[obm-l] Análise Funcional
Boa tarde, colegas da lista. Gostaria de alguma ajuda para resolver o seguinte problema: Seja (E, || . ||) um espaço de Banach. Prove que toda família de elementos de E absolutamente somável é somável. Dê um exemplo mostrando que uma família somável não é, necessariamente, absolutamente somável. Obrigada, Ana Carolina.
Re: [obm-l] Extensoes de Corpos
Oi Cláudio. Eu não tenho lido as mensagens da lista, e li esta sem querer. Se a extensão E:F é normal e separável, além de finita, existe um teorema (teorema da correspondência de Galois) que afirma que existe uma bijeção entre os corpos intermediários da extensão e o grupo de F-automorfismos de E, que é um grupo finito. Existe uma relação bem simples entre a dimensão da extensão e o tamanho do subgrupo. Aí você procura, ao invés de corpos intermediários, os subgrupos de determinada ordem. Eu acho que, em geral, a resposta à sua pergunta é difícil. Abraço, Duda. - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 28, 2004 7:20 PM Subject: [obm-l] Extensoes de Corpos Oi, pessoal: Com relacao a minha mensagem anterior, minha duvida eh mais geral: Sejam um corpo F, de caracteristica 0, e uma extensao E tal que [E:F] = n. Se m divide n, quais as condicoes para que exista um corpo K tal que: F = K = E, e [K:F] = m? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Análise_Funcional
Naum sei se eh exatamente isto que vc quer, estou
interpretando que se deva mostrat que toda sequencia
absolutamente somavel eh smavel. Ou seja, se uma
sequencia eh absolutamente convergente, entao a
sequencia eh convergente.
Suponhamos que em um espaco de Banach {a_n} seja
absolutamente convergente, isto eh, {Soma|a_n|} seja
convergente. Entao, a sequencia das somas parciais de
{|a_n|} eh de Cauchy. Dado eps0, existe portanto um
natural k tal que, para todos naturais m=n, m,n=k, |
|a_n|...+ |a_m| | = |a_n|...+ |a_m| eps. Aplicando a
desigualdade triangular, concluimos que, para tais m e
n, temos |a_n + ...a_m| = |a_n|...+ |a_m| eps, do
que concluimos que {Soma a_n} eu uma sequencia de
Cauchy. Como espacos de Banach sao, por definicao,
espacos metricos completos com relacao aa metrica
associada aa norma neles definida, temos que {Soma
a_n} eh convergente, ou seja {a_n} eh somavel.
Um exemplo de que a reciproca naum eh verdadeira
ocorre em R com a sequencia {1, -1/2, 1/3, -1/4.}.
A sua soma converge para ln(2), mas a serie associada
aos valores absolutos dos termos da sequencia eh a
serie harmonica, que diverge, indo para infinito.
Artur
--- Ana Carolina Boero [EMAIL PROTECTED] wrote:
Boa tarde, colegas da lista.
Gostaria de alguma ajuda para resolver o seguinte
problema:
Seja (E, || . ||) um espaço de Banach. Prove que
toda família de elementos de E absolutamente somável
é somável. Dê um exemplo mostrando que uma família
somável não é, necessariamente, absolutamente
somável.
Obrigada,
Ana Carolina.
__
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Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Extensoes de Corpos
Oi, Duda: Obrigado pela resposta. Ainda não sei nada sobre a teoria de Galois mas vou dar uma pesquisada. []s, Claudio. - Original Message - From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 29, 2004 9:33 AM Subject: Re: [obm-l] Extensoes de Corpos Oi Cláudio. Eu não tenho lido as mensagens da lista, e li esta sem querer. Se a extensão E:F é normal e separável, além de finita, existe um teorema (teorema da correspondência de Galois) que afirma que existe uma bijeção entre os corpos intermediários da extensão e o grupo de F-automorfismos de E, que é um grupo finito. Existe uma relação bem simples entre a dimensão da extensão e o tamanho do subgrupo. Aí você procura, ao invés de corpos intermediários, os subgrupos de determinada ordem. Eu acho que, em geral, a resposta à sua pergunta é difícil. Abraço, Duda. - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 28, 2004 7:20 PM Subject: [obm-l] Extensoes de Corpos Oi, pessoal: Com relacao a minha mensagem anterior, minha duvida eh mais geral: Sejam um corpo F, de caracteristica 0, e uma extensao E tal que [E:F] = n. Se m divide n, quais as condicoes para que exista um corpo K tal que: F = K = E, e [K:F] = m? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numeros construtiveis
