Re: [obm-l] sistema
eh, realmente, mas é o que está no Iezzi, o Iezzi sacaneou! hehehe
obrigado cara!
On Thu, Dec 11, 2003 at 03:42:56PM -0800, Leandro Recova wrote:
Ha um erro ai Eduardo !!! 1a fase da FUVEST raramente tem questoes
complicadas.
Olhe o link
http://www.fuvest.br/vest1991/provas/p1f91_07.stm
E la diz que o sistema e o seguinte:
X + Y = M
X^2 + Y^2 = 4
Agora fica facil, pois voce isolando o X=Y-M e substituindo na 2a equacao,
teremos
2y^2 - 2ym + (m^2 -4) = 0
Impondo discriminante DELTA=4(8-m^2) = 0, encontramos m=2sqrt(2) ou
m=-2sqrt(2). Logo, a soma dos valores de m sera ZERO.
O GABARITO VOCE PODE VER EM
http://www.fuvest.br/vest1991/provas/gab1f91.stm#
See you..
Leandro
Los Angeles, CA.
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Eduardo Henrique Leitner
Sent: Thursday, December 11, 2003 7:51 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] sistema
tenho, tenho certeza sim, pelo menos é assim que está no livro do Iezzi...
eh o volume 7, 4a edição, 4a reimpressão, exercihcios 181 de
vestibulares...
valeu!
On Thu, Dec 11, 2003 at 10:26:16AM -0200, Claudio Buffara wrote:
on 10.12.03 22:00, Eduardo Henrique Leitner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
não faço idéia de como fazer esss... se alguém puder ajudar... =)
181. (FUVEST-91) Existem dois valores de m para os quaistem solução
única o
sistema:
x + y = m
x^2 + y^3 = -4
A soma desses dois valores de m é:
a) -2
b) -2sqrt{2}
c) 0
d) 2
e) 2sqrt{2}
Tem certeza de que a 2a. equacao eh x^2 + y^3 = -4?
Porque se for, entao existe uma infinidade de valores de m para os quais
a
interseccao eh unica.
Faca x = m - y. Entao, interseccao ==
(m-y)^2 + y^3 = -4 ==
y^3 + y^2 - 2my + m^2 + 4 = 0 (*)
Interseccaco unica == (*) tem uma unica raiz real.
A fim de que (*) tenha uma unica raiz real, eh suficiente que a derivada
3y^2 + 2y - 2m seja estritamente 0 ==
delta = 4 + 24m 0 ==
m -1/6.
Ou seja, se m -1/6, entao a equacao (*) tem uma unica raiz real e,
portanto, a reta e a cubica se intersectam num unico ponto.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RE: [obm-l] dúvida em prova para cvm
De acordo com o enunciado: As pontuações são números inteiros positivos. Abraços, Rafael. --- Guilherme Carlos Moreira e Silva [EMAIL PROTECTED] escreveu: pq naum p1=2,p2=1,p3=0? Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote:39 = n ( p1 + p2 + p3 ) 3*13 = n ( p1 + p2 + p3) se n = 13 entao p1=p2=p3=1 o que contradiz o enunciado logo n = 3. -Auggy From: fabio fortes Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] dúvida em prova para cvm Date: Thu, 11 Dec 2003 10:23:58 -0800 (PST) não consegui fazer este exercício, caiu em uma prova pra CVM se alguém puder me ajudar, agradeço. 41- Ernesto, Ernani e Everaldo são três atletas que resolveram organizar um desafio de ciclismo entre eles. Ficou combinado o total de pontos para o primeiro, o segundo e o terceiro lugares em cada prova. A pontuação para o primeiro lugar é maior que a para o segundo e esta é maior que a pontuação para o terceiro. As pontuações são números inteiros positivos. O desafio consistiu de n provas (n 1), ao final das quais observou-se que Ernesto fez 20 pontos, Ernani 9 pontos e Everaldo 10 pontos. Assim, o número n de provas disputadas no desafio foi igual a: __ Do you Yahoo!? New Yahoo! Photos - easier uploading and sharing. http://photos.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Get holiday tips for festive fun. http://special.msn.com/network/happyholidays.armx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora! __ Yahoo! Mail: 6MB, anti-spam e antivírus gratuito! Crie sua conta agora: http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] erro no mathematica?
