Re: [obm-l] Eh um pobrema memo
On Thu, Aug 26, 2004 at 05:20:14PM -0400, Qwert Smith wrote: Senhores, a cuca esta fundindo, vejam se podem me ajudar com este: O maior valor de n, para o qual o produto 1*2*3*4*...*100, dos 100 primeiros inteiros positivos, eh divis?vel por 5^n ser?? RESP: 24 N?o consigo chegar a essa resposta e ela esta correta, jah conferi. Abra?o Ja apareceu aki na lista varias e varias vezes: seja n! = p^x * m x= [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ... onde [y] = maior inteiro meor ou igual a y Acho que talvez seja mais interessante para esta pessoa explicar este caso particular do que dar a fórmula sem demonstração. Você precisa fatorar cada um dos inteiros de 1 a 100 e contar quantas vezes aparece o fator 5. Ele aparece uma vez em cada múltiplo de 5 (5, 10, 15, ..., 100) o que nos dá 20 fatores. Os quatro múltiplos de 25 (25, 50, 75, 100), que já foram contados uma vez, têm um segundo fator 5, donde os 20+4 fatores. Não há nenhum número com 3 fatores 5 nesta faixa pois 5^3 = 125 100 e portanto todos os fatores foram contados. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Combinatoria - Sequencias Cheias
Note: forwarded message attached. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) N.F.C. (Ne Fronti Crede) Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade!---BeginMessage--- Um problema divertido: Seja n um natural dado. Dizemos que uma sequencia de n naturais (nao necessariamente distintos) e CHEIA se ela satisfaz essas propriedades: para cada k1, se k aparece entao k-1 tambem aparece; a primeira apariçao de k-1 ocorre antes da ultima apariçao de k, para k1. Calcule quantas cheias existem, em funçao de n. Enfim, divirtam-se! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) N.F.C. (Ne Fronti Crede)Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!---End Message---
Re:[obm-l] Pra lembrar os velhos tempos... Um pouco de PCP
Faz um temp~~ao que esta quest~~ao foi mandada para a lista e ninguem respondeu .Tentei fazer varias vezes , cheguei a algumas ideias para a soluç~~ao , mas nada de uma id´´eia esperta .Ser´´a que algu´´em ajuda? -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Fri, 20 Aug 2004 09:01:40 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] Pra lembrar os velhos tempos... Um pouco de PCP Ola turma!!! Parece que ha algum tempo nao vejo um problema olimpico postado na Lista. Ja que ninguem manda nada, eu mando alguns para a galera ir fazendo alguma coisa divertida... Seja n4 um inteiro. Prove que para quaisquer numeros a(i), 1=i=n, satisfazendo 1=a(1)a(2)a(3)a(4)...a(n)=2*n existem i e j, ij, tais que M.M.C.(a(i),a(j))=3n+6. Ah, ultimamente tenho pensado em um grupo de resoluçao de problemas, mais ou menos como acontecia em revistas famosas como a KöMaL ou na Crux Mathematicorum. Assim: nos resolvemos um problema de alguma revista de Matematica, em conjunto, e enviamos a soluçao como sendo da Lista OBM-L (ou outro nome que convier...). O que ces acham __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] permuta ção/combinatória
Claudio, As configurações 3 e 4 não seriam iguais?? (mudando apenas o ponto de vista)..ambas podem ser escritas como ABCABC.. []s Daniel == --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: A solucao do Fabio Henrique estah correta e a resposta eh 32. No entanto, ao tentar resolver o problema, eu encontrei a seguinte solucao: Sem fazer distincao entre marido e mulher e chamando os casais de AA, BB e CC, as configuracoes possiveis sao em numero de 5: A B C A B C A C B A C B A B B C C A A B C C B A A C B B C A Em cada uma das configuracoes acima, existem 2*2*2 = 8 permutacoes