Re:[obm-l] conjectura
Oras, um ex. disso é x=11 e n=1 [x^n]=11 que é primo, ou seja, NAO satisfaz essa conjectura, ou seja, ela não é verdadeira! ?? Osvaldo [EMAIL PROTECTED] wrote:Mais e se x é um primo e n=1 temos que x^n é primo. Acho que que faltou falar n=!1. Gostaria de saber se alguem da lista tem uma ideia para provar a seguinte Conjectura: nao existe x real tal que [x^n] seja primo para todo inteiro positivo n. Alguem sabe dizer se isto ja foi demonstrado? ( [x^n] eh a parte inteira de x elevado a n) [ ]'s Eric. website: www.camposguedes.hpg.ig.com.br === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux ___ ___ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == - Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona
Seja a funçao f definida em um intervalo [a,b] por ex. Para que f seja estrit. crescente teremos que para quaisquer x_1, x_2 pertencentes a [a,b], o fato de x_1x_2 implicar sempre em f(x_1)f(x_2). Bom, SE EXISTIR derivada teremos que ela não se anulará em (a,b), seria um lema facil de ser mostrado. Desculpe meu equivoco anterior. Fui. o que é uma função estritamente crescente? fabiano - Original Message - From: Lista OBM To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, June 05, 2004 9:00 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona Osvaldo, ainda não vi diferenciabilidade. Osvaldo [EMAIL PROTECTED] wrote: Acredito que seja um dos tipos de funçoes abaixo: Estritamente crescente; Estritamente decrescente; Crescente; Decrescene; Os dois primeiros tipos de funçoes monotonas acima tem a prop. de que a derivada de primeira ordem nunca se anula e os dois restantes que ela nao é nula em todo intervalo, porem podendo anular se em um subconjunto do domínio. Nao sei se isso te ajuda mais to mandando mesmo assim. ] O que é uma função monótona? Lista OBM wrote:Gostaria que alguém me ajudasse com o problema abaixo: Seja f: J -- R uma função monótona, definida no intervalo J. Se a imagem f(J) é um intervalo, prove que f é contínua. Obs.: Tentei supondo o contrário, mas não consegui!!! Grato, Éder. - Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! - Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui! Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux ___ ___ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm- l.html === == - - Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] OBM 2004 - Nivel 3
Temos que AE=2, BE=5, CE=10, DE=4 e BC=15/2 AB=x queremos determinar. I) T. Ptolomeu: x.CD+BC.AD=AC.BD=x.CD+(15/2).AD=(10+2).(5+4)= x.CD+7,5.AD=72 II) Temos que med(AEB) = med(CED) = y Aplicando o T. dos cossenos nos triang. AEB e CED, vem: AB^2= AE^2+BE^2-2AE.BE.cos(y) = x^2=4+25-2.2.5.cosy e CD^2=CE^2+DE^2-2CE.DE=CD^2=100+16-2.10.4.cosy destas duas sentenças podemos isolar cosy e igualar os membros restando CD^2-(100+16)/(-2.10.4)=x^2-(4+25)/(- 2.2.5)= CD=sqrt[4x^2-29)+116]=2x Substituindo em I, vem x.CD+7,5.AD=72 = 2x^2+7,5.AD=72(8) III) Temos med(BEC) = med(DEA) = z BC^2=BE^2+CE^2-2BE.CE.cosz=7,5^2=25+100-2.5.10.cosz= cosz=0,6875 e DA^2=DE^2+AE^2-2AE.DE.cosz=AD^2=16+4-2.2.4.(0,6875) =9= AD=3 IV) Daí de * e III, vem que: 2x^2+7,5.(3)=72 = x^2=24,75 = x=AB=sqrt(24,75)~4,95 Portanto x=sqrt(24,75) Acho que deva ser isto. Falou! As diagonais AC e BD de um quadrilatero ADCB se encontram em E. Se AE=2, BE=5, CE=10, DE=4 e BC=15/2, calcule AB. Divirtam-se!!! Fiz a prova...achei bem legal, e muito bem elaborada! foi um otimo treinamento, jah q vou prestar concurso para o CN e para EPCAr... (alem do que sou um eterno apaixonado pela matematica hehe) bem, vou deixar uma questao legal de geometria plana, tirada do livro Challenging Problems in Geometry, de Alfred S. Posamentier e Charles T. Salkind: As diagonais AC e BD de um quadrilatero ADCB se encontram em E. Se AE=2, BE=5, CE=10, DE=4 e BC=15/2, calcule AB. Divirtam-se!!! === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Teo. de Wilson
Pessoal, como provo o teo. de wilson,ou seja, se p é primo entao (p-1)!+1 é congruente a 0 módulo p Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] OBM 2004 - Nivel 3
