[obm-l] Palavra "Matemática" e símbolo de multiplicação
Eu gostaria de saber a origem da palavra "Matemática". Outra coisa que eu sempre quis saber é se existe algum motivo especial em depois de algumas séries substituir o símbolo de multiplicação que até então era usado um "x" por um ponto (Ou bolinha, dependendo do ponto de vista). Seria para os alunos não confundirem o sinal de multiplicação com a incógnita x? Grato, Victor Luiz Salgado de Lima. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] volume
Title: Re: [obm-l] volume on 01.04.03 18:11, Mário Pereira at [EMAIL PROTECTED] wrote: Por favor ajudem a resolver: Um tonel em forma de um cilindro regular encontra-se deitado no solo, com um certo volume de óleo dentro. O diametro base é 1,90 metros e o comprimento do tonel (altura) é 5,5 metros. Estando deitado, a altura do líquido dentro do tonel equivale a 1,13 metros. Qual o volume de óleo dentro do tonel? Obrigado, Mário Oi, Mario: O volume de liquido (desprezando a espessura das paredes, ou considerando as medidas como sendo do volume interno) eh igual ao volume de um cilindro reto cuja altura eh 5,5 m e cuja base eh um segmento circular de raio 0,95 m e altura 1,13 m. A area da base do cilindro liquido tambem eh igual a diferenca entre a area de um circulo de raio 0,95 m e a area de um segmento deste circulo de altura igual a 1,90 - 1,13 = 0,77 m. O angulo central A compreendido pelo segmento circular de altura 0,77 m eh tal que cos(A/2) = (0,95-0,77)/0,95 = 0,18/0,95 = 18/95 A area deste segmento eh igual a: (1/2)*0,95^2*(A - sen(A)) cos(A/2) = 18/95 ==> cos(A) = 2cos^2(A/2) - 1 = 2*18^2/95^2 - 1 = -0,928199 ==> sen(A) = raiz(1 - cos^2(A)) = 0,372083 ==> A = arccos(-0,928199) = 2,760341 radianos ==> Area do segmento = (1/2)*0,95^2*(2,760341 - 0,372083) = 1,077701 m^2 ==> Area da base do Liquido = Pi*0,95^2 - 1,077701 = 1,757586 m^2 ==> Volume do Liquido = 1,757586 * 5,5 = 9,666723 m^3. Um abraco, Claudio.
[obm-l] Rearranjo generalizado - revisado
Oi, Marcio: Dei uma boa mexida na demonstracao e eliminei aquela passagem nao justificada. Por favor de uma lida e me diga se ficou algum furo. O problema: Sejam varias seqs de termos positivos (a), (b), (c), ...e considere as somas do tipo S = a_1*b_1*c_1*... +a_2*b_2*c_2* ... + ... a_n*b_n*c_n*... onde (a_i) eh uma permutacao da 1a sequencia, (b_i) uma permutacao da 2a, e assim por diante. Mostre que S é máxima quando as sequencias tem a mesma ordenacao. O caso com 2 sequencias eh o que se conhece como "desigualdade do rearranjo" --- Inducao sobre o numero M de sequencias (M >= 2): O caso base (M = 2) eh a desigualdade do rearranjo. Supondo que o resultado seja verdadeiro para quaisquer M-1 sequencias (M >= 3) de termos positivos, consideremos as M sequencias (A_i), (B_i), (C_i), ..., (Z_i) (achei melhor usar esta notacao do que dois indices) de termos positivos e as somas correspondentes do tipo: S = A_1*B_1*...*Z_1 + ... + A_n*B_n*...