Re: Olimpíada Brasileira
Ola Fabio Arruda, Ola Colegas da Lista, Cordiais Saudacoes a Todos ! A questao que eu propus - retirada das olimpiadas russas - foi : Mostre que a equacao x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz tem infinitas solucoes (x,y,z) formadas somente por numeros inteiros. Eu nao disse que ela SOMENTE TEM SOLUCOES INTEIRAS, EM NUMERO INFINITO. E uma questao que me pareceu interessante porque nao exige nenhum conhecimento sofisticado algum, podendo qualquer aluno de 6 ou 7 serie resolve-la. Para ajudar, dou a sugestao : 1) Coloque a equacao como x^2 - 2yzx + y^2 + z^2 = 0. Imagine que isso e uma equacao do 2 grau em x. 2) Encontre uma solucao para a equacao do 2 em x acima ( ex: (1,1,1)) 3) Mostre que esse fato implica na existencia de uma outra raiz inteira para a equacao 4) Encontre essa outra raiz. Isto fornece uma segunta solucao 5) Verifique que q equacao e simetrica nas 3 variaveis. Muodifique as variaveis. 6) O processo acima pode ser repetido infinitamente ... Voce(s) depois pode(m) querer estudar (como eu fiz ) a equacao : x^2 + y^2 + z^2 = Kxyz. 1) Existem infinitos K para os quais a equacao correspondente tem infinitas solucoes inteiras ? 2) Se sim a pergunta 1), e possivel caracterizar estes K ? Um Grande abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1108,30052001 Em tempo : Alguem conhece a demonstracao de Euler de que 26 e o unico numero natural que esta entre um quadrado perfeito e um cubo perfeito ? From: Fábio Arruda de Lima [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Olimpíada Brasileira Date: Tue, 29 May 2001 20:55:03 -0300 Galera estava viajando e cuidando do dinheiro de vocês. Vou começar pelas extremidades. Lembro-me da última questão deixada pelo Paulo Santa Rita. Prove que x^2+y^2+z^2=3*x*y*z possui apenas solução inteira e são infinitas. Antes de entrar no mérito da questão, gostaria de comentar um assunto recente desta lista, referente ao conteúdo programático da OMB. Parece-me que as Olimpíadas dos outros regioes: URSS, USA, Hungria, Asiática,...exigem muito mais conhecimento matemático que a nossa. Vejo que a OBM, na forma como está, mede apenas criatividade (que é uma inspiração de momento). Entendo que se exige pouco conhecimento matemático na OBM. Acho também que ela privilegia o aluno mais treinado, justamente porque os assuntos não são ensinados no segundo grau. Resolver problemas de matemática está intimamente relacionado a qual o tamanho da caixa de ferramentas (conjunto de técnicas) que cada um possui, o resto é inspiração. A conjugação de técnicas permite resolver a grande maioria dos problemas. Acho que poderíamos fazer um mesclado entre as duas coisas: conhecimento e criativadade. Voltando a questao. Usaremos uma técnica muito conhecida na Informática:dividir para conquistar. Assim, vamos separar o conjunto dos inteiros em positivos e negativos. Em seguida, tomamos apenas a parte positiva, a qual pode ser dividida em pares e impares. Assim, nós dividimos o nosso raio de ação, atuando apenas em pequenas partes do conjunto total (inteiros). Agora, veremos o comportamento da soma dentro do próprio conjunto: Com dois números: par+par=par impar+impar=par par+impar=impar+par=impar Com três números: par+par+par=par par+impar+par=impar impar+impar+par=par impar+impar+impar=impar Assim, podemos testar as variáveis x,y e z, em termos de pares e impares e continuar a solução. Tentem é um bom exercício... Obrigado pela atenção Fábio Arruda _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Olimpíada Brasileira (retificacao)