Olá Vitor, O cálculo da medida do lado AB é muito simples e direto, bastando utilizar uma única vez o teorema de Stewart. A fim de tornar a questão um pouco mais interessante, eu modifiquei o enunciado para pedir as medidas dos outros três lados do quadrilátero, ou seja, AB, CD e DA e não somente AB. QUESTÃO COM O ENUNCIADO EXTENDIDO: As diagonais AC e BD de um quadrilátero ADCB se encontram em E. Se AE = 2, BE = 5, CE = 10, DE = 4 e BC = 15/2, calcule os outros três lados do quadrilátero: AB, CD e DA. OBSERVAÇÃO: Eu utilizarei o Teorema de Stewart, algumas vezes denominado Teorema de Apollonius, para resolver esta questão. Segue um enunciado possível para o Teorema de Stewart. TEOREMA DE STEWART: Seja ABC um triângulo qualquer e P um ponto interno do lado BC (AP é uma ceviana interna relativa ao lado BC), então vale a seguinte relação: AB^2/(BP.BC) + AC^2/(CP.CB) - AP^2/(PB.PC) = 1 (O Teorema de Stewart pode ser facilmente demonstrado pela aplicação da lei dos co-senos nos triângulos APB e APC.) RESOLUÇÃO POSSÍVEL DA QUESTÃO COM O ENUNCIADO EXTENDIDO: No triângulo BAC, E é um ponto interno do lado AC, então: BA^2/(AE.AC) + BC^2/(CE.CA) - BE^2/(EA.EC) = 1 BA^2/(2.12) + (15/2)^2/(10.12) - 5^2/(2.10) = 1 BA^2/24 + 15/32 - 5/4 = 1 BA^2/24 = 57/32 BA^2 = (9.19)/4 BA = 3.sqr(19)/2 (RESPOSTA DA QUESTÃO ORIGINAL) No triângulo ADB, E é um ponto interno do lado DB, então: AD^2/(DE.DB) + AB^2/(BE.BD) - AE^2/(ED.EB) = 1 AD^2/(4.9) + [3.sqr(19)/2]^2/(5.9) - 2^2/(4.5) = 1 AD^2/36 + 19/20 - 1/5 = 1 AD^2/36 = 1/4 AD^2 = 9 AD = 3 Os triângulos AEB e DEC são semelhantes pelo critério LAL, pois: AEB = DEC (ângulos opostos pelo vértice) AE/DE = 2/4 = 1/2 EB/EC = 5/10 = 1/2 Pela propriedade transitiva da igualdade: AE/DE = EB/EC Da semelhança podemos concluir que: BA/CD = 1/2 = AE/DE = EB/EC CD = 2.BA = CD = 2.[3.sqr(19)/2] = CD = 3.sqr(19) RESPOSTA DA QUESTÃO EXTENDIDA: AB = 3.sqr(19)/2 (RESPOSTA DA QUESTÃO ORIGINAL), CD = 3.sqr(19) e AD = 3. Atenciosamente, Rogério Moraes de Carvalho -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Vitor Dias Sent: domingo, 6 de junho de 2004 01:23 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] OBM 2004 - Nivel 3 Fiz a prova...achei bem legal, e muito bem elaborada! foi um otimo treinamento, jah q vou prestar concurso para o CN e para EPCAr...(alem do que sou um eterno apaixonado pela matematica hehe) bem, vou deixar uma questao legal de geometria plana, tirada do livro Challenging Problems in Geometry, de Alfred S. Posamentier e Charles T. Salkind: As diagonais AC e BD de um quadrilatero ADCB se encontram em E. Se AE=2, BE=5, CE=10, DE=4 e BC=15/2, calcule AB. Divirtam-se!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] o valor de x - continuacao
Olá Claudio,
Se você analisar o seu questionamento original, você poderá concluir
que eu já havia o respondido. Veja a transcrição do seu questionamento
original abaixo.
O problema que eu proponho eh:
Explique porque (1+raiz(17))/2 nao satisfaz a equacao original.
A resolução que eu apresentei justifica porque (1+raiz(17))/2 não
satisfaz a equação original na passagem destacada a seguir:
x = [1 + sqr(17)]/2 (Não satisfaz, pois apesar de satisfazer a primeira
parte da condição geral 0 = x = 5 não satisfaz a segunda, pois pela
igualdade (ix) y = 1 - x = y = 1 - [1 + sqr(17)]/2 = y = [1 - sqr(17)]/2,
ou seja, y 0.)
Agora, você está fazendo outro questionamento, ou seja:
de onde vieram as tres raizes adicionais, especialmente a outra raiz
positiva.
Segue uma análise do motivo de termos encontrados as três raízes
adicionais, baseando-se num trecho da resolução que eu apresentei.
POSSÍVEL ANÁLISE DO MOTIVO DO SURGIMENTO DAS TRÊS RAÍZES ADICIONAIS:
Segue um trecho da resolução que eu apresentei:
Fazendo y = sqr(5 - x) (i), teremos:
x = sqr(5 - y) (ii)
Seguem as condições que permitem a equivalência das igualdades (i) e (ii)
mesmo após elevar ambos os membros ao quadrado.
Igualdade (i): y = 0 e 5 - x = 0 = x = 5 (iii) Igualdade (ii): x = 0 e
5 - y = 0 = y = 5 (iv)
Das condições (iii) e (iv), chegamos a uma condição geral:
0 = x = 5 e 0 = y = 5 (v).