On Thu, Dec 11, 2003 at 12:09:12AM -0200, Fabio Henrique wrote: Obrigado pelo esclarecimento mas o comentário me ofendeu. Imagino que o comentário seja este: E por favor, nada de discutir pirataria aqui. Eu não queria ofendê-lo; na verdade, nem me dirigia a você. Já aconteceram episódios de membros da lista mandarem instruções de como conseguir cópias ilegais de softwares. Quer se goste ou não das leis que regem este tipo de coisa, este não é o lugar para discutir este tema e acho intolerável um off-topic recomendando uma ilegalidade. Dei uma bronca séria na época. Você provavelmente nem estava na lista. A minha frase foi dirigida a quem por acaso tivesse a idéia de mandar uma mensagem em resposta à sua, parecida com aquela outra. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Círculo da Morte
Olá Douglas, quando a fila tem um número par de prisioneiros , exatamente a metade morre , e a espada volta para o primeiro da fila. Portanto, quando a fila tem um número da forma 2^n prisioneiros, o primeiro sempre recebe a espada de volta , e acaba sobrevivendo no final. Então, durante a primeira sequência de mata-mata , quando faltarem exatamente 64 prisioneiros ( 2^6 ) , aquele que tiver a espada é quem sobreviverá . Isso acontecerá depois de 100-64 = 36 mortes. Portanto , o felizardo será o de número 1 + 2*36 = 73 . E a probabilidade de o príncipe ficar vivo , se a espada é entregue a um dos 99 prisioneiros é 1/99 . Repare que se o número de prisioneiros fosse da forma ( 2^n - 1 ) , então o príncipe sempre seria morto . Abraços, Rogério. From: Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] Esse eu achei muito interessante... Eu poderia encurtar tudo mas vou contar a historia como me foi proposta... Durante ter vencido uma longa guerra, um Rei fez como prisioneiros 99 dos guerreiros de seu inimigo. Ele estava disposto a matá-los, mas não queria tirar suas vidas sem propósito. Arrumou então uma desculpa de casar sua filha, oferecendo a mão da moça a qualquer príncipe que aceitasse um desafio proposto por ele. Um certo dia um príncipe vindo de muito longe chegou ao reino e pediu a mão da moça. Prontamente, o Rei disse que teria que passar por um desafio e o príncipe aceitou. Então o Rei lhe explicou qual era a situação: Eu tenho 99 prisioneiros de guerra no calabouço. Irei dispô-los em forma circular, e darei uma espada a um deles. Logo após disso você irá adentrar no círculo em qualquer lugar que queira. O homem a receber a espada irá matar o que estiver a sua esquerda e passará a espada para o próximo a sua esquerda também. Este, que recebeu a espada, fará o mesmo. Matará o que está a sua esquerda e passará para o próximo, e assim sucessivamente até sobrar uma única pessoa no círculo. Se você for o último terá então a mão da minha filha. a) Considerando o homem que recebeu a espada como o nº 1, o da sua esquerda o nº 2, e assim por diante, Em que posição do círculo o príncipe deverá ficar para permanecer vivo? b) E se o círculo tivesse k pessoas? Qual o que permaneceria vivo? Essa aqui não faz parte da questão mas eu fiquei curioso e resolvi propô-la: Se a espada fosse entregue aleatoriamente para algum dos 99 prisioneiros só depois do príncipe entrar no círculo, qual a probabilidade dele ficar vivo no final? Eu resolvi o a) e o b) na época que me foram propostos, mas obtive a fórmula geral por tentativas e queria uma solução mais higiênica. A outra pergunta que eu propus não soube como resolver. Abraços, Douglas _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dúvida em prova para cvm
Nao poderia ser p1 = 7, p2 = 5 e p3 = 1 p1 = 9, p2 = 3 e p3 = 1 p1 = 7, p2 = 4 e p3 = 2 etc... ? Pois tbem da 13. Ou a solucao eh unica ? Em uma mensagem de 11/12/2003 18:38:46 Hor. de verão leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Faltou dizer ki n = 39 ou n = 1 tb contradizem o enunciado, mas e meio obvio btw... sei ki nao faz parte da questao, mas p1 = 8, p2 = 4 e p3 = 1 -Auggy From: "Qwert Smith" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] dúvida em prova para cvm Date: Thu, 11 Dec 2003 14:21:39 -0500 39 = n ( p1 + p2 + p3 ) 3*13 = n ( p1 + p2 + p3) se n = 13 entao p1=p2=p3=1 o que contradiz o enunciado logo n = 3. -Auggy From: fabio fortes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] dúvida em prova para cvm Date: Thu, 11 Dec 2003 10:23:58 -0800 (PST) não consegui fazer este exercício, caiu em uma prova pra CVM se alguém puder me ajudar, agradeço. 41- Ernesto, Ernani e Everaldo são três atletas que resolveram organizar um desafio de ciclismo entre eles. Ficou combinado o total de pontos para o primeiro, o segundo e o terceiro lugares em cada prova. A pontuação para o primeiro lugar é maior que a para o segundo e esta é maior que a pontuação para o terceiro. As pontuações são números inteiros positivos. O desafio consistiu de n provas (n 1), ao final das quais observou-se que Ernesto fez 20 pontos, Ernani 9 pontos e Everaldo 10 pontos. Assim, o número n de provas disputadas no desafio foi igual a:
[obm-l] Resultado.
