[obm-l] Problema
resolva a equação : x^(sqrt x) = 1/2 PS.: x elevado a raiz quadrada de x = 1/2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Sequencia Sinistra!
Olah Nicolau e todos da lista, Nicolau, eu estava fucando os arquivos, e achei um email seu sobre a sequencia numerica 1^1 + 2^2 + 3^3 +... N^N, e sobre achar uma forma fechada para ela. Vc poderia mostrar a forma fechada desta "aberracao", e qual foi o raciocinio usado para chegar a ela? Desde jah agradeco, Ezer F. da Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] triângulos
Olah Rafael, Nao sei se entendi; vc quer uma formula geral para calcular o numero de triangulos iguais que um triangulo semelhante a estes suporta em funcao do numero de lados dos pequenos que cabem num grande? Se for isso, eu pensei assim: Podemos perceber que o numero de triangulos de uma carreira decresce a cada carreira que se conta. E podemos perceber que para cada carreira tem uma outra de numero de triangulos iguais, soh que de cabeca pra baixo, menos a carreira da base. Com base nesses dados, podemos esbocar uma formula: sendo N o numero de triangulos, e L o numero de lados; N = L + 2(L-1) + 2(L-2) + 2(L-3) + ... + 2(L-(L-1)) Como podemos perceber, temos L termos, levando em conta o L. N = L + 2((L -1)+(L-2)+(L-3)+... ) + 2(L-L+1) N = L + 2 +2((L-1)+(L-2)...) Nos temos L-2 termos dentro dos colchetes (sem levar em conta o L e o 2). Logo: N = L + 2 +2((L-2)L) -2(1+2+3+4...) Aqui temos uma PA de termo inicial 1, razao 1 e termo final L-2 Logo, 1+2+3+4... +L-2 = [(1+L-2)(L-2)]/2 = (L^2 - 3L + 2)/2 Substituindo: N = L + 2 +2((L-2)L) -2(L^2 - 3L +2)/2 N = L+2 +2L^2 - 4L -L^2 +3L - 2 Fazendo a continha, chegamos a incrivel formula: N = L^2:c) Grande Abraco, Ezer F. da Silva On 18 May 2002 at 18:43, Rafael WC wrote: > Pessoal, ontem mandei uma dúvida sobre contar o total > de triângulos de todos os tamanhos de uma figura como > a que enviei abaixo novamente. Pensei muito sobre esse > problema e cheguei a uma fórmula não muito amigável, > mas até que não é ruim. Já dá até pra escrever um > algoritmo pra rodar no computador se quiser. > > Primeiro, eu chamei de x o número de lados de > triângulos que temos na base. Por exemplo, se tivermos > um triângulo só x = 1. > /_\ > > Se tivermos uma figura com quatro triângulos de menor > tamanho, temos: > /_\ > /_\ /_\ > > x = 2 > > Na figura que mandei, temos x = 4. > > Com isso, já que você tem triângulos de diferentes > tamanhos, você deve contar separadamente os triângulos > que têm como lado 1 traço, 2 traços, 3 traços...E > depois tem que contar os triângulos que estão de > cabeça pra baixo com esses mesmos tamanhos. > > Se você fizer isso em função dos traços da base não > fica muito ruim. Todas as linhas vou escrever a soma > de várias parcelas de x menos alguma coisa. Quando > você for calcular para algum x, você vai fazer as > subtrações até encontrar o valor zero, aí você para. > Por exemplo, na primeira linha temos: > x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ... > > Se você tiver x = 2, você irá somar até x + (x - 1), > porque o próximo dará zero e aí você deve parar. > > Bom, no final você encontra isso: > triângulos de lado 1: > cabeça pra cima = x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + > ... > cabeça pra baixo = (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ... > total = x + 2.[(x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ...] > É como se o triângulo maior de todos fosse dividido em > várias linhas, aí você vai contando de cada linha. > > triângulos de lado 2: > cabeça pra cima = (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + (x - > 4) + ... > cabeça pra baixo = (x - 3) + (x - 4) + (x - 5) + ... > total = (x - 1) + (x - 2) + 2.[(x - 3) + (x - 4) + > ...] > > Por que aqui começamos a ter de cabeça pra baixo só > com (x - 3)? Porque para termos um triângulo de cabeça > pra baixo, o triângulo maior tem que ter o dobro de > traços na base do que o tamanho do triângulo. Como > esse tem lado 2, precisamos ter x = 4, que se fizermos > (x - 3) dará 1. Enquanto x for menor que 4 esse número > será negativo ou zero e aí não vamos contar. > > triângulos de lado 3: > cabeça pra cima = (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + (x - > 5) + ... > cabeça pra baixo = (x - 5) + (x - 6) + (x - 7) + ... > total = (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + 2.