possiveis de marido e mulher. Total 5*8 = 40 maneiras de senta-los em volta da mesa nas condicoes do enunciado. Proponho o seguinte problema: Ache o erro na solucao acima. []s, Claudio. on 26.08.04 19:16, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: Daniel, Leia a solução que o amigo Fábio Henrique propôs faz algum tempo: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200308/msg00763.html []s, Rafael - Original Message - From: Daniel Silva Braz [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, August 24, 2004 10:36 AM Subject: [obm-l] permutação/combinatória Fala pessoal, De qtos modos tres casais podem sentar-se ao redor de uma mesa circular de tal forma que marido e mulher nao fiquem juntos?? []s daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] permuta ção/combinatória
Nao, elas sao diferentes. Alem disso, acabei de notar que elas nao aparecem como os hexagonos que eu tinha em mente. Assim, vou expressa-las linearmente: 1) ABACBC(A) 2) ACABCB(A) 3) ABCACB(A) 4) ABCABC(A) 5) ACBACB(A) O ultimo A (entre parenteses) representa o primeiro, ou seja, fecha-se o circulo. Repare que, na 5, existem duas sequencias ACB justapostas enquanto que na 3 existe uma ACB e uma ABC. []s, Claudio. on 27.08.04 10:44, Daniel Silva Braz at [EMAIL PROTECTED] wrote: Claudio, As configurações 3 e 4 não seriam iguais?? (mudando apenas o ponto de vista)..ambas podem ser escritas como ABCABC.. []s Daniel == --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: A solucao do Fabio Henrique estah correta e a resposta eh 32. No entanto, ao tentar resolver o problema, eu encontrei a seguinte solucao: Sem fazer distincao entre marido e mulher e chamando os casais de AA, BB e CC, as configuracoes possiveis sao em numero de 5: A B C A B C A C B A C B A B B C C A A B C C B A A C B B C A Em cada uma das configuracoes acima, existem 2*2*2 = 8 permutacoes possiveis de marido e mulher. Total 5*8 = 40 maneiras de senta-los em volta da mesa nas condicoes do enunciado. Proponho o seguinte problema: Ache o erro na solucao acima. []s, Claudio. on 26.08.04 19:16, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: Daniel, Leia a solução que o amigo Fábio Henrique propôs faz algum tempo: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200308/msg00763.html []s, Rafael - Original Message - From: Daniel Silva Braz [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, August 24, 2004 10:36 AM Subject: [obm-l] permutação/combinatória Fala pessoal, De qtos modos tres casais podem sentar-se ao redor de uma mesa circular de tal forma que marido e mulher nao fiquem juntos?? []s daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] permuta ção/combinatória
--- Daniel Silva Braz [EMAIL PROTECTED] escreveu: Claudio, As configurações 3 e 4 não seriam iguais?? (mudando apenas o ponto de vista)..ambas podem ser escritas como ABCABC.. Na verdade eu quis dizer configurações 4 e 5. aliás..pensando por esse lado..as 32 combinações não se resumiriam a essas 4 configurações?? Se não fizermos distinção entre marido e mulher e tomarmos a própria mesa como referência []s Daniel == --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: A solucao do Fabio Henrique estah correta e a resposta eh 32. No entanto, ao tentar resolver o problema, eu encontrei a seguinte solucao: Sem fazer distincao entre marido e mulher e chamando os casais de AA, BB e CC, as configuracoes possiveis sao em numero de 5: A B C A B C A C B A C B A B B C C A A B C C B A A C B B C A Em cada uma das configuracoes acima, existem 2*2*2 = 8 permutacoes possiveis de marido e mulher. Total 5*8 = 40 maneiras de senta-los em volta da mesa nas condicoes do