Caros amigos das listas, Já foi liberada a listagem de premiados no Nivel Universitário, confiram. Abraços, Nelly = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Solidos geometricos
O cone entra de lado... a janela e 2x3 e o cone de lado e 1x3 portanto cabe -Auggy From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Solidos geometricos Date: Fri, 12 Dec 2003 12:38:42 EST Ola pessoal, Vejam a questao: Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma caixa que deverah conter cinco pequenos solidos, colocados na caixa por uma abertura em sua tampa. A caixa tem 10 cm de largura, 15 cm de comprimento e 5 cm de altura. A abertura eh um retangulo de dimensoes 2cm X 3cm. Os solidos sao fabricados nas formas de: I. um cone de altura 1 cm e raio da base 1,5cm. II. uma cubo de aresta 2 cm. III. uma esfera de raio 1,5 cm IV. um paralelepipedo retangular reto de dimensoes 2cm, 3cm e 4cm. V. um cilindro reto de altura 3cm e raio da base 1 cm O fabricante nao aceita o projeto, pois percebeu que, pela abertura, dessa caixa, soh poderia colocar os solidos dos tipos: a) I, II e III b) I, II e V c) I, II, IV e V d) II, III, IV e V Resp: A esfera eh unico solido que nao pode ser colocado dentro da caixa, pois tem diamentro de 3 cm e a abertura da caixa tem uma medida de 2 cm. Logo, a c eh a correta. Duvida: Eu ateh concordo que a esfera nao entrarah na caixa, mas e o cone ? Ele tambem tem um diamentro de 3 cm. Como nao eh considerado isso, acho que o suposto fabricante nao teria restricoes quanto ao defeito que estou citando, ou seja, uma caixa de brinquedo onde um cone nao entraria por completo, ficando sua base para fora. Eh isso ? _ Our best dial-up offer is back. Get MSN Dial-up Internet Service for 6 months @ $9.95/month now! http://join.msn.com/?page=dept/dialup = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dúvida em prova para cvm
From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] dúvida em prova para cvm Date: Fri, 12 Dec 2003 12:39:24 EST Nao poderia ser p1 = 7, p2 = 5 e p3 = 1 p1 = 9, p2 = 3 e p3 = 1 p1 = 7, p2 = 4 e p3 = 2 etc... ? Pois tbem da 13. Ou a solucao eh unica ? Relamente nao tentei provar se a solucao e unica ou nao, mas me parece ser. Vc tem ki lembrar ki um somou 20, outro 10 e o terceiro 9 pontos. Das opcoes ki vc listou acima nenhuma serve. De fato para as corridas A, B e C (em qualquer ordem) | A | B | C | --- Ernesto | 8 | 8 | 4 | Everaldo | 1 | 1 | 8 | Ernani| 4 | 4 | 1 | Em uma mensagem de 11/12/2003 18:38:46 Hor. de verão leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Faltou dizer ki n = 39 ou n = 1 tb contradizem o enunciado, mas e meio obvio btw... sei ki nao faz parte da questao, mas p1 = 8, p2 = 4 e p3 = 1 -Auggy From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] dúvida em prova para cvm Date: Thu, 11 Dec 2003 14:21:39 -0500 39 = n ( p1 + p2 + p3 ) 3*13 = n ( p1 + p2 + p3) se n = 13 entao p1=p2=p3=1 o que contradiz o enunciado logo n = 3. -Auggy From: fabio fortes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] dúvida em prova para cvm Date: Thu, 11 Dec 2003 10:23:58 -0800 (PST) não consegui fazer este exercício, caiu em uma prova pra CVM se alguém puder me ajudar, agradeço. 41- Ernesto, Ernani e Everaldo são três atletas que resolveram organizar um desafio de ciclismo entre eles. Ficou combinado o total de pontos para o primeiro, o segundo e o terceiro lugares em cada prova. A pontuação para o primeiro lugar é maior que a para o segundo e esta é maior que a pontuação para o terceiro. As pontuações são números inteiros positivos. O desafio consistiu de n provas (n 1), ao final das quais observou-se que Ernesto fez 20 pontos, Ernani 9 pontos e Everaldo 10 pontos. Assim, o número n de provas disputadas no desafio foi igual a: _ Take advantage of our best MSN Dial-up offer of the year six months @$9.95/month. Sign up now! http://join.msn.com/?page=dept/dialup = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] a utilidade das desigualdades
Tem certeza que t+10p+20c=1000 ? Nao seria t+10p+20c= 200 ? Se vc errou nessa parte entao ficaria: t+p+c=100 t+10p+20c=200 Agora isole o t Temos 100-p-c=200-10p-20c 9p+19c=100 9p+18c+c=100 9(p+2c)+c=100 E agora como continuar ? Pois minha duvida estah na parte de colocar os produtos no set-up, no caso de sua resolucao foi o 9K, ja na solucao que enviei foi o 10s e 19 s. Nao precisa resolver a questao apenas me diga de onde vem estes elementos ? Qual o raciocinio ? Por favor ! Em uma mensagem de 11/12/2003 19:41:18 Hor. de verão leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Na verdade isto e uma equaçao diofantina linear tartarugas R$0,5 porcos R$5,00 cavalos R$10,00 Voce tem que gastar exatamente 100 reais e comprar 100 animais. t+p+c=100 t+10p+20c=1000 Agora isole o t Temos 100-p-c=1000-10p-20c 9p+19c=900 9p+18c+c=900 9(p+2c)+c=900 c=9k com k inteiro. Logo p+18k+k=100 p=100-19k c=9k t=200-10k Este e um dos metodos de resolver diofantinas. Pelo que eu ja vi ai ele usou desigualdades no inicio,para limitar as soluçoes. Como nao tem la muito sentido um porco negativo(a nao ser que seja um porco feito de antimateria ) temos que p,t e c sao positivos. Ai continue! [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, A questao abaixo nao eh nem um pouco original para mim, pois ja tinha visto varias formas dela por ai. O que eh bastante novo para mim, foi a maneira como ela foi resolvida, visto que em qualquer canto que eu encontro uma parecida eu vejo uma solucao utilizando sistemas lineares, determinantes e afins. Desta vez vi uma solucao utilizando desigualdades. Minha duvida esta no corpo da mensagem em maiuscula. Questao: Ha tartarugas, porcos and cavalos para venda. tartarugas R$0,5 porcos R$5,00 cavalos R$10,00 Voce tem que gastar exatamente 100 reais e comprar 100 animais. Solucao: Vamos arbitrar as incognitas, sendo: t: tartarugas, p: porcos, c= (100-p-t): cavalos. Entao, 0,5t+5p+10(100-p-t)=100 5t+50p+100(100-p-t)=1000 95t+50t=9000 19t+10p=1800 Enquanto, 19(-1)+10(2)= 1 19(-1800)+10(3600)=1800 19(-1800+10s)+10(3600-19s)=1800 (DÚVIDA: POR QUE NA EQUACAO ACIMA APARECEU AS PARCELAS 10s E 19s ? EU SEI QUE t, p e c ESTAO ENTRE 0 E 100, LOGO DEVE HAVER UM CORRETIVO DENTRO DOS PARENTESES PARA CORRIGIR O SINAL NEGATIVO-TRANSFORMANDO-O EM POSITIVO- PARA ADEQUAR A EQUACAO AO PROBLEMA. MAS MINHA DUVIDA EH: POR QUE FOI SOMADO AO -1800 O 10S ? QUAL SERIA A IMPROPRIEDADE DE SOMA-LO COM O 19S? A MESMA PERGUNTA REFERENTE AO 3600. POR QUE NAO SUBTRAIR DO 3600 O 10S AO INVES DO-19 COMO FOI FEITO ?) Logo 100=(t=-1800+10s)=0 (I) 100=(p=3600-19s)=0 (II) 1900=(10s)=1800(I) 3600=(19s)=3500(II) 190=(s)=180(I) (3600/19)=(s)=(3500/19)(II) 189=(s)=185(I and II) Por outro lado, 100=(c=100-p-t=100-(-1800+10s)-(3600-19s))=0 200=s=189 Entretanto, s=189.And t=-1800+1890=90, p=3600-19*189=9 c=1 Resp: 90 tartarugas, 9 porcos, and 1 cavalo.
