Re: [obm-l] residuos quadráticos (ajuda!!!)
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Thiago Ferraiol <[EMAIL PROTECTED]> said: > Pessoal... > > Estou com uma dúvida para resolver congruencias do tipo x^2 = a (mod p) > onde p é primo impar > [...] > No meio de um exercicio apareceu a seguinte congruência d^2 = 56 (mod > 61)... alguém poderia me ajudar > [...] As únicas propriedades que você precisa saber para calcular um símbolo de Legendre são as seguintes: * (ab/p) = (a/p)(b/p) se (a, b) = 1; * (a^2*b/p) = (b/p); * (p/q)(q/p) = (-1)^[(p-1)(q-1)/4] se p e q são primos ímpares; * (-1/p) = (-1)^[(p-1)/2] se p é primo ímpar; * (2/p) = (-1)^[(p^2-1)/8] se p é primo ímpar; Note que 56 = 2^2*14. Então (56/61) = (14/61) = (2/61)*(7/61) = (-1)*(61/7) = (-1)*(5/7) = -(7/5) = -(2/5) = 1. Se você quiser ver demosntrações dos fatos acima, o livro do Plínio de Teoria dos Números, editado pela SBM, é uma boa referência. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAzn1BalOQFrvzGQoRAjDYAJ4uLHCrRJmVO/ycntCVvzvFWClr3QCfagRy o41Vi2y2wNjozmkHf783dZo= =QD0D -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] residuos quadráticos (ajuda!!!)
Pessoal... Estou com uma dúvida para resolver congruencias do tipo x^2 = a (mod p) onde p é primo impar Primeiro eu faço uma verificação se a é, ou não, um resíduo quadrático modulo p, ou seja, se x^2 = a (mod p) tem solução. Faço isso usando a lei da reciprocidade quadrática e o simbolo de jacobi (ou legendre)... Depois meu problema se resume em duas situações: 1) se p = 3 (mod 4) 2) se p = 1 (mod 4) No primeiro caso, é fácil achar a solução utilizando o critério de euler, que diz que se a é um quadrado modulo p, então a^((p-1)/2)=1 (mod p)... Ou seja a^((p+1)/2) = a (mod p) Fazendo algumas manipulações cheguei que x = a^((p+1)/4) é solução no caso em que p=3 (mod 4)... note que (p+1)/4 é inteiro Mas no segundo caso (p+1)/4 não é inteiro, pois p=1 (mod 4)... Logo não posso agir da mesma forma... Alguém pode me ajudar a resolver congurencias desse tipo (x^2 = a (mod p), onde p é primo tal que p=1 (mod 4))? No meio de um exercicio apareceu a seguinte congruência d^2 = 56 (mod 61)... alguém poderia me ajudar Obrigado!!!Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
Re: [obm-l] Opinão do Nicolau e do grupo !!!!!!!
Deixa ver se eu entendi: dado n, a sua formula retorna o n-esimo primo. Ou seja, dado n = 3, ela retorna 5, dado n = 8, ela retorna 19, e assim por diante. Eh isso? Se for, trata-se mesmo de uma formula ou de um algoritmo que vai buscando os primos em sequencia (tipo algum crivo)? on 14.06.04 23:34, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Meu caro Nicolau, peço sua opinião sobre meu último e-mail enviado ao grupo. > Se refere à uma fórmula q encontra qq número primo, na sequencia dos números > naturais e estuda o comportamento dos mesmos. > O e-mail está na lista. Qq dúvida, é só me mandar um e-mail. > Abraço. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Ordenação de números primos
Olá, Fabiano! Eu gostaria muito de ver essa fórmula (se for possível), pois já tentei algo semelhante e não consegui. Um grande abraço, Guilherme. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: segunda-feira, 14 de junho de 2004 23:29 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Ordenação de números primos Acho q os membros da lista não entenderam o q eu quis dizer no meu último e-mail. Tenho já uma fórmula q encontra qq número primo numa sequencia de números naturais além de ordenar, podemos prever seu comportamento. Quero saber do grupo, q relação essa forma teria com a Hipótese de Riemann??? Qndo terminar meu trabalho, colocarei a disposição dos interessados o trabalho completo. Quero ter uma opinião do grupo Abraço. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] expressao para primos
Acho que isso estah relacionado ao seguinte problema: Prove que existe um numero real "a" e uma sequência (f(n)) com a seguinte propriedade: f(0) = a; f(n+1)=2^f(n) para n >= 0; [f(m)] é primo para m >= 0, onde [x] = maior inteiro que é menor ou igual que x. Soh que, nesse caso, a sequencia de primos eh dada por: [a], [2^a], [2^2^a], [2^2^2^a], ... Talvez de pra adaptar a solucao do problema acima para resolver o seu problema. []s, Claudio. on 10.06.04 17:21, Eric at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Seja [x] a parte inteira de x > e x^y significando x elevado a y. > > A expressao > > b^(b^(b^(b^...^(b^b))...) > > com m "bes" sera denotada por > b*m. > > Prove que existe um real b > entre 5 e 5+3/4 tal que > [b*n] eh um numero primo > para todo inteiro positivo n. > > Resolvi este problema em 2002 > e gostaria de saber se ha outras > solucoes mais rapidas e elegantes. > > [ ]'s > > Eric. > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Opinão do Nicolau e do grupo !!!!!!!