Ola Pessoal, Escrever com pressa sempre nos leva a cometer erros. Retificando o item de numero 1) : 1) Coloque a equacao na forma x^2 - 3yzx + y^2 + z^2 = 0. Imagine que isso e uma equacao do 2 grau em x. Como (1,1,1) e solucao, supondo y e z constantes, entao : x^2 - 3x + 2 = 0 tera a solucao x=1. Isto implica a solucao x=2, ou seja, o trio (2,1,1) tambem e solucao da equacao original em tres variaveis. Como a equacao e simetrica, (1,2,1) e (1,1,2) tambem sao solucoes. Fixando qualquer uma delas e olhando para equacao original em tres variaveis como uma equacao do 2 grau em y ou z surgira um outro trio, por simetria saira um outro, por simetria um outro, por simetria um outro e assim vai ... From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Olimpíada Brasileira Date: Wed, 30 May 2001 14:10:32 Ola Fabio Arruda, Ola Colegas da Lista, Cordiais Saudacoes a Todos ! A questao que eu propus - retirada das olimpiadas russas - foi : Mostre que a equacao x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz tem infinitas solucoes (x,y,z) formadas somente por numeros inteiros. Eu nao disse que ela SOMENTE TEM SOLUCOES INTEIRAS, EM NUMERO INFINITO. E uma questao que me pareceu interessante porque nao exige nenhum conhecimento sofisticado algum, podendo qualquer aluno de 6 ou 7 serie resolve-la. Para ajudar, dou a sugestao : 1) Coloque a equacao como x^2 - 2yzx + y^2 + z^2 = 0. Imagine que isso e uma equacao do 2 grau em x. 2) Encontre uma solucao para a equacao do 2 em x acima ( ex: (1,1,1)) 3) Mostre que esse fato implica na existencia de uma outra raiz inteira para a equacao 4) Encontre essa outra raiz. Isto fornece uma segunta solucao 5) Verifique que q equacao e simetrica nas 3 variaveis. Muodifique as variaveis. 6) O processo acima pode ser repetido infinitamente ... Voce(s) depois pode(m) querer estudar (como eu fiz ) a equacao : x^2 + y^2 + z^2 = Kxyz. 1) Existem infinitos K para os quais a equacao correspondente tem infinitas solucoes inteiras ? 2) Se sim a pergunta 1), e possivel caracterizar estes K ? Um Grande abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1108,30052001 Em tempo : Alguem conhece a demonstracao de Euler de que 26 e o unico numero natural que esta entre um quadrado perfeito e um cubo perfeito ? From: Fábio Arruda de Lima [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Olimpíada Brasileira Date: Tue, 29 May 2001 20:55:03 -0300 Galera estava viajando e cuidando do dinheiro de vocês. Vou começar pelas extremidades. Lembro-me da última questão deixada pelo Paulo Santa Rita. Prove que x^2+y^2+z^2=3*x*y*z possui apenas solução inteira e são infinitas. Antes de entrar no mérito da questão, gostaria de comentar um assunto recente desta lista, referente ao conteúdo programático da OMB. Parece-me que as Olimpíadas dos outros regioes: URSS, USA, Hungria, Asiática,...exigem muito mais conhecimento matemático que a nossa. Vejo que a OBM, na forma como está, mede apenas criatividade (que é uma inspiração de momento). Entendo que se exige pouco conhecimento matemático na OBM. Acho também que ela privilegia o aluno mais treinado, justamente porque os assuntos não são ensinados no segundo grau. Resolver problemas de matemática está intimamente relacionado a qual o tamanho da caixa de ferramentas (conjunto de técnicas) que cada um possui, o resto é inspiração. A conjugação de técnicas permite resolver a grande maioria dos problemas. Acho que poderíamos fazer um mesclado entre as duas coisas: conhecimento e criativadade. Voltando a questao. Usaremos uma técnica muito conhecida na Informática:dividir para conquistar. Assim, vamos separar o conjunto dos inteiros em positivos e negativos. Em seguida, tomamos apenas a parte positiva, a qual pode ser dividida em pares e impares. Assim, nós dividimos o nosso raio de ação, atuando apenas em pequenas partes do conjunto total (inteiros). Agora, veremos o comportamento da soma dentro do próprio conjunto: Com dois números: par+par=par impar+impar=par par+impar=impar+par=impar Com três números: par+par+par=par par+impar+par=impar impar+impar+par=par impar+impar+impar=impar Assim, podemos testar as variáveis x,y e z, em termos de pares e impares e continuar a solução. Tentem é um bom exercício... Obrigado pela atenção Fábio Arruda _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