[(x - 5) + > ...] > > E assim teremos sempre esse padrão. Os triângulos de > cabeça pra cima começam sempre com (x - a), onde "a" é > o número anterior ao tamanho do triângulo. E os > triângulos de cabeça pra baixo começam sempre com x - > (2a - 1). Depois os outros termos você vai tirando > sempre 1. > > No final das contas você pode somar tudo isso. Soma os > triângulo de cabeça pra cima com os de cabeça pra > baixo de todos os tamanhos. O problema é que não pode > desenvolver muita coisa, porque não pode misturar x - > 3 com x - 4, porque se você tiver x = 4, você não terá > o termo x - 4. Mas somando apenas x - 1 com x - 1 e x > - 2 com x -2, você terá: > total = x + 3.(x - 1) + 4.(x - 2) + 6.(x - 3) + 7.(x - > 4) + 9.(x - 5) + 10.(x - 6) + 12.(x - 7) + 13.(x - 8) > + ... > > No final você tem então todos os fatores x, x - 1, x - > 2, x - 3, ... e os coeficientes de cada um têm uma > ordem até boazinha: > 1, (pula o 2), 3, 4, (pula o 5), 6, 7, (pula o 8), 9, > 10, (pula o 11), 12, 13, (pula o 14), ... > > E você vai usar a fórmula até o termo em que quando > fizer a diferença de x com alguma coisa dê zero. Ou > você pode até fazer a seguinte regra: considere que > desse valor total você vai pegar apenas os x primeiros > termos. > > Por exemplo, vam
Re: [obm-l] triângulo
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] valor mínimo
-- >From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] valor mínimo >Date: Tue, May 21, 2002, 9:13 AM > > On Mon, May 20, 2002 at 06:58:24PM -0300, Eder wrote: >> Valeu Ralph, >> >> >> Essa expressão surgiu do seguinte problema: detrerminar o menor caminho que >> uma formiguinha pode fazer por sobre a superfície de um cubo de aresta 1,de >> um vértice a outro "diagonalmente oposto". > > Não acompanhei a conversa toda, posso estar repetindo o que alguém já falou, > mas o problema da formiguinha pode ser resolvido usando simplesmente que > a distância mais curta entre dois pontos é a linha reta, sem conta nenhuma. > > Imagine o cubo pendurado por um vértice (que fica em cima). > Imagine que a formiga inicialmente está no vértice de cima e deseja > chegar no vértice de baixo. Há três faces em cima e três em baixo > e um hexágono não planar em zigue-zague de arestas separando as três > faces de cima das três de baixo. Claramente que a distância mais curta > de um qualquer ponto do zigue-zague até o vértice de cima é uma linha > reta que só toca o zigue-zague na ponta; idem para o vértice de baixo. > Claramente a formiga cruza o zigue-zague; como ela segue o caminho mais > curto, ela cruza o zigue-zague em um único ponto; este ponto está sobre > uma das seis arestas (talvez na ponta). Como as seis arestas são exatamente > iguais (ou melhor, há isometrias do cubo preservando os vértices de cima > e de baixo que levam qualquer aresta em qualquer outra) podemos escolher > uma aresta e supor que a formiga passa por ali. Mas agora a formiga está > resolvendo um problema essencialmente planar: há dois quadrados colados > por um lado comum e desdobrar a superfície para colocar os dois quadrados > no plano não muda em nada a vida da formiga. Moral: a formiga anda em linha > reta (no seu ponto de vista) e passa pelo meio de uma das seis arestas > do zigue-zague. > > []s, N. Eu tambem nao acompanhei a conversa, mas se voce conseguir um cubo de plastico ou de acrilico (as escolas costumam ter), experimente pendura-lo por um vertice e pingar no vertice superior uma gota (grande) de mel. Observe o mel escorrendo na superficie do cubo ate pingar pelo vertice inferior. Voce vera tudo o que o Nicolau falou. Abraco, Wagner. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] (nenhum assunto)
n, n+1 sao dois naturais consecutivos; logo, um deles eh par e o produto n(n+1) eh par. A tabela a seguir mostra os algarismos das unidades: n n+1 n(n+1) n(n+1)/2 0 1 0 5 ou 0 1 2 2 1 ou 6 2 3 6 3 ou 8 3 4 2 3 ou 6 4 5 0 0 ou 5 5 6 0 0 ou 5 6 7 2 1 ou 6 7 8 6 3 ou 8 8 9 2 1 ou 6 9 0 0 0 ou 5 [EMAIL PROTECTED] wrote: [EMAIL PROTECTED]"> mostre que para todo n natural, o número n(n+1)/2 está em IN e que seu algarismo das unidades não pode ser 2, nem 4, nem 7, nem 9. Obrigado Korshinói
[obm-l] (nenhum assunto)
mostre que para todo n natural, o número n(n+1)/2 está em IN e que seu algarismo das unidades não pode ser 2, nem 4, nem 7, nem 9. Obrigado Korshinói