Meu caro Nicolau, peço sua opinião sobre meu último e-mail enviado ao grupo. Se refere à uma fórmula q encontra qq número primo, na sequencia dos números naturais e estuda o comportamento dos mesmos. O e-mail está na lista. Qq dúvida, é só me mandar um e-mail. Abraço. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ordenação de números primos
Acho q os membros da lista não entenderam o q eu quis dizer no meu último e-mail. Tenho já uma fórmula q encontra qq número primo numa sequencia de números naturais além de ordenar, podemos prever seu comportamento. Quero saber do grupo, q relação essa forma teria com a Hipótese de Riemann??? Qndo terminar meu trabalho, colocarei a disposição dos interessados o trabalho completo. Quero ter uma opinião do grupo Abraço. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Não conseguir
Aqui vai outra solucao: a e b sao raizes da equacao: x^2 - 6x + 1 = 0 ==> equacao caracteristica da recorrencia: R(n) = 6*R(n-1) - R(n-2) R(0) = (1/2)*(a^0 + b^0) = 1 R(1) = (1/2)*(a^1 + b^1) = 3 Como queremos o ultimo algarismo de R(12345), basta olhar mod 10: R(3) == 6*3 - 1 == 17 == 7 R(4) == 6*7 - 3 == 39 == 9 R(5) == 6*9 - 7 == 47 == 7 R(6) == 6*7 - 9 == 33 == 3 R(7) == 6*3 - 7 == 11 == 1 R(8) == 6*1 - 3 == 3 Ou seja, R(7) == R(0) e R(8) == R(1) (mod 10). Logo, R(m) (mod 10) eh periodica com periodo 7. 12345 = 7*1763 + 4 == 4 (mod 7) ==> R(12345) == R(4) == 9 (mod 10) Logo, o ultimo algarismos de R(12345) eh 9. []s, Claudio. on 11.06.04 02:44, Ricardo Bittencourt at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Pedro Costa wrote: >> >> 2) Se Rn=(1/2)*(a^n+b^n) onde a = 3+2sqrt(2), b = 3 2sqrt(2) >> e n = 0,1,2,3,4.. então R12345 é um inteiro. Seu algarismo das unidades é: > > Deve ter jeito fácil de fazer isso, mas só me > veio à cabeça o jeito difícil. > > Calcule a soma infinita de potências de z: > > sum[Rn*z^n]= > sum[(1/2)*z^n*(a^n+b^n)]= > (1/2)*sum[(az)^n+(bz)^n]= > (1/2)*(1/(1-az) + 1/(1-bz))=(soma da pg infinita) > (1/2)*(1-bz+1-az)/((1-az)(1-bz))= > (1/2)*(2-(a+b)z)/((1-az)(1-bz)) > > Daí: > > 2(1-az)(1-bz)sum[Rn*z^n]=(2-(a+b)z) > 2(1-(a+b)z+abz^2)sum[Rn*z^n]=(2-(a+b)z) > > Notando que... > > a+b=3+2sqrt(2)+3-2sqrt(2)=6 > ab=(3+2sqrt(2))(3-2sqrt(2))=3^2-(2sqrt(2))^2=9-8=1 > > ...chegamos em... > > 2(1-6z+z^2)sum[Rn*z^n]=2-6z > > Abrindo a soma infinita e igualando os termos em z^n: > > 2(1-6z+z^2)(R0+R1z+R2z^2+)=2-6z > > 2R0= 2 > 2R1z + (-12)R0z = -6z > 2R2z^2 + (-12)R1z^2 + 2R0z^2 = 0 > 2R3z^2 + (-12)R2z^2 + 2R1z^2 = 0 > ... > > Daí podemos ver que: > > 2R0=2 => R0=1 > 2R1-12R0=-6 => 2R1-12=-6 => 2R1=6 => R1=3 > > e para n>=0: > > 2(Rn+2)-12(Rn+1)+2(Rn)=0 > Rn+2 = 6(Rn+1)-Rn > > Agora é só matar por congruências. Por indução > é fácil ver que todos os Rn são ímpares (base: R0 e R1 > são ímpares, passo: suponha todos os Rn menores que k > ímpares, então Rk+1=par*ímpar-ímpar=par-ímpar=ímpar), > de modo que só falta calcular mod 5. > > Mas a recorrência mod 5 fica assim: > > Rn+2=6(Rn+1)-Rn=1(Rn+1)-Rn=Rn+1-Rn > > Analisando os Rn para achar o período > (a indução pra mostrar que existe período é similar > à que usei pra mostrar que todos são ímpares): > > 1,3,2,4,2,3,1,3 e pronto o período é 6. > > Agora 12435=2057*6+3 e portanto temos que > pegar o quarto termo do período que é 4. > > Portanto R12345 mod 5 = 4, e como R1995 > é ímpar, então R12345 mod 10 = 9 (argh deu trabalho) > > > Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk > [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" > -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Não conseguir
Title: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Não conseguir Dado que o problema eh de multipla escolha e dadas as alternativas apresentadas, uma outra forma de resolver seria observar que 1991 eh primo com cada fator do denominador. Logo, se a fracao eh inteira, ela soh pode ser um multiplo de 1991. []s, Claudio. on 11.06.04 05:38, Rogério Moraes de Carvalho at [EMAIL PROTECTED] wrote: 3) O valor numérico é igual a : A) 1990 B) 1991 C) 1992 D) 1993 E) 1994 RESOLUÇÃO POSSÍVEL: 1990^2 - 1996 = (1990^2 - 4) - 1992 = (1990 + 2)(1990 - 2) - 1992 = 1992.1988 - 1992 = 1992.(1988 - 1) = 1992.1987 1990^2 + 3980 - 3 = (1990^2 + 2.1990 + 1) - 4 = (1990 + 1)^2 - 4 = (1991 + 2)(1991 - 2) = 1993.1989 Portanto, a expressão a ser calculada se reduz a: [(1992.1987)(1993.1989)(1991)]/[(1987)(1989)(1992)(1993)] Simplficando os fatores comuns do numerador e do denominador, encontramos: 1991 RESPOSTA: Alternatica B (1991) Rogério Moraes de Carvalho
[obm-l] O SONHO NÃO ACABOU!
