3 problemas
Ola, Tenho gostado muito dos mais diversos problemas apresentados nesta lista ( com soluçoes muito bonitas )e queria ver soluçoes dos integrantes da lista para esses 3 problemas: 1 - Mostre que x ao quadrado - y ao quadrado = a ao cubo , tem solucao inteira para todo a pertencente a N. 2 - Mostre que x ao cubo + 1990.(y ao cubo) = z a quarta , tem infinitas soluçoes inteiras com x>0 , y>0 e z>0 . 3 - Neste exercicio representarei 10 ao quadrado com 10v2 assim como 10 ao cubo como 10v3, pois este teclado nao possui o acento circunflexo. Mostre que se n=a.b, sendo a>1 e b>1, entao: 10v(n-1)+10v(n-2)+ ... + 10v2+10+1=(10v(a-1)+10v(a-2)+...+1).(10v((b-1)a)+10v((b-2)a)+...+1) Agradeço antecipadamente a todos os que pensarem em soluçoes. Ate mais. Raul
Re: Primos, multiplos e divisores
Algo que diferencia os inteiros dos naturais é que a relação de divisibilidade (a|b <=> existe k tq b=ak) é de ordem se considerarmos a relação nos naturais mas não é se pensarmos nos inteiros. Mas não sei se isso tem alguma implicação importante. Só lembrando: uma relação R é de ordem se tem as propriedades reflexiva (aRa), transitiva (aRb e bRc => aRc) e anti-simétrica (aRb e bRa <=> a = b). A propriedade anti-simétrica não vale para inteiros... []'s Shine --- Marcelo Souza <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Um número p é dito primo qdo seus unicos divisores > POSITIVOS são 1 e p. > Isso concerne o conjunto dos inteiros, é clarop, a > relação primo ser > utilizada com frequencia pra naturais é apenas pra > encurtar. De fato, os > divisores de 2 são 2, -2 , 1 e -1. Se naum > considerássemos o fato de > divisores inteiros positivos teriamos que escrever > tyudo isso. Um número p é > dito primo se seus unicos divisores são 1, -1 , p e > -p =) > Um número b divide a sendo chamado b de divisor de a > e a um múltiplo de b se > existe um inteiro q tal que a = bq. A noção de > multiplo e divisor é uma > noção circular (corrijam por favor se eu estiver > errado); > falow? > Abraços > MArcelo (uin - 57193686) > > > >From: "Gustavo Martins" <[EMAIL PROTECTED]> > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >To: <[EMAIL PROTECTED]> > >Subject: Primos, multiplos e divisores > >Date: Sun, 3 Jun 2001 16:16:28 -0300 > > > >Cada livro fala uma coisa diferente sobre > multíplos, divisores e número > >primos. Uns falam que eles só podem pertencer ao > conjunto dos naturais; > >outros dizem que é aos inteiros. Afinal, qual a > definição certa? > > > >[]s, > >Gustavo > > _ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at > http://www.hotmail.com. > __ Do You Yahoo!? Get personalized email addresses from Yahoo! Mail - only $35 a year! http://personal.mail.yahoo.com/
Re:
Inicialmente note que x^10 - 1 = (x - 1)x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, ou seja, todas as 9 raízes x de x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0 satisfazem x^10 = 1. Portanto, para cada x que é raiz de x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1: x^999+x^888+x^777+...+x^111+1 = (x^9)(x^10)^99 + (x^8)(x^10)^88 + ... + (x^10)(x^10)^11 + 1 = x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0 , ou seja, cada uma das 9 raízes x de x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0 satisfazem x^999+x^888+x^777+...+x^111+1 = 0, implicando que x^999+x^888+x^777+...+x^111+1 é divisível por x^9+x^8+x^7+...+x^1+1. Falou, Marcelo Rufino - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, June 03, 2001 8:33 PM Esta foi do IME: Provar que x^999+x^888+x^777+...+x^111+1 é divisível por x^9+x^8+x^7+...+x^1+1.