enunciado. Proponho o seguinte problema: Ache o erro na solucao acima. []s, Claudio. on 26.08.04 19:16, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: Daniel, Leia a solução que o amigo Fábio Henrique propôs faz algum tempo: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200308/msg00763.html []s, Rafael - Original Message - From: Daniel Silva Braz [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, August 24, 2004 10:36 AM Subject: [obm-l] permutação/combinatória Fala pessoal, De qtos modos tres casais podem sentar-se ao redor de uma mesa circular de tal forma que marido e mulher nao fiquem juntos?? []s daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Eh um pobrema memo
Valeu, obrigado gente. O Wellington perguntou como eu havia conferido: um professor do Colégio Vértice (São Paulo/ZS) havia garantido a resposta pra mim. []s -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Wellington Enviada em: quinta-feira, 26 de agosto de 2004 18:18 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: RES: [obm-l] Eh um pobrema memo Prioridade: Alta Questão ainda mais intrigante: Como voce fez para conferir que está correto? -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Márcio Barbado Jr. Enviada em: Thursday, August 26, 2004 5:52 PM Para: Lista da OBM Assunto: [obm-l] Eh um pobrema memo Senhores, a cuca esta fundindo, vejam se podem me ajudar com este: O maior valor de n, para o qual o produto 1*2*3*4*...*100, dos 100 primeiros inteiros positivos, eh divisível por 5^n será? RESP: 24 Não consigo chegar a essa resposta e ela esta correta, jah conferi. Abraço #jUb4# = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.740 / Virus Database: 494 - Release Date: 8/16/2004 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.740 / Virus Database: 494 - Release Date: 8/16/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] permuta ção/combinatória
A 4 eh a imagem especular da 5. Logo, em se tratando de casais em torno de uma mesa, configuracoes sao diferentes. Por outro lado, se fossem, por exemplo, pedras preciosas num colar, seriam identicas, pois um colar pode ser virado enquanto uma mesa nao (pelo menos num jantar normal...) on 27.08.04 11:49, Daniel Silva Braz at [EMAIL PROTECTED] wrote: --- Daniel Silva Braz [EMAIL PROTECTED] escreveu: Claudio, As configurações 3 e 4 não seriam iguais?? (mudando apenas o ponto de vista)..ambas podem ser escritas como ABCABC.. Na verdade eu quis dizer configurações 4 e 5. aliás..pensando por esse lado..as 32 combinações não se resumiriam a essas 4 configurações?? Se não fizermos distinção entre marido e mulher e tomarmos a própria mesa como referência []s Daniel == --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: A solucao do Fabio Henrique estah correta e a resposta eh 32. No entanto, ao tentar resolver o problema, eu encontrei a seguinte solucao: Sem fazer distincao entre marido e mulher e chamando os casais de AA, BB e CC, as configuracoes possiveis sao em numero de 5: A B C A B C A C B A C B A B B C C A A B C C B A A C B B C A Em cada uma das configuracoes acima, existem 2*2*2 = 8 permutacoes possiveis de marido e mulher. Total 5*8 = 40 maneiras de senta-los em volta da mesa nas condicoes do enunciado. Proponho o seguinte problema: Ache o erro na solucao acima. []s, Claudio. on 26.08.04 19:16, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: Daniel, Leia a solução que o amigo Fábio Henrique propôs faz algum tempo: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200308/msg00763.html []s, Rafael - Original Message - From: Daniel Silva Braz [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, August 24, 2004 10:36 AM Subject: [obm-l] permutação/combinatória Fala pessoal, De qtos modos tres casais podem sentar-se ao redor de uma mesa circular de tal forma que marido e mulher nao fiquem juntos?? []s daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Pra lembrar os velhos tempos... Um pouco de PCP
