date:20021222

Re: [obm-l] Re:

2002-12-22 Por tôpico Paulo Santa Rita

Oi Eder, Oi Paulo,
Ola Prof Morgado e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

E verdade, alguem olhou na home page do John Scholes e traduziu 
literalmente, sem antes resolver o problema. Dai surgiu o enunciado errado :

Se p(x)=ax^2 + bx + c e, alem disso, P(x)=x nao tem solucao real, entao 
p(p(x))=0 nao tem solucao real.

O enunciado correto e :

Se p(x)=ax^2 + bx + c e, alem disso, P(x)=x nao tem solucao real, entao 
p(p(x))=x nao tem solucao real.

O Paulo Rodrigues e o Salvador ja apresentaram belas solucoes, baseadas na 
nocao de continuidade. Sobre a duvida de porque tem que ser p(x) > x ou p(x) 
< x para todo x real, basta imaginar os graficos :

Se p(x)=x nao tem solucao real entao e porque os graficos destas funcoes nao 
se interceptam, certo ? E isto so pode ocorrer de duas maneiras :

1) a > 0 e p(x) > x para todo x ( grafico de p(x) acima  de y=x )
2) a < 0 e p(x) < x para todo x ( grafico de p(x) abaixo de y=x )

Eu me dou por satisfeito imaginando os graficos. Mas se voce quer uma 
demonstracao formal disso, um esboco de uma tal prova pode ser :

p(x)=x nao tem solucao real <=> ax^2 + bx + c = x nao tem solucao
ax^2 + (b-1)x + c =0 nao tem solucao real.
(b-1)^2 -4ac < 0. => (b-1)^2 < 4ac. Como (b-1)^2 >= 0 segue que :
4ac > 0 => "a" e "c" tem o mesmo sinal.

Supondo a > 0, se para algum x1, p(x1) < x1 tome um x2 tal que
p(x2) > x2 ( x2 existe pois lim p(x)=+inf ). A continuidade de p(x) garante 
a intereseccao de y=p(x) com y=x, isto e, solucao para p(x)=x, um absurdo !

Procedimento semelhante para a < 0.

Aceita um conselho ? Se voce for rigoroso demais e perder muito tempo com 
provas simples assim, voce prende o seu pensamento e a sua imaginacao nao 
decola. Primeiro se concentre nas coisas fundamentais, depois voce prova as 
acessorias.

Um abraco
Paulo Santa Rita
1,1950,221202






From: "Eder" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Re: [obm-l] Re:
Date: Sun, 22 Dec 2002 10:31:09 -0200

Oi Paulo,

Acredito que minha tradução estava certa ou pelo menos não comprometia
muito.O que estava errado era o p(p(x))=0 no site do John Scholes...
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Saturday, December 21, 2002 6:16 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:


> Ola Prof Morgado e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> O contra-exemplo do Prof Morgado, dado abaixo, de forma elegante
> efetivamente encerra a questao. O enunciado esta incorreto. Considerem
agora
> o problema :
>
> Sejam "a", "b" e "c" tres reais quaisquer. Se p(x)=ax^2 + bx + c  e
> p(x)=x nao tem raiz real entao p(p(x))=x nao tem raiz real.
>
> Alias, esta discussao, indiretamente, mostra o quao capciosas podem ser 
as
> traducoes, nao podendo nunca se resumirem a mera transposicao literal do
> enunciado de um idioma para outro ...
>
> Este espirito natalino que nos invade, me levou a pensar em Jesus, que 
os
> cristaos consideram O Cristo Prometido. Depois, por associacao de 
ideias,
me
> lembrei de um dos Profetas que o antecederam, Salomao. E dai a um dos
> proverbios deste Profeta : "Nao respondas ao tolo segundo a sua
estulticia,
> para que nao tambem nao te tornes semelhante a ele"
>
> Um abraco a Todos !
> Paulo Santa Rita
> 7,1812,211202
>
>
>
>
>
>
> >From: "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]>
> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
> >To: [EMAIL PROTECTED]
> >Subject: Re: [obm-l] Re:
> >Date: Sat, 21 Dec 2002 00:30:59 -0200
> >
> >Vou tentar encerrar a discussao. Tome p(x) = x^2 + 4x + 3. A equaçao 
p(x)
=
> >x reduz-se a  x^2 + 3x + 3 = 0 ue nao tem raiz real pois seu
discriminante
> >eh negativo (-3). Como p(-2) = -1, p(p(-2)) = p(-1) = 0, NAO EH VERDADE
que
> >p(p(x))=0 nao possua raiz real, pois -2 eh raiz da referida equaçao.
Assim
> >como esse, ha muitos contraexemplos que podem ser dados (vejam mensagem
de
> >Salvador Addas Zanata).
> >Peço desculpas a todos pelo contraexemplo que mandei em mensagens
> >anteriores, pois ele estah errado.
> >Morgado
> >
> >Eder wrote:
> >
> >>Esse problema foi retirado do site do John Scholes e o enunciado é:
> >>
> >>
> >>
> >>Define p(x)=ax²+bx+c.If p(x)=x has no real roots,prove that p(p(x))=0
has
> >>no real roots.
> >>
> >>
> >>
> >> - Original Message -
> >>
> >> From: A. C. Morgado 
> >>
> >> To: [EMAIL PROTECTED] 
> >>
> >> Sent: Friday, December 20, 2002 5:12 PM
> >>
> >> Subject: Re: [obm-l] Re:
> >>
> >>
> >>
> >>
> >> Wagner wrote:
> >>
> >>> Oi pessoal !
> >>>
> >>>
> >>>
> >>> 2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é diferente
> >>> de zero.
> >>>
> >>>  Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o módulo 
da
> >>> ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o
> >>> módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e
> >>> depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de
> >>> f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesm

Re: [obm-l] Re:

2002-12-22 Por tôpico Paulo Rodrigues

 --- Eder <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Oi Paulo,
> 
> Acredito que minha tradução estava certa ou pelo menos não
> comprometia
> muito.O que estava errado era o p(p(x))=0 no site do John Scholes...

Por sinal, muitos enunciados e algumas soluções estão erradas (ou
incompletas) neste site...

Aproveito para propor um problema da Putnam 2002, recomendado pelo
prof. Eduardo Tengan:

Seja P(n) o numero de subconjuntos de 1,2,...,n com média inteira.
Prove que P(n)-n é sempre par.


