--- Eder <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Oi Paulo, > > Acredito que minha tradução estava certa ou pelo menos não > comprometia > muito.O que estava errado era o p(p(x))=0 no site do John Scholes...
Por sinal, muitos enunciados e algumas soluções estão erradas (ou incompletas) neste site... Aproveito para propor um problema da Putnam 2002, recomendado pelo prof. Eduardo Tengan: Seja P(n) o numero de subconjuntos de 1,2,...,n com média inteira. Prove que P(n)-n é sempre par. > ----- Original Message ----- > From: Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Saturday, December 21, 2002 6:16 PM > Subject: Re: [obm-l] Re: > > > > Ola Prof Morgado e demais > > colegas desta lista ... OBM-L, > > > > O contra-exemplo do Prof Morgado, dado abaixo, de forma elegante > > efetivamente encerra a questao. O enunciado esta incorreto. > Considerem > agora > > o problema : > > > > Sejam "a", "b" e "c" tres reais quaisquer. Se p(x)=ax^2 + bx + c e > > p(x)=x nao tem raiz real entao p(p(x))=x nao tem raiz real. > > > > Alias, esta discussao, indiretamente, mostra o quao capciosas podem > ser as > > traducoes, nao podendo nunca se resumirem a mera transposicao > literal do > > enunciado de um idioma para outro ... > > > > Este espirito natalino que nos invade, me levou a pensar em Jesus, > que os > > cristaos consideram O Cristo Prometido. Depois, por associacao de > ideias, > me > > lembrei de um dos Profetas que o antecederam, Salomao. E dai a um > dos > > proverbios deste Profeta : "Nao respondas ao tolo segundo a sua > estulticia, > > para que nao tambem nao te tornes semelhante a ele" > > > > Um abraco a Todos ! > > Paulo Santa Rita > > 7,1812,211202 > > > > > > > > > > > > > > >From: "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> > > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > > >To: [EMAIL PROTECTED] > > >Subject: Re: [obm-l] Re: > > >Date: Sat, 21 Dec 2002 00:30:59 -0200 > > > > > >Vou tentar encerrar a discussao. Tome p(x) = x^2 + 4x + 3. A > equaçao p(x) > = > > >x reduz-se a x^2 + 3x + 3 = 0 ue nao tem raiz real pois seu > discriminante > > >eh negativo (-3). Como p(-2) = -1, p(p(-2)) = p(-1) = 0, NAO EH > VERDADE > que > > >p(p(x))=0 nao possua raiz real, pois -2 eh raiz da referida > equaçao. > Assim > > >como esse, ha muitos contraexemplos que podem ser dados (vejam > mensagem > de > > >Salvador Addas Zanata). > > >Peço desculpas a todos pelo contraexemplo que mandei em mensagens > > >anteriores, pois ele estah errado. > > >Morgado > > > > > >Eder wrote: > > > > > >>Esse problema foi retirado do site do John Scholes e o enunciado > é: > > >> > > >> > > >> > > >>Define p(x)=ax²+bx+c.If p(x)=x has no real roots,prove that > p(p(x))=0 > has > > >>no real roots. > > >> > > >> > > >> > > >> ----- Original Message ----- > > >> > > >> From: A. C. Morgado <mailto:[EMAIL PROTECTED]> > > >> > > >> To: [EMAIL PROTECTED] <mailto:[EMAIL PROTECTED]> > > >> > > >> Sent: Friday, December 20, 2002 5:12 PM > > >> > > >> Subject: Re: [obm-l] Re: > > >> > > >> > > >> > > >> > > >> Wagner wrote: > > >> > > >>> Oi pessoal ! > > >>> > > >>> > > >>> > > >>> 2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é > diferente > > >>> de zero. > > >>> > > >>> Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o > módulo da > > >>> ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que > o > > >>> módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e > > >>> depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de > > >>> f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a > segunda > > >>> função não tem raiz real a primeira também não tem. > > >>> > > >>> > > >>> > > >>> Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a > ; > > >>> f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c => > > >>> > > >>> f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f '' (x) > > >>> =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab. > > >>> > > >>> Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x) > > 0 > > >>> => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 => > > >>> > > >>> 2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b > 0 => > h(x) = > > >>> 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b > 0. > > >>> > > >>> Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos > apenas > > >>> provar que h(x) não possui raízes reais. > > >>> > > >>> Se h(x) não possui raízes reais então : 36(a^2)(b^2) > > >>> -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 => > > >>> > > >>> 12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2 -48ac -24b <0 > => > > >>> b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ) > > >>> > > >>> > > >>> > > >>> Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações: > > >>> > > >>> Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2 > -4ac < > > >>> 0 => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1, > > >>> > > >>> logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais > CQD. > > >>> > > >>> > > >>> > > >>> Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 => > 2ax +b-1 > > >>> =0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) > +(-b^2/2a) +c > = > > >>> > > >>> =c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a => > > >>> > > >>> módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é | > > >>> {-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y > > >>> > > >>> f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) => f ' (x) = > (2ax > > >>> +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) ; f ' (x) =0 => > > >>> > > >>> (2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0. > > >>> > > >>> O primeiro caso implica em: x= -b/2a > > >>> > > >>> O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c + > 2(a^2)b). > > >>> > > >>> Vamos provar que delta < 0 : 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c > +2(a^2)b) < > > >>> 0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ). > > >>> > > >>> Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos só com o caso x= > -b/2a => > > >>> > > >>> f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a) -(b^2/2a) > +c) > > >>> +c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c = > > >>> > > >>> =a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c = a(c^2) > > >>> -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c => > > >>> > > >>> módulo da ordenada de máximo ou mínimo de f (x) é | {a(c^2) > > >>> -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z. > === message truncated === _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! 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