Re: Primos, multiplos e divisores
Um número p é dito primo qdo seus unicos divisores POSITIVOS são 1 e p. Isso concerne o conjunto dos inteiros, é clarop, a relação primo ser utilizada com frequencia pra naturais é apenas pra encurtar. De fato, os divisores de 2 são 2, -2 , 1 e -1. Se naum considerássemos o fato de divisores inteiros positivos teriamos que escrever tyudo isso. Um número p é dito primo se seus unicos divisores são 1, -1 , p e -p =) Um número b divide a sendo chamado b de divisor de a e a um múltiplo de b se existe um inteiro q tal que a = bq. A noção de multiplo e divisor é uma noção circular (corrijam por favor se eu estiver errado); falow? Abraços MArcelo (uin - 57193686) >From: "Gustavo Martins" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Primos, multiplos e divisores >Date: Sun, 3 Jun 2001 16:16:28 -0300 > >Cada livro fala uma coisa diferente sobre multíplos, divisores e número >primos. Uns falam que eles só podem pertencer ao conjunto dos naturais; >outros dizem que é aos inteiros. Afinal, qual a definição certa? > >[]s, >Gustavo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Primos, multiplos e divisores
Da teoria dos números, esses são subconjuntos dos inteiros. Por ser mais trabalhoso, convencionou-se usarmos apenas os inteiros positivos, logo a analogia com os naturais. FONTES: Introdução à Álgebra - Adilson Gonçalves - IMPA Curso de Álgebra Vol. 1 - Abramo Hefez - IMPA Estruturas Algébricas - Serge Lang - Ao Livro Técnico SA []´s ... CLEBER ... From: Gustavo Martins To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, June 03, 2001 4:16 PM Subject: Primos, multiplos e divisores Acesso pelo menor preço do mercado! R$ 14,90 nos 3 primeiros meses!ASSINE AGORA! http://www.bol.com.br/acessobol/ Cada livro fala uma coisa diferente sobre multíplos, divisores e número primos. Uns falam que eles só podem pertencer ao conjunto dos naturais; outros dizem que é aos inteiros. Afinal, qual a definição certa?
No Subject
Esta foi do IME: Provar que x^999+x^888+x^777+...+x^111+1 é divisível por x^9+x^8+x^7+...+x^1+1.
Primos, multiplos e divisores
Cada livro fala uma coisa diferente sobre multíplos, divisores e número primos. Uns falam que eles só podem pertencer ao conjunto dos naturais; outros dizem que é aos inteiros. Afinal, qual a definição certa? []s, Gustavo
Re: 24+32=100 ?
Se vc fez isso naum está errado, eu tb naum. Como outra pessoa respoindeu (casagramnde) a mesma coisa, acho que naum está errado naum. Não há vealores inteiros que satisfaçam x ok abraços marcelo >From: "Eder" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Re: 24+32=100 ? >Date: Sun, 3 Jun 2001 12:39:36 -0300 > >Se eu te disser que fiz isso o que vc fez numa prova e a questão foi >considerada errada? >O enunciado não tem erro,é isso mesmo o que escrevi.Estranho... > - Original Message - > From: Marcelo Souza > To: [EMAIL PROTECTED] > Sent: Sunday, June 03, 2001 12:24 PM > Subject: Re: 24+32=100 ? > > > O meu tah dando um troço esquisito, mas eu vou fuçar o meu baú mental >pra > ver se eu consigo lembrar de algo. Você sabe que nós podemos esqcrever >os > números na base decimal da forma: > 10^nx_n + 10^(n-1)x_(n-1) + ...+ 10x_1 + x_0 > obs:(caso você não saiba, a^b quer dizer a elevado a b) > Onde x_i = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (os restos que a base pode deixar qdo > dividida). (para i natural) > Quando nós mudamos de base, a única coisa que fazemos é trocar o 10 pela > base pedida. No caso, a base pedida é x: > Como são dois algarismos: > (24)_x = 2x + 4 > (32)_x = 3x + 2 > (100)_10 = 0 + 0.10 + 1.10^2 = 100 > Daí basta resolver a equação > 2x + 4 + 3x + 2 = 100 > 5x = 94 > x = 94/5 > |Tipo, eu nunca vi a base dando um número racional, por isso achei > esquisito, mas eu naum sei se pode, eu acho que a base deve ser natural. > Alguém pode me ajudar se eu tiver errado em alguma coisa, faz tanto >tempo > que eu não faço um probleminha destes. > valeu > abraços > Marcelo > > > >From: "Eder" <[EMAIL PROTECTED]> > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >To: <[EMAIL PROTECTED]> > >Subject: 24+32=100 ? > >Date: Sun, 3 Jun 2001 11:47:00 -0300 > > > >24(na base x)+32(na base x)=100(base 10) > > > >x=? > > > >Acho que essa dúvida deve ser meio básica pro pessoal daqui...Mas eu >não > >consegui resolver.Que raciocínio usar nessa questão? > > > > > > >_ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at >http://www.hotmail.com. > _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: 24+32=100 ?
