Re: [obm-l] Desigualdade das Médias
Bom, eu acho em particular que você nunca vai precisar demostrar a desigualdade das médias numa prova de olimpíada. Quanto ao caso de vestibulares, talvez seja bom você citar o teorema com algo do tipo Sabemos que MH = MG = MA. Elas são as médias Harmônica, Geométrica e Aritmética, respectivamente, definidas por MA(X_i) = (X_1 + X_2 + ... + X_n) / n MG(X_i) = (X_1 * X_2 * ... * X_n)^(1/n) MH(X_i) = 1 / MA(1/X_i) (inverso da média aritmética dos inversos) Eu gosto em particular da demonstração por convexidade da função exponencial (ou o análogo para função log, é idêntico). Ela prova o caso geral instantâneamente, mas pode ser muito força bruta. Em qualquer caso, os mais simples são até rápidos para provar, como os casos n=2, 3 ou 4, onde (por segurança) é melhor demonstrar apenas o caso particular. Abraços, Bernardo Costa On Sun, 3 Oct 2004 16:47:47 -0300, Bernardo [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, Gostaria de saber qual demonstração da desigualdade das médias é a mais cabível dentro de uma prova, seja de Olimpíada seja de vestibulares mais pesados como o IME ou o ITA. Obrigado Bernardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sutileza, o retorno
On Sat, Oct 02, 2004 at 02:18:43AM -0300, Osvaldo Mello Sponquiado wrote: Falando em absurdos matemáticos, eu conheço um site muito bom que tem alguns destes absurdos. Vou colocar uma aqui : Seja S a soma dos termos infinitos de uma PG de números estritamente positivos com razão 2 e a_1=1. S = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...) = a partir do a2, todos os termos são múltiplos de 2. Se colocarmos o 2 em evidência, teremos: S = 1 + 2 . ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... ) = como S = ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... ), temos: S = 1 + 2.S S - 2.S = 1 S = - 1 Pergunta: por que o argumento é inválido ? Se é que *é* inválida. É claro que a série 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... diverge no sentido usual. Em algumas áreas existe muito interesse, entretanto, em definições mais amplas de soma de uma série. Uma tal definição é via prolongamento analítico, que dá exatamente a resposta que você obteve e o seu argumento é quase uma demonstração. Transforme a sua série em uma série de potências: f(x) = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + ... = 1/(1-2x) para |x| 1/2. Infelizmente, a série não converge em x = 1; podemos fazer o prolongamento analítico e teremos um único polo em x = 1/2. O valor de f(1) é de fato -1. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 0.999999... = 1 (era: BONS LIVROS DE ESTATÍSTICA!)
On Sat, Oct 02, 2004 at 02:20:55AM -0300, Osvaldo Mello Sponquiado wrote: Afinal! 0,99... é um número: a) natural b)inteiro, não natural c)racional, não inteiro d) real não racional A resposta certa é (a) pois 0.99... = 1. Já foi muito discutido nesta lista exatamente pq 0.99... = 1 convercer os indecisos, pq existem tantos indecisos, quais argumentos são mais convincentes para cada tipo de pessoa e que sistemas alternativos podem existir onde 0.99... seja definido como algo diferente de 1. Se você desejar ler as mensagens antigas sobre este tema, use um dos engenhos de busca em http://www.puc-rio.br ou http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/ (pode começar procurando por 99). Você também pode começar aqui http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200310/msg00348.html e seguir os links. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
On Sun, Oct 03, 2004 at 03:45:15PM -0300, Ivan Miranda wrote:
Gostaria de saber por que 0! = 1.
Já deram várias outras respostas, mas acho que pularam uma bem óbvia.
Uma das principais motivações para definirmos n! é como o número
de permutações de um conjunto com n elementos. Por exemplo, 3! = 6 pois
temos as 6 permutações de A = {1,2,3} pertencentes a S, como abaixo:
S = { {(1,1),(2,2),(3,3)}, {(1,1),(2,3),(3,2)}, {(1,2),(2,1),(3,3)},
{(1,2),(2,3),(3,1)}, {(1,3),(2,1),(3,2)}, {(1,3),(2,2),(3,1)} },
onde identificamos uma permutação com um subconjunto P de AxA
(ou seja, P é um conjunto de pares ordenados) tal que para cada
elemento a de A existe um único elemento a' de A
tal que (a,a') pertence a P.
