Re: [obm-l] Logaritmos
log representa log na base 2. logx +log(x+1) = 1 log[x(x+1)] = 1 x(x+1) = 2 Como x deve ser positivo, a unica soluçao dessa equaçao do segundo grau eh x=1. Como sempre, o gabarito do seu fasciculo estah errado. Morgado Em Thu, 30 Jan 2003 01:08:55 EST, [EMAIL PROTECTED] disse: > Olá pessoal, > > Vejam a questão: > > (U.E.BA) No universo R, a solução da equação log_2(x)+log_2(x+1)=1 é um > número: > resp: divisível por 5 > > Obs: Eu tentei resolver elevando ambos os membros ao quadrado, mas me > compliquei com as propriedades. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] P.G
A PG eha, aq, aq^2, aq^3. a+aq^2 = 5 aq+aq^3 =10 Divida as equaçoes. Obtem-se q=2 Substitua na primeira equaçao; dah a=1. Em Thu, 30 Jan 2003 01:12:35 EST, [EMAIL PROTECTED] disse: > Olá pessoal, > > Como resolver esta questão: > > (FEI-SP) Em uma P.G de quatro termos, a soma dos termos de ordem par é 10 e a > soma dos termos de ordem impar é 5. Escreva a progressão. > > resp:(1,2,4,8) > > > ICQ: 337140512 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] polinômios
Olá pessoal, Como resolver está questão: (UnB) P1(x) e P2(x) são polinômios do 2ºgrau que se anulam quando x=0. O resto da divisão de P1(x) por (x-1)(x+2) é 3x +1 . O resto da divisão de P2(x) por (x+1)(x+2) é 2x - 1. Então o quociente da divisão de P1(x) por P2(x) é : resp: 1 ICQ: 337140512
[obm-l] Logaritmos
Olá pessoal, Vejam a questão: (U.E.BA) No universo R, a solução da equação log_2(x)+log_2(x+1)=1 é um número: resp: divisível por 5 Obs: Eu tentei resolver elevando ambos os membros ao quadrado, mas me compliquei com as propriedades.
[obm-l] P.G
Olá pessoal, Como resolver esta questão: (FEI-SP) Em uma P.G de quatro termos, a soma dos termos de ordem par é 10 e a soma dos termos de ordem impar é 5. Escreva a progressão. resp:(1,2,4,8) ICQ: 337140512
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Combinatória IME
dois tem que tar na direita e um na esquerda. Dos outros 5 dois tem que ser escolhidos pra ficar na direita. Isso determina o lado dos outros 3, e pode ser feito de C(5,2)=10 maneiras. Escolhidos os lados de cada um, cada fila tem 4! =24 permutacoes. Isso da 10 * (24^2) jeitos! - Original Message - From: haroldo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 29, 2003 2:29 PM Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Combinatória IME RESPOSTA 4*4*3*5!/2=2880 Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Wander JuniorEnviada em: terça-feira, 28 de janeiro de 2003 11:55Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Combinatória IME Alguém poderia me ajudar com esta questão do IME: (IME-97) - Uma embarcação deve ser tripulada por oito homens, dois dos quais só remam do lado direito e apenas um, do lado esquerdo. Determine de quantos modos esta tripulação pode ser formada, se de cada lado deve haver quatro homens. Obs.: a ordem dos homens de cada lado distingue a tripulação. Muito Obrigado Wander
[obm-l] Re: [obm-l] Domínó
No domino os jogadores querem ganhar, e nao jogam aleatoriamente. Pra responder essa pergunta (que deve ser dificil) voce vai ter que definir qual vai ser o comportamento dos jogadores. - Original Message - From: Tertuliano Carneiro To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 29, 2003 5:18 PM Subject: [obm-l] Domínó Há algum tempo, um colega meu me propôs um problema quando estávamos jogando uma partida de dominó em duplas. Ele me perguntou qual é a probabilidade de um dos quatro jogadores levar um "chico romero". Eu explico: aqui na Bahia, nós chamamos de "chico romero" ao inusitado fato de um dos jogadores nao conseguir "colar" nenhuma das peças, ou seja, quando ele termina o jogo com as sete peças na mão. No momento eu ate consegui rabiscar alguma coisa, mas não fui muito longe. Convido vcs a pensarem no problema, pois me pareceu bastante interessante, embora nao tenha conseguido concluir muita coisa. Fui! Tertuliano Carneiro. Yahoo! GeoCitiesTudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
[obm-l] RES: [obm-l] Combinatória IME
RESPOSTA 4*4*3*5!/2=2880 Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Wander JuniorEnviada em: terça-feira, 28 de janeiro de 2003 11:55Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Combinatória IME Alguém poderia me ajudar com esta questão do IME: (IME-97) - Uma embarcação deve ser tripulada por oito homens, dois dos quais só remam do lado direito e apenas um, do lado esquerdo. Determine de quantos modos esta tripulação pode ser formada, se de cada lado deve haver quatro homens. Obs.: a ordem dos homens de cada lado distingue a tripulação. Muito Obrigado Wander