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> > Ola Dirichlet ! > Tudo legal ? > > Quando eu falei sobre o problema das raizes cubicas, NAO PROVEI NADA, apenas > dei algumas sugestoes para uma eventual demonstracao sua. A densidade dos > reais nao me pareceu um obstaculo, antes um auxilio ... > > De fato. Uma definicao satisfatoria de convexidade pode ser : > > F((X+Y)/2) > (F(x)+F(Y))/2 > > TRADUZINDO : A base media do trapezio retangulo de bases F(X) e F(Y) e > sempre menor que o valor da ordenada da funcao convexa no ponto medio. > > Mas isso E UMA DEFINICAO SATISFATORIA ... significa que ela comporta > implicacoes que estao ligadas a funcao que nao ficam claras na definicao > acima ... para ver isso, seja F(X) crescente. Entao : > > X < Y => F(X) < F(Y) => P*F(X) + q*F(X) < p*F(X) + q*F(Y) > F(X) < (p*F(X) + q*F(Y))/(p+q) com p,q reais positivos. > Analogamente : (p*F(X) + q*F(Y))/(p+q) < F(Y) > > Das duas desigualdades acima segue que a media ponderada das bases sempre > estara entre os valores das duas ordenadas, quaisquer que sejam os pesos > reais e positivos. Segue que se associarmos uma reta passando por, digamos, > raiz_N(A) e raiz_N(B), A e B naturais, estaremos, em verdade, fazendo a > associacao : > > raiz_N(A) -> P <=> C + D*P = raiz_N(A) > raiz_N(B) -> Q <=> C + D*Q = raiz_N(B) > > A solucao do sistema acima vai fornecer C e D, que sao os termos que irao > caracterizar univocamente a PA que contem as duas raizes N-esimas. Ora, para > para qualquer valor natural entre A e B, o ponto da reta que contem as > raizes N-esimas A e B e uma ordenada que pode ser expressa como uma media > ponderada entre estas raizes, conforme voce pode verificar diretamente. Dai > segue que raiz_N(C+D*(valor entre A e B)) tambem e convexa e teremos : > > raiz_N(C+D*(valor entre A e B)) > media ponderada entre as raizes enesimas > de A e B. > > Supor que uma das raizes estara na reta vai entrar em contradicao com o fato > acima, pois C+D*N, dado que assume os valores raiz_N(A) em P e raiz_N(B) em > que Q e continua e, em particular, vai assumir qualquer outro valor N-esimo > entre estas duas raizes. Oi Paulo! Não sei se compreendi bem esse seu e-mail. :) O problema é o seguinte: desenhe no plano os pontos (R_N(x), x) para todo x inteiro positivo. Você vai ter destacado alguns pontos da função contínua f(x) = R_N(x) para todo x real. Agora escolha uma PA de 3 termos inteiros positivos, digamos Y_1, Y_2, Y_3. Marque os três pontos no eixo ordenado (0,Y_1), (0, Y_2) e (0, Y_3), para cada um deles trace uma reta horizontal, ou seja, paralela ao eixo das abscissas. Suponhamos que essas três retas passem por três dos pontos do gráfico que você tinha destacado. Esses três pontos chame de (X_1, Y_1) também (X_2, Y_2) e finalmente (X_3, Y_3). O que nós temos, agora, é que os Y_1, Y_2 e Y_3 está em forma de PA, mas isso não precisa acontecer com os X_1, X_2 e X_3. OU SEJA, os pontos (X_n, Y_n) NÃO PRECISAM ESTAR SOBRE UMA RETA. E daí esse seu argumento não prova nada sobre o problema inicial. Em outras palavras, o que você demonstrou pela convexidade da f, a saber, que nenhuma reta corta o gráfico da f em três pontos distintos, não garante que se p, q e r foram primos distintos então f(p), f(q) e f(r) não formam uma PA. Se o seu argumento é só um passo para resolver o problema, perdoe o meu comentário acima: mas eu acredito que esse caminho não vai levar a uma solução. E só para terminar o e-mail: o Fabio Dias Moreira é que ressaltou isso que eu disse aí em cima, e pelo visto, o Paulo não chegou a ler a mensagem dele. Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. PS. eu não descarto a possibilidade de eu não ter compreendido bem as mensagens do Paulo e do Fábio, e eu é que precise de uma explicação. > > Era essa a ideia da demonstracao. Talvez eu nao tenha conseguido ser claro > naquele momento. E obrigado pelo elogio. > > Um abraco > Fica com Deus > Paulo Santa Rita > 3,1635,210502 > > > >From: [EMAIL PROTECTED] > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >To: Lista de Discussao <[EMAIL PROTECTED]>,[EMAIL PROTECTED] > >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana > >( questao pessoal ) > >Date: Tue, 21 May 2002 15:25:20 -0300 > >O que eu realmente achei estranho foi o fato de ninguem(entre muitos de > >voces) me responder ha tanto tempo(1 mes e meio,por volta disso),a nao > >ser voce.Eu devia ter lhe respondido essa pergunta mas acabei >cancelando > >sem > >querer a mensagem de resposta (junto com meu login), comentando a > > >genialidade da ideia,que alias tinha um furo(esta das raizes >cubicas.Eu > >tentei algo com Teoria dos Numeros mas nao obtive >exito.Voce usou graficos > >de funçoes. O problema era que a s funcoes >eram discretas(naturais)e nao > >densas(reais).). > > > _ > O MSN Photos é o modo mais fácil de compartilhar e imprimir suas fotos: > http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx > >
[obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
>ANSWER:Tudo bem.Antes,so uma coisa:quando eu falei do Professor Nicolau >Saldanha,nao quis dar uma ma impressao(*bem pelo contrario!!!).So fiz uma >comparaçao:ele,que e muito ocupado,ja que e um dos lideres da OBM,teve tempo >de responder-me um e-mail sobre os inteiros de Eisenstein e o problema 6 >da IMO 2001(alias ja troquei de servidor MILHARES de vezes por causa >disso.Tanto que ele so recebia mensagens minhas em HTML).E fiquei espantado >pela demora(sera que ninguem me respondia?)!!!Mas se isto teve um tom >pejorativo,perdoem-me.Afinal >letras nao conseguem expressar ideias com perfeiçao.Acabei sendo antipatico,mas >sem a menor ideia do que isso causaria. >O que eu realmente achei estranho foi o fato de ninguem(entre muitos de >voces) me responder ha tanto tempo(1 mes e meio,por volta disso),a nao ser >voce.Eu devia ter lhe respondido essa pergunta mas acabei cancelando sem >querer a mensagem de resposta(junto com meu login),comentando a genialidade >da ideia,que alias tinha um furo(esta das raizes cubicas.Eu tentei algo >com Teoria dos Numeros mas nao obtive exito.Voce usou graficos de funçoes.O problema era que a s funcoes eram discretas(naturais)e nao densas(reais).). >E desculpe-me mas esse problema da "primes cube-root" nao e iberoamericano.Eu >resolvi inclui-lo deliberadamente na lista.E nao especifiquei.E,a velha e boa pressa de sempre... >E -da proxima vez que eu for usar o SHIFT,vou pensar um pouco mais. >Bem,agora eu fui avisado.E muito obri-valeu por tudo >Atenciosa e enfadonhamente,ate!! >Peterdirichlet. >-- Mensagem original -- > >>Ola Dirichlet, >>Tudo legal ? >> >>Estou lhe respondendo particularmente por acredito que a inabilidade que >> >>voce demonstra ter nao me parece fruto de um carater distorcido, mas apenas >> >>as consequencias previsiveis de determinadas conjunturas sociais e >>familiares ... >> >>1) As pessoas da lista NAO SAO OBRIGADAS a responder qualquer mensagem. >Elas >> >>respondem as que querem. De forma que ao colocarmos um problema la devemos >> >>ter isso em mente. Se ninguem nos responder, E UM DIREITO DELES que deve >>e >>precisa ser respeitado, pois os nossos direitos terminam quando comecam >os >> >>dos outros. PORTANTO, SE NINGUEM LHE RESPONDER, NAO RECLAME ! >> >>2) Na lista esta o coordenador nacional, Prof Nicolau Saldanha, e muitos >>( >>senão todos ! ) coordenadores regionais. Se voce criticar pode ser que >no >> >>futuro, quando voce precisar, nao encontre tao boa vontade quanto >>encontraria se procurasse - respeitados os principios de dignidade e >>honradez - cativar as pessoas que leem suas mensagem, tornando uteis suas >> >>publicacoes. Assim, por prudencia, EVITE TECER COMENTARIOS NEGATIVOS SOBRE >> >>QUALQUER MEMBRO ESPECIFICO DA LISTA ! >> >>3)Se voce quer ver suas duvidas serem respondidas, procure SER HUMILDE. > >>HUMILDADE NAO E MEDIOCRIDADE. Muitas pessoas da lista tem muito mais estudo >> >>que voce, de forma que aquilo que para voce parece dificil pode ser facil >> >>para algum membro. Mas, se voce for arrogante e ironico, vai antipatizar >>com >>as pessoas e ninguem te respondera. >> >>Bom, meu : NUNCA DIGA QUE NINGUEM LHE AVISOU ! >> >>Um abraco >>Paulo Santa Rita >>6,1558,170502 >> >> >> >> >> >> >> >>>From: [EMAIL PROTECTED] >>>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>>To: [EMAIL PROTECTED] >>>Subject: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana >>>Date: Fri, 17 May 2002 14:04:55 -0300 >>> >>>ANSWER:Bem,apoveito e respondo o e-mail do Bruno.Bem,acho que o intuito >>>nao seria o de explora-los. Afinal,so porque NINGUEM RECEBE SALARIO nao >>>significa que nao possa responder.Fiquei espantado pela demora.Certa vez >>>o Nicolau me respondeu uma questao 1 semana depois que enviei o e-mail.E >>>agora fiquei mo cara sem resposta.Talvez nao me interpretei direito... >>>Mas se as questoes estavam mal-formuladas,por que nao me avisaram? >>>Corrigindo:1)p*q+r tambem pertence ao dito conjunto.E o r e o n sao >>>iguais(erros >>>de grafia e pressa). >>>3)Resto da DIVISAO,ta? >>>4)Eu modifiquei os enunciados(de modo imperceptivel:no lugar de lideres >>>da OIM estava representantes). Mas e isso mesmo,a ideia e IGUALZINHA >>>Meu,sera que me fiz claro? >>>Um abraço.Peterdirichlet >>> >>> >>> >>> >>> >>>-- Mensagem original -- >>> >>> >Ola Dirichlet, >>> > >>> >Ninguem respondeu, MUITO PROVAVELMENTE, porque as suas questoes, >>> > >>> >1) Estao mal formuladas. Por exemplo, voce escreveu : >>> > >>> >>5)Sabe-se que num conjunto de primos se p e q sao elementos(iguais >ou >>> >>> >> >nao)entao p*q+r,em que r e constante.Quantos elementos tem S com >>> >>n=4?>Generalize o r. >>> > >>> >p*q+r O QUE ? E ESSE n=4, O QUE E ? >>> > >>> >Essa mal formulacao EVIDENTE impossibilita uma solucao pode ter lancado >>>uma >>> > >>> >descrenca quanto a correcao do enunciado das demais questoes. >>> > >>> >2) A maioria delas ja tem solucao nos arquivos de mensagens que o Prof >>> >>> >Nicolau guarda. por exemplo, voce escreveu : >>> > >>> >>1)Ach