Companheiros! Enquanto não sai a minha indicação para a medalha Fields, vamos à minha realidade com problemas retirados do raríssimo livro datado de 1925 "LIÇÕES DE ARITHMETICA" - Euclides de Medeiros Guimarães Roxo. Aliás, poucos foram os problemas propostos neste livro que consegui resolver, o que não é nenhuma novidade! Mas, quem acredita alcança! Aguardo as resoluções! Uma veia líquida cilíndrica de 0,083m de diâmetro, saindo de um vaso em que o líquido é mantido a uma altura de 17,25m acima do orifício, escoou 185 litros em 45s; mantido o líquido a 23,45m acima do orifício, quanto tempo será necessário a uma veia, de 0,1m de diâmetro, para escoar 250 litros? Resp: 35,9s Uma abelha a galgar a lona de uma tenda cônica de 40 dm de altura e 20 dm de raio de base. A que altura do solo, estará a abelha quando atingir um furo situado a 6 dm a leste do poste e 8 dm ao sul do mesmo? Resp: 60 ou 20 dm Grato pela atenção! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polígonos Construtíveis
Title: Re: [obm-l] Polígonos Construtíveis
Oi, Chico:
A demonstracao disso nao eh muito simples e pode ser encontrada em alguns livros sobre teoria de Galois.
Por exemplo: Galois Theory (autor: Ian Stewart)
[]s,
Claudio.
on 12.06.04 23:27, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Gostaria que alguém me desse uma ajuda no problema abaixo:
Definição: Um polígono diz-se construtível se todos os seus vértices são pontos construtíveis de R^2.
Se p é um número primo >=3 e um polígono regular de p lados é construtível (por régua e compasso) então existe r natural tal que
p = 2^(2^s) + 1 (número de Fermat).
Obs.: Estava tentando usar os seguintes fatos:
(i) Um polígono regular de n lados, P_n, é construtível se e, só se,
o ponto X_n = (cos(2pi/n), sen(2pi/n)) é um ponto construtível de
R^2.
(ii) E_R é uma extenção algébrica dos racionais tal que para todo c
construtível temos que o grau [Q[c]:Q] é uma potência de 2.
Obs.: E_R = {c em R; c é construtrível}; R = números reais.
Certo da ajuda de alguém, Chico (Irmão do Éder).
Re: [obm-l] Raízes cúbicas
Title: Re: [obm-l] Raízes cúbicas on 14.06.04 14:42, Fábio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, tô enrolado nesse: Ajudem-me por favor Se 1^1/3+2^1/3+3^1/3+4^1/3+...+n^1/3 = 2n então o valor de n é: a) 29 b) 33 c) 41 d) 49 e) 53 O enunciado estah dizendo que a soma de raizes cubicas dos inteiros de 1 a n eh igual a 2n? Aqui vai um outro problema: prove que, para n >= 2, a tal soma nunca eh inteira.