Re: [obm-l] Probabilidade
Pense nesse problema da seguinte maneira: Imagine um eixo cartesiano onde x é a hora que o primeiro amigo chega e y a hora que o segundo. Assim, como eles marcam num intervalo de 1 hora, os valores nos eixos variam de 0 a 60 minutos. Agora marque a região onde | X - Y| <= 10. Ache a área dessa região e divida pela área total do quadrado, essa é sua probabilidade. - Original Message - From: Rafael Rodrigues To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 29, 2003 6:09 PM Subject: [obm-l] Probabilidade Olá pessoal,Será que alguem poderia me ajudar com esse problema??- Dois amigos combinam de se encontrar num bar entre 14:00 e 15:00hs. Combinam também, que quem chegar primeiro esperará o outro por 10 minutos. Pergunta- se: qual a probabilidade dos amigos se encontrarem?Por estatística a solução é até razoavelmente fácil, mas utiliza muitas fórmulas. É possível resolver só por combinatória e probabilidade básica???Abraços,Rafael_MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>= ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.445 / Virus Database: 250 - Release Date: 21/1/2003
[obm-l] Probabilidade
Olá pessoal, Será que alguem poderia me ajudar com esse problema?? - Dois amigos combinam de se encontrar num bar entre 14:00 e 15:00hs. Combinam também, que quem chegar primeiro esperará o outro por 10 minutos. Pergunta- se: qual a probabilidade dos amigos se encontrarem? Por estatística a solução é até razoavelmente fácil, mas utiliza muitas fórmulas. É possível resolver só por combinatória e probabilidade básica??? Abraços, Rafael _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Elogio a E. Wagner e Sugestão de Livro
Retorno agora de férias. Querido E. Wagner, sei que és um dos escritores da mais linda e bela coleção de livros já editados do ensino médio intitulada: Coleção do Professor de Matemática. Desta forma, fico bastante lisonjeado com sua manifestação. Como aqui neste site somente posso escrever de matemática, o elogio aqui escrito, curto, não reflete a integridade e intensidade de minha satisfação. Assim, em sua homenagem, aproveito a oportunidade para perguntar: Que livro(s) devo adquirir sobre Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares, no intuito de auxiliar jovens desejosos de ingressar no IME ou no ITA? ATT. João Carlos "Eduardo Wagner" <[EMAIL PROTECTED]> Enviado Por: [EMAIL PROTECTED] 06/01/2003 00:06 Favor responder a obm-l Para: [EMAIL PROTECTED] cc: Assunto: Re: [obm-l] Um tal de Cassilã o Prezado Joao Carlos: Este belo problema foi proposto por Cramer (voce lembra de sua famosa regra?) e resolvido em 1776 por Castillon, um geometra e engenheiro italiano. Eles foram contemporaneos mas quando Castillon conseguiu a solucao, Cramer ja havia morrido 25 anos antes. Na verdade, Castillon chamava-se Salvemini, nascido na cidade de Castiglione no centro-norte da Italia, e dai vem o nome pelo qual ficou conhecido ate surgir nesta lista como Cassilão. Bem, vamos ao problema. Imaginemos o problema resolvido. Desenhe a seguinte figura: Uma circunferencia e um triangulo DEF inscrito. Assinale o ponto A sobre o prolongamento do lado FE, o ponto B sobre o prolongamento de DE e o ponto C sobre o prolongamento de DF. Suponha agora que a circunferencia e os pontos A, B e C sao dados. Nosso problema eh descobrir um vertice do triangulo DEF. Trace FG paralelo a BC (G sobre a circunferencia). Trace a reta GE que encontra BC em H. O angulo EHB eh igual a EGF que eh igual a EDF. Logo, os triangulos BHE e BDC sao semelhantes e entao BH/BD = BE/BC, ou BH = (BD.BE)/BC. Trace BT tangente em T a circunferencia. Pela propriedade da potencia, BD.BE = (BT)^2. Assim, BH = ((BT^2))/BC. Como BT e BC sao conhecidos, BH pode ser obtido por uma construcao elementar. Uma vez determinado H sobre BC nosso problema passa a ser determinar o ponto E na circunferencia de forma que as retas EA e EH determinem na circunferencia os pontos F e G, res- pectivamente, tais que FG seja paralela a BC. Trace FL paralela a AH (L sobre a circunferencia) e a reta LG que encontra AH em M. Faca uma figura nova a partir deste ponto. Os triangulos MGH e EAT sao semelhantes e portanto HM/HE = HG/HA ou HM = (HE.HG)/HA. Tracando