[obm-l] Re: [obm-l] logaritmo de (-10)^2
E ai Werneck,beleza? Bem,se a banca definisse"...a funçao f:C->C...",ai tudo bem.Eu nao me lembro da definiçao agora mas tinha algo a ver com forma polar de complexos. Por hoje e so pessoaal!Peterdirichlet -- Mensagem original -- >Oi Pessoal! > >Caiu uma questão num concurso só para professores de >matemática ontem que me deixou intrigado: >Dada a função f: >f(x) = x + raiz(x^2) - log(base 10)(x^2) > >Calcule f(-10). > >A resposta foi -2. Mas depois da prova surgiu a maior >discussão porque existia uma alternativa que era >"f(-10) não está definida". > >O pessoal questinou que estando f(-10) definida, devia >valer a propriedade do expoente de logaritmo e >poderíamos escrever: >f(x) = x + raiz(x^2) - log(base 10)(x^2) >f(x) = x + raiz(x^2) - 2.log(base 10)(x) > >E aí vemos claramente que não podemos tirar o log de >-10. Mas como o gabarito da comissão organizadora foi >-2, ficamos todos na dúvida: está definida f(-10)??? > >Um abraço, > >Rafael. > >= >Rafael Werneck Cinoto > ICQ# 107011599 > [EMAIL PROTECTED] > [EMAIL PROTECTED] > [EMAIL PROTECTED] >http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ > >__ >Do You Yahoo!? >LAUNCH - Your Yahoo! Music Experience >http://launch.yahoo.com >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Trigo
Senhor Crom,que tal voce vir nos fazer uma visitinha aqui em Sao Paulo?Na Av.Paulista,predio da Gazeta.Ass.:Edson Abe. Bem,sen20/cos20+sen70/cos70=sen20/cos20+cos20/sen20=sen20*sen20 +cos20*cos20/sen20*cos20=2/sen40=2*cosec40=2*sec50. a outra ja e bem mais longa.Mas e so prostaferizar que sai.Dica:nunca use outra coisa alem de senos e co-senos. Ate mais.Celso Pitta -- Mensagem original -- >1)Calcular o valor de tg20.tg40.tg80 >2)Mostre que tg20+tg70=2sec50. >Agradeço quem ajudar nessas questões. > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] permutações circulares com repetição
Ola Rafael e demais colegas desta lista, O unico TEOREMA DE MOREAU que eu conheco e aquele. Eu nunca vi aquele teorema ser aplicado para resolver problemas do tipo que voce apresentou. Todavia, o Prof Morgado explicitamente cita TEOREMA DE MOREAU. Segue que : 1) O teorema de moreau QUE EU CONHECO tem aplicacoes QUE EU NAO CONHECO. 2) Existe um teorema de moreau QUE EU NAO CONHECO que tem aplicacoes QUE EU CONHECO. Independente de tudo isso, com os modestos conhecimentos habituais de Analise Combinatoria podemos abordar o problema que voce propos ... A - O MISTERIO Se alguem lhe perguntar de quantas formas distintas N pessoas podem sentar em uma mesa redonda, incontinenti voce respondera : de (N-1)! maneiras. E a conhecidissima formula de permutacoes circulares ... COM ELEMENTOS, DOIS A DOIS, DISTINTOS ! Bom ... Por que essa formula e assim ? Dentre um montao de respostas igualmente validas, e digna de destaque aquela que diz que A CADA PERMUTACAO CIRCULAR DE N ELEMENTOS,DOIS A DOIS DISTINTOS correspondem N PERMUTACOES LINEARES. Logo, calculando o total possivel de permutacoes lineares, basta dividir esse total por N para obtermos o total de permutacoes circulares : N*PC = PL, PL=N! => PC= N!/N => PC=(N-1)! Um exemplo : A permutacao circular ABCD correspondem as permutacoes lineares ABCD, BCDA, CDAB e DABC. E isto e, evidentemente, absolutamente geral ... UM PERMUTACAO CIRCULAR E( OU PODE SER DEFINIDA COMO ), EM VERDADE, UM CONJUNTO DE PERMUTACOES LINEARES ... Mas, e preciso tomar cuidado ... Quando entram elementos repetidos, nem sempre a quantidade de permutacoes lineares que correspondem a uma dada permutacao circular e constante ! Para ver isso, considere a permutacao circular : 1) ABAB. Correspondem a ela as seguintes permutacoes lineares : ABAB e BABA. Duas portanto ! 