, há 13 "y"s possíveis (1<= y <= 13) para 14 pessoas, o q faz com q pelo menos 2 pessoas conhecam o mesmo número de pessoas. Isto torna a afirmativa d FALSA. UFA, espero ter ajudado. []'s , Alexandre Terezan. - Original Message - From: "Augusto Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Quarta-feira, 15 de Novembro de 2000 09:12 Subject: Re: Duas questõezinhas!!! Bonitas questoes. A primeira (com outros numeros) caiu num vestibular daUERJ e nao houve 50 candidatos que conseguissem resolve-la.Via Lux wrote:> > Olá pessoal,> > Aí vão duas questões que deixam muitos alunos confusos...> > E vcs que dizem?> > 1) Numa pesquisa sobre o consumo dos produtos A, B e C, obteve-se o seguinte> resultado: 68% dos entrevistados consomem A, 56% consomem B, 66% consomem C> e 15% não consomem nenhum dos produtos. Qual a porcentagem mínima de> entrevistados que consomem A,B e C?> > 2) Considerando que em uma festa há 15 pessoas, não podemos afirmar que:> > a)pelo menos duas nasceram no mesmo mês do ano.> > b)pelo menos três nasceram no mesmo dia da semana> > c)se uma das pessoas conhece as demais então existem pelo menos duas com o> mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco)> > d)se uma pessoa não conhece ninguém então pode não existirem duas pessoas> com o mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco)> > e) a diferença de idade "em anos" de duas delasé um múltiplo de 14> > Lembranças a todos,> > Fui!> > Luciano M. Filho