a tangente HS a circunferencia temos que HM = ((HS)^2))/AH e o ponto M pode ser obtido por outra construcao elementar. Como os angulos LFG e AHB sao iguais, nosso problema passa a ser: tracar por M uma secante MGL de forma que um angulo inscrito LFG seja igual ao angulo conhecido formado pelas retas AH e BC. Mais uma construcao elementar e o problema esta resolvido. PS. A palavra "elementar" que foi usada varias vezes, se refere a cada uma das construcoes que permitiram obter os pontos intermediarios H, M e L. O problema em si eh muito dificil. Abracos, E. Wagner. -- From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Um tal de Cassilão Date: Fri, Jan 3, 2003, 9:34 AM Como resolver o seguinte problema: Dados um círculo de centro O e raio r e três pontos não colineares, todos externos ao círculo dado. Construir triângulo inscrito ao círculo, cujos prolongamentos dos lados passam pelos três pontos. Fonte: amigo de uns 50 anos. Dizendo ele, este é o teorema de Cassilão. ATT. João Carlos
Re: [obm-l] Possivel erro no gabarito
On Wed, Jan 29, 2003 at 10:11:48AM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: > Voce estah certo. Seu gabarito, como sempre, errado. > Morgado > > Em Wed, 29 Jan 2003 01:33:10 EST, [EMAIL PROTECTED] disse: > > > Olá pessoal, > > > > Como resolver esta questão: > > > > (U.E.BA) A sequência (log 20, log 200, log 2000;...) é uma: > > > > Resp: progressão aritmética de razão 1 + log 2. > > > > Obs: Eu resolvi da seguinte maneira: > > log 20=log(2*10)=log2 + log10=log2 + 1 (1º termo) > > log 200=log(2*100)=log2 + log100=log2 + 2 (2º termo) > > > > Fazendo (2º termo)- (1º termo), temos 1. Portanto a resposta certa seria uma > > progressão aritmética de razão 1, não acham? Isso tudo supondo que log x signifique logaritmo de x na base 10. Eu não uso esta notação e acho que a maioria dos matemáticos também não. A função logaritmo na base e é super importante por um monte de razões, a função logaritmo na base 2 é importante em algumas aplicações mas eu só conheço *uma* aplicação para a função logaritmo na base 10: fazer contas usando uma tabela de logaritmos. Ora, como tabelas de logaritmos são tecnologia obsoleta (você está olhando para a razão disso agora mesmo) a função logaritmo na base 10 deveria ser também considerada obsoleta e devidamente esquecida e portanto não merece um símbolo especial. Quando eu vejo log x eu penso em logaritmo de x na base e; só se for uma questão escolar eu considero a possibilidade de que o autor estivesse pensando em logaritmo na base 10. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Quadrados em um Quadriculado.
Ola Pessoal ! O problema abaixo e uma generalização de uma questão que foi proposta em outra lista, algum tempo atras. Não e de solução imediata, mas não e dificil. PROBLEMA : Divide-se cada lado de um quadrado em N partes iguais. Pelos pontos de divisão tracam-se paralelas aos lados do quadrado, originando assim um quadriculado. 1) Com vertices nos pontos deste quadriculado, quantos quadrados podem ser construidos ( em funcao de N ) ? 2) Seja Q(N) o numero de quadrados. Para todo P natural dado diga se existe um natural N tal que Q(N) = 10^P. OBS1 : Note que para responder 2 voce precisa responder 1 atraves de uma funcao que seja "manipulavel". OBS2 : considerar neste calculo tambem os quadrados "inclinados" em relação ao quadrado original. UMA SUGESTAO : Supondo que o quadrado original tem lado medindo N, seja Q o conjunto de todos os quadrados construtiveis cujos lados sejam paralelos aos lados do quadrado original e cujos lados tem a mesma medida L, L =< N. Em qualquer um destes quadrados a quantidade de quadrados inscritos e cujos lados nao paralelos aos lados do quadrado original e constante ... Manipule com habilidade as expressoes que vao surgir que elas se reduzirao a um polinomio bem simples. Isto responde ao item 1 e da condicoes de encarar o intem 2. Para responder 2 basta aplicar o que voce sabe sobre raizes racionais de equacoes polinomiais inteiras. Um Abraco Paulo Santa Rita 4,1652,290103 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Domínó