Re: [obm-l] sistema
Soh uma correcao!
m= +/- 2. Mas nao ira alterar o resultado, pois a soma tbem serah 0.
Em uma mensagem de 11/12/2003 21:45:44 Hor. de verão leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Ha um erro ai Eduardo !!! 1a fase da FUVEST raramente tem questoes
complicadas.
Olhe o link
http://www.fuvest.br/vest1991/provas/p1f91_07.stm
E la diz que o sistema e o seguinte:
X + Y = M
X^2 + Y^2 = 4
Agora fica facil, pois voce isolando o X=Y-M e substituindo na 2a equacao,
teremos
2y^2 - 2ym + (m^2 -4) = 0
Impondo discriminante DELTA=4(8-m^2) = 0, encontramos m=2sqrt(2) ou
m=-2sqrt(2). Logo, a soma dos valores de m sera ZERO.
O GABARITO VOCE PODE VER EM
http://www.fuvest.br/vest1991/provas/gab1f91.stm#
See you..
Leandro
Los Angeles, CA.
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Eduardo Henrique Leitner
Sent: Thursday, December 11, 2003 7:51 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] sistema
tenho, tenho certeza sim, pelo menos é assim que está no livro do Iezzi...
eh o volume 7, 4a edição, 4a reimpressão, exercihcios 181 de
vestibulares...
valeu!
On Thu, Dec 11, 2003 at 10:26:16AM -0200, Claudio Buffara wrote:
on 10.12.03 22:00, Eduardo Henrique Leitner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
não faço idéia de como fazer esss... se alguém puder ajudar... =)
181. (FUVEST-91) Existem dois valores de m para os quaistem solução
única o
sistema:
x + y = m
x^2 + y^3 = -4
A soma desses dois valores de m é:
a) -2
b) -2sqrt{2}
c) 0
d) 2
e) 2sqrt{2}
Tem certeza de que a 2a. equacao eh x^2 + y^3 = -4?
Porque se for, entao existe uma infinidade de valores de m para os quais
a
interseccao eh unica.
Faca x = m - y. Entao, interseccao ==
(m-y)^2 + y^3 = -4 ==
y^3 + y^2 - 2my + m^2 + 4 = 0 (*)
Interseccaco unica == (*) tem uma unica raiz real.
A fim de que (*) tenha uma unica raiz real, eh suficiente que a derivada
3y^2 + 2y - 2m seja estritamente 0 ==
delta = 4 + 24m 0 ==
m -1/6.
Ou seja, se m -1/6, entao a equacao (*) tem uma unica raiz real e,
portanto, a reta e a cubica se intersectam num unico ponto.
Um abraco,
Claudio.