Se for satisfeita a condição geral (v), poderemos elevar ambos os membros
das igualdades (i) e (ii), ou seja:
y^2 = 5 - x = y^2 + x = 5 (vi)
x^2 = 5 - y = x^2 + y = 5 (vii)
Aplicando a propriedade transitiva da igualdade em (vi) e (vii), teremos:
y^2 + x = x^2 + y = y^2 - x^2 - y + x = 0 = (y - x)(y + x) - (y - x) = 0
= (y - x)(y - x - 1) = 0 = y = x (viii) ou y = 1 - x (ix)
Neste trecho, dentre outras coisas, eu deduzi a condição geral que
deve ser satisfeita para que as raízes encontradas sejam realmente raízes da
equação original. Usando esta condição geral, eu eliminei as seguintes três
raízes durante o restante da resolução:
PRIMEIRA RAIZ ELIMINADA: x = [-1 - sqr(21)]/2
SEGUNDA RAIZ ELIMINADA: x = [1 - sqr(17)]/2
TERCEIRA RAIZ ELIMINADA: x = [1 + sqr(17)]/2
A questão agora é explicar o motivo de termos encontrado estas três
raízes inválidas.
Observe que ao elevar ambos os membros das igualdades (i) e (ii) e
obter as igualdades (vi) e (vii), nós acrescentamos novas possibilidades,
pois no campo dos reais a raiz quadrada aritmética somente está definida
para números reais não negativos, sendo que o resultado desta raiz também
deve ser um número real não negativo. Quando elevamos ambos os membros da
igualdade ao quadrado, nós podemos estar acrescentando soluções, uma vez que
o quadrado de um número real positivo é igual ao quadrado do seu simétrico
(oposto aditivo).
Abaixo, eu apresento explicações detalhadas dos motivos pelos quais
as três raízes inválidas foram encontradas. Durantes as explicações, eu
utilizarei a fórmula de transformação de radicais duplos em radicais
simples, que eu demonstrei há algum tempo atrás.
O radical duplo sqr(A +/- sqr(B)), com A e B racionais pode ser transformado
em radical simples desde que C = sqr(A^2 - B) seja racional, sendo que a
transformação é dada pela fórmula: sqr[(A + C)/2] +/- sqr[(A - C)/2].
MOTIVO DE TERMOS ENCONTRADO A PRIMEIRA RAIZ ELIMINADA: [-1 - sqr(21)]/2
x = [-1 - sqr(21)]/2
Esta solução foi obtida de (viii) y = x, logo: y = [-1 - sqr(21)]/2
Substituindo os valores de x e y em (i) e (ii), devemos ter:
(i) y = sqr(5 - x) = [-1 - sqr(21)]/2 = sqr{5 - [-1 - sqr(21)]/2} = [-1 -
sqr(21)]/2 = sqr{[11 + sqr(21)]/2}
(ii) x = sqr(5 - y). Analogamente, devemos ter que: [-1 - sqr(21)]/2 =
sqr{[11 + sqr(21)]/2}
Observe que as duas igualdades idênticas não são válidas, pois o primeiro
membro é negativo e o segundo membro é positivo. Porém, se os números forem
simétricos (opostos aditivos), então ao elevarmos ambos os membros ao
quadrado a igualdade se tornará verdadeira. Transformando o radical duplo
sqr{[11 + sqr(21)]/2} = sqr[11/2 + sqr(21/4)] em radicais simples, podemos
comprovar a simetria dos números, conforme segue:
A = 11/2 e B = 21/4, logo: C = sqr(A^2 - B) = sqr[(11/2)^2 - 21/4] =
sqr(121/4 - 21/4) = sqr(100/4) = sqr(25) = 5.
Logo: sqr{[11 + sqr(21)]/2} = sqr[(A + C)/2] + sqr[(A - C)/2] = sqr[(11/2 +
5)/2] + sqr[(11/2 - 5)/2] = sqr(21/4) + sqr(1/4) = [1 + sqr(21)]/2.
Portanto: [-1 - sqr(21)]/2 = -[1 + sqr(21)]/2 != sqr{[11 + sqr(21)]/2} = [1
+ sqr(21)]/2, mas {[-1 - sqr(21)]/2}^2 = sqr{[11 + sqr(21)]/2}^2.