*Z_n Inicialmente, aplicamos a hipotese de inducao as M-1 sequencias (A_i*B_i), (C_i), ..., (Z_i) e concluimos que S eh maxima quando todas estas as sequencias tem a mesma ordenacao, digamos: 0 < A_1*B_1 <= ... <= A_n*B_n, 0 < C_1 <= ... <= C_n, ... 0 < Z_1 <= ... <= Z_n. O objetivo agora eh provar que: 0 < A_1 <= ... <= A_n e 0 < B_1 <= ... <= B_n Suponhamos, portanto, que este nao seja o caso. Sem perda de generalidade podemos supor que existem i, j tais que: 1 <= i < j <= n e A_i > A_j. Nesse caso, como A_i*B_i <= A_j*B_j, teremos que B_i < B_j, o que, juntamente com as outras desigualdades decorrentes da h.i., implica que: B_i*...*Z_i < B_j*...*Z_j. Agora, vamos calcular o valor da soma S1, a qual eh obtida de S pela permutacao de A_i e A_j (todos os demais termos ficam iguais). Assim: S1 = S - A_i*B_i*...*Z_i - A_j*B_j*...*Z_j + A_j*B_i*...*Z_i + A_i*B_j*...*Z_j ==> S1 = S + (A_i - A_j)*(B_j*...*Z_j - B_i*...*Z_i) Como A_i > A_j e B_j*...*Z_j > B_i*...*Z_i, temos que S1 > S. Ou seja, colocando em ordem crescente dois termos originalmente "fora de ordem" da sequncia (A_i), conseguimos aumentar o valor da soma. O mesmo raciocinio vale para eventuais termos "fora de ordem" da sequencia (B_i). Portanto, a soma eh maxima quando (A_i) e (B_i) estao em ordem crescente. Em virtude da h.i., podemos concluir que S eh maxima quando: 0 < A_1 <= ... <= A_n, 0 < B_1 <= ... <= B_n, 0 < C_1 <= ... <= C_n, ... 0 < Z_1 <= ... <= Z_n, ou seja, quando as M sequencias tiverem a a mesma ordenacao. FIM Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] nova ajuda
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Tuesday 01 April 2003 20:38, Daniel Pini wrote: > As cidades A e B distam 5 quilometros uma da outra. Deseja-se construir > uma escola onde estudarão 1000 crianças da cidade A e 500 crianças da > cidade B. A que distancia, em quilometros, da cidade A deve ser construida > a escola de modo que a distancia total percorrida por todas as 1500 > crianças seja a menor possível? R: 0 > [...] Seja d a distância da escola a A. Então a distância a B é de 5 - d. Queremos minimizar 1000*d + (5-d)*500 = 1000*d + 2500 - 500*d = 500*d + 2500 com 0 <= d <= 5. > [...] > Considere a sequencia x(1), x(2), x(3), ... definida por x(1)= 3^1/3, > x(2)= (x(1))^3^1/3 e, em geral, x(n)= (x(n-1))^3^1/3, pra n maior que 1. O > menor valor de n para o qual x(n) é inteiro vale: R:4 > [...] É fácil ver que x(n) = (3^1/3)^((3^1/3)^n) (indução!). Existe um teorema diz que se a e b são reais que são raízes de um polinômio de coeficientes inteiros (por exemplo, x^3 - 3 = 0) e b não for racional, então a^b não é raiz de nenhum polinômio de coeficientes inteiros (e em particular, a^b não é inteiro). (Existe uma demonstração mais elementar de que x(2) e x(3) não são inteiros que não envolva estimar 3^1/3 por cima e por baixo por racionais?) > [...] > A sequencia crescente 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11,... consiste de todos os > inteiros positivos que não são quadrados nem cubos de um inteiro positivo. > O 500º termo dessa