Re: [obm-l] continuidade
From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> > On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote: > > At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote: > > >Ola pessoal: > > >Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. > > >"Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. > > >Prove > > >que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido > > >pelo ciclista em exatamente 5 minutos." > > > > Vamos definir > > f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas) > > ou se (5 > Acho que você não deveria incluir x > 5, você assim está > mudando o problema. > > > > Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto é > > falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)<5 entre 0 e 5 ou > > f(x)>5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o > > percurso de 6 milhas em 30 minutos. > > ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30 > donde f(i) <= 30 e f(j) >= 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5. > > > > Está tudo certo? > > Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está. > > Um problema mais difícil seria: > pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso > medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido > em exatamente 6 minutos? Ola pessoal e Nicolau! Esse problema que o Nicolau propoe eh basicamente o mesmo. Basta definir f(x) = tempo para ir de x ate x + 1.2 (milhas) Ver que f(0) + f(1.2) + f(2.4) + f(3.6) + f(4.8) = 30 E tirar a conclusao de que nao se pode ter f(x) < 5 ou f(x) >5 para todo x. Um problema realmente mais dificil seria: pode-se ou nao garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.1 milhas que tenha sido percorrido em 5.5 minutos? A diferenca dos problemas eh que agora 6/(1.1) nao da um numero inteiro! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] questões ajuda
Ae, alguem poderia me ajudar nessas questões: 1.prove q existem infinitos n naturais tais q n^2+1|n! 2.Temos um tabuleiro 10X10. desejamos colocar n peças em casas do tabuleiro de tal forma que não existam 4 peças formando um retangulo de lados paralelos aos lados do tabuleiro. determine o maior valor de n para o qual eh possivel fzer tal construção...( gostaria de alguma solução diferente da q tem na eureka 7...) 3.determine todos os primos da forma 1010...1010. valeuzão! H! _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Noruega-94
Faca x - 1998 = a. Sua equacao fica assim: (a - 3)(a - 1)(a + 1)(a + 3) + 16 = 0 ou (a^2 - 9)(a^2 - 1) + 16 = 0. Agora eh facil continuar. -- >From: "Odelir Maria Casanova dos Santos" <[EMAIL PROTECTED]> >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: [obm-l] Noruega-94 >Date: Sat, Apr 13, 2002, 23:05 > > Olá pessoal, eu estava tentando resolver alguns problemas e não cheguei a um > resultado possível para esse: > > (Noruega-1994) Resolva a equação (x +1995)(x +1997)(x +1999)(x +2001) +16 = > 0 > > Qualquer ajuda é bem-vinda ! > Dimitri > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Noruega-94
Olá pessoal, eu estava tentando resolver alguns problemas e não cheguei a um resultado possível para esse: (Noruega-1994) Resolva a equação (x +1995)(x +1997)(x +1999)(x +2001) +16 = 0 Qualquer ajuda é bem-vinda ! Dimitri = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] probabilidadeXpeças
A probab de que as tres primeiras sejam defeituosas e as ultimas cinco sejam perfeitas eh 0,15^3 * 0,85^5. A probab eh a mesma para qualquer outra ordem, pois so muda a ordem dos fatores. Entao a resposta eh 0,15^3 * 0,85^5 multiplicado pelo numero de ordens, C(8,3)=56 Em Fri, 12 Apr 2002 18:28:17 -0300, Nicks <[EMAIL PROTECTED]> disse: > Olá pessoal , > > Alguém poderia me ajudar no problema a seguir ? > > Em uma fábrica 15% das peças são defeituosas . Tomando 8 peças , > qual a probabilidade de que 3 peças sejam defeituosas ? > > Agradeço qualquer ajuda , > > []´s Nick > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] teorema dos cinco cubos?