On Sun, Mar 28, 2004 at 04:05:17PM -0300, Claudio Buffara wrote: Eu sei que se um numero real eh construtivel com regua e compasso (a partir de um segmento unitario dado), entao ele eh raiz de um polinomio irredutivel com coeficientes racionais e grau igual a uma potencia de 2. Minha pergunta: Vale a reciproca? Ou seja, qualquer numero real que seja raiz de um polinomio irredutivel de coeficientes racionais e grau igual a alguma potencia de 2 eh construtivel? NÃO. Seja p = x^4 + 2*x^2 + 2*x - 2; este polinômio é irredutível e tem duas raízes reais aproximadamente iguais a -1.139037348 e .5905066741. Pedindo ao maple para resolver a equação p(x) = 0 temos: solve(p,x); bytes used=3000824, alloc=1441528, time=0.35 /1/2\1/2 1/2 1/2 |24 %4 + 3 %3 - 60 %1+ 36 %2| 1/6 3%1+ 1/6 I |---| , | 1/2 1/3 1/2 | \ (206 + 6 1401 )%1 / /1/2\1/2 1/2 1/2 |24 %4 + 3 %3 - 60 %1+ 36 %2| 1/6 3%1- 1/6 I |---| , | 1/2 1/3 1/2 | \ (206 + 6 1401 )%1 / / 1/2\1/2 1/2 1/2 |-24 %4 - 3 %3 + 60 %1+ 36 %2| - 1/6 3%1+ 1/6 || , |1/2 1/3 1/2 | \ (206 + 6 1401 )%1 / / 1/2\1/2 1/2 1/2 |-24 %4 - 3 %3 + 60 %1+ 36 %2| - 1/6 3%1- 1/6 || |1/2 1/3 1/2 | \ (206 + 6 1401 )%1 / 1/2 1/31/2 2/3 -4 (206 + 6 1401 )+ (206 + 6 1401 )- 20 %1 := --- 1/2 1/3 (206 + 6 1401 ) 1/2 1/2 1/3 %2 := 3(206 + 6 1401 ) 1/2 1/2 2/3 %3 := %1(206 + 6 1401 ) 1/2 1/3 1/2 %4 := (206 + 6 1401 )%1 Observe que isto está cheio de raízes cúbicas. O grupo de Galois de p é S4, com 24 elementos. Assim o corpo Q[x1,x2,x3,x4], onde x1, x2, x3, x4 são as raízes de p, tem dimensão 24 como Q-espaço vetorial. A demonstração que você viu prova que qualquer número construtível com régua e compasso pertence a um corpo *normal* cuja dimensão é uma potência de 2. A condição se-e-somente-se correta aliás é esta. Dado um número algébrico x, seja K o corpo gerado por Q, x e todos os conjugados de x. Seja f(n) a dimensão de K sobre Q. Então x é construtível se e somente f(n) é potência de 2. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Virus
A lista tem recebido um monte de virus com remetentes forjados variados, como vocês todos provavelmente já perceberam. Vocês já ouviram isso mil vezes antes, mas não rodem o attachment executável (especialmente válido para quem estiver usando um destes clientes Windows que fazem um monte de coisas automaticamente). Estou mandando esta mensagem principalmente para dizer que o majordomo agora deve estar preparado para filtrar este vírus específico. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numeros construtiveis
Sauda,c~oes, Oi Claudio, Não vale a recíproca. Isso está mostrado em Abstract Algebra : A Geometric Approach Theodore Shifrin Hardcover, August 1995 Our Price: $97.33 Barnes Noble Member Price: $92.46 Usando apenas conceitos mais simples de extensoes de corpos você encontra resultados que o guiam para essa conclusão em Borofsky, S., Elementary Theory of Equations, The Macmillan Company, 1961. Concluí o seguinte (no que segue estou lidando com números construtíveis - NC): As raízes de uma quártica serão NC se e somente se a cúbica resolvente possuir uma raiz racional. Podemos mostrar que a quártica p(x)= 100x^4-780x^3+371x^2+6860x-9604 não possui NC. Por outro lado, considere o p(x)= (4a^2h^2 + t^4 - 4a^2t^2)x^4 + (8a^3t^2 - 4at^4)x^3 + (6a^2t^4 - 4a^4t^2)x^2 - 4a^3t^4 x + a^4t^4 . Gostaria de saber se alguém pode encontrar a,h,t (NC) de modo que as raízes de p(x) NÃO sejam NC . Acho que se |h| = |a| as raízes são SEMPRE NC. Para |h| |a| eu não sei. []'s Luís -Mensagem Original- De: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Para: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Enviada em: domingo, 28 de março de 2004 16:05 Assunto: [obm-l] Numeros construtiveis Oi, pessoal: Eu sei que se um numero real eh construtivel com regua e compasso (a partir de um segmento unitario dado), entao ele eh raiz de um polinomio irredutivel com coeficientes racionais e grau igual a uma potencia de 2. Minha pergunta: Vale a reciproca? Ou seja, qualquer numero real que seja raiz de um polinomio irredutivel de coeficientes racionais e grau igual a alguma potencia de 2 eh construtivel? Em caso afirmativo, existe alguma demonstracao disso sem usar teoria de Galois (que eu ainda nao conheco) mas apenas conceitos mais simples de extensoes de corpos (que eh tudo o que eu sei no momento)? (ou seja, apenas material daquele capitulo dos livros de algebra que introduz o conceito de extensoes de corpos e geralmente precede o capitulo sobre teoria de Galois). Em caso negativo, eu gostaria de ver um contra-exemplo. Agradeco antecipadamente qualquer ajuda. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Numeros construtiveis
Sauda,c~oes, Isso é um teste para ver se todos recebem a informação como tirada do site e também um pedaço da resposta que faço em seguida para a msg do Claudio sobre Numeros construtiveis. []'s Luis 4. Abstract Algebra : A Geometric ApproachTheodore ShifrinHardcover,August1995 OurPrice: $97.33 Barnes Noble Member Price:$92.46 Usually ships within24 hours.