sequencia é : R:528 > [...] Calcule primeiro a posição do número 500 e conte até o 500-ésimo termo na mão (cuidado com as sextas potências!). > [...] > Se (5^2 + 9^2) (12^2 + 17^2) for escrito sob a forma a^2 + b^2 então a+b é > igual a:R: 60 ou 153 > [...] Seja z' o conjugado de um complexo z. Use os seguintes fatos: a) Se z = a+bi, zz' = a^2 + b^2 b) zz'ww' = zwz'w' = zw'z'w []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iD8DBQE+ijj5alOQFrvzGQoRAp0OAJ0S7v2FPcYIgqqIzO//DA4+WIxSvQCgnmts sbmwPytfJcBaA8r9LBDtYQ8= =s5y0 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] questão enviada com erro
Peço desculpa pelo erro idiota que fiz na questão de fatoração. A expressão correta é: a^4 + b^4 - c^4 -2a²b²+4abc²
[obm-l] nova ajuda
As cidades A e B distam 5 quilometros uma da outra. Deseja-se construir uma escola onde estudarão 1000 crianças da cidade A e 500 crianças da cidade B. A que distancia, em quilometros, da cidade A deve ser construida a escola de modo que a distancia total percorrida por todas as 1500 crianças seja a menor possível? R: 0 Considere a sequencia x(1), x(2), x(3), ... definida por x(1)= 3^1/3, x(2)= (x(1))^3^1/3 e, em geral, x(n)= (x(n-1))^3^1/3, pra n maior que 1. O menor valor de n para o qual x(n) é inteiro vale: R:4 A sequencia crescente 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11,... consiste de todos os inteiros positivos que não são quadrados nem cubos de um inteiro positivo. O 500º termo dessa sequencia é : R:528 Se (5^2 + 9^2) (12^2 + 17^2) for escrito sob a forma a^2 + b^2 então a+b é igual a:R: 60 ou 153
Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto
Consegui estimar um limitante inferior para o número de grupos de
crianças:
Considere uma matriz com elementos A[i, j] = (i, j) pertence a (Zp)²
O problema proposto é equivalente a calcular o número de combinações de
elementos de A cuja soma dê (0, 0).
Agora desenhando a matriz A e separando a última linha e a última coluna,
formamos uma matriz A', com (p-1) x (p-1) elementos em (Zp)².
Os elementos da última linha são:
{ (1, 0), (2, 0), ..., (p-1, 0) , (0,0)}
e os da última coluna são:
{ (0, 1), (0, 2), ..., (0, p-1) , (0,0)}
* o elemento (0, 0) é compartilhado!
Repare que toda combinação de elementos da matriz A' tem soma em (Zp)² e
todo elemento e (Zp)² tem um oposto aditivo em (Zp)², além disso, é possível
obter todos os elementos de (Zp)² através dos elementos da última linha e da
última coluna (basta tomar a soma de dois deles, por exemplo), por tanto,
para cada combinação de A' existe pelo menos uma maneira de selecionar
elemento(s) na última linha e coluna de A tal que a soma total dê (0, 0).
Por tanto, um limitante inferior para o número de grupo crianças do problema
é:
2^[(p-1)²] == total de combinações em A'.
Esse limitante tem bastante folga pois na verdade existe várias maneiras de
obter o mesmo elemento de (Zp)² através da última linha e da última coluna.
por exemplo o elemento (3, 2) = (3,0) + (0,2) = (2,0) + (1,0) + (0,2) = ...
Idéias?