Como seria este teorema dos cinco cubos? JK == Oi todos!!! Tenho perguntas crueis e matadoras na mao(ou no mail...) 01)Como posso assinar a CRUX Mathematicorum? 02)Se S e um conjunto de primos tal que se p,q sao de S(p=q ou p>q) entao pq+4 tambem esta em S,quantros elementos S tem?Generalize o 4. 04)Se x+y+z=1 para x,y,z reais >0,prove que 27(xxy+yyz+zzx)<=4 e determine a igualdade. 05)Como se prova o teorema dos 4 Quadrados(qualquer natural e a soma de 4 quadrados perfeitos)e dos 5 Cubos? 06)Como faço para abrir os artigos ps e zip da Semana Olimpica? == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
En: [obm-l] Teorema dos 5 cubos
Tente representar 23 ou 239 como a soma de menos de 9 cubos. JF -Mensagem Original- De: marcelo oliveira <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 20:08 Assunto: Re: [obm-l] Teorema dos 5 cubos > Já que ninguém se abilitou, aí vai: > > Mostre que qualquer número inteiro é a soma de 5 cubos. > > Demonstração: > > Observa-se que > (k + 1)^3 - 2k^3 + (k - 1)^3 = > = (k + 1)^3 + (- k^3) + (- k^3) + (k - 1)^3 = 6k. > Desta forma, todo inteiro múltiplo de 6 pode ser escrito como soma de 4 > cubos. > Pode-se escrever também todo inteiro n das seguintes formas: > i) n = 6q = 6x + 0^3 > ii) n = 6q + 1 = 6x + 1^3 > iii) n = 6q + 2 = 6(x + 1) + 2 = 6x + 8 = 6x + 2^3 > iv) n = 6q + 3 = 6(x + 4) + 3 = 6x + 27 = 6x + 3^3 > v) n = 6q + 4 = 6(x - 2) + 4 = 6x - 8 = 6x + (- 2)^3 > vi) n = 6q + 5 = 6(x - 1) + 5 = 6x - 1 = 6x + (- 1)^3 > Assim, podemos escrever que todo inteiro n é da forma: n = 6k + j^3, onde > j = - 2 ou - 1 ou 0 ou 1 ou 2 ou 3. > Sendo 6k = n - j^3 => > (k + 1)^3 + (- k^3) + (- k^3) + (k - 1)^3 = n - j^3 => > n = (k + 1)^3 + (- k^3) + (- k^3) + (k - 1)^3 + j^3 > > > > >From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]> > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> > >Subject: [obm-l] Teorema dos 5 cubos > >Date: Fri, 12 Apr 2002 16:48:40 -0300 > > > >Teorema dos cinco cubos: > > > >Todo número natural pode ser representado como a soma de cinco cubos. > > > >JF > > > >-Mensagem Original- > >De: Bruno F. C. Leite <[EMAIL PROTECTED]> > >Para: <[EMAIL PROTECTED]> > >Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 15:34 > >Assunto: [obm-l] Re: > > > > > > > >05)Como se prova o teorema dos 4 Quadrados(qualquer natural e a soma de > > > >4 quadrados perfeitos)e dos 5 Cubos? > > > > > > Que teorema dos 5 cubos é esse? > > > > > > Bruno Leite > > > http://www.ime.usp.br/~brleite > > > > > > > > >= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >= > > > _ > MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: > http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] teorema dos 5 cubos
Duas correções: 1. Qualquer número natural pode ser representado como a soma de 9 - e não 5 - cubos. O nome do teorema, portanto, é Teorema dos 9 Cubos. 2. O livro An Introduction to the Theory of Numbers (Hardy,GH & Wright,EM), no capítulo XXI, menciona, sem provar, o Teorema dos 9 Cubos. Demonstra apenas que qualquer número natural pode ser representado como a soma de no máximo 13 cubos. JF = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Limites
Desculpe Carol, na expressão citada não tem o tal de " sqrt " , ou
seja onde está n^(3/n) sqrt(1-1/n^2 +1/n^3)^(1/n) , o correto é
n^(3/n)*(1-1/n^2 +1/n^3)^(1/n)ok ?
Carlos Victor
At 19:27 12/4/2002 -0300, Carlos Victor wrote:
>Olá Carol ,
>Se é realmente o que entendi , faça o seguinte : olhe para a
>expressão (n^3 - n + 1)^1/n e a coloque da seguinte forma n^(3/n)
>sqrt(1-1/n^2 +1/n^3)^(1/n) .Observe que esta expressão
>tem limite igual a 1 e que a expressão em coseno fica oscilando
>entre -1 e 1 ; portanto o limite não existe , ok ?