[obm-l] Re: [obm-l] Distância e Norma
Oi Wellington. na realidade, distancias (tambem conhecidas por metricas) nao provem mesmo de normas. Uma distancia eh uma funcao que faz de um comjunto qualquer um espaco metrico. Podemos definir uma metrica em um conjunto sem que ele seja normado, sem que tenha uma estrutura de espaco vetorial. Se A eh um conjunto naum vazio, dizemos que d eh uma distancia ou metrica definida em A se d for uma funcao de A x A em [0, inf) tal que (1) d(x,y) >=0 para todos x e y em A (2) d(x,y) = 0 se, e somente se, x=y (3) d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z) para todos x, y e z em A (desigualdade do triangulo) O par (A,d) eh entao um espaco metrico. Usualmente, diz-se apenas que A eh um espaco metrico (com relacao aa distancia d). Uma possivel metrica definida em um conjunto A eh a chamada metrica discreta, na qual d(x,y) = 1 se x<>Y e d(x,x)=0. Esta denominacao origina-se do fato que, nesta metrica, A nao possui pontos de acumulacao. Todos os subconjuntos de A sao simultaneamente abertos e fechados. Uma norma eh uma funcao definida em um espaco vetorial V, construido sobre um corpo C de escalares. n eh uma norma definida em V se n for uma funcao de V em [0, inf) que apresente as seguintes propriedades: (1)n(x) >=0 para todo x de V, com n(x) =0 sse x for o vetor nulo. (2) n(x+y) <= n(x) + n(y) (aqui, + eh a operacao de adicao conforme definida em V) (3) n(c*x) = c*n(x) para todo x de V e todo escalar c de C. (normas podem ser tambem definidas a partir de produtos escalares) A funcao de V x V em [0, inf) que leva (x,y) -> n(x-y) eh uma distamcia (metrica) em V induzida pela norma n. Mas o conceito de metrica nao se origina no conceito de norma. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: [obm-l] Distância e Norma Data: 14/06/04 17:46 Alguém pode dar um exemplo de uma distãncia que não provem de uma norma? Grato, Wellington --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.693 / Virus Database: 454 - Release Date: 5/31/2004 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.693 / Virus Database: 454 - Release Date: 5/31/2004 OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ACREDITE SE QUISER!
Turma! Aproveitando a citação do matemático inglês Sir Michael Francis Atiyah, diretor do Instituto Isaac Newton com 25 títulos de Doutor Honoris Causa e ganhador da Medalha Fields devido ao seu teorema do índice, uma ferramenta poderosa para os físicos teóricos, conclui-se que: "Existem prodígios que nunca ganharam prêmios e muitos premiados que nunca foram prodígios". Apesar de off-topic, o curioso assunto é deveras intrigante, pois ganhadores de nobel da envergadura de Modigliani e Miller, revolucionaram o mundo das finanças corporativas ao pelo menos, tentarem explicar a analogia abaixo, já que os resultados não são fáceis de compreender, devido discussão excessivamente matemática. "Pensem na empresa, como se fosse uma pizza gigantesca, dividida em quatro fatias. Se agora cortar essas fatias em oitavos, a proposição de Modigliani e Miller diz que se terá mais fatias, mas não mais pizza". Fantástico! Outro nobel, não menos brilhante, agraciado com filme de péssima qualidade foi o matemático norte-americano John Forbes Nash Jr. considerado "um gênio" por seus colegas e professores pelo seu patético "Equilíbrio de Nash" com conclusões triviais já praticadas eficientemente por meu avô Tibúrcio na sua Bodega. Outro campeão do besteirol, foi o eminente matemático A. W. Tucker ao lançar o célebre, porém, débil "Dilema do Prisioneiro" um dos problemas clásicos no qual a prossecução do interesse próprio se torna auto destruidora. Existem uma infinidade de idiotas a exemplo de Robert Solow, figura ímpar do MIT, nobel de economia pela sua inédita conclusão: "O crescimento de uma economia depende da influência do progresso tecnológico". Incrível, não! Pelo visto! Estou no caminho certo para uma possível Medalha Fields! Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Distância e Norma
Title: Re: [obm-l] Dúvida Alguém pode dar um exemplo de uma distãncia que não provem de uma norma? Grato, Wellington --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.693 / Virus Database: 454 - Release Date: 5/31/2004 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.693 / Virus Database: 454 - Release Date: 5/31/2004
[obm-l] lancamento de livro [era: integral de tg(x)]