[obm-l] CR(n,p) = C(n+p-1,p)
CR - Combinação com repetição. C - Combinação Se não me engano, existe uma formula q diz o seguinte: CR(n,p) = C(n+p-1,p) Eu queria entender a lógica dessa formula, que é útil por exemplo pra resolver: a + b + c + d = 20 Quantas soluções tem isso? Exemplos de soluções: 3 + 4 + 2 + 11 = 111..11.111 5 + 0 + 9 + 6 = 1..1.11 Para calcular todas as soluções, seria (eu acho) só contar de quantas formas eu posso posicionar 3 pontinhos em 21 posições. O meu conceito de Combinação era decorado, até eu ler uma mensagem do Nicolau, explicando como se chegava na fórmula.. (http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/msg18766.html) Agora queria entender a CR. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Simplificação
Fábio Bernardo wrote: Simplifique a fração: (2^31+3^31)/(2^29+3^29) Ao invés de mexer nesse problema, eu resolvi encarar uma generalização: simplificar a fração (a^(n+2)+b^(n+2))/(a^n+b^n), com n ímpar. Vou provar que a^n+b^n, n ímpar, é divisível por a+b, por indução completa. Pra n=1, (a+b)=1.(a+b) e pronto. No caso geral, supondo válido até n-2: a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1))-ab(a^(n-2)+b^(n-2)) Mas pela hipótese de indução (a^(n-2)+b^(n-2))=(a+b)k Logo a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1)-abk) Com isso eu mostrei que (a+b) divide a fração original no numerador e no denominador, mas alguém sabe como mostrar que o que sobra é irredutível ? Ou seja, que mdc(a^(n+2)+b^(n+2),a^n+b^n)=(a+b) ? Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Análise_Funcional
No primeiro paragrafo de minha outra mensagem sobre este assunto estah escrito Naum sei se eh exatamente isto que vc quer, estou interpretando que se deva mostrar que toda sequencia absolutamente somavel eh somavel. Ou seja, se uma sequencia eh absolutamente convergente, entao a sequencia eh convergente Na realidade, na ultima frase deve-se entender Ou seja, se a serie (sequencia das somas parciais) associda a uma sequencia eh absolutamente convergente (Soma |a_n| eh convergente), entao a serie (Soma a_n)eh convergente Artur __ Do you Yahoo!? Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time. http://taxes.yahoo.com/filing.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Vírus na lista
este engraçadinho acabou de mandar um vírus para a lista [EMAIL PROTECTED] Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED] wrote: Fábio Bernardo wrote: Simplifique a fração: (2^31+3^31)/(2^29+3^29)Ao invés de mexer nesse problema, eu resolvi encararuma generalização: simplificar a fração(a^(n+2)+b^(n+2))/(a^n+b^n), com n ímpar.Vou provar que a^n+b^n, n ímpar, é divisível por a+b,por indução completa.Pra n=1, (a+b)=1.(a+b) e pronto.No caso geral, supondo válido até n-2:a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1))-ab(a^(n-2)+b^(n-2))Mas pela hipótese de indução(a^(n-2)+b^(n-2))=(a+b)kLogo a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1)-abk)Com isso eu mostrei que (a+b) divide a fraçãooriginal no numerador e no denominador, mas alguém sabecomo mostrar que o que sobra é irredutível ? Ou seja,que mdc(a^(n+2)+b^(n+2),a^n+b^n)=(a+b) ?Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk[EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou"-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
[obm-l] Re: [obm-l] Cálculo; [obm-l] C341lculon ^
Esta zona esferica eh gerada pela revolucao de um arco de um circulo de diametro D em torno de um eixo que passa pelo centro do circulo. Consideremos o semi circulo de raio R com relacao a eixos X e Y que se cruzem em seu centro. Temos que y = sqrt(R^2 - x^2) para x em [-R, R]. Consideremos agora o arco de circulo cujas extremidades tenham no eixo X abcissas x1 e x2. A rotacao deste arco em torno de X gera uma zona esferica de altura x2 - x1, cuja area lateral eh dada por 2*pi Int (x1 a x2) y (ds/dx) dx, sendo s o comprimento do arco de circulo desde o ponto de abcissa x= x1 ateh o ponto de abcissa x. Temos que ds/dx = sqrt(1 + (dy/dx) ^2). Da equacao do circulo, temos que dy/dx = -x/y e, portanto, ds/dx = sqrt(1 + (dy/dx) ^2) = sqrt(1 + (x^2)/(y^2)) = R/y. Logo, a area lateral S e dad por S = 2*pi Int (x1 a x2) y * R/y * dx = 2*pi*R Int (x1 a x2) dx = 2*pi*R*(x2-x1). Como D = 2R e H = x2 -x1 (H a altura da zona esferica), temos que S = pi*D*H. Desta formula chegamos aa famosa equacao da area de uma esfera, 4*pi*R^2. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Cálculo; [obm-l] C341lculon ^ Data: 29/03/04 05:13 Pessoal, Mostre que a área da superfície de uma zona de uma esfera que está entre dois planos paralelos é s = (pi)dh, onde d é o diâmetro da esfera e h é a distância entre os planos. Daniel S. Braz __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] CR(n,p) = C(n+p-1,p)