>
>Abraços , Carlos Victor
>
>
>At 05:47 11/4/2002 -0300, Ana Carolina Boero wrote:
>>Por favor, como calculo este limite?
>>
>>lim { cos [pi * sqrt(n^2 + n + 1)] } / (n^3 - n + 1)^1/n
>>n->oo
>>
>>Muito obrigada!
>>
>>Carol
>>
>>_
>>Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito:
>>http://explorer.msn.com.br
>>
>>=
>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
>>=
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
Re: [obm-l] Limites
Olá Carol ,
Se é realmente o que entendi , faça o seguinte : olhe para a
expressão (n^3 - n + 1)^1/n e a coloque da seguinte forma n^(3/n)
sqrt(1-1/n^2 +1/n^3)^(1/n) .Observe que esta expressão
tem limite igual a 1 e que a expressão em coseno fica oscilando
entre -1 e 1 ; portanto o limite não existe , ok ?
Abraços , Carlos Victor
At 05:47 11/4/2002 -0300, Ana Carolina Boero wrote:
>Por favor, como calculo este limite?
>
>lim { cos [pi * sqrt(n^2 + n + 1)] } / (n^3 - n + 1)^1/n
>n->oo
>
>Muito obrigada!
>
>Carol
>
>_
>Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
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[obm-l] probabilidadeXpeças
Olá pessoal , Alguém poderia me ajudar no problema a seguir ? Em uma fábrica 15% das peças são defeituosas . Tomando 8 peças , qual a probabilidade de que 3 peças sejam defeituosas ? Agradeço qualquer ajuda , []´s Nick = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] alguém sabe?
Ola Rui e demais membros desta lista, Para um N natural maior que 1, a sequencia em foco pode ser definida como segue : T(0) = N^(1/N) T(P+1) = [ N^(1/N) ]^T(P) O que voce que saber e o LIM T(P), quando P tende ao infinito. Me parece evidente o seguinte : T(P) < N, Para todo natural P T(P+1) > T(P), Para todo natural P ABRE PARENTESES : Para voce se convencer rapidamente das duas relacoes acima basta perceber que qualquer N pode ser posto sucessivamente como : N=(N^(1/N))^N=(N^(1/N))^(N^(1/N))^N=(N^(1/N))^(N^(1/N))^(N^(1/N))^N=... Como N > 1 e o expoente topo de T(P) e N^(1/N) e N^(1/N) < N segue que T(P) < N e T(P+1) > T(P) FECHA PARENTESES. Segue que a sequencia e CRESCENTE E LIMITADA SUPERIORMENTE. Logo, por um conhecido Teorema de Analise, ELA E CONVERGENTE. Mas ... converge pra onde ? Pra que numero ? Agora a heresia ... Suponha que T(P) converge para um numero diferente de N. Seja Q esse numero. Claramente que 1 < Q < N. Teriamos : LIM T(P)=Q => Q^N=N^Q A equacao da direita e mais tratavel e permite raciocinar em cima de graficos e com raciocinios topologicos. A titulo de exemplificacao : Para N=3, analisar graficamente x^3=3^x Para N=4, analisar graficamente x^4=4^x e assim sucessivamente. Mas, sem duvida, mesmo que pensando assim conseguimos dar uma nova feicao ao problema e torna-lo talvez mais tratavel, havemos de admitir que ha um ar de anormalidade na passagem em que tratamos uma exponenciacao infinita como finita. T(P) e bem comportada e para um numero finito de radicais-expoente a passagem anormal funciona bem. Um justificativa por produtos deve ser muito trabalhosa e seria uma tecnica de justificacao, nao de descoberta : e eu nao acho que esta questao mereca um tal investimento ... Com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 6,1710,120402 >From: "Rui Viana" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] alguém sabe? >Date: Fri, 12 Apr 2002 13:49:26 -0300 > >Olá a todos da lista, >Outro dia um amigo meu me apresentou o seguinte problema : >Qual a solução para a equação x^x^x^x...=2 ? >Bom, a principio x^x^x...