Re: Funcao exponencial
Houve um evidente erro meu: Onde se le 2^(-R(2)), leia-se (-2)^R(2), e o mesmo nos termos da sequencia. JP - Original Message - From: Jose Paulo Carneiro To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, October 07, 2001 3:59 PM Subject: Re: Funcao exponencial A questao eh como definir a^x para a e x reais quaisquer. Para x inteiro positivo, todo mundo conhece a definicao como produto de x fatores iguais a a. E mesmo assim, para x=1, ja tem que ser definido a parte. Para x=0, ja comecam os problemas, quando a=0 (ver RPM,no 1). Para x inteiro negativo, como definimos como 1/ a^(-x), ja temos que excluir a base a=0. Para x racional, ja temos que excluir a<0, quando x=p/q, com q par e p impar . Para x irracional, a coisa eh bem mais complicada. Qualquer definicao que se de, vai envolver consideracoes de limite. (Por exemplo, alguem pode querer definir 2^R(2) como o limite da sucessao: 2^1; 2^1,4; 2^1,41; 2^1,4142; etc.. E ahi entao ele vai ver que nao ha como definir de modo coerente 2^(-R(2)), pois a sucessao 2^(-1); 2^(-1,4); etc. nao converge. Alias, tem uma infinidade de termos que nem existe.) Isto eh so um exemplo das complicacoes que surgiriam. JP - Original Message - From: Gustavo Nunes Martins To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, October 06, 2001 6:31 PM Subject: Funcao exponencial Minha pergunta pode ser tida como boba, mas eu quero entender uma coisa que, se eu compreender de verdade, vou acabar esquecendo. Diz minha professora que função exponencial é do tipo y = A^x, onde x é a variavel e A >= 0 e A =/ 1 >= representa maior ou igual a =/ representa diferente de Mesmo que A nao satisfaca a essas condicoes, a formula y = (-3)^x continua sendo uma funcao que depende do expoente. Entao, por que foi decidiram que aquelas condicoes teriam que ser cumpridas? Essas condicoes nao vao um pouco contra o nome funcao exponencial? Obrigado pela ajuda, Gustavo
RE: Funcao exponencial
o lance dessa definição de exponencial, é que o domínio da função (-3)^x é muito restrito. Veja o exemplo: (-3)^1/2 = raiz (-3) raiz de negativo não existe (em geral definine-se a função nos reais). Assim, a função deixa de ser interessante. Para que a função tenha domínio R, precisamos ter x>0 A função 1^x tembém não é interessante. É mais fácil escrever f(x) = 1. assim se excluem os negativos e o um, para que a função seja "interessante". Também para que possamos ter uma inversa (o logaritmo) eduardo grasser campinas sp -- De: Gustavo Nunes Martins[SMTP:[EMAIL PROTECTED]] Enviada em: Sábado, 6 de Outubro de 2001 18:31 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto:Funcao exponencial Minha pergunta pode ser tida como boba, mas eu quero entender uma coisa que, se eu compreender de verdade, vou acabar esquecendo. Diz minha professora que função exponencial é do tipo y = A^x, onde x é a variavel e A >= 0 e A =/ 1 >= representa maior ou igual a =/ representa diferente de Mesmo que A nao satisfaca a essas condicoes, a formula y = (-3)^x continua sendo uma funcao que depende do expoente. Entao, por que foi decidiram que aquelas condicoes teriam que ser cumpridas? Essas condicoes nao vao um pouco contra o nome funcao exponencial? Obrigado pela ajuda, Gustavo <> Procuradoria Regional do Trabalho da 15ª Região - Campinas/SP *** Por medida de segurança, os arquivos com extensões: .exe .vb[es] .c(om|hm) .bat .pif .s(ys|cr) .ppt .pps .lnk não serão recebidos nem enviados como anexos em e-mails. Nome do arquivo: anexo-winmail.dat-3bc1b460.HB O nome original do anexo removido é: winmail.dat Caso você precise deste arquivo, favor enviar um e-mail para [EMAIL PROTECTED] solicitando o arquivo pelo nome: anexo-winmail.dat-3bc1b460.HB Informática-PRT15ªRegião ***
Provas.