Há algum tempo, um colega meu me propôs um problema quando estávamos jogando uma partida de dominó em duplas. Ele me perguntou qual é a probabilidade de um dos quatro jogadores levar um "chico romero". Eu explico: aqui na Bahia, nós chamamos de "chico romero" ao inusitado fato de um dos jogadores nao conseguir "colar" nenhuma das peças, ou seja, quando ele termina o jogo com as sete peças na mão. No momento eu ate consegui rabiscar alguma coisa, mas não fui muito longe. Convido vcs a pensarem no problema, pois me pareceu bastante interessante, embora nao tenha conseguido concluir muita coisa. Fui! Tertuliano Carneiro. Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
Re: [obm-l] probabilidade
Sandra viajará para A se chegar entre H:22 e (H+1):10 - intervalo de 48 minutos, e para B se chegar entre H:10 e H:22 - intervalo de 12 minutos. Assim, P1 = 48/60 e P2 = 12/60 ==> P1/P2 = 48/12 = 4 ==> alternativa (d). - Original Message - From: Marcelo Roseira To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 29, 2003 4:39 PM Subject: [obm-l] probabilidade De uma estação rodoviária partem ônibus, de hora em hora, para a cidade A e para a cidade B. O primeiro ônibus para A parte aos dez (10) minutos do dia e, o primeiro para B, aos vinte e dois (22) minutos do mesmo dia. Sandra chega, ao acaso, na rodoviária e compra passagem para o primeiro ônibus que sair, para a A ou para B. Se p1 é a probabilidade de Sandra viajar para A e p2 a probabilidade de Sandra viajar para B, a razão p1/p2 é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
[obm-l] probabilidade
De uma estação rodoviária partem ônibus, de hora em hora, para a cidade A e para a cidade B. O primeiro ônibus para A parte aos dez (10) minutos do dia e, o primeiro para B, aos vinte e dois (22) minutos do mesmo dia. Sandra chega, ao acaso, na rodoviária e compra passagem para o primeiro ônibus que sair, para a A ou para B. Se p1 é a probabilidade de Sandra viajar para A e p2 a probabilidade de Sandra viajar para B, a razão p1/p2 é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
[obm-l] Re: [obm-l] dúvida II
Existem 9 números de 1 algarismo, que usam 9 algarismos Subtotal = 9 Existem 90 números de 2 algarismos, que usam 2*90 = 180 algarismos Subtotal = 189 (ou seja, o 2o. "9" de 99 é o 189o. algarismo) Existem 900 números de 3 algarismos, que usam 3*900 = 2700 algarismos Subtotal = 2889 > 2002 ==> o 2002o. algarismo pertence a um número de 3 algarismos. 2002 - 189 = 1813 = 3 * 604 + 1 ==> o 2002.o algarismo é o primeiro algarismo do 605o. número de 3 algarismos, ou seja, o primeiro algarismo de 704 = "7". Explicação: A partir de 100 (inclusive), cada número usa 3 algarismos. Por exemplo, se quiséssemos o 203o. algarismo, faríamos 203 - 189 = 14 = 3 * 4 + 2 ==> o 203o. algarismo é o 14o. algarismo contado a partir do "1"de 100 (inclusive), ou seja, é o segundo algarismo do quinto número de 3 algarismos, ou seja, o algarismo das dezenas de 104 = "0". Podemos checar: 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 "0" 4. No entanto, estamos procurando o 2002.o algarismo = 1813o. algarismo contado a partir de "1"de 100 (inclusive) = primeiro algarismo do 605o. número de 3 algarismos = primeiro algarismo de 704 = "7" ==> alternativa (c). Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Marcelo Roseira To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 29, 2003 3:03 PM Subject: [obm-l] dúvida II Quando escrevemos os números 1, 2, 3, 4, , 2002, o 2002º algarismo escrito é: a) 2 b) 5 c) 7 d) 9 e) 0
[obm-l] Re: [obm-l] dúvida 1
A resposta certa é n = k(p-1) + 1 ==> alternativa (d). Com k(p-1) pessoas, pode ser que cada um dos k bancos tenha apenas p-1 pessoas sentadas. Com a chegada de mais uma pessoa, um dos bancos terá necessariamente que ter pelo menos p pessoas, uma vez que se cada banco tiver p-1 pessoas ou menos, o total de pessoas será <= k(p-1). - Original Message - From: Marcelo Roseira To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 29, 2003 3:03 PM Subject: [obm-l] dúvida 1 Um grupo de n pessoas chega a uma praça, onde há k bancos vazios. Todos se sentam. O menor valor de n, para se ter certeza de que, em algum banco, haja p pessoas sentadas é: a) k(p–1); b) kp–1; c) kp; d) k(p–1)+1; e) kp+1
[obm-l] Probabilidade
Oi pessoal ! Deêm uma olhada nessa minha dúvida: Uma fábrica de balas produz balas de 5 sabores diferentes (todas as balas são produzidas na mesma quantidade) Essas balas são embaladas aleatoriamente, de modo que os pacotes podem conter qualquer número de balas (pelo menos uma). A probabilidade de abrir um pacote qualquer e a primeira bala tirada dele ser de um determinado sabor depende da distribuição das balas dentro do pacote? André T.
[obm-l] SAIR DA LISTA!