=2 => x^2 = 2 => x = 2^(1/2) >Mas a equação x^x^x...=4 teria então a solução x = 4^(1/4) = 2^(1/2) ??? >Então agente fez um teste e descobriu que (2^(1/2))^(2^(1/2))... converge >para 2 e não para 4 (não provamos isso) >Daí agente decidiu tentar : >Já que seguindo essa linha de raciocinio x^x^x...=n tem solução x=n^(1/n), >faça f(n) = n^(1/n). >Eu queria saber para que valor g(n) = f(n)^f(n)^f(n)... converge ?? >Parece que pra 0para >n>e g(n) é convexa e converge para algum valor. >Alguém consegue provar qualquer desses fatos sobre g(n) ? >[]'s, >Rui L Viana F >[EMAIL PROTECTED] > >_ >MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: >http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Teorema dos 5 cubos
Já que ninguém se abilitou, aí vai: Mostre que qualquer número inteiro é a soma de 5 cubos. Demonstração: Observa-se que (k + 1)^3 2k^3 + (k 1)^3 = = (k + 1)^3 + ( k^3) + ( k^3) + (k 1)^3 = 6k. Desta forma, todo inteiro múltiplo de 6 pode ser escrito como soma de 4 cubos. Pode-se escrever também todo inteiro n das seguintes formas: i) n = 6q = 6x + 0^3 ii) n = 6q + 1 = 6x + 1^3 iii) n = 6q + 2 = 6(x + 1) + 2 = 6x + 8 = 6x + 2^3 iv) n = 6q + 3 = 6(x + 4) + 3 = 6x + 27 = 6x + 3^3 v) n = 6q + 4 = 6(x 2) + 4 = 6x 8 = 6x + ( 2)^3 vi) n = 6q + 5 = 6(x 1) + 5 = 6x 1 = 6x + ( 1)^3 Assim, podemos escrever que todo inteiro n é da forma: n = 6k + j^3, onde j = 2 ou 1 ou 0 ou 1 ou 2 ou 3. Sendo 6k = n j^3 => (k + 1)^3 + ( k^3) + ( k^3) + (k 1)^3 = n j^3 => n = (k + 1)^3 + ( k^3) + ( k^3) + (k 1)^3 + j^3 >From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: [obm-l] Teorema dos 5 cubos >Date: Fri, 12 Apr 2002 16:48:40 -0300 > >Teorema dos cinco cubos: > >Todo número natural pode ser representado como a soma de cinco cubos. > >JF > >-Mensagem Original- >De: Bruno F. C. Leite <[EMAIL PROTECTED]> >Para: <[EMAIL PROTECTED]> >Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 15:34 >Assunto: [obm-l] Re: > > > > >05)Como se prova o teorema dos 4 Quadrados(qualquer natural e a soma de > > >4 quadrados perfeitos)e dos 5 Cubos? > > > > Que teorema dos 5 cubos é esse? > > > > Bruno Leite > > http://www.ime.usp.br/~brleite > > > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] persistencia
At 16:35 12/04/02 -0300, you wrote: >On Fri, Apr 12, 2002 at 02:13:46PM -0300, fredericogomes wrote: >> Volto a perguntar se alguem pode me ajudar com a questao >> 3 da obm da segunda fase da universitaria So mais um pouco de paciencia, todas as solucoes da Terceira Fase da OBM serao disponibilizadas na proxima semana no nosso site. Abrazos, Nelly. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Teorema dos 5 cubos
Teorema dos cinco cubos: Todo número natural pode ser representado como a soma de cinco cubos. JF -Mensagem Original- De: Bruno F. C. Leite <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 15:34 Assunto: [obm-l] Re: > >05)Como se prova o teorema dos 4 Quadrados(qualquer natural e a soma de > >4 quadrados perfeitos)e dos 5 Cubos? > > Que teorema dos 5 cubos é esse? > > Bruno Leite > http://www.ime.usp.br/~brleite > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] persistencia
On Fri, Apr 12, 2002 at 02:13:46PM -0300, fredericogomes wrote: > Volto a perguntar se alguem pode me ajudar com a questao > 3 da obm da segunda fase da universitaria A das matrizes? Esta questão é de minha autoria. O Shine resolveu, a solução dele deve ter saido na Eureka ou saira logo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: En: [obm-l] Primos