Caros(as) amigos(as) da lista: Informacoes: - Estamos enviando hoje 8/10/01 a remessa das revistas Eureka! No. 11 para todas as escolas participantes na OBM, coordenacoes regionais, coordenacoes universitarias e assinantes da mesma. - Ja' Esta' publicada no site da OBM a prova da Olimpiada Iberoamericana de Matematica Universitaria. - Estao sendo publicados (aos poucos) no site da OBM os enderecos dos locais de prova para a fase final da OBM-2001. Abracos, Nelly
Re: Problema sobre primos
Se vc resolveu esse problema, vc deveria dar conferencias no mundo inteirovc seria maior que Gauss ou EinsteinTal formula não existe!!! Um abraço e não se engane...essa lista não tem ingênuos... Ruy
Re: Problema sobre primos
> Se vc resolveu esse problema, vc deveria dar conferencias no mundo > inteirovc seria maior que Gauss ou EinsteinTal formula não existe!!! > Um abraço e não se engane...essa lista não tem ingênuos... >Ruy Ruy, existem infinitas fórmulas que geram somente números primos. O que acontece é que a grande maioria dessas fórmulas são inúteis do ponto de vista prático. Por exemplo, não é difícil provar com a ajuda do Teorema de Wilson, que a função f(x, y)=(y-1)/2[|B^2-1|-(B^2-1)]+2, onde B=x(y+1)-(y!+1), x e y são números naturais, gera somente números primos, gera todos os primos e gera todos os primos ímpares exatamente uma vez.
Re: Problema sobre primos
A fórmula de WILLANS, dada em 1964, fornece para o natural n o n-ésimo número primo p_n=1+SUM(i=1 até 2^n) da raiz n-ésima de (n/(1+pi(i)), onde pi(i) conta os números primos até i. Esta fórmula é bonita, mas totalmente inútil, note que para calcular o décimo primo, que é 29, devemos contar os primos até 1024. Certamente passaremos pelo 29!!! Um bom artigo sobre fórmulas que geram primos é o de Paulo Ribenboin, RMU , número 15. Abraços, Marcelo. - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, October 08, 2001 3:37 PM Subject: Re: Problema sobre primos > Se vc resolveu esse problema, vc deveria dar conferencias no mundo > inteirovc seria maior que Gauss ou EinsteinTal formula não existe!!! > Um abraço e não se engane...essa lista não tem ingênuos... >Ruy > >
Re: Problema sobre primos
Como Uma fórmula que gera primos (e apenas primos) Dá um tempo!! Pior do que o menino que inventou uma constante! >From: "Eric Campos Bastos Guedes" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: "Obm-L" <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Problema sobre primos >Date: Sun, 7 Oct 2001 21:39:03 -0300 > >Saudações > >Quero propor um problema aos companheiros da lista, e ao mesmo tempo >comunicar que já o resolvi. Trata-se de uma fórmula para os números >primos. >Lá vai... > >Prove que a seguinte função, definida para os inteiros positivos, gera >todos >os números primos, e apenas primos. > >f(n) = max(2, mdc(C[2n+1, 1], C[2n+1, 2], C[2n+1, 3], ..., C[2n+1, n]) > >onde C[a,b] é o número binomial dado por a! / (b! (a-b)!) > >Esta é uma das fórmulas para primos que descobri e que está no meu livro >"Fórmulas que geram números primos" (Papel Virtual editora >www.papelvirtual.com.br ) > >Abraços, > >Eric. > _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Problema sobre primos
Legal, não sabia que já existiam fórmulas que geravam primos e somente primos... Minhas desculpas ao Eric. =) []'s, M. >From: "Paulo Jose Rodrigues" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Re: Problema sobre primos >Date: Mon, 8 Oct 2001 16:15:15 -0300 > > > Se vc resolveu esse problema, vc deveria dar conferencias no mundo > > inteirovc seria maior que Gauss ou EinsteinTal formula não >existe!!! > > Um abraço e não se engane...essa lista não tem ingênuos... > >Ruy > >Ruy, > existem infinitas fórmulas que geram somente números primos. O que >acontece >é que a grande maioria dessas fórmulas são inúteis do ponto de vista >prático. > >Por exemplo, não é difícil provar com a ajuda do Teorema de Wilson, que a >função > >f(x, y)=(y-1)/2[|B^2-1|-(B^2-1)]+2, > >onde B=x(y+1)-(y!+1), x e y são números naturais, gera somente números >primos, gera todos os primos e gera todos os primos ímpares exatamente uma >vez. > > > _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Problema sobre primos