Sauda,c~oes, Acabo de lançar (o livro sai da gráfica 4a.-feira) o "Manual de Derivadas", em co-autoria com Eduardo Morais. Detalhes sobre o livro, todo feito em LaTeX e onde este problema aparece no Apêndice B resolvido e fazendo parte da amostra, podem ser vistos no site www.escolademestres.com/qedtexte , bem como informações de toda sorte. Informo ainda que não poderei me comunicar com a lista entre 15/06 e 15/08. Solicito que mensagens particulares ou durante aquele período sejam enviadas para [EMAIL PROTECTED] Obrigado. []'s Luis -Mensagem Original- De: "Leandro Lacorte Recova" <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: sexta-feira, 11 de junho de 2004 17:29 Assunto: RE: [obm-l] integral de tg(x) > Caro Andre, > > Faca assim: > > tg(x) = sin(x)/cos(x) > > Faca, u = cos(x), entao du=-sin(x)dx > > Assim, a integral fica = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
Title: Re: [obm-l] Dúvida on 10.06.04 10:32, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote: Cláudio, estava olhando sua solução para o problema abaixo e não estou conseguindo "engolir" uma de suas afirmações: "... Mas d(g(x),g(a)) = d(f(x,y),g(a,z)) para quaisquer y e z em N. ok!!! Em particular, podemos fixar arbitrariamente b ??? pertencente a N de modo que para todo delta > 0, existe (x,b) em MxN tal que: d((x,b),(a,b)) = d(x,a) < delta ??? mas d(f(x,b),g(a,b)) >= eps_0 ???, o que implica que f eh descontinua em (a,b). ok!!! " Eu apenas usei a negacao da definicao de funcao continua. Mais precisamente, o que eu fiz foi mostrar que existe um eps_0 > 0 tal que, para cada delta > 0, podemos tomar um ponto (x,y) em MxN tal que: d((x,y),(a,b)) < delta mas d(f(x,y),f(a,b)) >= eps_0. Como, para cada delta eu preciso de apenas um ponto (x,y), eu resolvi fixar y (tomando sempre y = b). []s, Claudio. Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: on 08.06.04 15:10, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria que alguém me ajudasse com o problema abaixo: Sejam M,N e P espaços métricos. A aplicação f: MxN --> P depende apenas da primeira variável, i.e., f(x,y) = f(x,z), para quaisquer x em M e y,z em N. Defina g: M --> P pondo g(x) = f(x,y), para qualquer y em N. Mostre que g é contínua se, e só se, f é contínua. Grato desde já, Éder. Seja P1: MxN -> M dada por P1(x,y) = x (funcao primeira projecao) Entao, podemos considerar que f = g o P1 (o = composicao) P1 eh continua: dado eps > 0 e (a,b) em MxN, qualquer ponto (x,y) dentro da bola aberta de centro (a,b) e raio eps serah tal que d(P1(x,y),P1(a,b)) = d(x,a) <= d((x,y),(a,b)) < eps. Como a composta de duas funcoes continuas eh continua, temos que se g eh continua, entao f eh continua. Suponhamos agora, que g seja descontinua no ponto a de M. Isso quer dizer que, existe um eps_0 > 0, tal que, para todo delta > 0, existe x em M! tal que d(x,a) < delta mas d(g(x),g(a)) >= eps_0. Mas d(g(x),g(a)) = d(f(x,y),g(a,z)) para quaisquer y e z em N. Em particular, podemos fixar arbitrariamente b pertencente a N de modo que para todo delta > 0, existe (x,b) em MxN tal que: d((x,b),(a,b)) = d(x,a) < delta mas d(f(x,b),g(a,b)) >= eps_0, o que implica que f eh descontinua em (a,b). []s, Claudio. Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
Re: [obm-l] Olimpiada Universitaria
Title: Re: [obm-l] Olimpiada Universitaria Oi, Danilo: Mancada minha! O meu caso limite f(0) = f'(0) = f'(1) = 0 nao era caso limite coisa nenhuma. O caso limite eh quando as tangentes ao grafico de f em b e c sao verticais (e nesse caso, f nao eh de classe C^1 mas, como eu disse, eh apenas o caso limite e nao necessariamente um caso valido). De qualquer forma, a ideia mais simples que eu tive pra interpolar uma funcao crescente no intervalo [b,c] que estenda f a uma funcao de classe C^1 eh usar dois arcos de circunferencia e um segmnento de reta ou dois segmentos de reta e um arco de circunferencia. Mais precisamente, tomamos a reta Rb, passando por (b,f(b)) e com inclinacao f'(b), e a reta Rc, passando por (c,f(c)) e com inclinacao f'(c). Se Rb e Rc se intersectam num ponto com abscissa entre b e c, entao usamos dois segmentos (um pertencente a cada reta) e o arco de alguma circunferencia tangente a Ra e Rb, de modo que os pontos de tangencia tambem tenham abscissas entre b e c. Caso contrario, usamos dois arcos de circunferencia (um contendo (b,f(b)) e o outro (c,f(c)) ) e unimos esses arcos por um segmento de reta apropriado tangente a cada um deles. Se Rc intersecta a reta x = b num ponto acima de (b,f(b)) (ou seja, com ordenada superior a f(b)), entao o arco por (b,f(b)) eh convexo (representa uma funcao crescente) e o arco por (c,f(c0) eh concavo. Caso contrario, o arco por (b,f(b)) eh concavo e o arco por (c,f(c)) eh convexo. Esse eh o caso do seu contra-exemplo abaixo. []s, Claudio. on 09.06.04 15:48, Danilo notes at [EMAIL PROTECTED] wrote: "Eu provei que, se f(b) < f(c), f'(b) >= 0 e f'(c) >= 0, entao o polinomio tem automaticamente derivada positiva em todo o intervalo (b,c)." Contra - exemplo: Sejam [ b , c ] = [ 6/5 , 4 ] e p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 p( 6/5) < p( 4 ) , p´(6/5) > 0 , p' ( 4) > 0 mas p' (11/ 5 ) < 0 . Abs. Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: on 08.06.04 20:52, Danilo notes at [EMAIL PROTECTED] wrote: Acho que vc não entendeu minha pergunta Claudio, o que eu estava querendo dizer é que aquela forma que vc utilizou para fazer a extensão da f não funciona de uma forma geral. Se for sempre possivel definir uma infinidade de funcões polinomiais de grau 3, uma em cada "brecha" do dominio de f , então deve existir uma formula geral para elas concorda? Sem duvida. Em cada intervalo (b,c) do complementar do dominio de f em relacao a R (ou seja, o que eu chamei de brecha), os 4 coeficientes do polinomio interpolador serao funcoes dos valores de f(b), f'(b), f(c) e f'(c). Mas se existe, então que formula é essa? Eh soh resolver um sistema linear 4x4 para determinar os coeficientes do polinomio interpolador. Eu provei que, se f(b) < f(c), f'(b) >= 0 e f'(c) >= 0, entao o polinomio tem automaticamente derivada positiva em todo o intervalo (b,c). Ficar adivinhando um polinomio de grau 3 que pode ser definido em! cada brecha certamente não é a melhor forma de resolver esse problema. Nao se trata de adivinhar, mas sim de calcular os coeficientes. O que eu fiz foi provar que, nas condicoes do enunciado, pode-se interpolar uma funcao polinomial de grau 3 em cada uma das brechas do dominio de f (o qual eh uma uniao de intervalos dois a dois disjuntos) de forma que f seja estendida a uma funcao G de classe C1 em toda a reta. Achar a formula para os coeficientes eh meramente uma questao computacional (bem trivial, alias). Por exemplo, não seria possivel fazer a extensão da função f definida abaixo utilizando sempre aquele polinomio que vc definiu. Considere f(x) = x+1 se 0=< x =< 2 , f (x)= x+2 se 3 =< x =< 4 e f(x) = x^2 +1 se x >= 5. Por que nao? f(2) < f(3), f(4) < f(5) e f'(x) > 0 para x = 2, 3, 4 e 5. Logo, as condicoes sao obedecidas e poderemos! estender f a uma funcao de classe C^1 em [0,+infinito) interpolando funcoes polinomiais de grau 3 em [2,3] e [4,5]. Em [5,+infinito), basta estender f atraves da funcao p(x) = 10x - 24. []s, Claudio. Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
[obm-l] Raízes cúbicas
Pessoal, tô enrolado nesse: Ajudem-me por favor Se 1^1/3+2^1/3+3^1/3+4^1/3+...+n^1/3 = 2n então o valor de n é: a) 29 b) 33 c) 41 d) 49 e) 53
Re: [obm-l] Logarítimos-Para o segundo sistema(c)
Para o segundo sistema(c)
defindo:
logy=b e logx=c -->10^b=y e 10^c=x
substituindo o resultado na primeira equacao,fica:
[10^c]^b+[10^b]^c=2[10]^bc=20=2*(10) --> bc=1
Analisando a segunda equaçao log[(xy)^(1/2)]=1.
log[(xy)^(1/2)]=(1/2)*log(xy)=1-->log(xy)=2-->xy=10^2
da definicao b+c=log(xy) entao b+c=2
do novo sistema obtibo bc=1 e b+c=2 ,que é bem mais facil:),temos
b=1 e c =1
agora é só substituir b e c na definicao acima para encontrar x e y.
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Alguém poderia resolve-las para mim por favor?grato desde já( Fundamentos da matemática Elementar 2, 8ª edição Pag 108 exercício 320 b e c)dois sisteminhasb) [ X^logy +Y^logx=200 [sqrt( Logx x Logy)^y= 1024c) {X^logy+y^logx {logsqrt(xy)=1eu sei que fica mei difícil compreender, é porque o meu teclado tem poucos sinais, eu disse a fonte da onde os tirei, mas qualquer dúvida que possa surgir devido ao mau enunciado podem dizer que eu tento tirar. Abraços JuniorPs:(RESPOSTAS!!)b) s={10,100}c) s={10,10} Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Logarítimos(sistema b)
Para o primeiro sistema(b)
defindo:
logy=b e logx=c -->10^b=y e 10^c=x
substituindo o resultado na primeira equacao,fica:
[10^c]^b+[10^b]^c=2[10]^bc=200=2*(100) --> bc=2
substituindo agora na segunda equacao,que é [(logx*logy)^(y/x)]=1024=2^10 ,fica:
(c*b)^(y/x)=(2)^[10^b-c]=2^10-->b-c=1
do novo sistema obtibo bc=2 e b-c=1 ,que é bem mais facil:),temos
b=2 e c =1
agora é só substituir b e c na definicao acima para encontrar x e y.