Fazendo A = {1,2} temos S = {{(1,1),(2,2)},{(1,2),(2,1)}}, donde 2! = 2.
Fazendo A = {1} temos S = {{(1,1)}}, donde 1! = 1.
Fazendo A = {} temos S = {{}}, donde 0! = 1:
o conjunto vazio admite uma única permutação,
que na nossa notação é também o conjunto vazio.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Títulos das Mensagens
Oi, pessoal:
Seria muito bom se todos nós fizéssemos um esforço para dar títulos relevantes às mensagens que enviamos para a lista.
Por exemplo, no caso abaixo, o mais óbvio seria "0! = 1" ou, pelo menos, "Fatorial".
Títulos tais como "Dúvida", "Questão", "Ajuda!", "Probleminha Difícil"e outros do gênero dificultam a vida de quem se interessa por tópicos específicos ou quem quer pesquisar algum tema nos arquivos da lista.
Um abraço a todos,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Mon, 4 Oct 2004 09:37:37 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Dúvida
On Sun, Oct 03, 2004 at 03:45:15PM -0300, Ivan Miranda wrote:
Gostaria de saber por que 0! = 1.
Já deram várias outras respostas, mas acho que pularam uma bem óbvia.
Uma das principais motivações para definirmos n! é como o número
de permutações de um conjunto com n elementos. Por exemplo, 3! = 6 pois
temos as 6 permutações de A = {1,2,3} pertencentes a S, como abaixo:
S = { {(1,1),(2,2),(3,3)}, {(1,1),(2,3),(3,2)}, {(1,2),(2,1),(3,3)},
{(1,2),(2,3),(3,1)}, {(1,3),(2,1),(3,2)}, {(1,3),(2,2),(3,1)} },
onde identificamos uma permutação com um subconjunto P de AxA
(ou seja, P é um conjunto de pares ordenados) tal que para cada
elemento a de A existe um único elemento a' de A
tal que (a,a') pertence a P.
Fazendo A = {1,2} temos S = {{(1,1),(2,2)},{(1,2),(2,1)}}, donde 2! = 2.
Fazendo A = {1} temos S = {{(1,1)}}, donde 1! = 1.
Fazendo A = {} temos S = {{}}, donde 0! = 1:
o conjunto vazio admite uma única permutação,
que na nossa notação é também o conjunto vazio.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Programacao em C
Senhores, boa tarde Alguem poderia por favor me indicar uma boa lista de discussao de linguagem C. Pode ser um site com bons foruns tambem. Se for em ingles nao tem problema. Obrigado, abracos Marcio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Títulos das Mensagens
Concordo ! Inclusive este assunto sobre o 0! já tinha aparecido na lista, mas devido aos "threads" generalistas como os que citou fica difícil encontrar as mensagens. Em uma mensagem de 4/10/2004 11:55:19 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, pessoal: Seria muito bom se todos nós fizéssemos um esforço para dar títulos relevantes às mensagens que enviamos para a lista. Por exemplo, no caso abaixo, o mais óbvio seria "0! = 1" ou, pelo menos, "Fatorial". Títulos tais como "Dúvida", "Questão", "Ajuda!", "Probleminha Difícil" e outros do gênero dificultam a vida de quem se interessa por tópicos específicos ou quem quer pesquisar algum tema nos arquivos da lista. Um abraço a todos, Claudio.
Re: [obm-l] Desigualdade das Médias
Em Olimpiadas isso e um fato conhecido. Ja em vestibulares, eu nao sei. Mas e bom, no caso, usar aquela indutiva, do artigo na Eureka! 5. --- Bernardo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, Gostaria de saber qual demonstração da desigualdade das médias é a mais cabível dentro de uma prova, seja de Olimpíada seja de vestibulares mais pesados como o IME ou o ITA. Obrigado Bernardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Funcao descontinua em um intervalo
Hah alguns dias eu mandei uma mensagem para a lista, perguntando se poderia existir uma funcao f, definida em um intervalo aberto de R, que apresentasse limite em todos os pontos de I mas fosse decontinua em todo o I. Eu acabei achando algum material sobre isso. A resposta eh nao. Se esta condicao ocorrer para algum intervalo I, qualquer intervalo, entao o conjunto das descontinuidades de f em I eh enumeravel e nao pode, portanto, se igualar a I. Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ITA.....