2) AABB. Correspondem a ela as seguintes permutacoes lineares : AABB, ABBA, BBAA, BAAB. Quatro portanto ! Portanto, os mesmos objetos - A,A,B,B - distribuidos ao longo de um circulo de duas maneiras diferentes geraram quantidades distintas de permutacoes lineares. Isso so ocorre, claramente, quando nas permutacoes circulares entram objetos repetidos . Bom, e dai ? O que fazer ? Considerando que : 1) Calcular e construir permutracoes lineares com elementos repetidos e um problema facil e ja bem resolvido. 2) Cada permutacao circular corresponde a um conjunto de permutacoes lineares O que se deve fazer e estudar, observando e caracterizando com precisao todos os fenomenos que ocorrem e, so entao, passar a uma possivel explicacao. B - OS FENOMENOS 1) E facilmente observavel e pode-se confirmar com inumeras experiencias o seguinte : se uma permutacao circular pode ser expressa como multiplo de um de seus SUB-GRUPOS entao a quantidade de permutacoes lineares geradas sera igual a extensao do SUB-GRUPO. Exemplo : ABBCABBC = 2(ABBC) A permutacao acima gera apenas 4 permutacoes lineares : ABBCABBC, BBCABBCA, BCABBCAB, CABBCABB Daqui se conclui, imediatamente, que se a multiplicidade dos elementos de uma permutacao circular tem MDC igual a 1 entao, mesmo havendo elementos repetidos, a quantidade de permutacoes lineares geradas sera sempre igual a extensao da permutacao circular, isto e : N*PC = PL => PC = PL/N como PL = (M1+M2+...+Mn)!/(M1!*M2!*...*Mn!) segue que : PC = (M1+M2+...+Mn - 1)!/(M1!*M2!*...*Mn!) Onde Mi sao as multiplicidades dos objetos e M1+M2+...+Mn=N 2) Se o MDC entre as multiplidades nao e um entao a permutacao circular pode ser expressa sucessivamente como multiplo dos diversos divisores do MDC e essas serao as unicas permutacoes circulares para as quais ha a contracao no numero de permutacoes lineares geradas. Exemplo : ABABABAB = 4(AB) implica nas PL's ABABABAB, BABABABA AABBAABB = 2(AABB) implica nas PL's AABBAABB, ABBAABBA, BBAABBAA, BAABBAAB Nos caso em que o MDC das Multiplicidades e diferente de 1 somos obrigados a admitir que so os SUB-GRUPOS com extensao igual aos divisores do MDC geram contracoes nas PL's pois, de outra forma, O MDC seria diferente, o que e um absurdo ! Com os casos 1) e 2) exaurem todas as possibilidades nas quais uma PC corresponde a PL's em numero inferior a sua extensao e resolve o seu problema. SO UM DETALHE : Eu observo que muitas pessoas, diante de um problema, buscam previamente uma tecnica com a qual podem trata-lo e resolve-lo. A verdadeira tecnica de resolucao de qualquer problema e o pensamento : primeiro nos observamos as coisas, DEPOIS procuramos entende-las. A tecnica ou teoria aparece depois, naturalmente. Newton foi muito feliz quando falava sobre isso : " Pois A MELHOR E MAIS SEGURA maneira de pensar parece-me ser a seguinte : PRIMEIRO, pesquisar com afinco as propriedades das coisas; COMPROVAR estas propriedades, por intermedio de experiencias e, SO ENTAO, adiantar-se LENTAMENTE para o campo das hipoteses relativas a explicacao. As teorias devem ser criadas para explicar as propriedades verificaveis da
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] valor mínimo
On Tue, 21 May 2002, Nicolau C. Saldanha wrote: > > > > Essa expressão surgiu do seguinte problema: detrerminar o menor caminho que > > uma formiguinha pode fazer por sobre a superfície de um cubo de aresta 1,de > > um vértice a outro "diagonalmente oposto". > > Não acompanhei a conversa toda, posso estar repetindo o que alguém já falou, > mas o problema da formiguinha pode ser resolvido usando simplesmente que > a distância mais curta entre dois pontos é a linha reta, sem conta nenhuma. Uma solucao alternativa e' pensar num cubo de papel, e abri-lo, obtendo uma cruz. O que se quer e' ligar 2 vertices opostos de um retangulo formado por dois quadrados. E' facil ver que a diagonal deste retangulo passa no meio do lado comum aos dois quadrados, o que da' o caminho da formiga. Fred Palmeira > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] ??
Oba Eder! Td OKey? Bom, pelo método da mudança de variável: u = sqrtx, fica u + m = u^2, logo temos u^2 -u -m = 0 Suas prováveis raízes em R são [1 + sqrt(4m + 1)]/2 e [1 - sqrt(4m + 1)]/2 A segunda raíz ñ satisfaz a condição de u >= 0 para todo m( só para valores de m menores ou igual a 3/4).Logo a eq em u só tem uma solução em R e portanto a eq em x tem apenas uma solução. Inté!! FABIO - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, May 20, 2002 10:43 PM Subject: [obm-l] ?? Olá, Ficarei muito grato a quem me ajuar com o seguinte problema: "Mostre que para todo m>0, sqrt(x)+m=x tem exatamente uma raiz." É do volume 1 da coleção Matemática para o ensino médio.
Re: [obm-l] ??