MOTIVO DE TERMOS ENCONTRADO A SEGUNDA RAIZ ELIMINADA: [1 - sqr(17)]/2
x = [1 - sqr(17)]/2
Esta solução foi obtida de (ix) y = 1 - x, logo: y = [1 + sqr(17)]/2
Substituindo os valores de x e y em (i) e (ii), teremos:
(i) y = sqr(5 - x) = [1 + sqr(17)]/2 = sqr{5 - [1 - sqr(17)]/2} = [1 +
sqr(17)]/2 = sqr{[9 + sqr(17)]/2}
(ii) x = sqr(5 - y) = [1 - sqr(17)]/2 = sqr{5 - [1 + sqr(17)]/2} = [1 -
sqr(17)]/2 = sqr{[9 -
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] funçãomonótona
Nem se existir. f(x)=x^3 eh estritamente crescente em [-1;1] e f'(0)=0. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Osvaldo [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Sun, 6 Jun 2004 03:41:53 -0300 Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona Seja a funçao f definida em um intervalo [a,b] por ex. Para que f seja estrit. crescente teremos que para quaisquer x_1, x_2 pertencentes a [a,b], o fato de x_1x_2 implicar sempre em f(x_1)f(x_2). Bom, SE EXISTIR derivada teremos que ela não se anulará em (a,b), seria um lema facil de ser mostrado. Desculpe meu equivoco anterior. Fui. o que é uma função estritamente crescente? fabiano - Original Message - From: Lista OBM To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, June 05, 2004 9:00 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona Osvaldo, ainda não vi diferenciabilidade. Osvaldo [EMAIL PROTECTED] wrote: Acredito que seja um dos tipos de funçoes abaixo: Estritamente crescente; Estritamente decrescente; Crescente; Decrescene; Os dois primeiros tipos de funçoes monotonas acima tem a prop. de que a derivada de primeira ordem nunca se anula e os dois restantes que ela nao é nula em todo intervalo, porem podendo anular se em um subconjunto do domínio. Nao sei se isso te ajuda mais to mandando mesmo assim. ] O que é uma função monótona? Lista OBM wrote:Gostaria que alguém me ajudasse com o problema abaixo: Seja f: J -- R uma função monótona, definida no intervalo J. Se a imagem f(J) é um intervalo, prove que f é contínua. Obs.: Tentei supondo o contrário, mas não consegui!!! Grato, Éder. - Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! - Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui! Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux ___ ___ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm- l.html === == - - Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teo. de Wilson
on 06.06.04 04:39, Osvaldo at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pessoal, como provo o teo. de wilson,ou seja,
se p é primo entao (p-1)!+1 é congruente a 0 módulo p
Atenciosamente,
Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado
Usuário de GNU/Linux
Repare quem em Z_p os polinomios:
f(x) = x^(p-1) - 1
e
g(x) = (x-1)(x-2)...(x-p+1)
sao ambos monicos, de grau p-1 e tem as mesmas p-1 raizes
(a saber: 1, 2, 3, ..., p-1 ).
Logo, sao iguais.
Em particular, g(0) = f(0) ==
(p-1)! = -1 ==
(p-1)! + 1 = 0 em Z_p ==
(p-1)! + 1 == 0 (mod p)
Ou entao, repare que o teorema eh obviamente valido para p = 2 e p = 3 e
que, para p = 5, voce pode particionar o conjunto {1, 2, 3, ..., p-1} dos
inteiros positivos menores do que p nos (p+1)/2 conjuntos:
{1}, {p-1}, {2,(p+1)/2}, ..., {a,b}
sendo que os pares sao tais que a*b == 1 (mod p).
Ou seja, multiplicando os elementos dos pares, obtemos um produto que eh
congruente a 1 (mod p).
Finalmente, multiplicando 1 e p-1, obtemos um produto que eh == -1 (mod p).
Mas o produto que obtemos eh justamente (p-1)!.
Logo. (p-1)! == -1 (mod p).
[]s,
Claudio.
Logo, um eh um multiplo escalar do outro, ou seja:
g(x) = k*f(x) para algum k em Z_p.
Em particular, g(0) = k*f(0), ou seka:
-1 = k*(
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Teo. de Wilson
o que significa ser congruente? ObrigadoOsvaldo [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, como provo o teo. de wilson,ou seja,se p é primo entao (p-1)!+1 é congruente a 0 módulo pAtenciosamente,Engenharia Elétrica - UNESP Ilha SolteiraOsvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux__Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=obm-l.html=Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
[obm-l] Hipótese de Riemann
Em sua conjetura, Riemann sugeriu uma fórmula para descrever onde estão os primos. Envolve um certo grupo de números, que se encontram inseridos em um plano, e que correspondem a soluções que tornam uma equação igual a zero. São os zeros da função Zeta. Traduzindo a hipótese para a forma didática, sabemos que os números primos se encontram imersos no U = N, e quem se dispor a ceder uma organização desses números, estará em parte contribuindo para a validação da equação,ou para demonstração de falhas na mesma. Sabemos que a equação já foi testada até 10 elev 23 e que a mesma pareceu eficiente, atendendo a função. Alguém consegue ceder uma explicação mais didática para tal função?? Saudadade do tempo em aprendi que núemro primo é aquele que se divide por 1 e por ele mesmo. Abraço para a lista. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teo. de Wilson
Vou começar com um exemplo numérico.
Seja p=11
(p-1)! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
Observe que 9.5 = 1 (mod 11) ENTENDA O SINAL DE = COMO CONGRUENTE.
8.7 = 1 (mod 11)
6.2 = 1 (mod 11)
3.4 = 1 (mod 11)
Assim, (p-1)! = 10.1.1.1.1.1 = -1.1.1.1.1.1 = -1
Para p primo qualquer, sabemos que todos os elementos de {1,2,3,4,...,p-1}
têm inverso multiplicativo. Além disso, o inverso de 1 e 1 (mod p) e o
inverso de p-1 é p-1 (mod p). Assim, 2.3.4. ... .p-2 = 1 (mod p)
(p-1)! = 1.2.3. ... .p-2.p-1 = 1.1.1. ... .1.p-1 (mod p)
(p-1)! = 1.1.1. ... -1 (mod p)
Em 6 Jun 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Pessoal, como provo o teo. de wilson,ou seja,
se p é primo entao (p-1)!+1 é congruente a 0 módulo p
Atenciosamente,
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Osvaldo Mello Sponquiado
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[obm-l] Re: [obm-l] dúvida
8 possibilidades para entrar e 7 para sair, logo 8.7 = 56 Cláudio Thor - Original Message - From: TSD To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, June 06, 2004 12:56 AM Subject: [obm-l] dúvida se uma sala tem 8 portas, então o número de maneiras distintas de entrar e sair da mesma por uma porta diferente é ?