RE: [obm-l] RES: [obm-l] Círculo da Morte
Do jeito ki vc propos e 1/99 ja ki vc disse ki a espada seria entregue a um prisioneiro aproveitanto para responder a) e b) a) o principe deve entrar na posicao 73 b) a formula geral para k pessoas e: sendo k = 2^n + m, onde 2^n = k = 2^(n+1) e m inteiro nao negativo a posicao sobrevivente sera sempre 1 + 2m aplicando em a) 2^6 = 100 = 2^7, logo 100 = 64 + 36 posicao sobrevivente = 1 + 2*36 = 73 Prova ( aki e a parte ki nao me garanto muito... qualquer ajuda e bemvinda ) 1) para todo k=2^n, a posicao 1 e a sobrevivente porque ao fim de cada volta o numero de sobreviventes e 2^(n-v) -- v = numero de voltas dadas, e a espada volta a posicao inicial 2) agora vamos ver oke acontece para qualquer k = 2^n + 1 quando a espada chega na ultima posicao os sobriviventes sao 2^(n-1) + 1 agora repare que quando o ultimo mata o primeiro temos de novo o numero de sobreviventes do tipo 2^n logo a posicao que recebe a espada nessas condicoes e a sobrevivente como vimos em 1) essa posicao e a posicao 3 ja ki temos ki pular nao so posicao 1 ki acaba de morrer como tb a posicao 2 ki foi morta por 1 na primeira rodada. 3) (aki e ki nao sei se o passo e muito grande, e gostaria de ajuda de quem esta acostumado com questoes de provar isso ou aquilo) para k = 2^n + m temos k = 2^n + 1 + 1 + ... + 1 ( onde 1 parece m vezes ) quando a espada chega na posicao 2^n + 1 temos uma situacao como em 2) e sabemos ki a proxima morte faz a posicao vencedora pular 2 casas... so ki agora ainda temos (m-1) participantes sobrando e podemos repetir o raciocinio de pular 2 casas ate restarem apenas 2^(n-1) sobreviventes onde teremos a posicao sobrevivente ate o fim do jogo. acho ki e so isso -Auggy From: Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Círculo da Morte Date: Thu, 11 Dec 2003 23:11:58 -0300 É verdade... só que eu sem querer propus errado. Desculpe ehehehhe Alem do que creio que você se enganou, no caso seria 1/100 porque o príncipe é o 100º participante do circulo. Na hora que eu escrevi estava com um pouco de pressa e acabei me enganando... Corrigindo a proposição da probabilidade: Se a espada fosse entregue aleatoriamente para algum dos k prisioneiros só depois do príncipe entrar no círculo, qual a probabilidade dele ficar vivo no final? -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Qwert Smith Enviada em: quinta-feira, 11 de dezembro de 2003 17:33 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: RE: [obm-l] Círculo da Morte hmmm... a c) pareece facil de responder...tao facil ki deve estar errado... vamos supor ki o principe entra na posicao x... essa posicao so sobrevive se o prisioneiro que receber a espada estive em uma outra posicao y (relativa a x)... portanto as chance sao 1/99 de sobreviver, ja que tem 99 prisioneiros e so uma resultaria em sucesso para o principe From: Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Círculo da Morte Date: Thu, 11 Dec 2003 16:53:09 -0300 Esse eu achei muito interessante... Eu poderia encurtar tudo mas vou contar a historia como me foi proposta... Durante ter vencido uma longa guerra, um Rei fez como prisioneiros 99 dos guerreiros de seu inimigo. Ele estava disposto a matá-los, mas não queria tirar suas vidas sem propósito. Arrumou então uma desculpa de casar sua filha, oferecendo a mão da moça a qualquer príncipe que aceitasse um desafio proposto por ele. Um certo dia um príncipe vindo de muito longe chegou ao reino e pediu a mão da moça. Prontamente, o Rei disse que teria que passar por um desafio e o príncipe aceitou. Então o Rei lhe explicou qual era a situação: Eu tenho 99 prisioneiros de guerra no calabouço. Irei dispô-los em forma circular, e darei uma espada a um deles. Logo após disso você irá adentrar no círculo em qualquer lugar que queira. O homem a receber a espada irá matar o que estiver a sua esquerda e passará a espada para o próximo a sua esquerda também. Este, que recebeu a espada, fará o mesmo. Matará o que está a sua esquerda e passará para o próximo, e assim sucessivamente até sobrar uma única pessoa no círculo. Se você for o último terá então a mão da minha filha. a) Considerando o homem que recebeu a espada como o nº 1, o da sua esquerda o nº 2, e assim por diante, Em que posição do círculo o príncipe deverá ficar para permanecer vivo? b) E se o círculo tivesse k pessoas? Qual o que permaneceria vivo? Essa aqui não faz parte da questão mas eu fiquei curioso e resolvi propô-la: Se a espada fosse entregue aleatoriamente para algum dos 99 prisioneiros só depois do príncipe entrar no círculo, qual a probabilidade dele ficar vivo no final? Eu resolvi o a) e o b) na época que me foram propostos, mas obtive a fórmula geral por tentativas e queria uma solução mais higiênica. A outra pergunta que eu propus não soube como resolver. Abraços, Douglas
RE: [obm-l] RES: [obm-l] Círculo da Morte