Oi Eder. Uma das piores coisas em Matemática é quando superestimamos um problema, isto é, quando começamos imaginando que ele é muito difícil, mas na verdade não é. Isto faz com que busquemos soluções sofisticadas, usando ferramentas pesadas da Matemática, o que nos desvia de caminhos mais naturais. Com esta questão me ocorreu isto. Fiquei uns 10 minutos, usando todo o ferramentário do cálculo diferencial, provando a injetividade da função em certos intervalos, calculando limites, na tentativa de provar a existência da raiz via Teorema do Valor Intermediário. Mas, em seguida vi que estava dando " bobeira" . Note o seguinte: x - sqrt(x) = m <=> sqrt(x) . ( sqrt(x) - 1 ) = m . Façasqrt(x) = y => y . ( y - 1 ) = m <=> y^2 - y - m = 0 . REsolvendo esta eq. do 2o grau, obtemos DElta = 1 + 4m > 0 , pois m> 0 e analisandoas raízes y' e y'' , vemos que só uma delas é positiva, e já que y = sqrt(x) > 0 , segue a unicidade. É só escrever tudo com detalhes, para se obter uma solução formalzinha. Um abraço, FRed. >From: "Eder" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: [obm-l] ?? >Date: Mon, 20 May 2002 22:43:56 -0300 > >Olá, > > >Ficarei muito grato a quem me ajuar com o seguinte problema: > >"Mostre que para todo m>0, sqrt(x)+m=x tem exatamente uma raiz." > >É do volume 1 da coleção Matemática para o ensino médio. Eder. _ Converse com amigos on-line, conheça o MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] valor mínimo
On Mon, May 20, 2002 at 06:58:24PM -0300, Eder wrote: > Valeu Ralph, > > > Essa expressão surgiu do seguinte problema: detrerminar o menor caminho que > uma formiguinha pode fazer por sobre a superfície de um cubo de aresta 1,de > um vértice a outro "diagonalmente oposto". Não acompanhei a conversa toda, posso estar repetindo o que alguém já falou, mas o problema da formiguinha pode ser resolvido usando simplesmente que a distância mais curta entre dois pontos é a linha reta, sem conta nenhuma. Imagine o cubo pendurado por um vértice (que fica em cima). Imagine que a formiga inicialmente está no vértice de cima e deseja chegar no vértice de baixo. Há três faces em cima e três em baixo e um hexágono não planar em zigue-zague de arestas separando as três faces de cima das três de baixo. Claramente que a distância mais curta de um qualquer ponto do zigue-zague até o vértice de cima é uma linha reta que só toca o zigue-zague na ponta; idem para o vértice de baixo. Claramente a formiga cruza o zigue-zague; como ela segue o caminho mais curto, ela cruza o zigue-zague em um único ponto; este ponto está sobre uma das seis arestas (talvez na ponta). Como as seis arestas são exatamente iguais (ou melhor, há isometrias do cubo preservando os vértices de cima e de baixo que levam qualquer aresta em qualquer outra) podemos escolher uma aresta e supor que a formiga passa por ali. Mas agora a formiga está resolvendo um problema essencialmente planar: há dois quadrados colados por um lado comum e desdobrar a superfície para colocar os dois quadrados no plano não muda em nada a vida da formiga. Moral: a formiga anda em linha reta (no seu ponto de vista) e passa pelo meio de uma das seis arestas do zigue-zague. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] logaritmo de (-10)^2
On Mon, May 20, 2002 at 09:43:04PM -0300, Josimar wrote: > log(x^n) = n*log x <==> x > 0. > Assim como sqrt(x^2) = x<===> x>=0. > sqrt[(-10)^2] = sqrt 100 = 10. > A rigor, sqrt(x^2) = abs ( x ). > []s, Josimar > - Original Message - > From: Rafael WC <[EMAIL PROTECTED]> > To: OBM <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Monday, May 20, 2002 8:08 PM > Subject: [obm-l] logaritmo de (-10)^2 > > > Oi Pessoal! > > Caiu uma questão num concurso só para professores de > matemática ontem que me deixou intrigado: > Dada a função f: > f(x) = x + raiz(x^2) - log(base 10)(x^2) > > Calcule f(-10). > > A resposta foi -2. Mas depois da prova surgiu a maior > discussão porque existia uma alternativa que era > "f(-10) não está definida". > > O pessoal questinou que estando f(-10) definida, devia > valer a propriedade do expoente de logaritmo e > poderíamos escrever: > f(x) = x + raiz(x^2) - log(base 10)(x^2) > f(x) = x + raiz(x^2) - 2.log(base 10)(x) > > E aí vemos claramente que não podemos tirar o log de > -10. Mas como o gabarito da comissão organizadora foi > -2, ficamos todos na dúvida: está definida f(-10)??? A resposta do Josimar (e uma outra que eu já esqueci de quem era) foi boa, e a opção correta claramente é f(-10) = -2. ...mas só para tumultuar um pouco, vou questionar a frase "claramente não podemos tirar o log de (-10)"; log(x) está definido para números negativos sim, desde que permitamos respostas complexas. Isto vem de exp(a + ib) = exp(a) (cos(b) + i sen(b)) donde por exemplo exp(Pi i) = -1 e descobrimos que (Pi i) é um logaritmo de (-1). Digo um logaritmos pq aqui temos o mesmo problema que para raízes quadradas: dado um número complexo w há mais de um número complexo z com exp(z) = w. É preciso escolher um valor favorito para que log(z) seja o nome de um número. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] IMO 2002