[obm-l] dúvidas de combinatória
julgar os itens entre Certo ou Errado Aline e Cláudia fazem parte de um grupo de 6 pessoas que devem ocupar 6 cadeiras enfileradas. SE as duas NÃO podem ocupar as duas cadeiras das extremidades ao mesmo tempo, então essas 6 pessoas podem ser acomodados de 36 maneira ( ) Você faz parte de um grupo de 12 pessoas entre as quais vão ser sorteadas 4 prêmios distintos. AS chances que você tem ser sorteado,se cada pessoa pode receber apenas um prêmio são 3960( ) E= An,3 / A(n-1),2 então E=n ( ) com a palavra SUCESSO obtêm-se 20 anagramas que começam por S e terminam em O ( ) o número de anagramas da palavra MACEIO que começam por consoante e terminam por consoante é 48 ( ) o número de anagramas da palavra MACEIO que começam por consoante e terminam porvogal é96 ( )
Re: [obm-l] Teo. de Wilson
Congruência módulo n. Álgebra Linear. Por def. (ver Eureka n° 2) not.: # = é congruente a,b, n pertencentes a Z a # b modulo(n) = existe k pert. a Z tal que (a-b)/n = k, ou seja, n | (a-b) (n divide a-b) assim, por ex., a # 0 mod(n) indica que a é multiplo de n. Bom to meio enferrujado nisso, mais acho que deve ser isto. falo. o que significa ser congruente? Obrigado Osvaldo [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, como provo o teo. de wilson,ou seja, se p é primo entao (p-1)!+1 é congruente a 0 módulo p Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =obm-l.html = - Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui! Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona
Desculpem meu novo equívoco. Esse lema que falei me basei no fato de que se uma função de R em R tem derivada de primeira ordem positiva ela é, então, estrit. cresc.; porém a recíproca não é verdadeira. Falou! Nem se existir. f(x)=x^3 eh estritamente crescente em [-1;1] e f'(0)=0. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Osvaldo [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Sun, 6 Jun 2004 03:41:53 -0300 Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona Seja a funçao f definida em um intervalo [a,b] por ex. Para que f seja estrit. crescente teremos que para quaisquer x_1, x_2 pertencentes a [a,b], o fato de x_1x_2 implicar sempre em f(x_1)f(x_2). Bom, SE EXISTIR derivada teremos que ela não se anulará em (a,b), seria um lema facil de ser mostrado. Desculpe meu equivoco anterior. Fui. o que é uma função estritamente crescente? fabiano - Original Message - From: Lista OBM To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, June 05, 2004 9:00 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona Osvaldo, ainda não vi diferenciabilidade. Osvaldo [EMAIL PROTECTED] wrote: Acredito que seja um dos tipos de funçoes abaixo: Estritamente crescente; Estritamente decrescente; Crescente; Decrescene; Os dois primeiros tipos de funçoes monotonas acima tem a prop. de que a derivada de primeira ordem nunca se anula e os dois restantes que ela nao é nula em todo intervalo, porem podendo anular se em um subconjunto do domínio. Nao sei se isso te ajuda mais to mandando mesmo assim. ] O que é uma função monótona? Lista OBM wrote:Gostaria que alguém me ajudasse com o problema abaixo: Seja f: J -- R uma função monótona, definida no intervalo J. Se a imagem f(J) é um intervalo, prove que f é contínua. Obs.: Tentei supondo o contrário, mas não consegui!!! Grato, Éder. - Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! - Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui! Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux ___ ___ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm- l.html === == -- --- - Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
RE: [obm-l] OBM 2004 - Nivel 3
Boa solucao, eu usei semelhanca e o teorema de Ptolomeu, pois atraves da semelhanca, fica provado que o quadrilatero eh inscritivel. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Conjuntos
Numa pesquisa sobre o consumo dos produtos A , B e C obteve-se o seguinte resultado : 68% dos entrevistados consomem A , 56% consomem B , 66% consomem C e 15% não consomem nemhum dos produtos . Qual a percentagem mínima de entrevistados que consomem A , B e C ? Agradeço desde de já. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Hipótese de Riemann
on 06.06.04 12:43, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Em sua conjetura, Riemann sugeriu uma fórmula para descrever onde estão os
primos. Envolve um certo grupo de números, que se encontram inseridos em um
plano, e que correspondem a soluções que tornam uma equação igual a zero. São
os zeros da função Zeta.
Traduzindo a hipótese para a forma didática, sabemos que os números primos se
encontram imersos no U = N, e quem se dispor a ceder uma organização desses
números, estará em parte contribuindo para a validação da equação,ou para
demonstração de falhas na mesma. Sabemos que a equação já foi testada até 10
elev 23 e que a mesma pareceu eficiente, atendendo a função.
Alguém consegue ceder uma explicação mais didática para tal função??
Saudadade do tempo em aprendi que núemro primo é aquele que se divide por 1 e
por ele mesmo.
Abraço para a lista.
A funcao zeta original, estudada por Euler, eh definida apenas para numeros
complexos com parte real 1. A expressao da funcao eh a seguinte:
zeta(s) = SOMA(n=1) 1/n^s (Re(s) 1).