Olá a todos os colegas. Gostaria de sair dessa lista uma vez que vou estar impossibilitado de usar o computador durante um longo tempo, devido a uma viagem. Obrigado.MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. with MSN 8. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] dúvida 1
Um grupo de n pessoas chega a uma praça, onde há k bancos vazios. Todos se sentam. O menor valor de n, para se ter certeza de que, em algum banco, haja p pessoas sentadas é: a) k(p1); b) kp1; c) kp; d) k(p1)+1; e) kp+1
[obm-l] dúvida II
Quando escrevemos os números 1, 2, 3, 4, , 2002, o 2002º algarismo escrito é: a) 2 b) 5 c) 7 d) 9 e) 0
Re: [obm-l] sequências e mais sequências
Por acaso nao seria a[n+1]= 2a1a[n] - a[n-1] ? porque assim surge a necessidade de |a1|<=1. Erasmo de Souza Dias <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Olá amigos da lista! Tenho aqui um pequeno probleminha para pedir ajuda, lá vai: Dada a sequencia a[n+1]= 2a1a[n] + a[n-1] definida para todo n>=1 tal que a[0]=100 e a[100]= 0. a) Mostre que |a1|<=1. b) Determine a[2003]. obs: O que esta entre cochetes é o indice do a. a[n+1] é a de indice n+1. Desde já eu agradeço pela ajuda. Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Treinamento IMPA
2) T = capacidade do tonel; b = capacidade do balde: Em t = n, o tonel terá T(n) litros de vinho e T - T(n) litros de água. Supondo água e vinho totalmente misturados, em t = n+1, ao se retirar 2*b litros da mistura do tonel, estes 2*b litros terão a seguinte composição: 2*b*T(n)/T litros de vinho 2*b*(T - T(n))/T litros de água Assim, T(n+1) = T(n) - 2*b*T(n)/T = T(n)*(1 - 2*b/T) Naturalmente, T(0) = T, o que implica que: T(n) = T * (1 - 2*b/T)^n Logo: Quantidade de vinho no tonel após 6 dias = T * (1 - 2*b/T)^6 = 0,5*T ==> ==> 1 - 2*b/T = 0,5^(1/6) ==> 2*b/T = 1 - 0,5^(1/6) ==> T = 2*b / [ 1 - 0,5^(1/6) ] Partindo de um tonel cheio de água, por simetria teremos também, após 6 dias, metade água e metade vinho. Pergunta: a solução acima supõe que primeiro são retirados dois baldes de mistura do tonel e, em seguida, são colocados dois baldes de água. Se, em cada dia, antes de se retirar o segundo balde de mistura, fosse adicionado um balde de água ao tonel, a resposta seria a mesma? Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, January 28, 2003 6:05 PM Subject: [obm-l] Treinamento IMPA Olá camaradas da lista, A primeira dúvida apareceu durante o treinamento de professores que o IMPA está dando pela internet e a segunda vem do livro "Teorema do Papagaio". 1-) Qual a distancia que pode ir para esquerda do eixo y o gráfico y=2 elevado a x, se traçado com uma lapiseira de 0,02mm, sem que encoste no eixo x ? DÚVIDA : O resultado depende da escala adotada para traçar o gráfico ? 2-) Um tonel está cheio de vinho puro. Cada dia são tirados dele dois baldes, substituídos por dois baldes de água. Ao cabo de seis dias há metade de vinho e metade de água. Qual a capacidade do tonel ? P.S. : Partindo de um tonel cheio de água e acrescendo vinho, a resposta seria a mesma ? Agradeço antecipadamente cada ajuda que receberei, Raul
Re: [obm-l] funções
--- Eduardo Henrique Leitner <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > Sejam três funções f, u, v: R -> R tais
que:
>
> f{x + (1/x)} = f(x) + [1/f(x)] para todo x não nulo
> e (u(x))^2 + (v(x))^2 = 1 para todo x real.
>
> Sabendo-se que x0 é um número real tal que
> u(x0)*v(x0) != 0 e f{1/(u(x0)*v(x0))} = 2, o valor
> de f{u(x0)/v(x0)} é:
>
> a) -1
> b) 1
> c) 2
> d) 1/2
> e) -2
>
Para simplificar a notacao vamos fazer u(x0)= p e
v(x0)= q. Assim, queremos o valor de f(p/q).
Da definicao de f, temos que
f(p/q+q/p)=f(p/q)+1/f(p/q) . Chamando f(p/q)=t temos
que f[(p²+q²)/(pq)]= t+1/t. Por outro lado, sabemos
que p²+q²=1. Segue-se que t+1/t=f[1/(pq)]=2.
Resolvendo essa eq. em t, vamos achar t=1. Portanto, a
resposta é o item b.
Tertuliano Carneiro.