On Mon, Apr 01, 2002 at 12:26:16PM -0300, Jose Francisco Guimaraes Costa wrote: > N, > > V provou que se n é composto, então 2^n-1 é composto. A partir daí, é válido > dizer que se 2^n-1 é primo então n é primo, que foi a pergunta original? Por > que? Claro, é logicamente equivalente. Isto se chama a contrapositiva. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re:
At 14:46 12/04/02 -0300, you wrote: >Oi todos!!! Tenho perguntas crueis e matadoras na mao(ou no mail...) >01)Como posso assinar a CRUX Mathematicorum? >02)Se S e um conjunto de primos tal que se p,q sao de S(p=q ou p>q) entao >pq+4 tambem esta em S,quantros elementos S tem?Generalize o 4. >04)Se x+y+z=1 para x,y,z reais >0,prove que 27(xxy+yyz+zzx)<=4 e >determine >a igualdade. >05)Como se prova o teorema dos 4 Quadrados(qualquer natural e a soma de >4 quadrados perfeitos)e dos 5 Cubos? Que teorema dos 5 cubos é esse? Bruno Leite http://www.ime.usp.br/~brleite >06)Como faço para abrir os artigos ps e zip da Semana Olimpica? > > > > > >_ >eMTV: receba a mordomia eletrônica! >http://mtv.uol.com.br/emtv > > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] En:
O Teorema dos Quatro Quadrados (Teorema de Lagrange) está demonstrado no capítulo XX do livro An Introduction to the Theory of Numbers (Hardy,GH & Wright,EM). Se lhe interessar, tenho um arquivo de ~2MB com a imagem das páginas que interessam. O dos Cinco Cubos no capítulo seguinte. JF -Mensagem Original- De: <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 14:46 > 05)Como se prova o teorema dos 4 Quadrados(qualquer natural e a soma de > 4 quadrados perfeitos)e dos 5 Cubos? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
En: [obm-l] Primos
Isso prova. Logo, me convence. JF > -Mensagem Original- > De: Eduardo Casagrande Stabel <[EMAIL PROTECTED]> > Para: <[EMAIL PROTECTED]> > Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 13:58 > Assunto: Re: [obm-l] Primos > > > > Caro Jose, > > > > Imagine que 2^n - 1 eh primo e suponha que n eh um numero composto. Pelo > que > > demonstramos n composto implica em 2^n - 1 composto, um absurdo! Logo n eh > > primo. > > > > Isso te convence? > > > > Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. > > > > From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]> > > > N, > > > > > > V provou que se n é composto, então 2^n-1 é composto. A partir daí, é > > válido > > > dizer que se 2^n-1 é primo então n é primo, que foi a pergunta original? > > Por > > > que? > > > > > > JF > > > > > > -Mensagem Original- > > > De: Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]> > > > Para: <[EMAIL PROTECTED]> > > > Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 09:14 > > > Assunto: Re: [obm-l] Primos > > > > > > > > > > On Fri, Apr 12, 2002 at 05:50:37AM -0300, Anderson wrote: > > > > > Oi, > > > > > Alguem poderia me ajudar a desenvolver? > > > > > > > > > > 1) Mostre que se 2^n -1 e' primo, entao n e' primo. > > > > > > > > Está no ilivro meu e do Gugu sobre primos de Mersenne. > > > > O livro pode ser comprado no Impa (por uns R$ 10,00) > > > > e também pode ser lido na minha home page. > > > > > > > > Uma demonstração rápida: > > > > > > > > n composto => n = ab => > > > > 2^n - 1 = 2^(ab-1) + 2^(ab-2) + ... + 1 > > > > = (2^((a-1)b) + 2^((a-2)b) + ... + 1)(2^(b-1) + 2^(b-2) + ... > + > > > 1) > > > > => 2^n - 1 composto > > > > > > > > []s, N. > > > > > > = > > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > > > > > > = > > > > > > > > > > > = > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > > > > = > > > > > > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > > = > > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[no subject]