eu entendi errado ou falta alguma coisa no enunciado? se n = 5 a(1) = 6 a(2) = 10 a(3) = 11 a(4) = 13 a(5) = 15 temos que: mmc(6, 10) = 30 mmc(6, 11) = 66 mmc(6, 13) = 78 mmc(6, 15) = 30 mmc(10, 11) = 110 mmc(10, 13) = 130 mmc(10, 15) = 30 mmc(11, 13) = 143 mmc(11, 15) = 165 mmc(13, 15) = 195 são todos maiores que 3n+6 = 21 :o []'s, Helder Suzuki --- Luiz H. Barbosa [EMAIL PROTECTED] escreveu: Faz um temp~~ao que esta quest~~ao foi mandada para a lista e ninguem respondeu .Tentei fazer varias vezes , cheguei a algumas ideias para a soluç~~ao , mas nada de uma id´´eia esperta .Ser´´a que algu´´em ajuda? -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Fri, 20 Aug 2004 09:01:40 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] Pra lembrar os velhos tempos... Um pouco de PCP Ola turma!!! Parece que ha algum tempo nao vejo um problema olimpico postado na Lista. Ja que ninguem manda nada, eu mando alguns para a galera ir fazendo alguma coisa divertida... Seja n4 um inteiro. Prove que para quaisquer numeros a(i), 1=i=n, satisfazendo 1=a(1)a(2)a(3)a(4)...a(n)=2*n existem i e j, ij, tais que M.M.C.(a(i),a(j))=3n+6. Ah, ultimamente tenho pensado em um grupo de resoluçao de problemas, mais ou menos como acontecia em revistas famosas como a KöMaL ou na Crux Mathematicorum. Assim: nos resolvemos um problema de alguma revista de Matematica, em conjunto, e enviamos a soluçao como sendo da Lista OBM-L (ou outro nome que convier...). O que ces acham ___ Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Pra lembrar os velhos tempos... Um pouco de PCP
Puts, ignorem meu e-mail anterior hehe o a(n) = 2*n eu li como se fosse a(n) = 2^n []'s, Helder ___ Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Pra lembrar os velhos tempos... Um pouco de PCP
E ae Helder!!! Tudo muito louco em Sao Paulo? So tem esse problema aqui... Seja n4 um inteiro. Prove que para quaisquernumerosa(i), 1=i=n, satisfazendo 1=a(1)a(2)a(3)a(4)...a(n)=2*n existem i e j, ij, tais que M.M.C.(a(i),a(j))=3n+6. E a(5)=15, que e maior que 2*5=10. Helder Suzuki [EMAIL PROTECTED] wrote: eu entendi errado ou falta alguma coisa no enunciado?se n = 5a(1) = 6a(2) = 10a(3) = 11a(4) = 13a(5) = 15temos que:mmc(6, 10) = 30mmc(6, 11) = 66mmc(6, 13) = 78mmc(6, 15) = 30mmc(10, 11) = 110mmc(10, 13) = 130mmc(10, 15) = 30mmc(11, 13) = 143mmc(11, 15) = 165mmc(13, 15) = 195são todos maiores que 3n+6 = 21 :o[]'s,Helder Suzuki--- "Luiz H. Barbosa" <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: Faz um temp~~ao que esta quest~~ao foi mandada para a lista e ninguem respondeu .Tentei fazer varias vezes , cheguei a algumas ideias para a soluç~~ao , mas nada de uma id´´eia esperta .Ser´´a que algu´´em ajuda? -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] P! ara: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Fri, 20 Aug 2004 09:01:40 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] Pra lembrar os velhos tempos... Um pouco de PCP Ola turma!!! Parece que ha algum tempo nao vejo um problema olimpico postado na Lista. Ja que ninguem manda nada, eu mando alguns para a galera ir fazendo alguma coisa divertida...Seja n4 um inteiro. Prove que para quaisquer numeros a(i), 1=i=n, satisfazendo 1=a(1)
[obm-l] Demonstração (Logaritmo)