Se eu te disser que fiz isso o que vc fez numa prova e a questão foi considerada errada? O enunciado não tem erro,é isso mesmo o que escrevi.Estranho... - Original Message - From: Marcelo Souza To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, June 03, 2001 12:24 PM Subject: Re: 24+32=100 ? O meu tah dando um troço esquisito, mas eu vou fuçar o meu baú mental pra ver se eu consigo lembrar de algo. Você sabe que nós podemos esqcrever os números na base decimal da forma:10^nx_n + 10^(n-1)x_(n-1) + ...+ 10x_1 + x_0obs:(caso você não saiba, a^b quer dizer a elevado a b)Onde x_i = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (os restos que a base pode deixar qdo dividida). (para i natural)Quando nós mudamos de base, a única coisa que fazemos é trocar o 10 pela base pedida. No caso, a base pedida é x:Como são dois algarismos:(24)_x = 2x + 4(32)_x = 3x + 2(100)_10 = 0 + 0.10 + 1.10^2 = 100Daí basta resolver a equação2x + 4 + 3x + 2 = 1005x = 94x = 94/5|Tipo, eu nunca vi a base dando um número racional, por isso achei esquisito, mas eu naum sei se pode, eu acho que a base deve ser natural.Alguém pode me ajudar se eu tiver errado em alguma coisa, faz tanto tempo que eu não faço um probleminha destes.valeuabraçosMarcelo>From: "Eder" <[EMAIL PROTECTED]>>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>>Subject: 24+32=100 ?>Date: Sun, 3 Jun 2001 11:47:00 -0300>>24(na base x)+32(na base x)=100(base 10)>>x=?>>Acho que essa dúvida deve ser meio básica pro pessoal daqui...Mas eu não >consegui resolver.Que raciocínio usar nessa questão?>>_Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: 24+32=100 ?
O meu tah dando um troço esquisito, mas eu vou fuçar o meu baú mental pra ver se eu consigo lembrar de algo. Você sabe que nós podemos esqcrever os números na base decimal da forma: 10^nx_n + 10^(n-1)x_(n-1) + ...+ 10x_1 + x_0 obs:(caso você não saiba, a^b quer dizer a elevado a b) Onde x_i = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (os restos que a base pode deixar qdo dividida). (para i natural) Quando nós mudamos de base, a única coisa que fazemos é trocar o 10 pela base pedida. No caso, a base pedida é x: Como são dois algarismos: (24)_x = 2x + 4 (32)_x = 3x + 2 (100)_10 = 0 + 0.10 + 1.10^2 = 100 Daí basta resolver a equação 2x + 4 + 3x + 2 = 100 5x = 94 x = 94/5 |Tipo, eu nunca vi a base dando um número racional, por isso achei esquisito, mas eu naum sei se pode, eu acho que a base deve ser natural. Alguém pode me ajudar se eu tiver errado em alguma coisa, faz tanto tempo que eu não faço um probleminha destes. valeu abraços Marcelo >From: "Eder" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: 24+32=100 ? >Date: Sun, 3 Jun 2001 11:47:00 -0300 > >24(na base x)+32(na base x)=100(base 10) > >x=? > >Acho que essa dúvida deve ser meio básica pro pessoal daqui...Mas eu não >consegui resolver.Que raciocínio usar nessa questão? > > _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: 24+32=100 ?