on 29.03.04 14:33, David M. Cardoso at [EMAIL PROTECTED] wrote: CR - Combinação com repetição. C - Combinação Se não me engano, existe uma formula q diz o seguinte: CR(n,p) = C(n+p-1,p) Eu queria entender a lógica dessa formula, que é útil por exemplo pra resolver: a + b + c + d = 20 Quantas soluções tem isso? Exemplos de soluções: 3 + 4 + 2 + 11 = 111..11.111 5 + 0 + 9 + 6 = 1..1.11 Para calcular todas as soluções, seria (eu acho) só contar de quantas formas eu posso posicionar 3 pontinhos em 21 posições. O meu conceito de Combinação era decorado, até eu ler uma mensagem do Nicolau, explicando como se chegava na fórmula.. (http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/msg18766.html) Agora queria entender a CR. Oi, David: A sua ideia de colocar separadores (.) entre os 1's eh boa, mas talvez seja melhor comecar contando o numero de solucoes inteiras e ESTRITAMENTE POSITIVAS da equacao: x_1 + x_2 + ... + x_p = n Voce comeca com n 1's em sequencia e precisa colocar p separadores de modo que dois separadores quaisquer nao possam ficar adjacentes. Ou seja, dos n-1 espacos existentes entre os 1's voce precisa escolher p-1 espacos, de modo a ficar com p grupos nao vazios de 1's (o i-esimo grupo contem x_i 1's e deve ser nao vazio pois x_i deve ser positivo). Logo, o numero de solucoes inteiras e positivas dessa equacao eh igual ao numero de maneiras de se escolher p-1 espacos de um universo de n-1 espacos, ou seja, Binom(n-1,p-1). Agora, suponha que voce queira o numero de solucoes inteiras e NAO-NEGATIVAS de: x_1 + x_2 + ... + x_p = n (*) Nesse caso, alguns dos x_i podem ser iguais a zero. No entanto, voce pode fazer a mudanca de variaveis y_i = x_i + 1 (1 = i = p), de forma que a cada solucao nao-negativa (x_1,x_2,...,x_p) corresponda exatamente uma solucao positiva (y_1,y_2,...,y_p). Re-escrevendo a equacoa em funcao dos y_i, ficamos com: (y_1 - 1) + (y_2 - 1) + ... + (y_p - 1) = n ou: y_1 + y_2 + ... + y_p = n + p (**). Soh que os y_i soh podem ser positivos. Ou seja, o numero de solucoes inteiras e nao-negativas de (*) eh igual ao numero de solucoes inteiras e positivas de (**) Mas isso eh igual a Binom(n+p-1,p-1). Espero ter sido claro. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Vírus na lista
na verdade o virus ta circulando na lista a bastante tempo, já recebi uma penca de vezes... []s fabiano - Original Message - From: persio ca To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 29, 2004 5:21 PM Subject: Re: [obm-l] Vírus na lista este engraçadinho acabou de mandar um vírus para a lista [EMAIL PROTECTED] Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED] wrote: Fábio Bernardo wrote: Simplifique a fração: (2^31+3^31)/(2^29+3^29)Ao invés de mexer nesse problema, eu resolvi encararuma generalização: simplificar a fração(a^(n+2)+b^(n+2))/(a^n+b^n), com n ímpar.Vou provar que a^n+b^n, n ímpar, é divisível por a+b,por indução completa.Pra n=1, (a+b)=1.(a+b) e pronto.No caso geral, supondo válido até n-2:a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1))-ab(a^(n-2)+b^(n-2))Mas pela hipótese de indução(a^(n-2)+b^(n-2))=(a+b)kLogo a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1)-abk)Com isso eu mostrei que (a+b) divide a fraçãooriginal no numerador e no denominador, mas alguém sabecomo mostrar que o que sobra é irredutível ? Ou seja,que mdc(a^(n+2)+b^(n+2),a^n+b^n)=(a+b) ?Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk[EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou"-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora! ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.624 / Virus Database: 401 - Release Date: 15/03/04
Re: [obm-l] Numeros construtiveis
on 29.03.04 13:47, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: On Sun, Mar 28, 2004 at 04:05:17PM -0300, Claudio Buffara wrote: Eu sei que se um numero real eh construtivel com regua e compasso (a partir de um segmento unitario dado), entao ele eh raiz de um polinomio irredutivel com coeficientes racionais e grau igual a uma potencia de 2. Minha pergunta: Vale a reciproca? Ou seja, qualquer numero real que seja raiz de um polinomio irredutivel de coeficientes racionais e grau igual a alguma potencia de 2 eh construtivel? NÃO. Seja p = x^4 + 2*x^2 + 2*x - 2; este polinômio é irredutível e tem duas raízes reais aproximadamente iguais a -1.139037348 e .5905066741. Pedindo ao maple para resolver a equação p(x) = 0 temos: solve(p,x); bytes used=3000824, alloc=1441528, time=0.35 /1/2\1/2 1/2 1/2 |24 %4 + 3 %3 - 60 %1+ 36 %2| 1/6 3%1+ 