O Jogo Vida
Ola Pessoal, O Jogo Vida e tambem conhecido por Jogo de Conway, pois foi este Matematico que divulgou o jogo, descoberto originalmente por Stanislaw Ulam e John Von Newman, em Los Alamos. Muito provavelmente o Jogo tem esse nome inusitado porque ele foi a motivacao original para os estudos em Vida Artificial. O jogo e assim : 1) Voce coloca num tabuleiro de xadrex quantas pedras quiser nas posicoes que quiser. 2) Estabelece um conjunto de regras de iteracoes 3) Repete indefinidamente as regras e verifica o que acontece. Conway estabeleceu inicialmente as seguintes regras : 1) Se das casas vizinhas de uma casa exatamente 3 estiverem ocupadas por pedras, a casa deve ser ocupada, isto e : se ele estiver desocupada, deve ser ocupada por uma pedra; se estiver ocupada, deixa-se ela como esta. 2) Se das casas vizinhas de uma casa exatamente 2 estiverem ocupadas por pedras, deixa-se a casa como esta, isto e: se ela estiver desocupada, fica desocupada; se estiver ocupada, fica ocupada. 3) Em qualquer outro caso, a casa deve ser desocupada. Apos escolhermos a configuracao inicial que desejarmos, isto e, apos colocarmos quantas pedras quisermos nas posicoes que quisermos, aplicamos as regras : surgira dai uma nova configuracao. Aplicamos as regras pela segunda vez : surgira uma nova configuracao. E assim sucessivamente. O interessante do jogo e que nao obstante a rigidez e simplicidade das regras, as figuras que surgem surpreendentes ... Existe uma estrutura ( disposicao de pedras no tabuleiro ) que permanece invariante em sua forma, independente de quantas iteracoes efetuarmos. Esta estrutura e chamada Asa delta. Existem os Construtores, em cujas colisoes sao geradas asas deltas invariantes etc, etc E interessante perceber que o tabuleiro tem casas de canto, com tres casas vizinhas; casas laterais, com 5 casas vizinhas e casas de centro, com 8 casas vizinhas. O Jogo vida e interessante porque e uma palida simulacao de nosso universo, pelo ponto de vista mecanico ... de fato : supondo fixas as leis naturais, podemos imaginar que elas forjariam um contexto no qual surgiria a Vida ? O jogo de Conawy SUGERE que sim ... Conway e Von Newman (Hoje Conway e titular da catedra Von Newman, em Princeton )mostraram que, atendidas algumas condicoes iniciais, o jogo vida pode CRIAR ESTRUTURAS ESTAVEIS COM PODER DE REPRODUCAO !!! Assim, atendidas determinadas condicoes, leis naturais fixas ( as regras de Conway ) nao sao obstaculos ao aparecimento da riqueza e plasticidade daquilo que chamamos Vida ! Indiretamente estes resultados reforcaram a Tese de Oparin. Este jogo ja foi discutido aqui na Lista, pelo Prof Nicolau. Todavia, desde a epoca de sua prelecao ate hoje, muitas outras pessoas se cadastraram, podendo portanto nao estarem a par deste empolgante tema : eis a razao de eu estar falando isso agora ! Eu faco uma proposta. Considerando que : 1) Muitas pessoas aqui sabem programar computadores. 2) Fazer um programa do jogo vida, na forma simples e original como Conway o abordou, e facil. 