Supondo que os algarismos da base x sao {0,1,2,...,x-1} nessa ordem, podemos
reescrever a sua equacao assim:
(2*x^1 + 4*x^0) + (3*x^1 + 2*x^0) = 100, agora esta tudo na base 10
5*x = 94, nenhum x inteiro satisfaz essa equacao. Entao nenhuma base com os
algarismos {0,1,2,...,x-1} nessa ordem soluciona o seu problema. Poderiamos
(so para dar alguma resposta) supor os algarismos sem o 1, por exemplo, dai
os algarismos da base x ficam {0,2,3,...,x}, reescrevendo a sua equacao:
(1*x^1 + 3*x^0) + (2*x^1 + 1*x^0) = 100, agora esta tudo na base 10
3*x = 96, x=32 resolve. Ou seja, se voce pegar uma base de 32 algarismos que
tenha simbolos, ou algarismos, nessa ordem {0,2,3,4,5,6,.,Z) vale aquela
igualdade sua, mas da para dar muitas outras respostas.
Eduardo Casagrande Stabel.
From: Eder
24(na base x)+32(na base x)=100(base 10)
x=?
Acho que essa dúvida deve ser meio básica pro pessoal daqui...Mas eu não
consegui resolver.Que raciocínio usar nessa questão?
24+32=100 ?
24(na base x)+32(na base x)=100(base 10) x=? Acho que essa dúvida deve ser meio básica pro pessoal daqui...Mas eu não consegui resolver.Que raciocínio usar nessa questão?
Re: Dúvida
Obrigado pelas dicas.A sensação que tenho agora é "caramba! esqueci de usar o produto vetorial !" Valeu mesmo! - Original Message - From: Jose Paulo Carneiro To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, June 03, 2001 9:51 AM Subject: Re: Dúvida a) Um vetor normal ao plano ABC eh o produto vetorial AB x AC =(1; -2; 1). Agora voce obtem o ponto P como intersecao do plano ABC, de equacao x-2y+z=0, com areta DP, de equacoes x+2 / 1 = y-1 / -2 = z-4 / 1, resolvendo o sistema linear correspondente. b) este angulo eh o mesmo que o angulo entre seus vetores normais, (1; -2; 1) e (3; -6; 3) [este ultimo eh o produto vetorial AB x AD]. Mas eh claro que (3; -6; 3) = 3 (1; -2; 1). Logo os vetores sao paralelos e de mesmo sentido. Seu angulo eh zero. depois desta conta, observa-se que o ponto D pertence ao plano ABC (eh so substituir na equacao); quem ja tinha visto isto, otimo. Para o item 2, eh parecido. A direcao perpendicular ao plano indicado eh a do produto vetorial de (1; 1; -1) e (1; 1; 1), ou seja: (2; -2; 0), ou, para simplificar, seu multiplo escalar (1; -1; 0). O módulo da projeção do vetor v na direção de u = (1; -1; 0) eh o modulo do produto escalar de v pelo unitario de u [verifique pela figura], isto eh: [R(18)-R(2)] / R(2) = 2 JP - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, June 02, 2001 4:52 PM Subject: Dúvida Olá a todos da lista! Eu gostaria da ajuda de vocês nas seguintes questões: 1)Considere os pontos A(0,0,0) , B(1,1,1) , C(0,1,2) e D(-2,1,4). a)Calcule soma das coordenadas (px,py,pz) do ponto P que é projeção de D sobre o plano que contém A,B e C . b)Calcule o ângulo diedro formado pelo plano que contém A,B e C e o plano que contém A,B e D. 2)Considere os vetores a=i+j-k e b=i+j+k (i,j,k são versores nas direções x,y e z,respectivamente). O módulo da projeção do vetor v = sqrt(18)i + sqrt(2)j + sqrt(7)k na direção perpendicular ao plano que contém a e b é? Essas questões apareceram numa prova em meu colégio e numa prova de Física,não de Matemática. Pedi ao pessoal lá que não me dissessem nada,para que eu tentasse resolver tudo sozinho,mas não consigo,já passei horas só olhando...Será que alguém poderia me mostras como proceder?Bom,desde já agradeço qualquer ajuda.
Re: ainda sobre livros...