1/6 I |---| , | 1/2 1/3 1/2 | \ (206 + 6 1401 )%1 / /1/2\1/2 1/2 1/2 |24 %4 + 3 %3 - 60 %1+ 36 %2| 1/6 3%1- 1/6 I |---| , | 1/2 1/3 1/2 | \ (206 + 6 1401 )%1 / / 1/2\1/2 1/2 1/2 |-24 %4 - 3 %3 + 60 %1+ 36 %2| - 1/6 3%1+ 1/6 || , |1/2 1/3 1/2 | \ (206 + 6 1401 )%1 / / 1/2\1/2 1/2 1/2 |-24 %4 - 3 %3 + 60 %1+ 36 %2| - 1/6 3%1- 1/6 || |1/2 1/3 1/2 | \ (206 + 6 1401 )%1 / 1/2 1/31/2 2/3 -4 (206 + 6 1401 )+ (206 + 6 1401 )- 20 %1 := --- 1/2 1/3 (206 + 6 1401 ) 1/2 1/2 1/3 %2 := 3(206 + 6 1401 ) 1/2 1/2 2/3 %3 := %1(206 + 6 1401 ) 1/2 1/3 1/2 %4 := (206 + 6 1401 )%1 Observe que isto está cheio de raízes cúbicas. Eh verdade! E a mensagem do Luis Lopes me lembrou do fato de que uma equacao do 4o. grau pode ser resolvida por meio de uma equacao cubica auxiliar, cuja solucao envolve, em geral, raizes cubicas as quais, em geral, nao sao construtiveis. O grupo de Galois de p é S4, com 24 elementos. Assim o corpo Q[x1,x2,x3,x4], onde x1, x2, x3, x4 são as raízes de p, tem dimensão 24 como Q-espaço vetorial. Esse tambem eh um exemplo de que o limitante de n! para o grau do corpo de decomposicao de um polinomio irredutivel de grau n sobre o corpo dos coeficientes pode ser atingido. Eu tambem estava atras de um exemplo desses. A demonstração que você viu prova que qualquer número construtível com régua e compasso pertence a um corpo *normal* cuja dimensão é uma potência de 2. A ausencia da reciproca nos livros que eu consultei deveria ter me dado uma dica de que ela nao eh verdade em geral. Se fosse, eh certo dque constaria como um teorema. A condição se-e-somente-se correta aliás é esta. Dado um número algébrico x, seja K o corpo gerado por Q, x e todos os conjugados de x. Seja f(n) a dimensão de K sobre Q. Então x é construtível se e somente f(n) é potência de 2. Legal! Vou tentar provar isso. Muito obrigado. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Problema super interessante
Seja A o numero pensado por Arnaldo e U o numero pensado por Ulisses. Quando o Professor pergunta a Arnaldo que numero seu colega pensou e ele nao sabe responder, isso significa que: *(I) A=1993 pois se A1993 o numero pensado por Ulisses seria U=2990-A(Pois 1994-A nao seria inteiro positivo). U=1994-A = U=1 ou U=2990-A = U=997 Considerando que um aluno pode ouvir o que o outro disse. Quando o Professor pergunta a Ulisses que numero seu colega pensou e ele nao sabe responder, isso significa que: * (II)997=U=1993 pois se U1993 o numero pensado por Arnaldo seria A=2990-U(caso anterior) e se U997, Ulisses saberia que A=1994-U (pois 2990-U seria maior que 1993((contradicao com (I))). Quando o Professor pergunta a Arnaldo que numero seu colega pensou e ele nao sabe responder, isso significa que: * 997=A=997 (A=997) pois se A997 o numero pensado por Ulisses seria U=2990-A(pois 1994-A seria menor que 997(contradicao com (II)) ) e se A997 o numero pensado por Ulisses seria U=1994-A(pois 2990-A seria maior que 1993) Entao Ulisses sabe ao numero que seu colega pensou que é 997 mas nos nao sabemos que numero Ulisses pensou pois pode ser 1993 ou 997 (1994-997 ou 2990-997) == Queria saber a respeita da solução do problema abaixo, citado na revista superinteressante: Um professor de Matemática pede a seus dois melhores alunos: Arnaldo e Ulisses, que cada um pense em um número inteiro e positivo, e escreva esse número em um papel. Os dois alunos pensam nesses números escrevem em um papel, e entregam esse papel ao professor. O professor escreve na lousa a soma dos dois números que estava no papel. Mas escreve duas somas:1994 e 2990, uma correta e a outra errada, apenas apenas para confundir a respostar. O professor pergunta a Arnaldo:Você sabe que número seu colega pensou? Arnaldo responde: Não. O professor pergunta a Ulisses:Você já sabe o número que número seu colega pensou? Ulisses responde: Não. O professor pergunta a Arnaldo:Você já sabe que número que seu colega pensou? Arnaldo responde: Não. O professor pergunta a Ulisses:Você já sabe o número que seu colega pensou? Ulisses responde: Sim. Determine quais os números pensados e escritos. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numeros construtiveis
