duvidas crueis ...
Hj me levaram um problema pra sala de aula e disseram q está na revista Eureka.. o problema eh assim: Seja N um número tal que d(2N^2) = 28 e d(3N^2) =30 determine d(6N^2) onde d(X) = número de divisres de X. Eu resolvi assim: Seja N = 2^a * 3^b * 5^c * ... * p^k (onde p é um primo qualquer e a, b, c, ..., k são inteiros não negativos) Usando os dados escrevi que d(2N^2) = (2a +2)(2b+1)(2c+1)(2d+1)...(2k+1) = 28 d(6N^2) = (2a +2)(2b+2)(2c+1)(2d+1)...(2k+1) = (2a +2)(2b+2) * 28/[(2a+2)(2b+1)]= = (2b+2)/(2b+1)*28 = [ (2b+1)/(2b+1) + 1/(2b+1)] * 28 = 28 + 28/(2b+1). Como o numero de divisores eh inteiro, temos q a parcela 28/(2b+1) deve ser inteira e portanto conclui que 2b + 1 = 1 ou 2b + 1 = 7, ou seja d(6N^2) = 58 (para b = 0) ou d(6N^2) = 32 (para b = 3) repetindo esse raciocinio para d(3N^2) = 30, obtem-se interseção unica para d(6N^2) = 32 e portanto conclui q esse eh o numero procurado. A solução está correta? há solução mais formal? eu esqueci alguma propriedade importante? Agradeço desde já a atenção. []'s MP
Re: Intuicao na Geometria Analitica
Se s forma um angulo alfa com o eixo x e s forma um angulo beta com o memso eixo x, tem se q o angulo entre as duas retas eh dado por # = (alfa - beta) aplique tangente nos dois lados da igualdade e vc tera a formula q vc escreveu []'s MP - Original Message - From: Gustavo Martins To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, March 21, 2001 7:47 PM Subject: Intuicao na Geometria Analitica Considere os seguintes dados: mr = coeficiente angular da reta r; ms = coeficiente angular da reta s; mt = coeficiente angular do angulo agudo formado pelo encontro das retas r e s; # = angulo agudo formado pelo encontro das retas r e s; x indica multiplicação; tg# = |ms - mr/(1 + ms x mr)|. Como faco para concluir essa equacao intuitivamente? Ja consegui uma explicacao intuitiva sobre outras equações de Geometria Analitica, mas nao consigo fazer o mesmo com essa. Obrigado, Gustavo
Profissional da Matemática
Sou estudante que concluiu o ensino médio recentemente,moro em Sao Paulo e gostaria de obter algumas informações sobre o curso de Bach. em Matemática. Queria saber onde esse profissional atua, se eh possivel ele se associar com engenheiros, biologos, geologos, etc, e que opções de cursos de pós graduação são recomendáveis atualmente para o graduado. Outra dúvida: eh possível complementear o curso de bach. com o de licenciatura? Quais os beneficios? Agradeceria também se pudessem me informar sobre o curso de Matemática na USP. Obrigado e abraços, Flavio Daher. ___ http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde você está.
Re: Pares de Tangentes
Title: Re: Pares de Tangentes Prove que os 3 pares de tangentes externas comuns a 3 círculos, tomadas 2 a 2, cortam-se em 3 pontos colineares. Qualquer ajuda será bem vinda. Obrigado. Vamos ver um resumo da coisa. Uma homotetia de centro O e razao k (suponha k>0) eh uma transformacao que a cada ponto A associa o ponto A' na semi-reta OA tal que OA' = k.OA. Uma homotetia transforma uma figura F em uma figura F' semelhante a F. Em particular, uma homotetia transforma uma circunferencia em outra circunferencia . Dadas duas circunferencias, o ponto de intersecao das tangentes comuns externas eh o centro de homotetia (de razao positiva) que transforma uma na outra. Observe tambem que uma homotetia transforma uma reta em outra reta paralela ou coincidente. Imaginemos agora duas homotetias: a primeira de centro O1 e razao k1 e a segunda de centro O2 e razao k2. A composta dessas duas transformacoes eh uma homotetia de razao k1.k2 com centro O. Ocorre que os pontos O1, O2 e O sao colineares pelo seguinte. Seja r a reta que contem O1 e O2. A primeira homotetia naturalmente transforma r em r, e a segunda igualmente transforma r em r. Logo, se a composta transforma r em r devemos ter O pertencente a r. Como disse, isto eh apenas um resumo. Tudo deve ser demonstrado, e com bastante cuidado. Considere agora tres circunferencias A, B e C com raios diferentes. As tangentes comuns externas de A e B determinam o ponto O1, centro de homotetia que transforma A em B. As tangentes comuns externas de B e C determinam o ponto O2, centro de homotetia que transforma B em C. As tangentes comuns externas de A e C determinam o ponto O, centro de homotetia que transforma A em C, e que eh a composta das duas primeiras. Portanto, esses tres pontos sao colineares. Abraco, Wagner.