[ ]'s
-
7.5)(Guilherme Issao)Existem p²,onde p e primo,crianças dispostas num bairro
como um tabuleiro p por p.Ha tambem duas distribuidoras de doces,a
Cledmilson
Marmotta e a Estrogonofre's.A Cledmilson Marmotta manda um vendedor para
cada uma das p linhas horizontais,sendo que o vendedor da i-esima linha
tem i Kg de doce de jilo e distribui igualmente entre as p crianças.Da mesma
forma Estrogonofre's manda um vendedor para cada uma das p linhas
verticais,sendo
que o vendedor da j-esima linha tem j Kg de doce de jaca e distribui
igualmente
entre as p crianças.De quantas maneiras podemos escolher um grupo de
crianças
desse bairro para roubar-lhes os doces de modo que a quantidade de cada
tipo de doce roubada seja inteira?[6]
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[obm-l] volume
Por favor ajudem a resolver: Um tonel em forma de um cilindro regular encontra-se deitado no solo, com um certo volume de óleo dentro. O diametro base é 1,90 metros e o comprimento do tonel (altura) é 5,5 metros. Estando deitado, a altura do líquido dentro do tonel equivale a 1,13 metros. Qual o volume de óleo dentro do tonel? Obrigado, Mário <>
Re: [obm-l] Rearranjo generalizado
- Original Message - From: "Marcio" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, April 01, 2003 2:12 PM Subject: Re: [obm-l] Rearranjo generalizado > Por que a linha "Naturalmente o valor de S eh o mesmo nos 3 casos" eh > verdadeira? > Por exemplo, se vc tiver A =(a1,a2)= (1,2), B = (3,2), C=(2, 3/2), entao > vc tem: > a1b1 < a2b2 e c1 < c2. > Por outro lado, embora voce tenha a1 < a2, vc nao tem b1c1 < b2c2... > Portanto, nesse caso, a soma S nao eh exatamente a mesma nos seus 3 casos.. > Certo? > Marcio > > Oi Márcio: Acho que a sua sequencia C deveria ser (3/2,2). Nesse caso, a1b1 = 3 < 4 = a2b2 e c1 = 3/2 < 2 = c2. Por outro lado, a1 = 1 < 2 = a2, mas b1c1 = 9/2 > 4 = b2c2. Na verdade a soma nos dois casos é a mesma: S = 1*3*3/2 + 2*2*2 = 12,5. Só que esta soma não é a maior possível (que é 15). Assim, foi possível ter b1c1 > b2c2. O que eu disse é que as somas MÁXIMAS em cada caso são iguais. De qualquer forma, concordo que esta afirmativa precisa ser justificada com algo mais do que um "naturalmente". Vou pensar num argumento aceitável e te aviso quando achar. Um abraço, Claudio. > > > Inicialmente, aplicamos a hipotese de inducao as M-1 sequencias (A_i*B_i), > > (C_i), ..., (Z_i) e concluimos que S eh maxima quando todas estas as > > sequencias tem a mesma ordenacao, digamos: > > 0 < A_1*B_1 <= ... <= A_n*B_n, > > 0 < C_1 <= ... <= C_n, > > ... > > 0 < Z_1 <= ... <= Z_n. > > > > Agora, aplicamos a h.i. as M-1 sequencias (A_i), (B_i*C_i), ..., (Z_i) e > > concluimos que S eh maxima quando: > > 0 < A_1 <= ... <= A_n, > > 0 < B_1*C_1 <= ... <= B_n*C_n, > > ... > > 0 < Z_1 <= ... <= Z_n. > > > > Finalmente, aplicamos a h.i. as M-1 sequencias (A_i*C_i), (B_i), ..., > (Z_i) > > e concluimos que S eh maxima quando: > > 0 < A-1*C_1 <= ... <= A_n*C_n, > > 0 < B_1 <= ... <= B_n, > > ... > > 0 < Z_1 <= ... <= Z_n. > > > > Naturalmente, o valor maximo de S serah o mesmo em cada um dos tres casos > > acima. > > > > Estas tres aplicacoes da h.i. implicam que S eh maxima quando: > > 0 < A_1 <= ... <= A_n, > > 0 < B_1 <= ... <= B_n, > > 0 < C_1 <= ... <= C_n, > > ... > > 0 < Z_1 <= ... <= Z_n, > > ou seja, quando as M sequencias tiverem a a mesma ordenacao. > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Rearranjo generalizado
Por que a linha "Naturalmente o valor de S eh o mesmo nos 3 casos" eh verdadeira? Por exemplo, se vc tiver A =(a1,a2)= (1,2), B = (3,2), C=(2, 3/2), entao vc tem: a1b1 < a2b2 e c1 < c2. Por outro lado, embora voce tenha a1 < a2, vc nao tem b1c1 < b2c2... Portanto, nesse caso, a soma S nao eh exatamente a mesma nos seus 3 casos.. Certo? Marcio > Inicialmente, aplicamos a hipotese de inducao as M-1 sequencias (A_i*B_i), > (C_i), ..., (Z_i) e concluimos que S eh maxima quando todas estas as > sequencias tem a mesma ordenacao, digamos: > 0 < A_1*B_1 <= ... <= A_n*B_n, > 0 < C_1 <= ... <= C_n, > ... > 0 < Z_1 <= ... <= Z_n. > > Agora, aplicamos a h.i. as M-1 sequencias (A_i), (B_i*C_i), ..., (Z_i) e > concluimos que S eh maxima quando: > 0 < A_1 <= ... <= A_n, > 0 < B_1*C_1 <= ... <= B_n*C_n, > ... > 0 < Z_1 <= ... <= Z_n. > > Finalmente, aplicamos a h.i. as M-1 sequencias (A_i*C_i), (B_i), ..., (Z_i) > e concluimos que S eh maxima quando: > 0 < A-1*C_1 <= ... <= A_n*C_n, > 0 < B_1 <= ... <= B_n, > ... > 0 < Z_1 <= ... <= Z_n. > > Naturalmente, o valor maximo de S serah o mesmo em cada um dos tres casos > acima. > > Estas tres aplicacoes da h.i. implicam que S eh maxima quando: > 0 < A_1 <= ... <= A_n, > 0 < B_1 <= ... <= B_n, > 0 < C_1 <= ... <= C_n, > ... > 0 < Z_1 <= ... <= Z_n, > ou seja, quando as M sequencias tiverem a a mesma ordenacao. > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] equação
Alguém poderia achar as raizes da equação (usando um computador que a mao esta dificil) [4/(sqrt(x^2-900) + 6/(sqrt(x^(2)-400)] = 15 obrigado pela ajuda []'s, M.Add photos to your messages with MSN 8. Get 2 months FREE*. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] AJUDA
4-Fatore: a^4+b^4-c^4-2a^b^2+4abc^2 Supondo que a expressão seja: a^4+b^4-c^4-2a^2b^2+4abc^2, façamos: F(c) = -c^4 + 4abc^2 + (a^4+b^4-2a^2b^2) = polinômio biquadrado em c. Delta = 16a^2b^2 + 4(a^4+b^4-2a^2b^2) = = 4(a^4+b^4+2a^2b^2) = 4(a^2+b^2)^2 ==> raiz(Delta) = 2(a^2+b^2) Logo, as raízes serão: c^2 = [-4ab +ou- 2(a^2+b^2)]/(-2), ou seja: c^2 = 2ab + a^2 + b^2 ou c^2 = 2ab - a^2 - b^2 ==> c^2 = (a+b)^2 ou c^2 = -(a-b)^2 Logo, F(c) se fatora como: F(c) = ((a+b)^2 - c^2)((a-b)^2 + c^2) ==> F(c) = (a + b + c)(a + b - c)(c^2 + (a-b)^2) Um abraço, Claudio.