Se alguém puder me ajudar com esse problema, sou grato desde já. Eis a questão: Se as raízes a e b da equação x^2 - px + b^n = 0 são reais e positivas, demonstrar que: logb (a^a) + logb (a^c) + logb (c^a) + logc (b^b) = n . p Grato, Erickson Oliveira. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Combinatoria - Sequencias Cheias
Seja n um natural dado. Dizemos que uma sequencia de n naturais (nao necessariamente distintos) e CHEIA se ela satisfaz essas propriedades: para cada k1, se k aparece entao k-1 tambem aparece; a primeira apariçao de k-1 ocorre antes da ultima apariçao de k, para k1. Calcule quantas cheias existem, em funçao de n. São 2^(n-1) cheias. De fato, repare que o 1 deverá ser o último elemento de toda seqüência. Ainda, números seguidos na seqüência ou são iguais ou então o primeiro é sucessor do segundo, logo o maior número em cada seqüência só poderá ser mesmo o n. Ilustro o caso n=4: 1, 1, 1, 1 2, 1, 1, 1 2, 2, 1, 1 2, 2, 2, 1 3, 2, 1, 1 3, 2, 2, 1 3, 3, 2, 1 4, 3, 2, 1 São 2^3 cheias, e vale a afirmação. Suponha que valha para n = x -- S_x = 2^ (x-1). Repare que quando n = x+1, as cheias podem ser construídas a partir das cheias anteriores colocando-se à sua frente, como termo inicial, um termo igual ou sucessor do antigo termo. Quero dizer: se 1,1 é uma seqüência de n=2, então 1, 1, 1 e 2, 1, 1 serão seqüências quando n = 3. Repare que este método esgotará todas as seqüências possíveis sem repetições, e, para cada uma das seqüências de n = x, produziremos duas seqüências em n = x + 1, logo se S_x = 2^(x-1) então S_(x+1) = 2*S_x = 2^x, e acabamos. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Combinatoria - Sequencias Cheias
Ops, eu mudei um pouquinho o problema... A segunda condição do enunciado diz que a primeira aparição de k-1 ocorre ANTES da última aparição de k, mas eu considerei que ela ocorre DEPOIS. Bem, isso não muda o grosso do raciocínio nem muito menos altera o resultado... Foi mal pelo deslize! []s, Daniel [EMAIL PROTECTED] escreveu: Seja n um natural dado. Dizemos que uma sequencia de n naturais (nao necessariamente distintos) e CHEIA se ela satisfaz essas propriedades: para cada k1, se k aparece entao k-1 tambem aparece; a primeira apariçao de k-1 ocorre antes da ultima apariçao de k, para k1. Calcule quantas cheias existem, em funçao de n. São 2^(n-1) cheias. De fato, repare que o 1 deverá ser o último elemento de toda seqüência. Ainda, números seguidos na seqüência ou são iguais ou então o primeiro é sucessor do segundo, logo o maior número em cada seqüência só poderá ser mesmo o n. Ilustro o caso n=4: 1, 1, 1, 1 2, 1, 1, 1 2, 2, 1, 1 2, 2, 2, 1 3, 2, 1, 1 3, 2, 2, 1 3, 3, 2, 1 4, 3, 2, 1 São 2^3 cheias, e vale a afirmação. Suponha que valha para n = x -- S_x = 2^ (x-1). Repare que quando n = x+1, as cheias podem ser construídas a partir das cheias anteriores colocando-se à sua frente, como termo inicial, um termo igual ou sucessor do antigo termo. Quero dizer: se 1,1 é uma seqüência de n=2, então 1, 1, 1 e 2, 1, 1 serão seqüências quando n = 3. Repare que este método esgotará todas as seqüências possíveis sem repetições, e, para cada uma das seqüências de n = x, produziremos duas seqüências em n = x + 1, logo se S_x = 2^(x-1) então S_(x+1) = 2*S_x = 2^x, e acabamos. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Combinatória - Polinômio completo
Motivado pelo problema do Johann (e que sem dúvida era mais legal!), deixo este aqui para a lista: Um polinômio completo de k variáveis e grau n é a soma de monômios da forma r*[(x_1)^(a_1)]*[(x_2)^(a_2)]*...*[(x_k)^(a_k)], onde 0=(a_i)=n e r é o coeficiente do monômio. Por exemplo, para n=2 e k=2, temos P = a*x^2 + b*xy + c*y^2 + d*x + e*y + f, e são 6 coeficientes. Determinar quantos coeficientes tem um polinômio completo de grau n e k variáveis. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Auto-valores de grafos