Eu e Wagner fizemos uma mini-resenha (muito objetiva; não era crítica e sim uma descrição resumida)de todos (exceto apenas um: o de pontos fixos) os livrinhos da MIR. Livrinhos, isto é, livros da série Lições Populares de Matemática, que são livros pequenos sobre tópicos. Foi publicada na RPM, seção Livros. O Josimar, que é organizado, certamente vai descobrir os números em que foram publicadas as resenhas. As resenhas podem ser muito úteis pois tendo o nome do livro, os autores e os temas facilitarão buscas em bibliotecas e Internet. Morgado Anderson wrote: > > Os livros da editora Mir sao varios... pelo que eu vi no site da editora > atual (nao lembro o site mas procura no www.google.com que vc encontra) eles > reeditaram alguns dos livros desta antiga editora... eu tenho 4 livros dela > ambos muito bons... > Problemas Selecionados de Fisica Elementar - Saraeva > Elementos de Matematicas superiores - I. L. Zaitsev (Espanhol) > Calculo Diferencial e Integral I e II - N. Piskunov > > Anbraços, > Anderson > > - Original Message - > From: Marcelo Souza <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Saturday, May 26, 2001 3:50 PM > Subject: Re: ainda sobre livros... > > > que ignorancia nada, fala, é oi marcelo de novo. É o seguinte, alguns > livros > > da MIR de geometria são muito cotados, livros de problemas em geral tb o > que > > é o forte da MIR), msas estes livros nós so achamos em sebos. Vale a pena > > dar uma vasculhada. Os titulos eu naum sei de cabeça, mas xa vê!! Eu acho > > que um é Problems in Geometry, sei lah, nem lembro...alguém pode lembrar? > > abraços > > Marcelo
Re: Dúvida
a) Um vetor normal ao plano ABC eh o produto vetorial AB x AC =(1; -2; 1). Agora voce obtem o ponto P como intersecao do plano ABC, de equacao x-2y+z=0, com areta DP, de equacoes x+2 / 1 = y-1 / -2 = z-4 / 1, resolvendo o sistema linear correspondente. b) este angulo eh o mesmo que o angulo entre seus vetores normais, (1; -2; 1) e (3; -6; 3) [este ultimo eh o produto vetorial AB x AD]. Mas eh claro que (3; -6; 3) = 3 (1; -2; 1). Logo os vetores sao paralelos e de mesmo sentido. Seu angulo eh zero. depois desta conta, observa-se que o ponto D pertence ao plano ABC (eh so substituir na equacao); quem ja tinha visto isto, otimo. Para o item 2, eh parecido. A direcao perpendicular ao plano indicado eh a do produto vetorial de (1; 1; -1) e (1; 1; 1), ou seja: (2; -2; 0), ou, para simplificar, seu multiplo escalar (1; -1; 0). O módulo da projeção do vetor v na direção de u = (1; -1; 0) eh o modulo do produto escalar de v pelo unitario de u [verifique pela figura], isto eh: [R(18)-R(2)] / R(2) = 2 JP - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, June 02, 2001 4:52 PM Subject: Dúvida Olá a todos da lista! Eu gostaria da ajuda de vocês nas seguintes questões: 1)Considere os pontos A(0,0,0) , B(1,1,1) , C(0,1,2) e D(-2,1,4). a)Calcule soma das coordenadas (px,py,pz) do ponto P que é projeção de D sobre o plano que contém A,B e C . b)Calcule o ângulo diedro formado pelo plano que contém A,B e C e o plano que contém A,B e D. 2)Considere os vetores a=i+j-k e b=i+j+k (i,j,k são versores nas direções x,y e z,respectivamente). O módulo da projeção do vetor v = sqrt(18)i + sqrt(2)j + sqrt(7)k na direção perpendicular ao plano que contém a e b é? Essas questões apareceram numa prova em meu colégio e numa prova de Física,não de Matemática. Pedi ao pessoal lá que não me dissessem nada,para que eu tentasse resolver tudo sozinho,mas não consigo,já passei horas só olhando...Será que alguém poderia me mostras como proceder?Bom,desde já agradeço qualquer ajuda.