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é
> <[EMAIL PROTECTED]>
>
=
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=
Re: [obm-l] Treinamento IMPA
1) Supondo que os eixos x e y estejam na mesma escala (de 1 mm / unidade) e que a lapiseira trace uma faixa de 0,02 mm de largura em torno do gráfico da função (isto é 0,01 mm para cima e 0,01 mm para baixo, de modo que a equação das bordas superior e inferior da faixa sejam, respectivamente, y = 2^x + 0,01 e y = 2^x - 0.01) acho que o problema aqui é achar o menor valor de x tal que a distância vertical do ponto (x,2^x) ao eixo x é >= 0,01 ==> 2^x >= 0,01 ==> x = Ln(0,01)/Ln(2) milímetros. Se a escala dos dois eixos for diferente (por exemplo, x = a mm / unidade e y = b mm / unidade), fazendo a distância vertical de (x,2^x) até o eixo igual a 0,01 mm = 0,01/b unidades, obteremos que 2^x = 0,01/b. Neste caso, x = Ln(0,01/b)/Ln(2) unidades ==> a resposta depende da escala do eixo dos y. Se quisermos saber a distância em milímetros da abscissa deste ponto até a origem, teremos: x = a * Ln(0,01/b)/Ln(2) milímetros. A suposição acima foi de que as bordas da faixa produzida pela lapiseira ficam a 0,01 mm VERTICALMENTE acima e abaixo de cada ponto no gráfico. Talvez uma suposição mais razoável seja a de que as bordas fiquem 0,01 mm distantes de cada ponto, NA DIREÇÃO DA RETA NORMAL AO GRÁFICO NAQUELE PONTO. Nesse caso, como a normal nunca é vertical ou horizontal, teremos que o valor da abscissa mínima ependerá das escalas nos dois eixos. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, January 28, 2003 6:05 PM Subject: [obm-l] Treinamento IMPA Olá camaradas da lista, A primeira dúvida apareceu durante o treinamento de professores que o IMPA está dando pela internet e a segunda vem do livro "Teorema do Papagaio". 1-) Qual a distancia que pode ir para esquerda do eixo y o gráfico y=2 elevado a x, se traçado com uma lapiseira de 0,02mm, sem que encoste no eixo x ? DÚVIDA : O resultado depende da escala adotada para traçar o gráfico ? 2-) Um tonel está cheio de vinho puro. Cada dia são tirados dele dois baldes, substituídos por dois baldes de água. Ao cabo de seis dias há metade de vinho e metade de água. Qual a capacidade do tonel ? P.S. : Partindo de um tonel cheio de água e acrescendo vinho, a resposta seria a mesma ? Agradeço antecipadamente cada ajuda que receberei, Raul
[obm-l] Re: [obm-l] Número complexos
Você também pode se valer do seguinte artifício: (1+i)^11 = [(1+i)^12]/(1+i) = [[(1+i)^2]^6]/(1+i) = [(2i)^6]/(1+i) = -64/(1+i) = -32+32i []s, Josimar Ah, p'ra não perder a viagem, aí vai um problema bem no estilo dos atuais vestibulares: o primeiro item muito fácil e o segundo, nem tanto: Dado um triângulo isósceles ABC inscrito num círculo, com AB=AC, traça-se a ceviana BH passando pelo centro do círculo. Se a área do triângulo ABH é 20 e a área do triângulo BCH é 32. Pergunta-se: a) determine a área do triângulo ABC? [vale 0,5 ponto] b) qual o raio do círculo? [vale 9,5 pontos] []s, Josimar - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 29, 2003 4:50 AM Subject: [obm-l] Número complexos Olá pessoal, Vejam a questão: O número complexo (1+i)^11 pode ser posto na forma a + bi, onde a e b são números inteiros, neste caso b é igual a: Resp: 32 Obs: Quando vi este exercício, pensei...como é pontência de complexo só pode ser resolvido por dois métodos ou a notação de Euler ou a fórmula de Moivre. A notação de Euler eu não tenho a mínima intimidade, pois não vi nenhum exercício resolvido por ela, já a fórmula de Moivre foram + ou - 2 questões que eu resolvi no meu fascículo. Para facilitar as coisas ao resolver a questão acima não precisam me explicar os elementos da fórmula como argumento, módulo, etc... Pois eu já os conheço e tbém suas fórmula, a minha dificuldade é mais operacional ou algébrica do que conceitual, por isso que preciso ver como se resolve para eu criar um padrão pois quando eu ver um parecido eu buscarei no meu banco de "dados" [matemáticos(memória)] e saberei como resolver.
Re: [obm-l] Problemas
Se alguém teve saco de checar a minha solução, aqui vai a versão corrigida. O resultado é o mesmo, mas os valores dos N(s) estavam errados - eu copiei a lista errada de números da planilha (se nem copiar uma lista direito eu consigo, imagine resolver problema de olimpíada). Um abraço, Claudio. * 1)(HUNGRIA) Sejam n um número natural e f(n) o número de zeros que aparece na representação decimal de n. Por exemplo f(23) = 0, f(100) = 2, f(1989) = 0, f(105) = 1 etc. Considerando 2^f(i) como sendo "2 elevado a f(i)", Calcule o valor da expressão E = 2^f(1) + 2^f(2) + 2^f(3) + ...+ 2^f(999.999.999) Inicialmente, observe que: E = N(0)*2^0 + N(1)*2^1 + N(2)*2^2 + ... + N(8)*2^8 onde N(s) = número de inteiros positivos de 9 algarismos ou menos que têm "s" zeros ( 0 <= s <= 8 ) em sua representação decimal. A fim de avaliar N(s), definamos: N(r,s) = número de inteiros positivos de "r" algarismos ( 1 <= r <= 9 ) que têm "s" zeros ( 0 < = s <= r-1 ) em sua representação decimal Cálculo do valor de N(r,s): Escolha do algarismo da primeira posição (tem de ser <> 0): 9 Escolha de s das r-1 posições para os zeros: C(r-1,s) Escolha dos algarismos para as r-s-1 posições remanescentes (também <> 0): 9^(r-s-1) Assim: N(r,s) = 9 * C(r-1,s) * 9^(r-s-1) = C(r-1,s) * 9^(r-s) Agora, N(s) = N(s+1,s) + N(s+2,s) + ... + N(9,s) = = C(s,s)*9^(s+1-s) + C(s+1,s)*9^(s+2-s) + ... + C(8,s)*9^(9-s) = = C(s,s)*9 + C(s+1,s)*9^2 + ... + C(8,s)*9^(9-s) = = 9 * [ C(s,s) + C(s+1,s)*9 + C(s+2,s)*9^2 + ... + C(8,s)*9^(8-s) ] Tenho certeza de que deve haver uma fórmula macetosa para a soma entre colchetes, mas achei mais fácil usar uma planilha. Assim: N(0) = 9 * [ 1 + 9 + 9^2 + ... + 9^8 ] = 9 * (9^9 - 1) / 8 = 435.848.049 N(1) = 81.367.044 N(2) = 46.039.364 N(3) = 31.966.254 N(4) = 4.374.414 N(5) = 383.220 N(6) = 20.988 N(7) = 657 N(8) = 9 Substituindo estes valores na expressão para E em função dos N(s), teremos: E = 2.122.152.921 = 3^2 * 7 * 19 * 1.772.893 Curioso é que, mesmo com uma fórmula para a soma, este problema ainda envolve uma quantidade razoável de contas braçais - estranho para um problema de olimpíada. É claro que pode haver alguma solução "mágica" que não envolve conta nenhuma.apesar de a fatoração de E não dar nenhuma indicação disso.