Assim, por exemplo, temos que zeta(2) = Pi^2/6.
Pode-se provar que essa funcao eh analitica e, alem disso, pode ser
estendida, de forma unica, a uma funcao analitica definida em C - {1} (todo
o plano complexo, exceto o ponto s = 1). O trabalho de Riemann foi baseado
na funcao zeta estendida.
A hipotese de Riemann diz que todos os zeros com parte real positiva da
funcao zeta, assim estendida, tem parte real = 1/2. Hoje em dia, sabe-se que
todos os zeros com parte real positiva tem parte real entre 0 e 1, que eles
sao simetricamente dispostos em relacao a reta Re(s) = 1/2 (ou seja, se,
para 0 = a = 1, zeta(a + bi) = 0, entao zeta(1-a + bi) = 0) e que existe
uma infinidade de zeros com parte real = 1/2.
A conexao da funcao zeta com os primos eh evidenciada pela identidade:
SOMA(n=1) 1/n^s = PRODUTO(p primo) (1 - 1/p^s)^(-1)
a qual expressa a igualdade entre dois limites quando Re(s) 1.
Mesmo pra quem nao conhece limites, eh interessante tentar ver porque a
identidade acima faz sentido (dica: o lado direito eh um produtorio cujos
termos sao somas de PGs)
Pra quem tem interesse, o IME-USP vai oferecer um curso sobre a funcao zeta
no proximo semestre.
[]s,
Claudio.
=
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Re: [obm-l] o valor de x - continuacao
Oi, Rogerio: Eu tinha em mente uma explicacao um pouco mais sucinta, mas tudo bem. Quando elevamos ao quadrado a equacao: raiz(5 - raiz(5 - x)) = x e obtemos: 5 - raiz(5 - x) = x^2 == 5 - x^2 = raiz(5 - x), estaremos adicionando ao conjunto de raizes da equacao original, as raizes da equacao: raiz(5 - raiz(5 - x)) = |x|, uma vez que raiz(x^2) nao eh igual a x, mas sim igual a |x|. Se exigirmos que x 0, obteremos a raiz (-1+raiz(21))/2. Mas se permitirmos que x 0 (caso que eh proibida pela equacao original, jah que raiz quadrada de numero positivo eh positiva), obteremos tambem a raiz (-1-raiz(17))/2. Isso ocorre porque elevar uma equacao ao quadrado nao eh, em geral, uma operacao reversivel, ou seja, em geral vale apenas a implicacao: A = B == A^2 = B^2 mas nao a implicacao oposta: A^2 = B^2 == A = B. O mesmo tipo de analise pode ser feito quando elevamos a equacao: 5 - x^2 = raiz(5 - x) ao quadrado e obtemos aquele polinomio de quarto grau. Ao fazer isso, adicionamos as raizes (1+raiz(21))/2 e (-1-raiz(17))/2. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] conjectura
on 05.06.04 15:39, Eric at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Gostaria de saber se alguem da lista
tem uma ideia para provar a seguinte
Conjectura: nao existe x real tal que
[x^n] seja primo para todo inteiro
positivo n.
Alguem sabe dizer se isto ja foi demonstrado?
( [x^n] eh a parte inteira de x elevado a n)
[ ]'s
Eric.
Eu faco uma outra conjectura, um pouco mais forte:
Nao existe nenhum real x 1 tal que
[x], [x^2], [x^3], ...
sao todos impares.
Essa conjectura implica a sua.
Sabe-se que, para todo x real, exceto por um conjunto de medida nula, a
sequencia (a_n), dada por a_n = {x^n} = parte fracionaria de x^n eh
uniformemente distribuida em [0,1].
Agora, tome x = N + r (N impar e 0 = r 1) para o qual {x^n} seja U[0,1].
Se existir n tal que:
x^n = M + s (M impar e 0 = s 1) e 1 = rM + sx 2,
entao: x^(n+1) = x*x^n = (N + r)*(M + s) = MN + rM + sx ==
[x^(n+1)] = MN + 1 = par.
O fato de {x^n} ser U[0,1] torna isso plausivel (pelo menos pra mim), mas
nao consegui formalizar uma demonstracao.
[]s,
Claudio.
=
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[obm-l] Apresentação
Olá pessoal , Meu nome é Daniel Regufe tenho 18 anos , to fazendo turma ime-ita pela segunda vez, e desejo me formar no IME. Adoro a matemática e por isso entrei na lista . To fazendo a olimpiada brasileira de matematica desse ano e gostaria de solicitar a resolução da questão 3 e 17. (nivel 3) Se alguem tiver o gabarito dessa primeira fase da prova eu agradeço.! abraços , Daniel Regufe _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] aritmetica
Um reservatório é alimentado por duas torneiras: a primeira dá 38 litros por minuto e a segunda, 47. A saída de água é por um orifício que deixa passar 21 litros por minuto, deixando abertas as torneiras e o orifício, o reservatório se enche em 680 minutos. Qual é a sua capacidade? __ Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail: http://br.surveys.yahoo.com/global_mail_survey_br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] conjectura
Oi Claudio, infelizmente a sua conjectura é falsa...