Oi todos!!! Tenho perguntas crueis e matadoras na mao(ou no mail...) 01)Como posso assinar a CRUX Mathematicorum? 02)Se S e um conjunto de primos tal que se p,q sao de S(p=q ou p>q) entao pq+4 tambem esta em S,quantros elementos S tem?Generalize o 4. 04)Se x+y+z=1 para x,y,z reais >0,prove que 27(xxy+yyz+zzx)<=4 e determine a igualdade. 05)Como se prova o teorema dos 4 Quadrados(qualquer natural e a soma de 4 quadrados perfeitos)e dos 5 Cubos? 06)Como faço para abrir os artigos ps e zip da Semana Olimpica? _ eMTV: receba a mordomia eletrônica! http://mtv.uol.com.br/emtv = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] persistencia
Volto a perguntar se alguem pode me ajudar com a questao 3 da obm da segunda fase da universitaria grato Frederico Gomes Elihimas __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Primos
Caro Jose, Imagine que 2^n - 1 eh primo e suponha que n eh um numero composto. Pelo que demonstramos n composto implica em 2^n - 1 composto, um absurdo! Logo n eh primo. Isso te convence? Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]> > N, > > V provou que se n é composto, então 2^n-1 é composto. A partir daí, é válido > dizer que se 2^n-1 é primo então n é primo, que foi a pergunta original? Por > que? > > JF > > -Mensagem Original- > De: Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]> > Para: <[EMAIL PROTECTED]> > Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 09:14 > Assunto: Re: [obm-l] Primos > > > > On Fri, Apr 12, 2002 at 05:50:37AM -0300, Anderson wrote: > > > Oi, > > > Alguem poderia me ajudar a desenvolver? > > > > > > 1) Mostre que se 2^n -1 e' primo, entao n e' primo. > > > > Está no ilivro meu e do Gugu sobre primos de Mersenne. > > O livro pode ser comprado no Impa (por uns R$ 10,00) > > e também pode ser lido na minha home page. > > > > Uma demonstração rápida: > > > > n composto => n = ab => > > 2^n - 1 = 2^(ab-1) + 2^(ab-2) + ... + 1 > > = (2^((a-1)b) + 2^((a-2)b) + ... + 1)(2^(b-1) + 2^(b-2) + ... + > 1) > > => 2^n - 1 composto > > > > []s, N. > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > > = > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] alguém sabe?
Olá a todos da lista, Outro dia um amigo meu me apresentou o seguinte problema : Qual a solução para a equação x^x^x^x...=2 ? Bom, a principio x^x^x...=2 => x^2 = 2 => x = 2^(1/2) Mas a equação x^x^x...=4 teria então a solução x = 4^(1/4) = 2^(1/2) ??? Então agente fez um teste e descobriu que (2^(1/2))^(2^(1/2))... converge para 2 e não para 4 (não provamos isso) Daí agente decidiu tentar : Já que seguindo essa linha de raciocinio x^x^x...=n tem solução x=n^(1/n), faça f(n) = n^(1/n). Eu queria saber para que valor g(n) = f(n)^f(n)^f(n)... converge ?? Parece que pra 0e g(n) é convexa e converge para algum valor. Alguém consegue provar qualquer desses fatos sobre g(n) ? []'s, Rui L Viana F [EMAIL PROTECTED] _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] propriedade binomial
> (Cn,0)^2 + (Cn,1)^2 + ... + (Cn,n)^2 = C2n,n
Uma maneira de provar esse resultado é calculando o coeficiente de x^n em
(1+x)^{2n}.
Escreva
(1+x)^{2n}=(1+x)^n x (1+x)^n
e observe como se forma o coeficiente de x^n a partir desse produto.
>
> alguém poderia me ajudar a demonstrar ??
>
> obrigado !!