Tem certeza de q vc escreveu corretamente a funcao??? - Original Message - From: "Paulo Jose Rodrigues" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Segunda-feira, 8 de Outubro de 2001 16:15 Terezan Subject: Re: Problema sobre primos > Se vc resolveu esse problema, vc deveria dar conferencias no mundo > inteirovc seria maior que Gauss ou EinsteinTal formula não existe!!! > Um abraço e não se engane...essa lista não tem ingênuos... >Ruy Ruy, existem infinitas fórmulas que geram somente números primos. O que acontece é que a grande maioria dessas fórmulas são inúteis do ponto de vista prático. Por exemplo, não é difícil provar com a ajuda do Teorema de Wilson, que a função f(x, y)=(y-1)/2[|B^2-1|-(B^2-1)]+2, onde B=x(y+1)-(y!+1), x e y são números naturais, gera somente números primos, gera todos os primos e gera todos os primos ímpares exatamente uma vez.
Re: Problema sobre primos
Se 2n + 1 é primo, é evidente que mdc(C[2n+1, 1], C[2n+1, 2], C[2n+1, 3], ..., C[2n+1, n]) é igual a (2n+1). Logo, max (2, 2n + 1) é igual a 2n+1 quando 2n+1 é primo, o que garante que todos os primos ímpares sejam representados. Agora seja 2n+1 um número igual a pq, sendo p e q dois fatores primos distintos, ambos menores que n+1. C [pq, p] = [pq * (pq - 1) * (pq - 2) * ... * (pq - p + 1)] / [2 * 3 * 4 * 5 * ... * p] Logo, C[pq, p] = q * [(pq - 1) * (pq - 2) * ... * (pq - p + 1)] / [2 * 3 * 4 * 5 * ... (p-1)] Observe que nenhum dos fatores do numerador acima é divisível por p, o que garante que C[pq, p] nao é divisível por p. C [pq, q] = [pq * (pq - 1) * (pq - 2) * ... * (pq - q + 1)] / [2 * 3 * 4 * 5 * ... * q] Logo, C[pq, q] = p * [(pq - 1) * (pq - 2) * ... * (pq - q + 1)] / [2 * 3 * 4 * 5 * ... (q-1)] Observe agora que nenhum dos fatores do numerador acima é divisível por q, o que garante que C[pq, q] nao é divisível por q. Mas C[pq, 1] = pq. Daí, o mdc de (pq), um número nao-divisível por p e outro número nao divisível por q é 1. Assim, max (2, 1) = 2, garantindo a presenca do 2 e excluindo compostos da forma pq. Para todos os números compostos cuja representacao em primos só possui expoentes menores que 2, o raciocínio é análogo ao anterior. Para compostos 2n+1 cuja representacao é da forma p^k * q^m * x^h * y^j *... , onde k é o expoente máximo e m é o segundo maior expoente, também vale o raciocínio, mas devemos tomar: C[2n + 1, 1], C[2n+1, p^i] , 0 < i < k+1 C[2n+1, q^i] , 0 < i < m+1 etc etc No entanto, se 2n+1 é igual a p^k, devemos tomar C[p^k, 1] e C[p^k, p^(k-1)] C[p^k, 1] = p^k C[p^k, p^(k-1)] é um número divisível por p, mas que nao é divisível por p^2. Isto garante que o mdc neste caso será igual a p. Entao máx (2, p) = p, que também é primo. - Original Message - From: "Eric Campos Bastos Guedes" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Obm-L" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Domingo, 7 de Outubro de 2001 21:39 Terezan Subject: Problema sobre primos Saudações Quero propor um problema aos companheiros da lista, e ao mesmo tempo comunicar que já o resolvi. Trata-se de uma fórmula para os números primos. Lá vai... Prove que a seguinte função, definida para os inteiros positivos, gera todos os números primos, e apenas primos. f(n) = max(2, mdc(C[2n+1, 1], C[2n+1, 2], C[2n+1, 3], ..., C[2n+1, n]) onde C[a,b] é o número binomial dado por a! / (b! (a-b)!) Esta é uma das fórmulas para primos que descobri e que está no meu livro "Fórmulas que geram números primos" (Papel Virtual editora www.papelvirtual.com.br ) Abraços, Eric.