Tá, vou descontar o caso em que x é inteiro (x ímpar
já dá errado!) e vou pensar em x irracional.
Considere x raiz de uma equação do segundo grau, por
exemplo, x = 3+raiz(5). E considere a seqüência a_n =
6a_{n-1} - 4a_{n-2}, sendo a_0 = 2 e a_1 = 6. Pode-se
provar que a_n = x^n + y^n, sendo y = 3-raiz(5) (de
fato, como x^2 = 6x - 4 e y^2 = 6y - 4, x^n + y^n =
6(x^{n-1} + y^{n-1}) - 4(x^{n-2} + y^{n-2}), ou seja,
x^n + y^n satisfaz a equação de recorrência; como x^0
+ y^0 = 2 e x^1 + y^1 = 6, os valores iniciais
coincidem e, de fato, a_n = x^n + y^n).
Veja que a_n é par para todo n. Mas a_n = x^n + y^n.
Como y = 3-raiz(5) é positivo e menor que 1, 0 y^n
1 para n0 e, portanto, como a_n é inteiro, [x^n] =
a_n - 1, que é sempre ímpar.
Agora, o problema original parece ser bem mais
difícil...
[]'s
Shine
--- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
wrote:
on 05.06.04 15:39, Eric at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Gostaria de saber se alguem da lista
tem uma ideia para provar a seguinte
Conjectura: nao existe x real tal que
[x^n] seja primo para todo inteiro
positivo n.
Alguem sabe dizer se isto ja foi demonstrado?
( [x^n] eh a parte inteira de x elevado a n)
[ ]'s
Eric.
Eu faco uma outra conjectura, um pouco mais forte:
Nao existe nenhum real x 1 tal que
[x], [x^2], [x^3], ...
sao todos impares.
Essa conjectura implica a sua.
Sabe-se que, para todo x real, exceto por um
conjunto de medida nula, a
sequencia (a_n), dada por a_n = {x^n} = parte
fracionaria de x^n eh
uniformemente distribuida em [0,1].
Agora, tome x = N + r (N impar e 0 = r 1) para o
qual {x^n} seja U[0,1].
Se existir n tal que:
x^n = M + s (M impar e 0 = s 1) e 1 = rM + sx
2,
entao: x^(n+1) = x*x^n = (N + r)*(M + s) = MN + rM +
sx ==
[x^(n+1)] = MN + 1 = par.
O fato de {x^n} ser U[0,1] torna isso plausivel
(pelo menos pra mim), mas
nao consegui formalizar uma demonstracao.
[]s,
Claudio.
=
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__
Do you Yahoo!?
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[obm-l] Funçao Quadratica
No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais , a curva y=ax2 + bx + c passa pelos pontos (1,1) , ( 2,m) e (m, 2) , m é um número real diferente de 2. Sobre esta curva podemos afirmar que: aEla admite um mínimo para todo m tal que ½m 3/2 b)Ela admite um mínimo para todo m tal que 0 m 1 c)Ela admite um máximo para todo m tal que ½m 1/2 d)Ela admite um máximo para todo m tal que ½m 3/2 e)Ela admite um máximo para todo m tal que0m 1 agreço antecipadamente. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] conjectura
Mas a questao inicial eh provar nao existir um real cujas potencias possuam parte inteira prima Voce achou um que tem. --- Osvaldo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oras, um ex. disso é x=11 e n=1 [x^n]=11 que é primo, ou seja, NAO satisfaz essa conjectura, ou seja, ela não é verdadeira! ?? Osvaldo [EMAIL PROTECTED] wrote:Mais e se x é um primo e n=1 temos que x^n é primo. Acho que que faltou falar n=!1. Gostaria de saber se alguem da lista tem uma ideia para provar a seguinte Conjectura: nao existe x real tal que [x^n] seja primo para todo inteiro positivo n. Alguem sabe dizer se isto ja foi demonstrado? ( [x^n] eh a parte inteira de x elevado a n) [ ]'s Eric. website: www.camposguedes.hpg.ig.com.br === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Análise mat I
poderiam me ajudar a provar? 33) Prove que não existe uma função contínua f:[a,b]-R, tal que f^-1(y)=vazio ou f^-1(y)tem exatamente 2 elementos. _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] conjectura
Oi, Shine:
Gostei dessa! Obrigado pelo contra-exemplo.
Alias, o problema original proposto pelo Eric era encontrar um real x tal
que [x^n] eh primo para n = 1, 2, ..., 9. De fato, ele pedia pra provar que
isso eh verdade para uma infinidade de reais x.
[]s,
Claudio.
on 06.06.04 20:24, Carlos Yuzo Shine at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Claudio, infelizmente a sua conjectura ? falsa...
T?, vou descontar o caso em que x ? inteiro (x ?mpar
j? d? errado!) e vou pensar em x irracional.
Considere x raiz de uma equa??o do segundo grau, por
exemplo, x = 3+raiz(5). E considere a seq??ncia a_n =
6a_{n-1} - 4a_{n-2}, sendo a_0 = 2 e a_1 = 6. Pode-se
provar que a_n = x^n + y^n, sendo y = 3-raiz(5) (de
fato, como x^2 = 6x - 4 e y^2 = 6y - 4, x^n + y^n =
6(x^{n-1} + y^{n-1}) - 4(x^{n-2} + y^{n-2}), ou seja,
x^n + y^n satisfaz a equa??o de recorr?ncia; como x^0
+ y^0 = 2 e x^1 + y^1 = 6, os valores iniciais
coincidem e, de fato, a_n = x^n + y^n).