hehe... bem ki eu podia ter lido a mensagem do Rogerio antes de responder ... teria economizado dedo... correcao va abaixo From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] RES: [obm-l] Círculo da Morte Date: Fri, 12 Dec 2003 14:00:46 -0500 Do jeito ki vc propos e 1/99 ja ki vc disse ki a espada seria entregue a um prisioneiro aproveitanto para responder a) e b) a) o principe deve entrar na posicao 73 b) a formula geral para k pessoas e: sendo k = 2^n + m, onde 2^n = k = 2^(n+1) e m inteiro nao negativo a posicao sobrevivente sera sempre 1 + 2m aplicando em a) 2^6 = 100 = 2^7, logo 100 = 64 + 36 posicao sobrevivente = 1 + 2*36 = 73 Prova ( aki e a parte ki nao me garanto muito... qualquer ajuda e bemvinda ) 1) para todo k=2^n, a posicao 1 e a sobrevivente porque ao fim de cada volta o numero de sobreviventes e 2^(n-v) -- v = numero de voltas dadas, e a espada volta a posicao inicial 2) agora vamos ver oke acontece para qualquer k = 2^n + 1 assim ki a primeira pessoa morre temos 2^n sobreviventes e de 1) sabemos que a pessoa que recebe a espada esta an posicao vencedora, como cada morte envolve 2 posicoes a posicao sobrevivente e a 3 quando a espada chega na ultima posicao os sobriviventes sao 2^(n-1) + 1 agora repare que quando o ultimo mata o primeiro temos de novo o numero de sobreviventes do tipo 2^n logo a posicao que recebe a espada nessas condicoes e a sobrevivente como vimos em 1) essa posicao e a posicao 3 ja ki temos ki pular nao so posicao 1 ki acaba de morrer como tb a posicao 2 ki foi morta por 1 na primeira rodada. 3) (aki e ki nao sei se o passo e muito grande, e gostaria de ajuda de quem esta acostumado com questoes de provar isso ou aquilo) para k = 2^n + m assim ki m pessoas morrem temos a situcao de 1) e como 2*m posicoes participam das mortes a posicao sobrevivente e 1 + 2*m temos k = 2^n + 1 + 1 + ... + 1 ( onde 1 parece m vezes ) quando a espada chega na posicao 2^n + 1 temos uma situacao como em 2) e sabemos ki a proxima morte faz a posicao vencedora pular 2 casas... so ki agora ainda temos (m-1) participantes sobrando e podemos repetir o raciocinio de pular 2 casas ate restarem apenas 2^(n-1) sobreviventes onde teremos a posicao sobrevivente ate o fim do jogo. acho ki e so isso -Auggy From: Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Círculo da Morte Date: Thu, 11 Dec 2003 23:11:58 -0300 É verdade... só que eu sem querer propus errado. Desculpe ehehehhe Alem do que creio que você se enganou, no caso seria 1/100 porque o príncipe é o 100º participante do circulo. Na hora que eu escrevi estava com um pouco de pressa e acabei me enganando... Corrigindo a proposição da probabilidade: Se a espada fosse entregue aleatoriamente para algum dos k prisioneiros só depois do príncipe entrar no círculo, qual a probabilidade dele ficar vivo no final? -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Qwert Smith Enviada em: quinta-feira, 11 de dezembro de 2003 17:33 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: RE: [obm-l] Círculo da Morte hmmm... a c) pareece facil de responder...tao facil ki deve estar errado... vamos supor ki o principe entra na posicao x... essa posicao so sobrevive se o prisioneiro que receber a espada estive em uma outra posicao y (relativa a x)... portanto as chance sao 1/99 de sobreviver, ja que tem 99 prisioneiros e so uma resultaria em sucesso para o principe From: Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Círculo da Morte Date: Thu, 11 Dec 2003 16:53:09 -0300 Esse eu achei muito interessante... Eu poderia encurtar tudo mas vou contar a historia como me foi proposta... Durante ter vencido uma longa guerra, um Rei fez como prisioneiros 99 dos guerreiros de seu inimigo. Ele estava disposto a matá-los, mas não queria tirar suas vidas sem propósito. Arrumou então uma desculpa de casar sua filha, oferecendo a mão da moça a qualquer príncipe que aceitasse um desafio proposto por ele. Um certo dia um príncipe vindo de muito longe chegou ao reino e pediu a mão da moça. Prontamente, o Rei disse que teria que passar por um desafio e o príncipe aceitou. Então o Rei lhe explicou qual era a situação: Eu tenho 99 prisioneiros de guerra no calabouço. Irei dispô-los em forma circular, e darei uma espada a um deles. Logo após disso você irá adentrar no círculo em qualquer lugar que queira. O homem a receber a espada irá matar o que estiver a sua esquerda e passará a espada para o próximo a sua esquerda também. Este, que recebeu a espada, fará o mesmo. Matará o que está a sua esquerda e passará para o próximo, e assim sucessivamente até sobrar uma única pessoa no círculo. Se você for o último terá então a mão da minha filha. a) Considerando o homem que recebeu a espada como o nº 1, o da sua esquerda o nº 2, e assim por
RE: [obm-l] sistema
DELTA = 4m^2 4(m^2-4)(2)
DELTA = 4m^2 8m^2
+ 32
DELTA = 32-4m^2
Delta = 4(8-m^2)
DELTA = 0 = m^2-8=0
= m=+/-2sqrt(2).
Errei em algum lugar ?
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf
Of [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, December 12, 2003
10:47 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] sistema
Soh uma correcao!
m= +/- 2. Mas nao ira alterar o resultado, pois a soma tbem serah 0.
Em uma mensagem de 11/12/2003 21:45:44 Hor. de verão leste da Am. Su,
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Ha um erro ai Eduardo !!! 1a fase da FUVEST raramente tem
questoes
complicadas.
Olhe o link
http://www.fuvest.br/vest1991/provas/p1f91_07.stm
E la diz que o sistema e o seguinte:
X + Y = M
X^2 + Y^2 = 4
Agora fica facil, pois voce isolando o X=Y-M e substituindo na 2a equacao,
teremos
2y^2 - 2ym + (m^2 -4) = 0
Impondo discriminante DELTA=4(8-m^2) = 0, encontramos m=2sqrt(2) ou
m=-2sqrt(2). Logo, a soma dos valores de m sera ZERO.
O GABARITO VOCE PODE VER EM
http://www.fuvest.br/vest1991/provas/gab1f91.stm#
See you..
Leandro
Los Angeles, CA.
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Eduardo Henrique Leitner
Sent: Thursday, December 11, 2003 7:51 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] sistema
tenho, tenho certeza sim, pelo menos é assim que está no livro do Iezzi...
eh o volume 7, 4a edição, 4a reimpressão, exercihcios 181 de
vestibulares...
valeu!