Re: [obm-l] Possivel erro no gabarito
Termo geral: log(2*10^n) = log(2) + n*log(10) = log(2) + n ==> PA de razão 1 ==> sua solução está correta (supondo que os logaritmos são na base 10) Um abraço, Claudio. PS: Se você tiver como entrar em contato com a pessoa que fez o seu gabarito, por favor diga a ela para procurar uma carreira numa área bem distante da matemática - que tal direito ou letras? Falo sério. Com todos esses erros no gabarito, se não fosse pela ajuda do pessoal da lista, o seu progresso seria muito mais lento. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 29, 2003 4:33 AM Subject: [obm-l] Possivel erro no gabarito Olá pessoal, Como resolver esta questão: (U.E.BA) A sequência (log 20, log 200, log 2000;...) é uma: Resp: progressão aritmética de razão 1 + log 2. Obs: Eu resolvi da seguinte maneira: log 20=log(2*10)=log2 + log10=log2 + 1 (1º termo) log 200=log(2*100)=log2 + log100=log2 + 2 (2º termo) Fazendo (2º termo)- (1º termo), temos 1. Portanto a resposta certa seria uma progressão aritmética de razão 1, não acham? Pessoal, fiz download (no site: www.superdownloads.com.br) do programa ICQ 2003, para aqueles que queiram resolver questões comigo on-line meu número é 337140512 (Obs: Como não tenho muito experiência com matemática estou mais para aprender do que para ensinar, mas naquilo que for possível eu até ajudo alguém que queira resolver alguns problemas de ensino médio, que eu já aprendi, muito deles aqui na lista.)
[obm-l] sequências e mais sequências
Olá amigos da lista! Tenho aqui um pequeno probleminha para pedir ajuda, lá vai: Dada a sequencia a[n+1]= 2a1a[n] + a[n-1] definida para todo n>=1 tal que a[0]=100 e a[100]= 0. a) Mostre que |a1|<=1. b) Determine a[2003]. obs: O que esta entre cochetes é o indice do a. a[n+1] é a de indice n+1. Desde já eu agradeço pela ajuda.Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] logaritmo
Caro Faelc: y = (x^2/t)^(1/8) = x^(1/4) / t^(1/8) Tomado logaritmos (base 3): log_3(y) = (1/4)*log_3(x) - (1/8)*log_3(t) ==> log_3(y) = (1/4)*5 - (1/8)*4 = 5/4 - 4/8 = 3/4 Usando agora que log_y(3) = 1 / log_3(y), teremos: log_y(3) = 1/(3/4) = 4/3. Talvez o ponto mais interessante do problema é justamente a propriedade: log_3(y) = 1 / log_y(3), ou mais geralmente: log_a(b) = 1 / log_b(a), onde a e b são números reais positivos diferentes de 1. Isso se prova da seguinte forma: Seja x = log_a(b) ==> a^x = b Tomando log na base b: log_b(a^x) = log_b(b) ==> x*log_b(a) = 1 ==> x = 1 / log_b(a). Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 29, 2003 5:35 AM Subject: [obm-l] logaritmo Olá pessoal, Como resolver esta questão: (UF-UBERLÂNDIA) Sendo y=raiz oitava de(x^2/t), log_3 (x)=5 e log_3 (t)=4, então log_y (3) vale: Resp:4/3
Re: [obm-l] o livro
O livro eh otimo. Mas nao eh um livro de algoritmos. Eh um livro que tem alguma coisa de algoritmos. Do ponto de vista pratico, um bom livro de algoritmos eh o de Guto Garcia (Editora Campus), "500 algoritmos". Do ponto de vista teorico, deixo para os especialistas opinarem. Em Wed, 29 Jan 2003 02:18:40 -0200, "rafaelc.l" <[EMAIL PROTECTED]> disse: > > > O livro é "Applied Combinatorics" de Fred S. Roberts. > Além de todos os outros tópicos que ele aborda( > combinatória em geral), o que mais me chamou atenção foi > o tópico de Algoritmos. Minha pergunta é: alguém aqui na > lista que conheçe o livro, indicaria ele a um aluno do 1 > semestre de engenharia para aprender algoritmos? ele > aborda esta parte de forma completa e eficiente ? ele é > pesado demais para quem está iniciando em algoritmos? > > obrigado > > > > Rafael > > > __ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! > http://email.bol.com.br/ > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Possivel erro no gabarito