on 29.03.04 14:04, Luis Lopes at [EMAIL PROTECTED] wrote: Concluí o seguinte (no que segue estou lidando com números construtíveis - NC): As raízes de uma quártica serão NC se e somente se a cúbica resolvente possuir uma raiz racional. Oi, Luis: Esse seu argumento da cubica resolvente foi o que me convenceu da nao-validade em geral do resultado que eu mencionei. E o resultado acima faz sentido pois se a cubica resolvente tem alguma raiz racional, entao as outras serao raizes de uma equacao quadratica com coeficientes racionais. Assim, se forem reais e positivas, entao serao construtiveis. Logo, as raizes da quartica original tambem serao construtiveis, por serem da forma: raiz(a) + raiz(b) + raiz(c), onde a, b, c sao as raizes da cubica resolvente. Nos demais casos e na reciproca eu preciso pensar com mais calma. De qualquer forma, muito obrigado pela resposta. Podemos mostrar que a quártica p(x)= 100x^4-780x^3+371x^2+6860x-9604 não possui NC. Por outro lado, considere o p(x)= (4a^2h^2 + t^4 - 4a^2t^2)x^4 + (8a^3t^2 - 4at^4)x^3 + (6a^2t^4 - 4a^4t^2)x^2 - 4a^3t^4 x + a^4t^4 . Gostaria de saber se alguém pode encontrar a,h,t (NC) de modo que as raízes de p(x) NÃO sejam NC . Uma ideia eh eliminar o termo em x^3 da equacao acima e ver se a cubica resolvente tem alguma raiz racional, mas as contas me parecem assustadoras! []s, Claudio. Acho que se |h| = |a| as raízes são SEMPRE NC. Para |h| |a| eu não sei. []'s Luís -Mensagem Original- De: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Para: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Enviada em: domingo, 28 de março de 2004 16:05 Assunto: [obm-l] Numeros construtiveis Oi, pessoal: Eu sei que se um numero real eh construtivel com regua e compasso (a partir de um segmento unitario dado), entao ele eh raiz de um polinomio irredutivel com coeficientes racionais e grau igual a uma potencia de 2. Minha pergunta: Vale a reciproca? Ou seja, qualquer numero real que seja raiz de um polinomio irredutivel de coeficientes racionais e grau igual a alguma potencia de 2 eh construtivel? Em caso afirmativo, existe alguma demonstracao disso sem usar teoria de Galois (que eu ainda nao conheco) mas apenas conceitos mais simples de extensoes de corpos (que eh tudo o que eu sei no momento)? (ou seja, apenas material daquele capitulo dos livros de algebra que introduz o conceito de extensoes de corpos e geralmente precede o capitulo sobre teoria de Galois). Em caso negativo, eu gostaria de ver um contra-exemplo. Agradeco antecipadamente qualquer ajuda. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Vírus na lista
Caro amigo O amigo Barzeus (Claudio Arconcher)é um grande matemático, uma pessoa maravilhosa que esta nesta lista desde o seu inicio, com um único objetivo ajudar o proximo que pode ser você. Como o Barzeus, estão outros grandes como Barone, Morgado, Lopes,Raph,Gugu, Nicolau, Benedito, Paulo Santa Rita, Eduardo Wagner, Alguns desses, por não estar sabendo , pode passar um email com virus (hoje em dia coisa comum) por mais cuidado que tenha. Digo isto, por que já ocorreu comigo. Estas coisas são chatas para todos mas não são intencionais. Por isso, quando criticar ou fazer qualquer reclamação tome um cuidado de quem você está falando, pois você pode esta ofedendo uma grande pessoa que só estava querendo te ajudar. Este tipo de atitude é ruim para nós na lista e que aos poucos podem levar a uma perda de pessoas fantásticas que gastam o seu tempo somente par ajudar o proximo em troca de nada. Imagine perdemos o Nicolau, o Raph, Gugu, Morgado, Barzeus, etc. Digo mais, sinto faltam dos comentários do Paulo Cesar (apesar de não concordar com algumas ideias e comportamento) , acho que foi uma grande perda. Assim, peço a você que não a palavra pejorativa engraçadinho, mas sim comunique a pessoa que ela esta simplesmente enviando virus. Espero que você como um bom colega desta lista compreenda o que eu falei acima. Um abraço a você e a todos amigos desta grande lista. PONCE De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Mon, 29 Mar 2004 17:21:21 -0300 (ART) Assunto: Re: [obm-l] Vírus na lista este engraçadinho acabou de mandar um vírus para a lista [EMAIL PROTECTED] Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED] wrote: Fábio Bernardo wrote: Simplifique a fração: (2^31+3^31)/(2^29+3^29)Ao invés de mexer nesse problema, eu resolvi encararuma generalização: simplificar a fração(a^(n+2)+b^(n+2))/(a^n+b^n), com n ímpar.Vou provar que a^n+b^n, n ímpar, é divisível por a+b,por indução completa.Pra n=1, (a+b)=1.(a+b) e pronto.No caso geral, supondo válido até n-2:a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1))-ab(a^(n-2)+b^(n-2))Mas pela hipótese de indução(a^(n-2)+b^(n-2))=(a+b)kLogo a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1)-abk)Com isso eu mostrei que (a+b) divide a fraçãooriginal no numerador e no denominador, mas alguém sabecomo mostrar que o que sobra é irredutível ? Ou seja,que mdc(a^(n+2)+b^(n+2),a^n+b^n)=(a+b) ?Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk[EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou"-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora! []a, L.PONCE.