On Thu, Dec 11, 2003 at 10:26:16AM -0200, Claudio Buffara wrote:
on 10.12.03 22:00, Eduardo Henrique Leitner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
não faço idéia de como fazer esss... se alguém puder ajudar... =)
181. (FUVEST-91) Existem dois valores de m para os quaistem solução
única o
sistema:
x + y = m
x^2 + y^3 = -4
A soma desses dois valores de m é:
a) -2
b) -2sqrt{2}
c) 0
d) 2
e) 2sqrt{2}
Tem certeza de que a 2a. equacao eh x^2 + y^3 = -4?
Porque se for, entao existe uma infinidade de valores de m para os quais
a
interseccao eh unica.
Faca x = m - y. Entao, interseccao ==
(m-y)^2 + y^3 = -4 ==
y^3 + y^2 - 2my + m^2 + 4 = 0 (*)
Interseccaco unica == (*) tem uma unica raiz real.
A fim de que (*) tenha uma unica raiz real, eh suficiente que a derivada
3y^2 + 2y - 2m seja estritamente 0 ==
delta = 4 + 24m 0 ==
m -1/6.
Ou seja, se m -1/6, entao a equacao (*) tem uma unica raiz real e,
portanto, a reta e a cubica se intersectam num unico ponto.
Um abraco,
Claudio.
Re: [obm-l] sistema
No Stress :-)
Em uma mensagem de 12/12/2003 18:33:12 Hor. de vero leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Errei no ultimo email que mandei.Estava fazendo direto no computador sem papel e caneta.
Sorry.
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, December 12, 2003 10:47 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] sistema
Soh uma correcao!
m= +/- 2. Mas nao ira alterar o resultado, pois a soma tbem serah 0.
Em uma mensagem de 11/12/2003 21:45:44 Hor. de vero leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Ha um erro ai Eduardo !!! 1a fase da FUVEST raramente tem questoes
complicadas.
Olhe o link
http://www.fuvest.br/vest1991/provas/p1f91_07.stm
E la diz que o sistema e o seguinte:
X + Y = M
X^2 + Y^2 = 4
Agora fica facil, pois voce isolando o X=Y-M e substituindo na 2a equacao,
teremos
2y^2 - 2ym + (m^2 -4) = 0
Impondo discriminante DELTA=4(8-m^2) = 0, encontramos m=2sqrt(2) ou
m=-2sqrt(2). Logo, a soma dos valores de m sera ZERO.
O GABARITO VOCE PODE VER EM
http://www.fuvest.br/vest1991/provas/gab1f91.stm#
See you..
Leandro
Los Angeles, CA.
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Eduardo Henrique Leitner
Sent: Thursday, December 11, 2003 7:51 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] sistema
tenho, tenho certeza sim, pelo menos assim que est no livro do Iezzi...
eh o volume 7, 4a edio, 4a reimpresso, exercihcios 181 de
vestibulares...
valeu!
On Thu, Dec 11, 2003 at 10:26:16AM -0200, Claudio Buffara wrote:
on 10.12.03 22:00, Eduardo Henrique Leitner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
no fao idia de como fazer esss... se algum puder ajudar... =)
181. (FUVEST-91) Existem dois valores de m para os quaistem soluo
nica o
sistema:
x + y = m
x^2 + y^3 = -4
A soma desses dois valores de m :
a) -2
b) -2sqrt{2}
c) 0
d) 2
e) 2sqrt{2}
Tem certeza de que a 2a. equacao eh x^2 + y^3 = -4?
Porque se for, entao existe uma infinidade de valores de m para os quais
a
interseccao eh unica.
Faca x = m - y. Entao, interseccao ==
(m-y)^2 + y^3 = -4 ==
y^3 + y^2 - 2my + m^2 + 4 = 0 (*)
Interseccaco unica == (*) tem uma unica raiz real.
A fim de que (*) tenha uma unica raiz real, eh suficiente que a derivada
3y^2 + 2y - 2m seja estritamente 0 ==
delta = 4 + 24m 0 ==
m -1/6.
Ou seja, se m -1/6, entao a equacao (*) tem uma unica raiz real e,
portanto, a reta e a cubica se intersectam num unico ponto.
Um abraco,
Claudio.