3) Podemos imaginar o tabuleiro de xadrex como uma matriz 8 por 8 4) Uma casa desocupada pode ser representada por zero. A ocupada, por um. 5) numeramos as linhas de cima para baixo, de zero ate sete. As colunas, da esquerda para a direita, tambem de zero ate sete. 6) Pascal todo mundo sabe, pois estuda-se em todas faculdades. A linguagem C e um Pascal melhorado. Vamos fazer em C o jogo vida ? A estruturacao do Programa e Simples : 1) Modulo de entrada de dados : recebe ate 64 pares ordenados. Cada par ordenado informado indica que a matriz 8 por 8 deve receber um 1 naquela posicao. Exemplo : 0,0 1,1 3,4 7,7 8,8 (posicao que nao existe e que indica que queremos parar de entra com pares ordenados ) a matriz TABULEIRO[7][7] SERA ZERADA EM TODAS AS SUAS POSICOES EXCETO EM TABULEIRO[1][1], TABULEIRO[3][4] E TABULEIRO[7][7]. Nestas posicoes recebera um. 2) Modulo de processamento : recebe a matriz do modulo 1) e aplica as regras de Conway. 3) modulo de exposicao : expoe a matriz na tela de video, apos o modulo anterior e augarda uma resposta. Se a resposta for zero, o jogo para. Se for N, aplica as regras de Conway N vezes e torna a exibir a matriz. Um exemplo de exposicao : 00011100 1000 Bom. Fica a proposta. Quem faz ? Eu ajudo e faco em C qualquer rotina que esteja mais complicada. Um abraco Paulo Santa Rita 4,1219,30052001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: O Jogo Vida - Adendo
Só um detalhe: no arquivo que mandei anexo, TODAS as casas possuem oito vizinhos. A figura está num toro. Ou, para quem não conhece toro: as casas da extrema direita, por exemplo, também possuem como vizinhas as casas da extrema esquerda. Da mesma forma, as casa de cima e debaixo são vizinhas. Quanto às dos cantos, basta observar que estão ao mesmo tempo numa lateral e na parte superior ou inferior. Espero ter sido claro. []'s Alexandre Tessarollo
Re: O Jogo Vida
On Wed, 30 May 2001, Paulo Santa Rita wrote: Ola Pessoal, O Jogo Vida e tambem conhecido por Jogo de Conway, pois foi este Matematico que divulgou o jogo, descoberto originalmente por Stanislaw Ulam e John Von Newman, em Los Alamos. Acho que deve haver algum mal entendido aqui. Pelo que eu sei o jogo vida (life) foi inventado (criado, descoberto) por Conway. Estou verificando o capítulo sobre life em Winning Ways de Berlekamp, Conway e Guy e não encontrei nenhuma menção de Ulam ou Von Neuman. ... O jogo e assim : 1) Voce coloca num tabuleiro de xadrex quantas pedras quiser nas posicoes que quiser. 2) Estabelece um conjunto de regras de iteracoes 3) Repete indefinidamente as regras e verifica o que acontece. Conway estabeleceu inicialmente as seguintes regras : 1) Se das casas vizinhas de uma casa exatamente 3 estiverem ocupadas por pedras, a casa deve ser ocupada, isto e : se ele estiver desocupada, deve ser ocupada por uma pedra; se estiver ocupada, deixa-se ela como esta. 2) Se das casas vizinhas de uma casa exatamente 2 estiverem ocupadas por pedras, deixa-se a casa como esta, isto e: se ela estiver desocupada, fica desocupada; se estiver ocupada, fica ocupada. 3) Em qualquer outro caso, a casa deve ser desocupada. Apos escolhermos a configuracao inicial que desejarmos, isto e, apos colocarmos quantas pedras quisermos nas posicoes que quisermos, aplicamos as regras : surgira dai uma nova configuracao. Aplicamos as regras pela segunda vez : surgira uma nova configuracao. E assim sucessivamente. Está tudo certo, exceto que o jogo é normalmente jogado em um plano quadriculado infinito. O interessante do jogo e que nao obstante a rigidez e simplicidade das regras, as figuras que surgem surpreendentes ... Existe uma estrutura ( disposicao de pedras no tabuleiro ) que permanece invariante em sua forma, independente de quantas iteracoes efetuarmos. Esta estrutura e chamada Asa delta. Existem os Construtores, em cujas colisoes sao geradas asas deltas invariantes etc, etc No capítulo de que falava de Winning ways demonstra-se que este jogo é 'universal', i.e., as regras permitem a construção de uma espécie de 'computador'. É portanto um problema indecidível, dada uma configuração inicial, dizer se ela vai viver para sempre ou não. Vale a pena dar uma olhada neste capítulo, aliás no livro todo. ... Eu faco uma proposta. Considerando que : 1) Muitas pessoas aqui sabem programar computadores. 