Re: [obm-l] Vírus na lista
Persio, o virus quando se instala no computador de alguem manda automaticamente o virus para todos os endereços no address book do infectado. A culpa não é do Arconcher! Um abraço persio ca wrote: este engraçadinho acabou de mandar um vírus para a lista [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED] wrote: Fábio Bernardo wrote: Simplifique a fração: (2^31+3^31)/(2^29+3^29) Ao invés de mexer nesse problema, eu resolvi encarar uma generalização: simplificar a fração (a^(n+2)+b^(n+2))/(a^n+b^n), com n ímpar. Vou provar que a^n+b^n, n ímpar, é divisível por a+b, por indução completa. Pra n=1, (a+b)=1.(a+b) e pronto. No caso geral, supondo válido até n-2: a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1))-ab(a^(n-2)+b^(n-2)) Mas pela hipótese de indução (a^(n-2)+b^(n-2))=(a+b)k Logo a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1)-abk) Com isso eu mostrei que (a+b) divide a fração original no numerador e no denominador, mas alguém sabe como mostrar que o que sobra é irredutível ? Ou seja, que mdc(a^(n+2)+b^(n+2),a^n+b^n)=(a+b) ? Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail http://br.rd.yahoo.com//mail_br/tagline/?http://br.yahoo.com/info/mail.html - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora! http://login.yahoo.com/config/mail?.intl=br.done=http://br.yahoo.com/ -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numeros construtiveis
Tem na pagina do Milne algo sobre isso...Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 29.03.04 13:47, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: On Sun, Mar 28, 2004 at 04:05:17PM -0300, Claudio Buffara wrote: Eu sei que se um numero real eh construtivel com regua e compasso (a partir de um segmento unitario dado), entao ele eh raiz de um polinomio irredutivel com coeficientes racionais e grau igual a uma potencia de 2. Minha pergunta: Vale a reciproca? Ou seja, qualquer numero real que seja raiz de um polinomio irredutivel de coeficientes racionais e grau igual a alguma potencia de 2 eh construtivel? NÃO. Seja p = x^4 + 2*x^2 + 2*x - 2; este polinômio é irredutível e tem duas raízes reais aproximadamente iguais a -1.139037348 e .5905066741. Pedindo ao maple para resolver a equação p(x) = 0 temos: solve(p,x); bytes used=3000824, alloc=1441528, time=0.35 / 1/2 \1/2 1/2 1/2 |24 %4 + 3 %3 - 60 %1 + 36 %2| 1/6 3 %1 + 1/6 I |---| , | 1/2 1/3 1/2 | \ (206 + 6 1401 ) %1 / / 1/2 \1/2 1/2 1/2 |24 %4 + 3 %3 - 60 %1 + 36 %2| 1/6 3 %1 - 1/6 I |---| , | 1/2 1/3 1/2 | \ (206 + 6 1401 ) %1 / / 1/2 \1/2 1/2 1/2 |-24 %4 - 3 %3 + 60 %1 + 36 %2| - 1/6 3 %1 + 1/6 || , | 1/2 1/3 1/2 | \ (206 + 6 1401 ) %1 / / 1/2 \1/2 1/2 1/2 |-24 %4 - 3 %3 + 60 %1 + 36 %2| - 1/6 3 %1 - 1/6 || | 1/2 1/3 1/2 | \ (206 + 6 1401 ) %1 / 1/2 1/3 1/2 2/3 -4 (206 + 6 1401 ) + (206 + 6 1401 ) - 20 %1 := --- 1/2 1/3 (206 + 6 1401 ) 1/2 1/2 1/3 %2 := 3 (206 + 6 1401 ) 1/2 1/2 2/3 %3 := %1 (206 + 6 1401 ) 1/2 1/3 1/2 %4 := (206 + 6 1401 ) %1 Observe que isto está cheio de raízes cúbicas.Eh verdade! E a mensagem do Luis Lopes me lembrou do fato de que uma equacaodo 4o. grau pode ser resolvida por meio de uma equacao cubica auxiliar, cujasolucao envolve, em geral, raizes cubicas as quais, em geral, nao saoconstrutiveis. O grupo de Galois de p é S4, com 24 elementos. Assim o corpo Q[x1,x2,x3,x4], onde x1, x2, x3, x4 são as raízes de p, tem dimensão 24 como Q-espaço vetorial.Esse tambem eh um exemplo de que o limitante de n! para o grau do corpo dedecomposicao de um polinomio irredutivel de grau n sobre o corpo doscoeficientes pode ser atingido. Eu tambem estava atras de um exemplo desses. A demonstração que você viu prova que qualquer número construtível com régua e compasso pertence a um corpo *normal* cuja dimensão é uma potência de 2.A ausencia da reciproca nos livros que eu consultei deveria ter me dado umadica de que ela nao eh verdade em geral. Se fosse, eh certo dque constariacomo um teorema. A condição se-e-somente-se correta aliás é esta. Dado um número algébrico x, seja K o corpo gerado por Q, x e todos os conjugados de x. Seja f(n) a dimensão de K sobre Q. Então x é construtível se e somente f(n) é potência de 2.Legal! Vou tentar provar isso.Muito obrigado.[]s,Claudio. =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] CR(n,p) = C(n+p-1,p)
SUGESTÃO: Leia o livro do Morgado: Análise Combinatória e Probabilidade, Coleção do Professor de Matemática Capítulo 2, seção 2.6 (Combinações Completas). Além de uma leitura fácil, tem uma coleção de problemas muito interessante, ao mesmo tempo desafiadora e motivadora. No final do livro, você encontra uma bibliografia comentada, sobre Análise Combinatória, que é uma das melhores coisas que já lí. Experimente! Vale a pena! Benedito Original Message - From: David M. Cardoso [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 29, 2004 2:33 PM Subject: [obm-l] CR(n,p) = C(n+p-1,p) CR - Combinação com repetição. C - Combinação Se não me engano, existe uma formula q diz o seguinte: CR(n,p) = C(n+p-1,p) Eu queria entender a lógica dessa formula, que é útil por exemplo pra resolver: a + b + c + d = 20 Quantas soluções tem isso? Exemplos de soluções: 3 + 4 + 2 + 11 = 111..11.111 5 + 0 + 9 + 6 = 1..1.11 Para calcular todas as soluções, seria (eu acho) só contar de quantas formas eu posso posicionar 3 pontinhos em 21 posições. O meu conceito de Combinação era decorado, até eu ler uma mensagem do Nicolau, explicando como se chegava na fórmula.. (http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/msg18766.html) Agora queria entender a CR. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ita ime escola naval
alguem tem alguma dica de como estudar para estes exames?