>
> "Mathematicus nascitur, non fit"
> Matemáticos não são feitos, eles nascem
> ---
> Gabriel Haeser
> www.gabas.cjb.net
>
>
> --
> Use o melhor sistema de busca da Internet
> Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
>
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re:primos
Esse assunto tem tudo a ver com primos de Mersenne.Se p e o menor primo que divide n,entao 2^n-1=2^(p*a)-1 para algum a natural.Logo 2^n-1=(2^a)^p-1^p e isso e divisivel por 2^a-1.Se a>1.entao 2^a-1>0.E fim!!! -- Mensagem original -- >Oi, >Alguem poderia me ajudar a desenvolver? > >1) Mostre que se 2^n -1 e' primo, entao n e' primo. > > >Obrigado, >Anderson > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > _ eMTV: receba a mordomia eletrônica! http://mtv.uol.com.br/emtv = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
En: [obm-l] Primos
N, V provou que se n é composto, então 2^n-1 é composto. A partir daí, é válido dizer que se 2^n-1 é primo então n é primo, que foi a pergunta original? Por que? JF -Mensagem Original- De: Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 09:14 Assunto: Re: [obm-l] Primos > On Fri, Apr 12, 2002 at 05:50:37AM -0300, Anderson wrote: > > Oi, > > Alguem poderia me ajudar a desenvolver? > > > > 1) Mostre que se 2^n -1 e' primo, entao n e' primo. > > Está no ilivro meu e do Gugu sobre primos de Mersenne. > O livro pode ser comprado no Impa (por uns R$ 10,00) > e também pode ser lido na minha home page. > > Uma demonstração rápida: > > n composto => n = ab => > 2^n - 1 = 2^(ab-1) + 2^(ab-2) + ... + 1 > = (2^((a-1)b) + 2^((a-2)b) + ... + 1)(2^(b-1) + 2^(b-2) + ... + 1) > => 2^n - 1 composto > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] propriedade binomial
(Cn,0)^2 + (Cn,1)^2 + ... + (Cn,n)^2 = C2n,n alguém poderia me ajudar a demonstrar ?? obrigado !! "Mathematicus nascitur, non fit" Matemáticos não são feitos, eles nascem --- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Primos
On Fri, Apr 12, 2002 at 05:50:37AM -0300, Anderson wrote: > Oi, > Alguem poderia me ajudar a desenvolver? > > 1) Mostre que se 2^n -1 e' primo, entao n e' primo. Está no ilivro meu e do Gugu sobre primos de Mersenne. O livro pode ser comprado no Impa (por uns R$ 10,00) e também pode ser lido na minha home page. Uma demonstração rápida: n composto => n = ab => 2^n - 1 = 2^(ab-1) + 2^(ab-2) + ... + 1 = (2^((a-1)b) + 2^((a-2)b) + ... + 1)(2^(b-1) + 2^(b-2) + ... + 1) => 2^n - 1 composto []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] continuidade
On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote: > At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote: > >Ola pessoal: > >Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. > >"Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. > >Prove > >que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido > >pelo ciclista em exatamente 5 minutos." > > Vamos definir > f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas) > ou se (5 5, você assim está mudando o problema. > > Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto é > falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)<5 entre 0 e 5 ou > f(x)>5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o > percurso de 6 milhas em 30 minutos. ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30 donde f(i) <= 30 e f(j) >= 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5. > > Está tudo certo? Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está. Um problema mais difícil seria: pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido em exatamente 6 minutos? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Surreais
On Fri, Apr 12, 2002 at 01:22:56AM -0300, Guilherme Pimentel wrote: > Qual é a definição dos numeros Surreais? > E quais são suas aplicações? > Se não me engano o Knuth escreveu um livro sobre eles... Estes números foram criados (ou descobertos) por J. H. Conway para estudar jogos combinatórios. Esta Classe de números inclui os reais, os ordinais e muito mais. Algumas referências são On Numbers and Games, J. H. Conway Winning Ways, Berlekamp, Conway, Guy Surreal numbers, D. Knuth (este é mais recreativo) []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Primos
>Oi, > Alguem poderia me ajudar a desenvolver? > >1) Mostre que se 2^n -1 e' primo, entao n e' primo. Suponha que n é composto então podemos fazer n = a.b, com a >= b > 1. Assim 2^n - 1 = 2^(a.b) - 1 Uma vez que 2^a - 1 | 2^(a.b) - 1 então 2^n - 1 não pode ser primo, que é uma contradição. Assim, se n não é composto e nem 1, então n é primo. > > >Obrigado, >Anderson > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] ajuda importante
>>
>> Olá pessoal, será que alguém poderia me ajudar nessas questões da
>>eureka! 12?