2) Fazer um programa do jogo vida, na forma simples e original como Conway o abordou, e facil. 3) Podemos imaginar o tabuleiro de xadrex como uma matriz 8 por 8 4) Uma casa desocupada pode ser representada por zero. A ocupada, por um. 5) numeramos as linhas de cima para baixo, de zero ate sete. As colunas, da esquerda para a direita, tambem de zero ate sete. 6) Pascal todo mundo sabe, pois estuda-se em todas faculdades. A linguagem C e um Pascal melhorado. Vamos fazer em C o jogo vida ? Pode ser um projeto interessante escrever um tal programa do zero, mas eu faço notar que já existem vários programas assim. Um deles eu acabei de baixar da rede, ou mais explicitamente, de http://packages.debian.org/testing/games/xlife.html Compilei, rodei e testei brevemente. O nome dele é xlife e as fontes e minha compilação do programa estão em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/bobo/xlife-5.0.tar.gz O programa é escrito em C e parece ser feito para Linux (pelo menos eu compilei em um Linux-Intel). Funciona. Aliás, a título de curiosidade: não me parece que Pascal seja obrigatoriamente estudado aqui na PUC. No primeiro curso de ICC os alunos estudam Scheme (um tipo de Lisp). Depois disso varia muito, mas acho que C é mais popular do que Pascal. []s, N.
Re: O Jogo Vida - Adendo
A primeira mensagem do Alexandre o majordomo barrou, era esta: = Bom dia a todos, programadores ou não. Estou enviando em anexo um applet em Java, que peguei numa página do próprio Conway. O enereço eu não lembro, mas pode-se achá-lo num Yahoo ou Altavista da vida. NÃO sou programador, só aprendi o básico de Pascal e HTML eu sei pouquíssimo. Àqueles que quiserem brincar, basta descompactar o arquivo zip num único diretório (de preferência exclusivo para o jogo) e abrir o HTML (ou dando duplo clique, ou abrindo manualmente no Netscape ou Internet Explorer) []'s Alexandre Tessarollo = O majordomo barrou por causa do attach, claro. Mas o zip que o Alexandre mandou está em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/bobo/Life.zip []s, N. On Wed, 30 May 2001, Alexandre Tessarollo wrote: Só um detalhe: no arquivo que mandei anexo, TODAS as casas possuem oito vizinhos. A figura está num toro. Ou, para quem não conhece toro: as casas da extrema direita, por exemplo, também possuem como vizinhas as casas da extrema esquerda. Da mesma forma, as casa de cima e debaixo são vizinhas. Quanto às dos cantos, basta observar que estão ao mesmo tempo numa lateral e na parte superior ou inferior. Espero ter sido claro. []'s Alexandre Tessarollo
Re: O Jogo Vida
On Wed, 30 May 2001, Paulo Santa Rita wrote: Ola Prof Nicolau e demais colegas da Lista : Saudacoes ! Eu tenho anotado, em casa, o lugar onde li sobre este jogo. Alem dos aspectos estritamente matematicos o livro fala sobre a historia do jogo e cita Ulam e Von Newman. Se nao me falha a memoria : Eu vou verificar se foi realmente assim ou se fiz alguma confusao com Ulam e Von Newman. Todavia, se eu estiver certo : Ulam e Von Newman trabalhavam juntos em Los Alamos, no projeto de construcao da Bomba ( Que uso Mediocre da Matematica ! ). Ulam gostava de jogos de computador, que na epoca dele eram uma grande novidade. 