RES: [obm-l] CR(n,p) = C(n+p-1,p)
[...] Mas isso eh igual a Binom(n+p-1,p-1). Espero ter sido claro. []s, Claudio. Cara... às vezes eu fico ateh emocionado com as mensagens de voces... que explicação do kct!!! entendido.. Valeu mesmo! David = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] CR(n,p) = C(n+p-1,p)
SUGESTÃO: Leia o livro do Morgado: Análise Combinatória e Probabilidade, Coleção do Professor de Matemática Capítulo 2, seção 2.6 (Combinações Completas). Além de uma leitura fácil, tem uma coleção de problemas muito interessante, ao mesmo tempo desafiadora e motivadora. No final do livro, você encontra uma bibliografia comentada, sobre Análise Combinatória, que é uma das melhores coisas que já lí. Experimente! Vale a pena! Benedito Onde eu compro? Você recomenda algum lugar pra eu comprar? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] CR(n,p) = C(n+p-1,p)
Na USP (no IME) eles vendem. Se não tiver exatamente esse livro eles encomendam Eu recomendo tb o livro do Lacaz Neto. Voce encontra ele em sebos ou se quizer xerocar o meu (acredito que um livro tao antigo e fora de circulação não tenha problemas com copyright) agente pode se encontrar no ime David M. Cardoso wrote: Onde eu compro? Você recomenda algum lugar pra eu comprar? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: RES: [obm-l] CR(n,p) = C(n+p-1,p)
Bem.. eu moro em Recife/PE.. se não tiver como eu comprar por aqui, eu vo ter q esperar meu pai ir pra sp, assim ele traz pra mim, mas se esse for o caso eu vou precisar saber dizer pra ele onde ele tem que ir pra comprar esse livro pra mim.. Agradeço muito a boa vontade.. David = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: RES: [obm-l] CR(n,p) = C(n+p-1,p)
David, tente falar com as seguintes pessoas (para o livro do Morgado) Ccero Monteiro de Souza [EMAIL PROTECTED] Universidade Federal Rural de Pernambuco - Departamento de Fsica e Matemtica Av. D. Manoel de Medeiros, s/n Dois Irmos CEP: 52071-900 - Recife PE Fone: (81) 441-4577 Paulo Roberto Santiago [EMAIL PROTECTED] Universidade Federal de Pernambuco - Departamento de Matemtica Av. Prof. Luiz Freire, s/n - CCEN - Cidade Universitria CEP: 50740-540 - Recife - PE. Fone: (81) 3271-8410 - Ramal: 238 Um abrao David M. Cardoso wrote: Bem.. eu moro em Recife/PE.. se no tiver como eu comprar por aqui, eu vo ter q esperar meu pai ir pra sp, assim ele traz pra mim, mas se esse for o caso eu vou precisar saber dizer pra ele onde ele tem que ir pra comprar esse livro pra mim.. Agradeo muito a boa vontade.. David = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cálculo
on 28.03.04 22:59, Daniel Silva Braz at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, Mostre que a área da superfície de uma zona de uma esfera que está entre dois planos paralelos é s = (pi)dh, onde d é o diâmetro da esfera e h é a distância entre os planos. Daniel S. Braz Oi, Daniel: A solucao do Artur eh impecavel, mas esse problema tambem pode ser resolvido pelo teorema de Pappus em coordenadas polares. O teorema de Pappus diz que a area lateral de um solido gerado pela revolucao de uma curva em torno de um eixo eh igual a 2*Pi*y(b)*L, onde: y(b) = distancia do baricentro da curva ateh o eixo de revolucao; L = comprimento da curva. Em coordenadas polares, uma circunferencia de diametro d com centro na origem tem equacao: R = d/2. A zona serah gerada pela revolucao, em torno do eixo polar, de um arco dessa circunferencia limitado pelos pontos (d/2,t1) e (d/2,t2). A distancia entre as projecoes perpendiculares desses dois pontos no eixo polar serah: h = (d/2)*(cos(t1) - cos(t2)) Pelo teorema de Pappus: A = 2*Pi*y(b)*L Mas, y(b)*L eh calculado de acordo com: y(b)*L = Integral(t1..t2) y*dL. onde: y = (d/2)*sen(t) = distancia do ponto (d/2,t) ao eixo polar; dL = R*dt = (d/2)*dt = elemento de arco. Logo: y(b)*L = Integral(t1..t2) (d/2)^2*sen(t)*dt = (d/2)^2*(cos(t1) - cos(t2)) = (d/2)*h Portanto, A = 2*Pi*y(b)*L = 2*Pi*(d/2)*h = Pi*d*h []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: RES: [obm-l] CR(n,p) = C(n+p-1,p)
on 29.03.04 23:17, David M. Cardoso at [EMAIL PROTECTED] wrote: Bem.. eu moro em Recife/PE.. se não tiver como eu comprar por aqui, eu vo ter q esperar meu pai ir pra sp, assim ele traz pra mim, mas se esse for o caso eu vou precisar saber dizer pra ele onde ele tem que ir pra comprar esse livro pra mim.. Agradeço muito a boa vontade.. David Nao precisa esperar o seu pai vir pra SP. Entre no site: http://www.sbm.org.br/ No menu do lado esquerdo clique em Livros. Em seguida, clique em Colecao do Professor de Matematica (CPM) O livro que voce quer eh o CPM/02. Clique para ver uma descricao. Para encomendar, volte a segunda pagina, clique em Como e onde comprar e siga as instrucoes lah contidas. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