Voce estah certo. Seu gabarito, como sempre, errado. Morgado Em Wed, 29 Jan 2003 01:33:10 EST, [EMAIL PROTECTED] disse: > Olá pessoal, > > Como resolver esta questão: > > (U.E.BA) A sequência (log 20, log 200, log 2000;...) é uma: > > Resp: progressão aritmética de razão 1 + log 2. > > Obs: Eu resolvi da seguinte maneira: > log 20=log(2*10)=log2 + log10=log2 + 1 (1º termo) > log 200=log(2*100)=log2 + log100=log2 + 2 (2º termo) > > Fazendo (2º termo)- (1º termo), temos 1. Portanto a resposta certa seria uma > progressão aritmética de razão 1, não acham? > > > > > Pessoal, fiz download (no site: www.superdownloads.com.br) do programa ICQ > 2003, para aqueles que queiram resolver questões comigo on-line meu número é > 337140512 (Obs: Como não tenho muito experiência com matemática estou mais > para aprender do que para ensinar, mas naquilo que for possível eu até ajudo > alguém que queira resolver alguns problemas de ensino médio, que eu já > aprendi, muito deles aqui na lista.) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Possivel erro no gabarito
Voce estah certo. Seu gabarito, como sempre, errado. Morgado Em Wed, 29 Jan 2003 01:33:10 EST, [EMAIL PROTECTED] disse: > Olá pessoal, > > Como resolver esta questão: > > (U.E.BA) A sequência (log 20, log 200, log 2000;...) é uma: > > Resp: progressão aritmética de razão 1 + log 2. > > Obs: Eu resolvi da seguinte maneira: > log 20=log(2*10)=log2 + log10=log2 + 1 (1º termo) > log 200=log(2*100)=log2 + log100=log2 + 2 (2º termo) > > Fazendo (2º termo)- (1º termo), temos 1. Portanto a resposta certa seria uma > progressão aritmética de razão 1, não acham? > > > > > Pessoal, fiz download (no site: www.superdownloads.com.br) do programa ICQ > 2003, para aqueles que queiram resolver questões comigo on-line meu número é > 337140512 (Obs: Como não tenho muito experiência com matemática estou mais > para aprender do que para ensinar, mas naquilo que for possível eu até ajudo > alguém que queira resolver alguns problemas de ensino médio, que eu já > aprendi, muito deles aqui na lista.) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] o livro
O livro eh otimo. Mas nao eh um livro de algoritmos. Eh um livro que tem alguma coisa de algoritmos. Do ponto de vista pratico, um bom livro de algoritmos eh o de Guto Garcia (Editora Campus), "500 algoritmos". Do ponto de vista teorico, deixo para os especialistas opinarem. Em Wed, 29 Jan 2003 02:18:40 -0200, "rafaelc.l" <[EMAIL PROTECTED]> disse: > > > O livro é "Applied Combinatorics" de Fred S. Roberts. > Além de todos os outros tópicos que ele aborda( > combinatória em geral), o que mais me chamou atenção foi > o tópico de Algoritmos. Minha pergunta é: alguém aqui na > lista que conheçe o livro, indicaria ele a um aluno do 1 > semestre de engenharia para aprender algoritmos? ele > aborda esta parte de forma completa e eficiente ? ele é > pesado demais para quem está iniciando em algoritmos? > > obrigado > > > > Rafael > > > __ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! > http://email.bol.com.br/ > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Número complexos
[EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Vejam a questão: O número complexo (1+i)^11 pode ser posto na forma a + bi, onde a e b são números inteiros, neste caso b é igual a: Resp: 32 Obs: Quando vi este exercício, pensei...como é pontência de complexo só pode ser resolvido por dois métodos ou a notação de Euler ou a fórmula de Moivre. A notação de Euler eu não tenho a mínima intimidade, pois não vi nenhum exercício resolvido por ela, já a fórmula de Moivre foram + ou - 2 questões que eu resolvi no meu fascículo. Para facilitar as coisas ao resolver a questão acima não precisam me explicar os elementos da fórmula como argumento, módulo, etc... Pois eu já os conheço e tbém suas fórmula, a minha dificuldade é mais operacional ou algébrica do que conceitual, por isso que preciso ver como se resolve para eu criar um padrão pois quando eu ver um parecido eu buscarei no meu banco de "dados" [matemáticos(memória)] e saberei como resolver. Seja z = 1+i. Entao z = sqrt2(cos45 + isen45). Logo, z^11 = [(sqrt2)^11]*(cos11*45 + isen11*45) Como z é da forma a+bi, entao b = 32. Tertuliano Carneiro Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