1) Ulam descobriu o jogo ( em um tabuleiro ) e mostrou a Von Newman 2) Ulam convenceu a Von Newman a aproveitar a estrutura do Jogo para realizar o seu objetivo ( objetivo de Von Newman ) de criar uma maquina que gerasse filhos, isto e, uma maquina que gerasse copias de si propria. 3) Conway ficou sabendo e descobriu as asas deltas e os construtores 4) Von Newman descobriu as demais estruturas (mais duas) com as quais o seu projeto de uma maquina que se auto-reproduzisse seria factivel. 5) Conway divulgou o jogo. 6) Conway aperfeicoou o jogo, dando a sua configuracao atual Você poderia verificar estas informações e dar uma fonte, svp? O pouco que sei sobre esse jogo aprendi depois que o Prof Nicolau falou sobre ele aqui e eu me interessei e pesquisei sobre o tema. O tabuleiro com numero infinito de casas e uma contribuicao posterior de Conway, pois so num ambiente infinito assim o projeto de von newman e factivel. Originalmente era um tabuleiro de xadrex. Eu tambem acho interessante o projeto que propus ( e por isso propus), nao obstante existirem programas-fontes prontos disponiveis na internet, pois isso e equivalente as solucoes de questoes matematicas que apresentamos aqui, pois as solucoes ja existem, muitos conhecem e nem por isso nos privamos do prazer de nelas pensar e apresentar nossas proprias versoes, por ser isso instrutivo. Ok, também acho interessante em muitas ocasiões refazer as coisas. Um abraco Prof Nicolau, um abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1533,30052001 []s, N. PS: O que significa '4,1533,30052001'?
Re: O Jogo Vida
Boa tarde: Chute: 4,155,30052001 4=quarta-feira 1533=15hs33min. 30052001=30/05/2001
Re: O Jogo Vida
Ola Mane, Tudo Legal ? Voce esta absolutamente certo. Nao e pedantismo. E uma chave primaria de um banco de dados proprio. E que recebo muitos e-mail´s e as pessoas que me contactam muitas vezes eu nao as conheco e elas, nao raro, se referem a mensagens minhas que nem sempre lembro. Ai eu criei a chave que voce descobriu. Com isso rapidamente posso recuperar alguma solucao ou informacao, pois os e-mail vao para um Banco de Dados relacional. Um abraco Paulo Santa Rita 4,1627,30052001 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: O Jogo Vida Date: 30 May 2001 18:55:54 - Boa tarde: Chute: 4,155,30052001 4=quarta-feira 1533=15hs33min. 30052001=30/05/2001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: O Jogo Vida
Ola Prof Nicolau e Colegas da Lista, Saudacoes ! Com o maior prazer vou verificar isto, nao por se tratar de um pedido de nosso moderador, mas por ser o pedido de um VERDADEIRO MATEMATICO que todos nos ( ou a maioria ) admiramos e que, alem de tudo e sobretudo, E UM CARA MUITO LEGAL. Prof Nicolau, aquilo la embaixo - 4,1533,30052001 - e uma chave primaria de um BD relacional. O primeiro numero e: 1-domingo,2- segunda, 3-terca...7-sabado os 4 digitos seguintes sao a hora os 8 seguintes sao a data. Um abraco Prof Nicolau, Um abraco a Todos. Paulo Santa Rita 4,1642,30052001 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: O Jogo Vida Date: Wed, 30 May 2001 15:46:22 -0300 (BRT) On Wed, 30 May 2001, Paulo Santa Rita wrote: Ola Prof Nicolau e demais colegas da Lista : Saudacoes ! Eu tenho anotado, em casa, o lugar onde li sobre este jogo. Alem dos aspectos estritamente matematicos o livro fala sobre a historia do jogo e cita Ulam e Von Newman. Se nao me falha a memoria : Eu vou verificar se foi realmente assim ou se fiz alguma confusao com Ulam e Von Newman. Todavia, se eu estiver certo : Ulam e Von Newman trabalhavam juntos em Los Alamos, no projeto de construcao da Bomba ( Que uso Mediocre da Matematica ! ). Ulam gostava de jogos de computador, que na epoca dele eram uma grande novidade. 