Veja que a_n ? par para todo n. Mas a_n = x^n + y^n.
Como y = 3-raiz(5) ? positivo e menor que 1, 0 y^n
1 para n0 e, portanto, como a_n ? inteiro, [x^n] =
a_n - 1, que ? sempre ?mpar.
Agora, o problema original parece ser bem mais
dif?cil...
[]'s
Shine
--- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
wrote:
on 05.06.04 15:39, Eric at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Gostaria de saber se alguem da lista
tem uma ideia para provar a seguinte
Conjectura: nao existe x real tal que
[x^n] seja primo para todo inteiro
positivo n.
Alguem sabe dizer se isto ja foi demonstrado?
( [x^n] eh a parte inteira de x elevado a n)
[ ]'s
Eric.
Eu faco uma outra conjectura, um pouco mais forte:
Nao existe nenhum real x 1 tal que
[x], [x^2], [x^3], ...
sao todos impares.
Essa conjectura implica a sua.
Sabe-se que, para todo x real, exceto por um
conjunto de medida nula, a
sequencia (a_n), dada por a_n = {x^n} = parte
fracionaria de x^n eh
uniformemente distribuida em [0,1].
Agora, tome x = N + r (N impar e 0 = r 1) para o
qual {x^n} seja U[0,1].
Se existir n tal que:
x^n = M + s (M impar e 0 = s 1) e 1 = rM + sx
2,
entao: x^(n+1) = x*x^n = (N + r)*(M + s) = MN + rM +
sx ==
[x^(n+1)] = MN + 1 = par.
O fato de {x^n} ser U[0,1] torna isso plausivel
(pelo menos pra mim), mas
nao consegui formalizar uma demonstracao.
[]s,
Claudio.
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Re: [obm-l] Análise mat I
on 06.06.04 21:56, kirchhoff at [EMAIL PROTECTED] wrote:
poderiam me ajudar a provar?
33) Prove que não existe uma função contínua f:[a,b]-R, tal que
f^-1(y)=vazio ou f^-1(y)tem exatamente 2 elementos.
Imagino que voce queira dizer: nao existe funcao continua f:[a,b] - R tal
que, PARA TODO y REAL, f^(-1)(y) = vazio ou f^(-1)(y) tem dois elementos.
[a,b] eh um intervalo compacto. Logo, como f eh continua em [a,b], f atinge
o seu valor maximo M e o seu valor minimo m, pelo menos uma vez.
Ou seja, f^(-1)(M) e f^(-1)(m) sao ambos nao-vazios.
Se um dos conjuntos f^(-1)(M) ou f^(-1)(m) nao tem exatamente 2 elementos,
entao acabou.
Suponhamos, portanto, que estes dois conjuntos tem, cada um, exatamente 2
elementos.
Naturalmente, estes 4 elementos sao distintos dois a dois, o que significa
que existem (pelo menos) dois que sao diferentes de a e b. Vamos chamar
estes 4 elementos de r, s, t, u, de forma que a = r s t u = b.
Temos 2 casos a considerar:
Caso 1: s, t sao ambos pontos de maximo ou ambos pontos de minimo.
Suponhamos que ambos sejam de maximo, ou seja, f(s) = f(t) = M.
O caso em que ambos sao de minimo eh analogo.
Tomemos eps 0 tal que s - eps s + eps t - eps t + eps.
Sejam c = max{f(s-eps),f(s+eps),f(t-eps),f(t+eps)} e d = (c+M)/2.
Naturalmente, c d M.
Como f eh continua em cada um dos intervalos (s-eps,s), (s,s+eps), (t-eps,t)
e (t,t+eps), o teorema do valor intremediario garante que vao existir pontos
x1, x2, x3 e x4, um em cada um desses intervalos e tais que f(x1) = f(x2) =
f(x3) = f(x4) = d.
Como os intervalos sao dois a dois disjuntos, concluimos que f^(-1)(d) tem
pelo menos 4 elementos.
-
Caso 2: um dentre s, t eh ponto de maximo e o outro eh de minimo.
Suponhamos que s seja ponto de minimo e t de maximo.
Suponhamos tambem que r seja ponto de minimo.
As outras combinacoes sao analogas.
Tomemos eps 0 tal que r + eps s - eps s + eps.
Sejam c = min{f(r+eps),f(s-eps),f(s+eps)} e d = (m+c)/2.
Naturalmente, m d c.
Como f eh continua nos intervalos (r,r+eps), (s-eps,s) e (s,s+eps), o
teorema do valor intermediario garante que vao existir pontos x1, x2 e x3,
um em cada um desses intervalos e tais que f(x1) = f(x2) = f(x3) = d.
Como os intervalos sao dois a dois disjuntos, concluimos que f^(-1)(d) tem
pelo menos 3 elementos.
E acabou...Ufa!
O excesso de casos da demonstracao acima me deixou com a sensacao de que
deve existir um argumento muito mais simples, que prova o teorema em duas
linhas.
[]s,
Claudio.
=
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=