Re: [obm-l] Mais Probls em Aberto II
Title: Re: [obm-l] Mais Probls em Aberto II 12)Sejam m e n inteiros positivos tal que n= que (2^n)*n!=< (m+n)!/(m-n)! =<(m^2+m)^n. Parte 1: (2^n)*n! <= (m+n)!/(m-n)! para m >= n >= 1 Inducao em m, supondo n fixo: m = n: (m+n)!/(m-n)! = (2n)! = produto de todos os naturais de 1 a 2n >= produto de todos os pares de 1 a 2n = 2^n*n! Suponhamos que m >= n e que (m+n)!/(m-n)! >= 2^n * n!. (m+1+n)!/(m+1-n)! = (m+n)!/(m-n)! * (m+n+1)/(m-n+1) >= (m+n)!/(m-n)! >= 2^n*n!. -- Parte 2: (m+n)!/(m-n)! <= (m^2+m)^n para m >= n >= 1 (m+n)!/(m-n)! = (m+n)*(m+n-1)**(m-n+1) = PRODUTO(1<=k<=n) (m+n+1-k)*(m-n+k) = PRODUTO(1<=k<=n) [m^2-n^2+m-n + (2n+1)*k - k^2] Por outro lado: (m^2+m)^n = PRODUTO(1<=k<= n) (m^2+m) Entretanto: (m^2 - m) - [m^2-n^2+m-n + (2n+1)*k - k^2] = k^2 - (2n+1)*k + n*(n+1) = (k - n)*(k - n - 1) >= 0 se k <= n ou k >= n + 1 ==> (k - n)*(k - n - 1) >= 0 para todo k inteiro ==> PRODUTO(1<=k<=n) (m+n+1-k)*(m-n+k) <= (m^2+m)^n ==> (m+n)/(m-n)! <= (m^2+m)^n para m >=n >= 0. Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto
Title: Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto 4) Seja f:N>R uma função tal que f(1)=3 e f(m+n)+f(m-n)-m+n-1=(f(2m)+f(2n))/2 para todos os inteiros não negativos m e n com m>=n. Determine a expressão de f(m). m = n ==> f(2n) + f(0) - 1 = f(2n) ==> f(0) = 1 n = 0 ==> f(m) + f(m) - m - 1 = [f(2m) + f(0)]/2 ==> 4f(m) - 2m - 2 = f(2m) + 1 ==> f(2m) = 4f(m) - 2m - 3 Fazendo m+n = p e m-n = q ==> p >= q e m = (p+q)/2 e n = (p-q)/2 ==> f(p) + f(q) - (p+q)/2 + (p-q)/2 -1 = [f(p+q)+f(p-q)]/2 ==> f(p) + f(q) - q - 1 = [f(p+q)+f(p-q)]/2 p = q+1 ==> f(q+1) + f(q) - q - 1 = [f(2q+1)+f(1)]/2 ==> f(2q+1) = 2[f(q+1) + f(q) - q] - 5 ==> Resumindo, temos: f(0) = 1 f(1) = 3 e para todo n >= 0: f(2n) = 4f(n) - 2n - 3 f(2n+1) = 2[f(n+1) + f(n) - n] - 5 Calculando os valores seguintes de f, chegamos a: f(2) = 7 f(3) = 13 f(4) = 21 f(5) = 31 f(6) = 43 f(7) = 57 Reparamos que vale, para todo k, com 1 <= k <= 7: f(k) = f(k-1) + 2k. Juntamente com f(0) = 1, esta equacao implica que: f(k) = k^2 + k + 1 para 0 <= k <= 7. Temos agora a nossa hipotese de inducao: Suponhamos que, para 0 <= k < n, f(k) = k^2 + k + 1. n eh par ==> n = 2m ==> f(2m) = 4f(m) - 2m - 3 = 4(m^2 + m + 1) - 2m - 3 = 4m^2 + 2m + 1 = (2m)^2 + (2m) + 1 = n^2 + n = 1 ==> Se n eh par, entao f(n) = n^2 + n = 1. n eh impar ==> n = 2m+1 ==> f(2m+1) = 2[f(m+1) + f(m) - m] - 5 = 2[(m^2+2m+1) + (m+1) + 1 + m^2 + m + 1 - m] - 5 = 4m^2 + 6m + 3 = (4m^2 + 4m + 1) + (2m + 1) + 1 = (2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = n^2 + n + 1 ==> Se n eh impar, entao f(n) = n^2 + n = 1. Logo, para todo n >= 0, f(n) = n^2 + n + 1. Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto
Title: Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto Tah certo. Foi aquele problema do arquivo muito grande, neh? Desculpe a falha. O credito e de voces. Um abraco, Claudio. on 31.03.03 20:54, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: pô, o 7.2 eu e o Wendel já provamos: http://www.linux.ime.usp.br/~domingos/problema.ps http://www.linux.ime.usp.br/~domingos/problema.pdf