A equipe Brasileira que participará da IMO-2002 (19 a 30 de julho de 2002, Glasgow - UK) é a seguinte: Líder da delegação: Prof. Edmilson Motta (São Paulo-SP) Vice-líder da delegação: Prof. Ralph Teixeira (Niterói-RJ) Equipe (em ordem alfabética): BRA1: Alex Correa Abreu (Niterói-RJ) BRA2: Davi Maximo Alexandrino Nogueira (Fortaleza-CE) BRA3: Guilherme Issao Camarinha Fujiwara (São Paulo-SP) BRA4: Larissa Cavalcante Queiroz de Lima (Fortaleza-CE) BRA5: Thiago da Silva Sobral (Fortaleza-CE) BRA6: Yuri Gomes Lima (Fortaleza-CE) Boa sorte para nossos representantes. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] En: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Sob que condiçoes uma deformacao preserva medidas
On Mon, May 20, 2002 at 03:48:43PM -0300, Jose Francisco Guimaraes Costa wrote: > Rearrumá-las sem deformá-las? Exato. > > V poderia dar uma idéia da demonstração, isto é, a linha geral seguida na >demonstração? Acho difícil. > > Alguém saberia dizer se as publicações citadas podem ser encontradas em alguma >biblioteca no Rio, que seja aberta a público externo? Um monte. Por exemplo, na PUC, no IMPA, ... []s, N. ... > : On Sun, 4 Feb 2001, Nicolau C. Saldanha wrote: > : > : > : > Aliás um grande problema da matemática do século XX foi o da quadratura > : > do círculo: não aquele proposto pelos gregos e cuja demostração foi > : > concluída com a prova da transcendência de pi. O problema século XX > : > da quadratura do círculo é: será possível decompor um círculo de área 1 > : > em um número finito de peças e rearrumá-las para formar um quadrado > : > de área 1? A resposta é que sim, é possível. > : > > : > []s, N. > : > > : > > : > > Isto foi provado por Miklos Laczkovich: > > M. Laczkovich, Equidecomposability and discrepancy; a solution of Tarski's >circle-squaring problem, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 403 (1990) >77-117 > > Veja também, > > R. J. Gardner and S. Wagon, At long last, the circle has been squared, Notices of >the American Mathematical Society, 36 (1989) - 1338-1343 > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Trigo
Caro amigo DEOLIVEIRASOU, Vou tentar ajudá-lo apenas na resolução da 1a. questão, pois já notifiquei que outro nosso colega da lista o ajudou em demonstrar o valor da 2a. questão. Então, vamos lá: Resolvi a questão apenas com a fórmula abaixo: tg(3x) = tg(x).tg(60-x).tg(60+x) Fazendo, então, x=20, teríamos: tg(60) = tg(20).tg(40).tg(80) Ou seja: tg(20).tg(40).tg(80) = tg(60) tg(20).tg(40).tg(80) = sqrt(3). --- FIM --- Bem, e como sei tambem que você gostaria da demonstração da fórmula, tentarei lhe ajudar mais uma vez. Então, vamos lá: Sabendo que: tg(a+b) = [tg(a) + tg(b)]/[1 - tg(a).tg(b)] tg(a-b) = [tg(a) - tg(b)]/[1 + tg(a).tg(b)] Vamos agora calcular quanto vale tg(3x): tg(3x) = [tg(x) + tg(2x)]/[1 - tg(x).tg(2x)] tg(3x) = (tg(x) + tg(x) + tg(x) ) (1 - tg(x).[tg(x) + tg(x)]) (- ) / ( -- ) ( [1 - tg²(x)] ) ( [1 - tg²(x)] ) Para nos facilitar, chamemos tg(x)=a. Então, temos: tg(3x) = [a + 2a/(1-a²)]/[1 - a(2a)/(1-a²)] tg(3x) = [(a-a³+2a)/(1-a²)]/[(1-a²-2a²)/(1-a²)] tg(3x) = [(-a³+3a)/(1-a²)]/[(1-3a²)/(1-a²) tg(3x) = [(-a³+3a)/(1-3a²)] x(-1) tg(3x) = [(a³-3a)/(3a²-1)] tg(3x) = [a(a²-3)/(3a²-1)] tg(3x) = a(a + sqrt[3])(a - sqrt[3]) / (sqrt(3)a + 1)(sqrt(3) - 1) E como a = tg(x), temos: tg(3x) = tg(x). (tg(x) + sqrt[3])(tg(x) - sqrt[3]) --- (sqrt[3)tg(x) + 1)(sqrt[3]tg(x) - 1) Sabemos que sqrt(3) = tg(60), não é verdade ? Multiplicando o numerador e o dividendo por (-1), temos: tg(3x) = tg(x). [tg(x)+tg(60)][tg(60) - tg(x)] -- [1 + tg(60)tg(x)][1 - tg(60)tg(x)] Bem, agora fica fácil ver que podemos simplificar a fração, pois sabemos que: tg(60+x)=[tg(60)+tg(x)]/[1-tg(60)tg(x)] tg(60-x)=[tg(60)-tg(x)]/[1+tg(60)tg(x)] E, com isso, temos que: tg(3x) = tg(x).tg(60+x).tg(60-x)(c.q.d) - FIM -- Caro amigo, o problema em questão limita-se a fazer x=20, para termos: tg(60) = tg(20).tg(80).tg(40) - Bem amigo, de coração, espero ter ajudado! Desculpe qualquer coisa. Um grande abraço, Felipe Marinho. >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] Trigo >Date: Tue, 21 May 2002 00:27:36 EDT > >1)Calcular o valor de tg20.tg40.tg80 >2)Mostre que tg20+tg70=2sec50. >Agradeço quem ajudar nessas questões. _ O MSN Photos é o modo mais fácil de compartilhar e imprimir suas fotos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