> - Original Message -
> From: Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]>
> To: <[EMAIL PROTECTED]>
> Sent: Saturday, December 21, 2002 6:16 PM
> Subject: Re: [obm-l] Re:
> 
> 
> > Ola Prof Morgado e demais
> > colegas desta lista ... OBM-L,
> >
> > O contra-exemplo do Prof Morgado, dado abaixo, de forma elegante
> > efetivamente encerra a questao. O enunciado esta incorreto.
> Considerem
> agora
> > o problema :
> >
> > Sejam "a", "b" e "c" tres reais quaisquer. Se p(x)=ax^2 + bx + c  e
> > p(x)=x nao tem raiz real entao p(p(x))=x nao tem raiz real.
> >
> > Alias, esta discussao, indiretamente, mostra o quao capciosas podem
> ser as
> > traducoes, nao podendo nunca se resumirem a mera transposicao
> literal do
> > enunciado de um idioma para outro ...
> >
> > Este espirito natalino que nos invade, me levou a pensar em Jesus,
> que os
> > cristaos consideram O Cristo Prometido. Depois, por associacao de
> ideias,
> me
> > lembrei de um dos Profetas que o antecederam, Salomao. E dai a um
> dos
> > proverbios deste Profeta : "Nao respondas ao tolo segundo a sua
> estulticia,
> > para que nao tambem nao te tornes semelhante a ele"
> >
> > Um abraco a Todos !
> > Paulo Santa Rita
> > 7,1812,211202
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> > >From: "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]>
> > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
> > >To: [EMAIL PROTECTED]
> > >Subject: Re: [obm-l] Re:
> > >Date: Sat, 21 Dec 2002 00:30:59 -0200
> > >
> > >Vou tentar encerrar a discussao. Tome p(x) = x^2 + 4x + 3. A
> equaçao p(x)
> =
> > >x reduz-se a  x^2 + 3x + 3 = 0 ue nao tem raiz real pois seu
> discriminante
> > >eh negativo (-3). Como p(-2) = -1, p(p(-2)) = p(-1) = 0, NAO EH
> VERDADE
> que
> > >p(p(x))=0 nao possua raiz real, pois -2 eh raiz da referida
> equaçao.
> Assim
> > >como esse, ha muitos contraexemplos que podem ser dados (vejam
> mensagem
> de
> > >Salvador Addas Zanata).
> > >Peço desculpas a todos pelo contraexemplo que mandei em mensagens
> > >anteriores, pois ele estah errado.
> > >Morgado
> > >
> > >Eder wrote:
> > >
> > >>Esse problema foi retirado do site do John Scholes e o enunciado
> é:
> > >>
> > >>
> > >>
> > >>Define p(x)=ax²+bx+c.If p(x)=x has no real roots,prove that
> p(p(x))=0
> has
> > >>no real roots.
> > >>
> > >>
> > >>
> > >> - Original Message -
> > >>
> > >> From: A. C. Morgado 
> > >>
> > >> To: [EMAIL PROTECTED] 
> > >>
> > >> Sent: Friday, December 20, 2002 5:12 PM
> > >>
> > >> Subject: Re: [obm-l] Re:
> > >>
> > >>
> > >>
> > >>
> > >> Wagner wrote:
> > >>
> > >>> Oi pessoal !
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>> 2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é
> diferente
> > >>> de zero.
> > >>>
> > >>>  Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o
> módulo da
> > >>> ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que
> o
> > >>> módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e
> > >>> depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de
> > >>> f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a
> segunda
> > >>> função não tem raiz real a primeira também não tem.
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>> Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a
>  ;
> > >>>  f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c =>
> > >>>
> > >>> f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f '' (x)
> > >>> =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.
> > >>>
> > >>> Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x)
> > 0
> > >>> => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 =>
> > >>>
> > >>> 2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b > 0  =>
> h(x) =
> > >>> 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b > 0.
> > >>>
> > >>> Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos
> apenas
> > >>> provar que h(x) não possui raízes reais.
> > >>>
> > >>> Se h(x) não possui raízes reais então :  36(a^2)(b^2)
> > >>> -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 =>
> > >>>
> > >>> 12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2 -48ac -24b <0
> =>
> > >>> b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 )
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>> Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações:
> > >>>
> > >>> Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2
> -4ac <
> > >>> 0  => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1,
> > >>>
> > >>> logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais
> CQD.
> > >>>
> > >>>
> > >>>
> > >>> Devemos provar ag

Re: [obm-l] Re:

2002-12-22 Por tôpico Eder

Oi Paulo,

Acredito que minha tradução estava certa ou pelo menos não comprometia
muito.O que estava errado era o p(p(x))=0 no site do John Scholes...
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Saturday, December 21, 2002 6:16 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:


> Ola Prof Morgado e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> O contra-exemplo do Prof Morgado, dado abaixo, de forma elegante
> efetivamente encerra a questao. O enunciado esta incorreto. Considerem
agora
> o problema :
>
> Sejam "a", "b" e "c" tres reais quaisquer. Se p(x)=ax^2 + bx + c  e
> p(x)=x nao tem raiz real entao p(p(x))=x nao tem raiz real.
>
> Alias, esta discussao, indiretamente, mostra o quao capciosas podem ser as
> traducoes, nao podendo nunca se resumirem a mera transposicao literal do
> enunciado de um idioma para outro ...
>
> Este espirito natalino que nos invade, me levou a pensar em Jesus, que os
> cristaos consideram O Cristo Prometido. Depois, por associacao de ideias,
me
> lembrei de um dos Profetas que o antecederam, Salomao. E dai a um dos
> proverbios deste Profeta : "Nao respondas ao tolo segundo a sua
estulticia,
> para que nao tambem nao te tornes semelhante a ele"
>
> Um abraco a Todos !
> Paulo Santa Rita
> 7,1812,211202
>
>
>
>
>
>
> >From: "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]>
> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
> >To: [EMAIL PROTECTED]
> >Subject: Re: [obm-l] Re:
> >Date: Sat, 21 Dec 2002 00:30:59 -0200
> >
> >Vou tentar encerrar a discussao. Tome p(x) = x^2 + 4x + 3. A equaçao p(x)
=
> >x reduz-se a  x^2 + 3x + 3 = 0 ue nao tem raiz real pois seu
discriminante
> >eh negativo (-3). Como p(-2) = -1, p(p(-2)) = p(-1) = 0, NAO EH VERDADE
que
> >p(p(x))=0 nao possua raiz real, pois -2 eh raiz da referida equaçao.
Assim
> >como esse, ha muitos contraexemplos que podem ser dados (vejam mensagem
de
> >Salvador Addas Zanata).
> >Peço desculpas a todos pelo contraexemplo que mandei em mensagens
> >anteriores, pois ele estah errado.
> >Morgado
> >
> >Eder wrote:
> >
> >>Esse problema foi retirado do site do John Scholes e o enunciado é:
> >>
> >>
> >>
> >>Define p(x)=ax²+bx+c.If p(x)=x has no real roots,prove that p(p(x))=0
has
> >>no real roots.
> >>
> >>
> >>
> >> - Original Message -
> >>
> >> From: A. C. Morgado 
> >>
> >> To: [EMAIL PROTECTED] 
> >>
> >> Sent: Friday, December 20, 2002 5:12 PM
> >>
> >> Subject: Re: [obm-l] Re:
> >>
> >>
> >>
> >>
> >> Wagner wrote:
> >>
> >>> Oi pessoal !
> >>>
> >>>
> >>>
> >>> 2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é diferente
> >>> de zero.
> >>>
> >>>  Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o módulo da
> >>> ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o
> >>> módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e
> >>> depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de
> >>> f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda
> >>> função não tem raiz real a primeira também não tem.
> >>>
> >>>
> >>>
> >>> Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a  ;
> >>>  f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c =>
> >>>
> >>> f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f '' (x)
> >>> =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.
> >>>
> >>> Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x) > 0
> >>> => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 =>
> >>>
> >>> 2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b > 0  => h(x) =
> >>> 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b > 0.
> >>>
> >>> Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos apenas
> >>> provar que h(x) não possui raízes reais.
> >>>
> >>> Se h(x) não possui raízes reais então :  36(a^2)(b^2)
> >>> -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 =>
> >>>
> >>> 12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2 -48ac -24b <0 =>
> >>> b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 )
> >>>
> >>>
> >>>
> >>> Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações:
> >>>
> >>> Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2 -4ac <
> >>> 0  => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1,
> >>>
> >>> logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais CQD.
> >>>
> >>>
> >>>
> >>> Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 => 2ax +b-1
> >>> =0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c
=
> >>>
> >>> =c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a =>
> >>>
> >>> módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é |
> >>> {-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y
> >>>
> >>> f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) => f ' (x) = (2ax
> >>> +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b)   ; f ' (x) =0 =>
> >>>
> >>> (2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0.
> >>>
> >>> O primeiro caso implica em: x= -b/2a
> >>>
> >>> O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +
2(a^2)b).
> >>>
> >>> Vamos

Re: [obm-l] Re:

2002-12-22 Por tôpico A. C. Morgado




O que gerou a discussao eh que trocaram p(p(x)) = x por p(p(x))=0, o que
torna o enunciado falso.
Morgado

Pedro Antonio Santoro Salomão wrote:

  - Original Message -From: "Paulo Rodrigues" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Sunday, December 22, 2002 12:45 AMSubject: [obm-l] Re:
  
Não acompanhei todas as mensagens desta discussão, mas gostaria deobservar que o problema em discussão aparece como o de número 303 -página 60 do livro "Selected Problems and Theorems  in ElementaryMathematics" da Mir:303. A quadratic trinomial p(x)=ax^2+bx+c is such that the equationp(x)=x has no real roots. Prove that in this case te equation p(p(x))=xhas no real roots either.

Esse problema tem uma solução simples, como já mencionou o Salvador. Comop(x)=x não tem solução real então p(x)>x  ou p(x)p(p(x))>p(x)>x  ou p(p(x))Isso também mostra que esse resultado vale para qualquer função contínua,não precisando ser necessariamente um polinômio.Abraço. Pedro.

  Abraços, Paulo___Busca Yahoo!O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internethttp://br.busca.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 18/12/2002 / Versão: 1.3.13
Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
  
  =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=

Re: [obm-l] Re:

Re: [obm-l] Re:

Re: [obm-l] Re:

Re: [obm-l] Re:

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