1) Ulam descobriu o jogo ( em um tabuleiro ) e mostrou a Von Newman 2) Ulam convenceu a Von Newman a aproveitar a estrutura do Jogo para realizar o seu objetivo ( objetivo de Von Newman ) de criar uma maquina que gerasse filhos, isto e, uma maquina que gerasse copias de si propria. 3) Conway ficou sabendo e descobriu as asas deltas e os construtores 4) Von Newman descobriu as demais estruturas (mais duas) com as quais o seu projeto de uma maquina que se auto-reproduzisse seria factivel. 5) Conway divulgou o jogo. 6) Conway aperfeicoou o jogo, dando a sua configuracao atual Você poderia verificar estas informações e dar uma fonte, svp? O pouco que sei sobre esse jogo aprendi depois que o Prof Nicolau falou sobre ele aqui e eu me interessei e pesquisei sobre o tema. O tabuleiro com numero infinito de casas e uma contribuicao posterior de Conway, pois so num ambiente infinito assim o projeto de von newman e factivel. Originalmente era um tabuleiro de xadrex. Eu tambem acho interessante o projeto que propus ( e por isso propus), nao obstante existirem programas-fontes prontos disponiveis na internet, pois isso e equivalente as solucoes de questoes matematicas que apresentamos aqui, pois as solucoes ja existem, muitos conhecem e nem por isso nos privamos do prazer de nelas pensar e apresentar nossas proprias versoes, por ser isso instrutivo. Ok, também acho interessante em muitas ocasiões refazer as coisas. Um abraco Prof Nicolau, um abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1533,30052001 []s, N. PS: O que significa '4,1533,30052001'? _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Olimpíada Brasileira (retificacao)
Caros colegas. Eu como amante da matemática, faço parte da lista, mas por falta de tempo, não me dedico o suficiente. Estando então um pouco desatualizado, gostaria de perguntar aos participantes o seguinte: 1) Por que não procuramos um meio de socializar nossa matemática? 2) Por que afrontamos os menos treinados com declarações tipo podendo qualquer aluno de 6 ou 7 serie resolve-la? 3) Qual é o colégio no Brasil que ensina resolução de equações do segundo grau com artifícios e macetes na sexta ou sétima série? Desculpem-me, mas humilhação não é uma coisa importante! Cleber
Re:Fórmula de Heron
Uma idéia poderia fazer uso da lei dos cossenos num triângulo qualquer e depois vai substituindo até encontrar o valor da altura. Daí pode-se fazer uma manipulação de sinais afim de encontrar a raiz de p(p-a) (p-b)(p-c). __ Acesso pelo menor preço do mercado! R$ 14,90 nos 3 primeiros meses! ASSINE AGORA! http://www.bol.com.br/acessobol/
Re: Equipe selecionada para IMO.
Parabns aos selecionados, Boa sorte para todos e que continuem a representar o BRasil da forma brilhante de sempre. abraos Marcelo From: Olimpiada Brasileira de Matematica<[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Equipe selecionada para IMO. Date: Tue, 29 May 2001 16:47:07 -0300 Caros amigos da lista: A equipe que representara ao Brasil na 42a. IMO a ser realizada entre os dias 1 a 14 de julho proximo em Washington - DC, EE.UU e' a seguinte: Lider: Prof. Nicolau C. Saldanha (Rio de Janeiro - RJ) Vice - Lider: Prof. Antonio Caminha Muniz Neto (Fortaleza - CE) BRA 1: Alex Correa Abreu (Rio de Janeiro - RJ) BRA 2: Carlos Stein Naves de Brito (Goiania - GO) BRA 3: Daniel Pinheiro Sobreira (Fortaleza - CE) BRA 4: Davi Maximo Alexandrino Nogueira (Fortaleza - CE) BRA 5: Humberto Silva Naves (Sao Paulo - SP) BRA 6: Thiago Barros Rodrigues Costa (Fortaleza - CE) Abracos, Nelly. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