Intuicao na Geometria Analitica
Considere os seguintes dados: mr = coeficiente angular da reta r; ms = coeficiente angular da reta s; mt = coeficiente angular do angulo agudo formado pelo encontro das retas r e s; # = angulo agudo formado pelo encontro das retas r e s; x indica multiplicação; tg# = |ms - mr/(1 + ms x mr)|. Como faco para concluir essa equacao intuitivamente? Ja consegui uma explicacao intuitiva sobre outras equações de Geometria Analitica, mas nao consigo fazer o mesmo com essa. Obrigado, Gustavo
Re: Ajuda
Olhei a resolução do problema do Igor, mas não sei o que é mod. Alguem pode
me explicar?
Atenciosamente,
Gustavo
- Original Message -
From:
Rodrigo
Villard Milet
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, March 21, 2001 1:21
PM
Subject: Re: Ajuda
1) 2^n + 1 = 0 mod3 implica 2^n = -1mod3, logo (-1)^n = -1mod3, então n é
ímpar.
2) x^2 + 3x + 2 = (x+1)*(x+2). Note q esse número é sempre par, pois é
produto de dois consecutivos. Logo, basta achar os x, para os quais E =
(x+1)*(x+2) é múltiplo de 3. Para isso, calcule quantos são os x, para os
quais 3 não divide E, os seja, 3 divide x. De 0 a 25, há 9. Logo, há 26 - 9 =
17 x`s, para os quais 3 divide E, e por conseguinte, 6 divide
E.
¡ Villard
!
-Mensagem original-De:
Igor Castro <[EMAIL PROTECTED]>Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data:
Terça-feira, 20 de Março de 2001 22:14Assunto:
Ajuda
Caríssimos colegas, estou precisando de ajuda
nos seguintes problemas: (parecem simples)
1) Determine n natural para que 2^n + 1 seja
divisível por 3. (resolver algebricamente)
2) Se x pertence à {0,1,2,...,25), para quantos
valores de x, x^2 +3x +2 é múltiplo de 6?
Estava resolvendo esses problemas num capítulo
de divisibilidade e congruências, se puderem usar só o
conceito básicos dessas teorias,
agradeço.
Igor Castro
Re: 3^2+4^3+...+2001^2000
1) Chamemos a[k] = k^(k - 1). Vou provar que (a[0],a[1],...), tem um período modulo 24, ou seja, existe um P tal que a[k - P]=a[k] (mod 24), para qualquer k. Para isso: * Primeiro vemos que a[2k-1]=1(mod 8), e a[2k]=0(mod 8), se k e' inteiro maior que 1. Demonstraccao. A segunda afirmaccao é verdadeira, pois (2k)^(2k - 1) tem no minimo 2^(2k - 1), como divisor, ja que 2k-1 e' no minimo 4. Para a segunda afirmaccao dividamos os impares em 4q+1, e 4q+3, temos (4q+1)^(4q)=1(mod 8), pois para N impar N^4=1(mod 8) (teorema de Euler), no segundo caso (4q+3)^(4q+2)=(4q+3)^2(mod 8), mas 1^2=3^2=5^2=7^2(mod 8), de modo que sai (4q+3)^2=1(mod 8). * Depois vemos que a[6k+3]=a[6k]=0 (mod 3), a[6k+1],a[6k+2],a[6k+4]=1(mod 3), e a[6k+5]=2(mod 3). Demonstraccao. Se N e' multiplo de 3, N e suas potencias tambem sao. Se N nao e' multiplo de 3, N^2=1(mod 3), de modo que a[6k+2]=a[6k+4]=1(mod 3), pois sao pares 6k+2, e 6k+4. Finalmente (6k+1)^(6k+1)=(6k+1)=1(mod 3), e (6k-1)^(6k-1)=(-1)^1=2(mod 3). Pelo teorema chines dos restos (x , x)|->x, de Z/(m) x Z/(n) |-> Z(mn) e' uma bijeccao de modo que como a sequencia (a[3],a[4],...) tem periodo P=2 no modulo 8, e P=6 no modulo 3 (como demonstramos acima), a sequencia tem periodo P=6 no modulo 24, de modo que a[k-6]=a[k] (mod 24) para qualquer k. Calculo a[3], a[4], a[5], a[6], a[7], a[8] modulo 24, e tenho respectivamente 9,16,1,0,1,8. Logo a soma pedida a[3]+a[4]+...+a[2001] = (9+16+1+0+1+8)*333 + a[2001] (mod 24) = 15 + 9 = 24 = 0(mod 24), e esta demonstrado o item 1. Tá muito confuso! Tem jeito mais fácil? -Mensagem Original- De: [EMAIL PROTECTED] Para: Lista OBM Enviada em: Terça-feira, 20 de Março de 2001 02:41 Assunto: 3^2+4^3+...+2001^2000 Trouxe esta questão de outro fórum: Seja N = 3^2+4^3+...+2001^2000 = Sum(k^(k-1), k, 3, 2001) Quatro questões em ordem crescente de dificultade: a) Demonstrar que N é múltiplo de 24. b) Encontrar a máxima potência de 2 que divide N. c) Encontrar a máxima potência de 3 que divide N. d) Encontrar algum outro fator de N. Luiz