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Alguém poderia resolve-las para mim por favor?grato desde já( Fundamentos da matemática Elementar 2, 8ª edição Pag 108 exercício 320 b e c)dois sisteminhasb) [ X^logy +Y^logx=200 [sqrt( Logx x Logy)^y= 1024c) {X^logy+y^logx {logsqrt(xy)=1eu sei que fica mei difícil compreender, é porque o meu teclado tem poucos sinais, eu disse a fonte da onde os tirei, mas qualquer dúvida que possa surgir devido ao mau enunciado podem dizer que eu tento tirar. Abraços JuniorPs:(RESPOSTAS!!)b) s={10,100}c) s={10,10} Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Hipótese de Riemann
Digamos que, se um número fosse primo qdo fosse divisível por 1 e por ele mesmo, então todos os nos, execto o zero, seriam primos... Ainda que ácrescentássemos; no primo é um inteiro que é divisível APENAS por 1 e por ele mesmo, estaríamos errados. A definição correta é então: UM número inteiro POSITIVO é primo qdo tem EXATAMENTE dois divisores positivos distintos. Assim, -3 não é primo e 1 tb não o é. ( Aqui cabe dizer que, em algumas situações é conveniente aceitar -3 e -5 como primos, mas nunca o 1 ). Essa definição é feita a bem do Teorema Fundamental da aritmética, qwue garante a unicidade da fatoração em primos ( a menos da ordem dos fatores). Se não, vejamos: 6 = (-2)(-3)=2 . 3 = 1 . 2 . 3 seriam três decomposições em primos, distintas. From: "Fabiano Sant'Ana" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Hipótese de Riemann Date: Mon, 14 Jun 2004 11:27:08 -0300 o que são primos então? Abraços Fabiano Sant'Ana (desculpa ficar insistindo no mesmo assunto, é que fiquei curioso) :) - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, June 06, 2004 12:43 PM Subject: [obm-l] Hipótese de Riemann > Saudadade do tempo em aprendi que núemro primo é aquele que se divide por 1 e por ele mesmo. > Abraço para a lista. > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Hipótese de Riemann
o que são primos então? Abraços Fabiano Sant'Ana (desculpa ficar insistindo no mesmo assunto, é que fiquei curioso) :) - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, June 06, 2004 12:43 PM Subject: [obm-l] Hipótese de Riemann > Saudadade do tempo em aprendi que núemro primo é aquele que se divide por 1 e por ele mesmo. > Abraço para a lista. > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Demonstração do teorema de Fermat
On Thu, Jun 10, 2004 at 10:03:24PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Como faço para disponibilizar o arquivo para o grupo?? > Formato: pdf > Tamanho: 864 Kb Você não tem uma home page onde possa deixar o seu arquivo? Se não tiver pode enviar para mim e eu incluo ele nos arquivos da lista. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] O Último Teorema de Fermat + Livro em Rn do Elon
"... inclusive muitos bastante recentes". Já ouvi algo a respeito. Disseram-me que ele provou algumas conjecturas que ainda estavam em aberto e também mostrou que essas provas implicariam na prova do teorema. Então é bem provável que a demonstração de Fermat (caso tenha existido), tenha sido algo menos "sofisticado". Existem estudos atrás dessa possível demostração? *** Estou interessado no livro de analise em Rn do Elon. Caso alguém esteja interessado em vender, por favor, escreva-me em particular. *** -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: Thursday, June 10, 2004 3:55 PM Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] O Último Teorema de Fermat On Thu, Jun 10, 2004 at 12:08:57AM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Pelo que sei Andrew Wiles provou este teorema, mas havia um erro e o proprio > Andrew corrigiu posteriormente. Este matematico entrou ateh para o Guiness > Book, por isso. Corrijam-me se estiver errado. Está tudo certo; o segundo artigo tem o Richard Taylor como coautor, que foi aluno do Wiles e colega meu de doutorado em Princeton. Apenas talvez seja melhor dizer não que Wiles provou, mas que Wiles *completou* a demonstração do teorema. Se você pegar o paper do Wiles e tentar ler não vai entender muita coisa (a menos que você saiba muito mais teoria dos números do que eu): o trabalho dele se baseia em um monte de trabalhos anteriores, inclusive muitos bastante recentes. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.693 / Virus Database: 454 - Release Date: 5/31/2004 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.693 / Virus Database: 454 - Release Date: 5/31/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PRESTEM ATENÇÃO NO QUE ESCREVEM
On Thu, Jun 10, 2004 at 04:48:57PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: >> Se você pegar o paper do Wiles e tentar ler não >> vai entender muita coisa (a menos que você saiba muito mais teoria dos >> números do que eu): o trabalho dele se baseia em um monte de trabalhos >> anteriores, inclusive muitos bastante recentes. > > Meu caro Nicolau, será q o nosso jovem não entenderá nada mesmo?? Vc não > acha q só pelo simples fato de participar da lista, ele não é um jovem com um > diferencial?? Nós não podemos pensar assim. Se não, onde vão parar os > gênios??? Para entender o artigo do Wiles não basta ser "um jovem com um diferencial", é preciso conhecer os pré-requisitos, que são bem consideráveis. De qualquer forma eu não estou impedindo ninguém de ler nada, só estou dando um conselho que ele ou você têm todo o direito de ignorar. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] =?Logarítimos (ops)?=
Caro amigo, fico feliz que tenha achado duas respostas para essa questão, pq, seguindo o passo a passo q me enviou, tb achei. abraços Junior Em um e-mail de 14/6/2004 10:23:58 Hora oficial do Brasil, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Em 14 Jun 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Na 1a questao eu achei que era raiz quadrada, muda um puouco mas o raciocionio era o mesmo, vc ainda quer a resoluçao ou ja conseguiu fazer? eu encontrei duas respostas para osistema da 2a questao (x,y)=(10,100) e(1/100,1/10)