Re: Problema sobre primos
Bom, como a obm-u ja esta na internet, acredito que ja se possa comentar
sobre a prova..
Como que o pessoal daqui da lista foi? Alguns eu ja sei porque fizeram a
prova perto de mim, mas e o resto? o pessoal de fora do Rio por exemplo :) .
Quantos pontos voces acham que fizeram?
Acharam mais facil ou mais dificil que a do ano passado? A segunda
questao e a primeira pareciam ser um pouco mais faceis que as outras.. mas
mesmo assim nao consegui escrever muito bem na segunda.. e a primeira era
muita conta..
Mas o que eu queria escrever mesmo era sobre a questao do somatorio (a
6a).. Na prova eu nao consegui fazer de jeito nenhum, mas depois, folheando
um livro de numeros complexos em casa, descobrir uma questao bem parecida, e
a partir dela a solucao da questao da prova era mais simples.. O mais legal
eh que usa raizes da unidades, de um modo semelhante ao que foi usado pelo
Nicolau aqui na lista pra provar um problema de geometria usando complexos..
A solucao de que falo eh mais ou menos assim (desculpem se a solucao estiver
muito chata de ser lida.. escrever no computador eh meio complicado):
Sejam 1,e,e^2,..., e^(n-1) as raizes da n-esima da unidade.
Entao, os polinomios Prod.{z-e^k} (k=1..n-1) e 1+z+z^2+...+z^(n-1) sao
identicos. (pq tem as mesmas raizes e o mesmo coef. lider).
Substituindo z = 1 (ateh aqui ta igualzinho ao que foi colocado na lista
pelo Nicolau ha um tempo atras) e notando que 1 - e^ix =
2sen(x/2)*i*e^(-iPix/2), fica simples mostrar que (tem que fazer a conta num
papel.):
(I) sen(Pi/n)sen(2Pi/n)...sen[(n-1)Pi/n] = n/[2^(n-1)]
Mas entao, fazendo
cos(Pi/n)cos(2Pi/n)...cos[(n-1)Pi/n] = x, pode-se multiplicar as duas
equacoes para se obter
xn/[2^(n-1)] = {sen(2Pi/n)sen(4Pi/n)...sen[2(n-1)Pi/n]}*[1/2^(n-1)].
Mas se n for impar, n = 2t+1 e esse ultimo produto eh exatamente igual a
(I), pois:
sen[(2t+2)Pi/n] = sen[(2t-1)Pi/n],
sen[(2t+4)Pi/n] =sen[(2t-3)Pi/n],
... sen [(4t)Pi/n] = sen[Pi/n] (pq a soma dos argumentos ta dando sempre
congruente a Pi).
Logo, para n impar, a gente fica com nx = n/2^(n-1) donde x = 1/2^(n-1)
Para n par, o produtorio vale zero, e portanto a soma pedida eh a soma
de uma pg de razao -1/4 (pq ficou faltando o cosPi).
Aceito ideias sobre como fazer a 4 questao, pq ateh agora nao consegui ter
nem sequer uma ideia pra comecar a escrever nela (idem para a ultima, mas
essa eu nem tentei tanto pq o enunciado ja me assustou o suficiente).
Abracos,
Marcio
ajuda em um problema
seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I ponto de intersecção das suas diagonais. As projeções de sobre os lados AB, BC,CDe DA são respectivamente ,M,N,P e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ é circunscrítivel a um círculo com centro em I.