Agora parece ok! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Combinatoria - Sequencias Cheias
Mesmo assim tem um erro no seu raciocinio. 2212 e cheia.[EMAIL PROTECTED] wrote: Ops, eu "mudei" um pouquinho o problema... A segunda condição do enunciadodiz que "a primeira aparição de k-1 ocorre ANTES da última aparição de k",mas eu considerei que ela ocorre DEPOIS. Bem, isso não muda o grosso doraciocínio nem muito menos altera o resultado... Foi mal pelo deslize![]s,Daniel[EMAIL PROTECTED] escreveu:Seja n um natural dado.Dizemos que uma sequencia de n naturais (nao necessariamente distintos) eCHEIA se ela satisfaz essas propriedades:para cada k1, se k aparece entao k-1 tambem aparece;a primeira apariçao de k-1 ocorre antes da ultima apariçao de k, para k1.Calcule quantas cheias existem, em funçao de n.São 2^(n-1) cheias.De fato, repare que o 1 deverá ser o último e! lemento de toda seqüência.Ainda, números seguidos na seqüência ou são iguais ou então o primeiro ésucessor do segundo, logo o maior número em cada seqüência só poderá sermesmo o n. Ilustro o caso n=4:1, 1, 1, 12, 1, 1, 12, 2, 1, 12, 2, 2, 13, 2, 1, 13, 2, 2, 13, 3, 2, 14, 3, 2, 1São 2^3 cheias, e vale a afirmação. Suponha que valha para n = x -- S_x =2^(x-1). Repare que quando n = x+1, as cheias podem ser construídas a partirdas cheias anteriores colocando-se à sua frente, como termo inicial, umtermo igual ou sucessor do antigo termo. Quero dizer: se 1,1 é uma seqüênciade n=2, então 1, 1, 1 e 2, 1, 1 serão seqüências quando n = 3. Repare queeste método esgotará todas as seqüências possíveis sem repetições, e, paracada uma das seqüências de n = x, produziremos duas seqüências em n = x + 1,logo se S_x = 2^(x-1)! então S_(x+1) = 2*S_x = 2^x, e acabamos.[]s,Daniel=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade!
Re: [obm-l] Combinatoria - Sequencias Cheias
Mesmo assim tem um erro no seu raciocinio. 2212 e cheia.[EMAIL PROTECTED] wrote: Ops, eu "mudei" um pouquinho o problema... A segunda condição do enunciadodiz que "a primeira aparição de k-1 ocorre ANTES da última aparição de k",mas eu considerei que ela ocorre DEPOIS. Bem, isso não muda o grosso doraciocínio nem muito menos altera o resultado... Foi mal pelo deslize![]s,Daniel[EMAIL PROTECTED] escreveu:Seja n um natural dado.Dizemos que uma sequencia de n naturais (nao necessariamente distintos) eCHEIA se ela satisfaz essas propriedades:para cada k1, se k aparece entao k-1 tambem aparece;a primeira apariçao de k-1 ocorre antes da ultima apariçao de k, para k1.Calcule quantas cheias existem, em funçao de n.São 2^(n-1) cheias.De fato, repare que o 1 deverá ser o último e! lemento de toda seqüência.Ainda, números seguidos na seqüência ou são iguais ou então o primeiro ésucessor do segundo, logo o maior número em cada seqüência só poderá sermesmo o n. Ilustro o caso n=4:1, 1, 1, 12, 1, 1, 12, 2, 1, 12, 2, 2, 13, 2, 1, 13, 2, 2, 13, 3, 2, 14, 3, 2, 1São 2^3 cheias, e vale a afirmação. Suponha que valha para n = x -- S_x =2^(x-1). Repare que quando n = x+1, as cheias podem ser construídas a partirdas cheias anteriores colocando-se à sua frente, como termo inicial, umtermo igual ou sucessor do antigo termo. Quero dizer: se 1,1 é uma seqüênciade n=2, então 1, 1, 1 e 2, 1, 1 serão seqüências quando n = 3. Repare queeste método esgotará todas as seqüências possíveis sem repetições, e, paracada uma das seqüências de n = x, produziremos duas seqüências em n = x + 1,logo se S_x = 2^(x-1)! então S_(x+1) = 2*S_x = 2^x, e acabamos.[]s,Daniel=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade!