Re: [obm-l] =?Logarítimos (ops)?=
Em 14 Jun 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Na 1a questao eu achei que era raiz quadrada, muda um puouco mas o raciocionio era o mesmo, vc ainda quer a resoluçao ou ja conseguiu fazer? eu encontrei duas respostas para osistema da 2a questao (x,y)=(10,100) e(1/100,1/10) >-- > > Queria agradecer ao Saulo que me ajudou na questão. Mas se alguém ainda tiver dúvida,e quiser resolver a questão e não entender o que escrevi, em anexo vai a questão certinha, sem erro, que um amigo de outro turma(Ariel) me deu. Em anexo vai a questão de log. > >Vlws Saulo > >Flws ObM > >Junior > >-- _ Quer mais velocidade? Só com o acesso Aditivado iG, a velocidade que você quer na hora que você precisa. Clique aqui: http://www.acessoaditivado.ig.com.br
[obm-l] Re:[obm-l] frações
Caro amigo, vc tem razão. Essa solução apresentada não está de acordo com o enunciado. Se vc juntar 2 moedas de 1/4 e uma moeda de 1/2, teremos exatamente 1 pau, que é uma restrição do problema. Eu coloquei essa questão pois estava atrás de uma solução mais geral. Essa solução envolve tentativas. Vc estuda aonde? responda p/ meu e-mail: [EMAIL PROTECTED] Um abraço. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Sun, 13 Jun 2004 14:43:02 -0300 Assunto: [obm-l] frações > Aí Fábio, que bom que colocou esta questão na lista, > pois tb estava com uma certa dúvida.Ela caiu no meu > simulado co colégio naval e foi-me apresentada a > seguinte solução: > > Como ela ñ pode completar exatamente um pau, juntando > as moedas que tem, logo estas serão: > > uma de meio pau :1/2 > duas de um terço de pau: 1/3 + 1/3 > três de um quarto de pau: 1/4 + 1/4 + 1/4 > quatro de um quinto de pau: 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 > > Somando-se tudo dá letra E. > Porém eu fiquei com uma dúvida nesta solução: > Como ele fala que, não pode juntar algumas delas para > formar um pau, eu entendi o delas, como se referindo a > moedas em geral, ou seja ele não pode ter mais de duas > moedas de um quarto de pau, pois poderia juntar com a > de um meio de pau, fazendo assim daria letra D. > O que acha? > > > > > __ > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > AntiPop-up UOL - É grátis! > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. > Scan engine: VirusScan / Atualizado em 09/06/2004 / Versão: 1.5.2 > Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ > Fábio Bernardo [EMAIL PROTECTED] Tel. 2676-6854
Re: Alerta de spam:Re: [obm-l] AJUDA!!!!!!!
e o ZERO? - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, June 13, 2004 7:30 PM Subject: Alerta de spam:Re: [obm-l] AJUDA!!! Em uma mensagem de 13/6/2004 18:37:53 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: )quantos números de 3 algarismos podemos fomar usando pelo menos 2 algarismo repetido a)38 b)252 c)300 d)414 e)nda Podemos ter 3 casos de numeros: 1º caso: _ r r 2º caso: r r _ 3º caso: r _ r 1º caso: Os numeros sao: _ 11 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar o zero) _ 22 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar o zero) _ 33 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar o zero) _ 44 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar o zero) _ 55 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar o zero) _ 66 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar o zero) _ 77 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar o zero) _ 88 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar o zero) _ 99 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar o zero) Sub-total = 9*9 = 81 numeros (lembrando que os numeros 111, 222, 333, ..., 999 ja foram incluidos acima) 2º caso: Os numeros sao: 1 1 _ (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 1) 2 2 _ (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 2) 3 3 _ (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 3) 4 4 _ (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 4) 5 5 _ (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 5) 6 6 _ (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 6) 7 7 _ (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 7) 8 8 _ (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 8) 9 9 _ (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 9) Sub-total = 9*9 = 81 numeros 1º caso: Os numeros sao: 1 _ 1 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 1) 2 _ 2 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 2) 3 _ 3 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 3) 4 _ 4 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 4) 5 _ 5 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 5) 6 _ 6 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 6) 7 _ 7 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 7) 8 _ 8 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 8) 9 _ 9 (9 possiveis numeros, pois devemos desconsiderar 9) Sub-total = 9*9 = 81 numeros Logo o total = 3*81 = 243 (n.d.a) Numa reunião de jovens, há 10 rapazes e 5 raparigas. então o número de grupos de 5 jovens que podem ser formados, tendo cada grupo no máximo 1 rapaz´? a)50 b)51 c)52 d)60 e)nda[ Podemos ter 2 casos: 1º caso: 0 rapaz e 5 mocas > 1 grupo 2º caso: 1 rapaz e 4 mocas > Para escolher um rapaz temos C(10,1) possibilidades e para escolher 4 mocas temos C(5,4) possibilidades, logo ha C(10,1)*C(5,4) = 50 possibilidades de se escolher 1 rapaz e 4 mocas. Total: 1º caso + 2º caso = 1 + 50 = 51 grupos
[obm-l] Logarítimos (ops)
Queria agradecer ao Saulo que me ajudou na questão. Mas se alguém ainda tiver dúvida,e quiser resolver a questão e não entender o que escrevi, em anexo vai a questão certinha, sem erro, que um amigo de outro turma(Ariel) me deu. Em anexo vai a questão de log. Vlws Saulo Flws ObM Junior <>