Re: Problema sobre primos
Fiquei admirado com a formula pra primos.tô até meio confuso aindauma função geratriz para os numeros primosdesculpe a brincadeira eric... Ruy
GA
Olá, aí vai uma dúvida de geometria análitica q surgiu hj na minha aula de matemática... no estudo da híperbole, como são definidos B1 e B2 q orientam o eixo imaginário dela? Meu professor disse q nao sabia e q jah havia procurado sobre o assunto em livros e lido q era algo "abstrato"... ele soh deu aquela relação, c^2=a^2+b^2... alguém pode ajudar e falar um pouco do assunto? eh algo usado soh pra simplificar a fórmula ou tem algo mais por trás? hugo abraços
RES: ajuda em um problema
Solução: Faz a figura para ficar mais fácil de ver... Como M, N, P e Q são as projeções e I sobre os lados AB, BC, CD, DA temos que: Os quadriláteros BMNI, NIPC, PIQD, MIQA são todos inscritíveis já que possuem angulos opostos somando 180 graus. Como o quadrilátero ABCD é inscritível, temos que: Como: BMNI é inscritível: NIPC é inscritível: PIQD é inscritível: MIQA é inscritível: Daí notamos que no quadrilátero MNQP Einstein -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de haroldEnviada em: segunda-feira, 8 de outubro de 2001 22:20Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: ajuda em um problema seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I ponto de intersecção das suas diagonais. As projeções de sobre os lados AB, BC,CDe DA são respectivamente ,M,N,P e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ é circunscrítivel a um círculo com centro em I.
Re: ajuda em um problema e Extra
> harold wrote: > > seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I ponto > de intersecção das suas diagonais. As projeções de sobre os lados AB, > BC,CDe DA > são respectivamente ,M,N,P e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ é > circunscrítivel a um círculo com centro em I. Projeções de QUEM sobre os lados? Tentei projetar I e a afirmação tornou-se falsa (leia-se achei diversos contra-exemplos). Fiz o mesmo com O e tampouco funcionou... Seja claro e específico, plz. []'s Alexandre Tessarollo PS: Aproveitando a deixa, passo mais um: Sabendo que sen 2A, sen 2B e sen 2C estão em PA nessa ordem, demonstrar que tan (B+C), tan (C+A) e tan (A+B) também estão em PA nessa ordem.
retificando enunciado (problema ajuda)
seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I ponto de intersecção das suas diagonais. As projeções de ortogonais de I sobre os lados AB, BC,CDe DAsão respectivamente ,M,N,P e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ é circunscrítivel a um círculo com centro em I.
Re: RES: ajuda em um problema
Solução: Faz a figura para ficar mais fácil de ver... Como M, N, P e Q são as projeções e I sobre os lados AB, BC, CD, DA temos que: Os quadriláteros BMNI, NIPC, PIQD, MIQA são todos inscritíveis já que possuem angulos opostos somando 180 graus. Como o quadrilátero ABCD é inscritível, temos que:
Re: RES: ajuda em um problema
Solução: Faz a figura para ficar mais fácil de ver... Como M, N, P e Q são as projeções e I sobre os lados AB, BC, CD, DA temos que: Os quadriláteros BMNI, NIPC, PIQD, MIQA são todos inscritíveis já que possuem angulos opostos somando 180 graus. Como o quadrilátero ABCD é inscritível, temos que:
Re: Problema sobre primos
> existem infinitas fórmulas que geram somente números primos. O que acontece > é que a grande maioria dessas fórmulas são inúteis do ponto de vista > prático. Correto. Vejam também http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne/node18.html onde Gugu e eu damos exemplos de fórmulas para primos. Uma delas é um polinômio de coeficientes inteiros e várias variáveis tal que ao substituirmos as variáveis por inteiros quase sempre obtemos um negativo. O legal é o quase: inteiros positivos aparecem para certas escolhas muito especiais dos valores das variáveis e aí o valor do polinômio é sempre primo. Mais exatamente: a interseção da imagem com o conjunto dos naturais é o conjunto dos primos. []s, N.