Re: [obm-l] a utilidade das desigualdades
Ah ta, e verdade Valeu por adiantar meu trabalho 9(p+2c)+c=100 Veja que 100 deixa resto um por 9.Logo c deixa resto 1 por 9.Ou seja, e um cara do tipo c=9K+1.Agora continue, e so substituir! [EMAIL PROTECTED] wrote: Tem certeza que t+10p+20c=1000 ? Nao seria t+10p+20c= 200 ? Se vc errou nessa parte entao ficaria: t+p+c=100 t+10p+20c=200 Agora isole o t Temos 100-p-c=200-10p-20c 9p+19c=100 9p+18c+c=100 9(p+2c)+c=100 E agora como continuar ? Pois minha duvida estah na parte de colocar os produtos no set-up, no caso de sua resolucao foi o 9K, ja na solucao que enviei foi o 10s e 19 s. Nao precisa resolver a questao apenas me diga de onde vem estes elementos ? Qual o raciocinio ? Por favor ! Em uma mensagem de 11/12/2003 19:41:18 Hor. de verão leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Na verdade isto e uma equaçao diofantina linear tartarugas R$0,5 porcos R$5,00 cavalos R$10,00 Voce tem que gastar exatamente 100 reais e comprar 100 animais. t+p+c=100 t+10p+20c=1000 Agora isole o t Temos 100-p-c=1000-10p-20c 9p+19c=900 9p+18c+c=900 9(p+2c)+c=900 c=9k com k inteiro. Logo p+18k+k=100 p=100-19k c=9k t=200-10k Este e um dos metodos de resolver diofantinas. Pelo que eu ja vi ai ele usou desigualdades no inicio,para limitar as soluçoes. Como nao tem la muito sentido um porco negativo(a nao ser que seja um porco feito de antimateria ) temos que p,t e c sao positivos. Ai continue! [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, A questao abaixo nao eh nem um pouco original para mim, pois ja tinha visto varias formas dela por ai. O que eh bastante novo para mim, foi a maneira como ela foi resolvida, visto que em qualquer canto que eu encontro uma parecida eu vejo uma solucao utilizando sistemas lineares, determinantes e afins. Desta vez vi uma solucao utilizando desigualdades. Minha duvida esta no corpo da mensagem em maiuscula. Questao: Ha tartarugas, porcos and cavalos para venda. tartarugas R$0,5 porcos R$5,00 cavalos R$10,00 Voce tem que gastar exatamente 100 reais e comprar 100 animais. Solucao: Vamos arbitrar as incognitas, sendo: t: tartarugas, p: porcos, c= (100-p-t): cavalos. Entao, 0,5t+5p+10(100-p-t)=100 5t+50p+100(100-p-t)=1000 95t+50t=9000 19t+10p=1800 Enquanto, 19(-1)+10(2)= 1 19(-1800)+10(3600)=1800 19(-1800+10s)+10(3600-19s)=1800 (DÚVIDA: POR QUE NA EQUACAO ACIMA APARECEU AS PARCELAS 10s E 19s ? EU SEI QUE t, p e c ESTAO ENTRE 0 E 100, LOGO DEVE HAVER UM CORRETIVO DENTRO DOS PARENTESES PARA CORRIGIR O SINAL NEGATIVO-TRANSFORMANDO-O EM POSITIVO- PARA ADEQUAR A EQUACAO AO PROBLEMA. MAS MINHA DUVIDA EH: POR QUE FOI SOMADO AO -1800 O 10S ? QUAL SERIA A IMPROPRIEDADE DE SOMA-LO COM O 19S? A MESMA PERGUNTA REFERENTE AO 3600. POR QUE NAO SUBTRAIR DO 3600 O 10S AO INVES DO-19 COMO FOI FEITO ?) Logo 100=(t=-1800+10s)=0 (I) 100=(p=3600-19s)=0 (II) 1900=(10s)=1800(I) 3600=(19s)=3500(II) 190=(s)=180(I) (3600/19)=(s)=(3500/19)(II) 189=(s)=185(I and II) Por outro lado, 100=(c=100-p-t=100-(-1800+10s)-(3600-19s))=0 200=s=189 Entretanto, s=189.And t=-1800+1890=90, p=3600-19*189=9 c=1 Resp: 90 tartarugas, 9 porcos, and 1 cavalo. Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
[obm-l] SENSO COMUM!
Ok! Rogério, parabéns pelo seu problema, a começar pelas dubiedades, que já estão acirrando discussões construtivas, pois esta é a parte que mais gosto. Quanto ao probleminha do barco, vale salientar que é um dos preferidos do Físico-Matemático, Aguinaldo Prandini Ricieri-ITA, talvez por contrariar o senso comum ou pela sobreposição da física à matemática. Muitas pessoas percebem que como metade do total da jornada é feita a favor da correnteza e metade contra ela, qualquer mudança na velocidade do rio, será cancelada e a jornada total continuará a mesma. Esta parece uma maneira adequada de considerar as coisas, mas se o rio fluir quase na velocidade do barco, a jornada rio acima vai levar muitas horas que podem não ser reconquistadas descendo o rio, o que seria quase o dobro da velocidade do barco. O tempo perdido para subir o rio obviamente não pode ser cancelado ganhando-se tempo, ao descer. Vejam abaixo outro desafio aparentemente ilógico, que não despertou a menor atenção dos colegas, com exceção do Gugu e Nicolau via extra-lista, Ok! Traduzir o imbróglio matemático: Se dois times terminarem o campeonato com o mesmo número de pontos ganhos, será campeão o que tiver o maior número de derrotas. (RPM/IME/USP) Um abraço à todos e bom final de semana! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Resultado.
E ai Nelly! Fiquei tão triste com meu resultado! :( Tem como saber minha pontuação de cada questão, é porque achei que tinha feito tres questões (1, 4 e 5), inclusive mandei soluções pra lista obm-x e pelo visto tava correto... De qualquer forma, vocês continuarão mandando apenas prata e ouro, ou poderão abrir exceções, já que a IMC é por universidade? Abraços, Stein --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Conjuntos
Resposta B São 100 mulheres no total, 85 estão proximas à piscina e 80 usam biquini, logo o número mínimo de mulheres que têm estas duas características é (80+85)-100=65; 75 tomam algum tipo de bebida, logo a quantidade minima de mulheres que têm as três caracteristicas é (65+75)-100=40; 70 são casadas, logo a quantidade mínima de mulheres que têm todas as características é (70+40)-100=10 O raciocínio utilizado é o Princípio da Casa dos Pombos. Como faço para resolver esse? Problema Num ensolarado domingo o clube ficou repleto. Contando- se somente as mulheres, são 100, 85 das quais estão próximas da piscina, 80 usam biquíni , 75 tomam algum tipo de bebida e 70 são casadas. Qual o número mínimo delas que apresent am, ao mesmo tempo, todas as características citadas ? A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado FEIS - UNESP Usuário em GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