>>
>>1.Determine todos os primos p,q tais que pq divida o nº
>>(5^p -2^q)(5^q -2^p)
O enunciado que você colocou está errado!!! O certo (e a solução) é:
Determine todos os números primos p e q para os quais
(5^p 2^p)(5^q 2^q)/pq é um inteiro.
Solução:
Seja p um número primo e p| (5^p 2^p)
Pelo corolário do Teorema de Fermat temos que
5^p == 5 (mod. p) e 2^p == 2 (mod. p) =>
5^p 2^p == 3 (mod. p) => p = 3
Então se p e q são números primos tal que
(5^p 2^p)(5^q 2^q)/pq é um inteiro e se
p | (5^p 2^p), então p = 3.
Como 5^3 2^3 = 3^2.13 e q | (5^q 2^q), então q = 3 ou q = 13
Assim os pares (3, 3), (3, 13), (13, 3) satisfazem o enunciado
Analisemos agora para p diferente de 3 e q diferente de 3.
Agora p | (5^q 2^q) e q | (5^p 2^p)
Assumamos que p > q e claramente mdc (p, q 1) = 1.
Assim existem inteiros positivos a e b tais que ap b(q 1) = 1
Desde que mdc (q, 5) = mdc (q, 2) = 1 =>
5^(q 1) == 1 (mod. q) e 2^(q 1) == 1 (mod. q) =>
5^(q 1) == 2^(q 1) (mod. q)
Como 5^p == 2^p (mod. q) => 5^(ap) == 2^(ap) (mod. q) =>
5^(b(q 1) + 1) == 2^(b(q 1) + 1) (mod. q)(1)
5^(q 1) == 1 (mod. q) => 5^(b(q 1)) == 1 (mod. q) =>
5^(b(q 1) + 1) == 5 (mod. q)(2)
Do mesmo modo 2^(b(q 1) + 1) == 2 (mod. q)(3)
(1), (2) e (3) => q = 3 que é uma contradição
Então as únicas respostas são (3, 3), (3, 13), (13, 3).
>>5.Determine n inteiro tal que n^2 +2 divida 2+2001n
Inicialmente calculemos os possíveis valores de d = mdc (n^2 + 2, 2 +
2001.n).
Desde que d | n^2 + 2 e d | 2 + 2001.n
=> d | (2 + 2001.n)^2 2001(n^2 + 2) =>
d | 4 + 4.2001.n + 2001^2.n^2 2001^2.n^2 2.2001^2 =>
d | 4.2001.n 2.2001^2 + 4
Assim: d | 4(2 + 2001.n) (4.2001.n 2.2001^2 + 4) =>
d | 2(2001^2 + 2) => d | 2.19.83.2539
Como n^2 + 2 | 2 + 2001.n então
mdc (n^2 + 2, 2 + 2001.n) = n^2 + 2 =>
n^2 + 2 | 2.19.83.2539
Por outro lado, devemos ter n^2 + 2 <= 2 + 2001.n => n <= 2001.
Portanto, temos as seguintes possibilidades para n^2 + 2:
i) n^2 + 2 = 2 => n = 0
ii) n^2 + 2 = 19 => não existe n natural que satisfaz
iii) n^2 + 2 = 83 => n = 9
iv) n^2 + 2 = 2.19 => n = 6
v) n^2 + 2 = 2.83 => não existe n natural que satisfaz
vi) n^2 + 2 = 19.83 => não existe n natural que satisfaz
vii) n^2 + 2 = 19.83.2539 => n = 2001
viii) n^2 + 2 = 2.19.2539 => não existe n natural que satisfaz
ix) n^2 + 2 = 2.83.2539 => não existe n natural que satisfaz
x) n^2 + 2 = 19.2539 => não existe n natural que satisfaz
xi) n^2 + 2 = 83.2539 => não existe n natural que satisfaz
xii) n^2 + 2 = 2.2539 => não existe n natural que satisfaz
Portanto: n = {0, 6, 9, 2001}
>>
>> Muito Obrigada!
>> Fê
>
Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira
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Oi, Alguem poderia me ajudar a desenvolver? 1) Mostre que se 2^n -1 e' primo, entao n e' primo. Obrigado, Anderson = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