Re: Probabilidade
"Ter se perdido" e "ter se bronzeado" sao acontecimentos independentes. Portanto a probabilidade de um garoto bronzeado ter se perdido e' a mesma de um garoto qualquer ter se perdido: 5/15=1/3; e a probablidade de um garoto perdido ter se bronzeado e' a mesma de um garoto qualquer ter se bronzeado: 8/15. De: Robson Caros membros da lista, estou com este problema de probabilidade. Gostaria de uma mão, já que não sou muito bom com esses tipos de problema. 15 garotos saem para passear. 5 se perdem, 8 se bronzeiam e 6 retornam para casa sem problemas. Qual a probabilidade de que um garoto bronzeado tenha se perdido? Qual a probabilidade de que um garoto perdido tenha se bronzeado? Abraços, Eduardo
Re: Curiosidade.
Caros amigos da lista, Temos novo material referente as aulas da semana olimpica na nossa home-page. http://www.obm.org.br/semana.htm Abracos, Nelly.
RE: Probabilidade
Primeiro é preciso saber com certeza a quantidade de garotos, se somarmos a quantidade de garotas por cada acontecimento, teremos valores incorretos. -Original Message- From: Robson [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Sent: 20ar 02:11 Õ To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Probabilidade Caros membros da lista, estou com este problema de probabilidade. Gostaria de uma mão, já que não sou muito bom com esses tipos de problema. 15 garotos saem para passear. 5 se perdem, 8 se bronzeiam e 6 retornam para casa sem problemas. Qual a probabilidade de que um garoto bronzeado tenha se perdido? Qual a probabilidade de que um garoto perdido tenha se bronzeado? Abraços, Eduardo
Probabilidade
Caros membros da lista, estou com este problema de probabilidade. Gostaria de uma mão, já que não sou muito bom com esses tipos de problema. 15 garotos saem para passear. 5 se perdem, 8 se bronzeiam e 6 retornam para casa sem problemas. Qual a probabilidade de que um garoto bronzeado tenha se perdido? Qual a probabilidade de que um garoto perdido tenha se bronzeado? Abraços, Eduardo
Re: Ajuda
1) 2^n + 1 = 0 mod3 implica 2^n = -1mod3, logo (-1)^n = -1mod3,
então n é ímpar.
2) x^2 + 3x + 2 = (x+1)*(x+2). Note q esse número é sempre
par, pois é produto de dois consecutivos. Logo, basta achar os x, para os
quais E = (x+1)*(x+2) é múltiplo de 3. Para isso, calcule quantos
são os x, para os quais 3 não divide E, os seja, 3 divide x. De 0
a 25, há 9. Logo, há 26 - 9 = 17 x`s, para os
quais 3 divide E, e por conseguinte, 6 divide E.
¡ Villard
!
-Mensagem original-De:
Igor Castro <[EMAIL PROTECTED]>Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data:
Terça-feira, 20 de Março de 2001 22:14Assunto:
Ajuda
Caríssimos colegas, estou precisando de
ajuda nos seguintes problemas: (parecem simples)
1) Determine n natural para que 2^n + 1 seja
divisível por 3. (resolver algebricamente)
2) Se x pertence à {0,1,2,...,25), para
quantos valores de x, x^2 +3x +2 é múltiplo de 6?
Estava resolvendo esses problemas num
capítulo de divisibilidade e congruências, se puderem usar
só o
conceito básicos dessas teorias,
agradeço.
Igor Castro