Re: [obm-l] Combinatoria - Sequencias Cheias
Realmente, eu a princípio achava que ter usado o DEPOIS em lugar do ANTES não faria grande diferença, mas de fato faz... Então eu mudei bastante o seu enunciado, que é mais difícil que o meu. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Mesmo assim tem um erro no seu raciocinio. 2212 e cheia. [EMAIL PROTECTED] wrote:Ops, eu mudei um pouquinho o problema... A segunda condição do enunciado diz que a primeira aparição de k-1 ocorre ANTES da última aparição de k, mas eu considerei que ela ocorre DEPOIS. Bem, isso não muda o grosso do raciocínio nem muito menos altera o resultado... Foi mal pelo deslize! []s, Daniel [EMAIL PROTECTED] escreveu: Seja n um natural dado. Dizemos que uma sequencia de n naturais (nao necessariamente distintos) e CHEIA se ela satisfaz essas propriedades: para cada k1, se k aparece entao k-1 tambem aparece; a primeira apariçao de k-1 ocorre antes da ultima apariçao de k, para k1. Calcule quantas cheias existem, em funçao de n. São 2^(n-1) cheias. De fato, repare que o 1 deverá ser o último elemento de toda seqüência. Ainda, números seguidos na seqüência ou são iguais ou então o primeiro é sucessor do segundo, logo o maior número em cada seqüência só poderá ser mesmo o n. Ilustro o caso n=4: 1, 1, 1, 1 2, 1, 1, 1 2, 2, 1, 1 2, 2, 2, 1 3, 2, 1, 1 3, 2, 2, 1 3, 3, 2, 1 4, 3, 2, 1 São 2^3 cheias, e vale a afirmação. Suponha que valha para n = x -- S_x = 2^ (x-1). Repare que quando n = x+1, as cheias podem ser construídas a partir das cheias anteriores colocando-se à sua frente, como termo inicial, um termo igual ou sucessor do antigo termo. Quero dizer: se 1,1 é uma seqüência de n=2, então 1, 1, 1 e 2, 1, 1 serão seqüências quando n = 3. Repare que este método esgotará todas as seqüências possíveis sem repetições, e, para cada uma das seqüências de n = x, produziremos duas seqüências em n = x + 1, logo se S_x = 2^(x-1) então S_(x+1) = 2*S_x = 2^x, e acabamos. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] escola naval
Ola Pessoal tudo bem? Estou com problema nessa questão da Escola Naval Alguém pode me ajudar? Obrigado 1 - Uma livraria vai dor 15 livros iguais a 4 bibliotecas. Cada biblioteca deve receber ao menos dois livros . O número de modos que esses livros podem ser repartidos nessa doação , é igual a (A) 1365 (B) 840 (C) 240 (D) 120 (E) 35
[obm-l] Erros da Eureka
Ol pessoal,
Comecei a estudar as revistas "Eureka" h pouco tempo e estou encontrando erros.
Na revista n 01 vi erros na soluo da 1 questo da III Olimpada de Maio (nvel 1) e na soluo da 5 questo da III Olimpada de Maio (nvel 2). Neste ltima, escreve-se v + x = y u, em que deveria ser v x = y u.
Deixando de lado este erro, tive uma dvida em relao soluo desta ltima questo cujo enunciado :
" Quais so as possveis reas de um hexgono com todos os ngulos
iguais e cujos lados medem 1,2,3,4,5 e 6 em alguma ordem ?"
SOLUO:
Sejam x, y, z, u, v, w os lados consecutivos do hexgono. Prolongamos os lados y, u e w e obtemos um tringulo equiltero (Por qu ?). A rea igual rea deste tringulo equiltero menos as reas de trs tringulos equilteros de lados x, z e v.
rea do hexgono: {[sqrt(3)/4]*[(x+y+z)^2 - x^2 - v^2 - z^2]} (Como chegou neste valor para a rea ?)
Ps: O restante da soluo eu entendi.