Bom dia meu nome é Lucas, e eu gostaria de saber quais as recomendações para quem quer infrentar um vestibular de alto nivel como o do ITA, se possivel gostaria também de algumas referencias, tanto na área da matemática quanto das outras matérias. Atenciosamente: Lucas F. B. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] ITA.....
Primeiro, portugues: ENFRENTAR e nao INFRENTAR ! Uma boa ideia, seria voce refazer todas as provas antigas e manter a mentalidade de ir pra prova pra acertar o maximo, ou mesmo, gabaritar. Existem diversas referencias boas como os livros do Morgado, Iezzi, etc. Regards, Leandro -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Lucas Lucas Sent: Monday, October 04, 2004 12:48 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ITA. Bom dia meu nome é Lucas, e eu gostaria de saber quais as recomendações para quem quer infrentar um vestibular de alto nivel como o do ITA, se possivel gostaria também de algumas referencias, tanto na área da matemática quanto das outras matérias. Atenciosamente: Lucas F. B. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] funçao continua
Notaçoes:
= menor ou igual
Seja F uma funçao continua no quadrado:
Q = {(x,y) pert. a R^2 tal que |x| = 1 e |y| = 1
Sendo A:= max{ min F(x,y)} e
|x| = 1|y| = 1
B:= min { max F(x,y)}
|y| = 1 |x| = 1
Prove que A = B.
Desde jah agradeço
__
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Aritmética
Note: Os divisores de 10 são: 1, 2, 5, 10 . Note que 1.10=2.5 Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Note que 1.12=2.6=3.4 Os divisores de9 são: 1, 3, 9. Note que 3=sqrt(1.9) ok! isso é uma P.G. Já testei vários núeros e sempre acontece isso. Gostaria de demonstrar mas não estou conseguindo. Desde já agradeço.
[obm-l] Re:[obm-l] Aritmética
Não ficou muito claro o que você quer demonstrar, mas uma observação que talvez seja relevante é a seguinte: se d divide n então n/d também divide n e, além disso, d*(n/d) = n. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Mon, 4 Oct 2004 20:31:06 -0300 Assunto: [obm-l] Aritmética Note: Os divisores de 10 são: 1, 2, 5, 10 . Note que 1.10=2.5 Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Note que 1.12=2.6=3.4 Os divisores de9 são: 1, 3, 9. Note que 3=sqrt(1.9) ok! isso é uma P.G. Já testei vários núeros e sempre acontece isso. Gostaria de demonstrar mas não estou conseguindo. Desde já agradeço.
[obm-l] PROBABILIDADE!
Oi, Pessoal! Que tal uma versão simplificada de um belo problema proposto na Eureka! Numa loteria cada bilhete tem um número de três algarismos que usa somente os algarismos 1, 2 e 3 (é permitido repetir os dígitos). Um bilhete é ganhador se coincide em pelo menos duas posições com o número sorteado. Qual é a probabilidade de que um apostador, que comprou um único bilhete, ganhe o prêmio? Você decide comprar 3 bilhetes. Que bilhetes você escolheria de modo a maximizar sua probabilidade de ganhar o prêmio? Qual é o número mínimo de bilhetes que você precisa comprar para ter certeza que você ganhará o prêmio? A propósito, um indivíduo que ouviu dizer que era de um para um milhão a probabilidade de ter sido colocada uma bomba em um avião, concluiu que seria de apenas um em um bilhão a probabilidade de haver duas bombas no avião. Em vista disso, ele levava sempre uma bomba com ele. Estava certo ou errado? Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Agradecimento
Eu agradeço a todos aqueles que responderam a minha questão. []'s Ivan. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] Geometria Plana
To com grande problemas nos seguintes exercicios: (CÍRCULO DOS 9 PONTOS) Dado um triângulo ABC, mostre que os pés das 3 alturas, os pontos médios dos lados e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro a cada um dos vértices pertencem a um mesmo círculo. O circuncentro, o baricentro, o ortocentro e o centro do círculo dos 9 pontos de um triângulo são sempre colineares. Eu tentei por geometria analitica mas nao ficou viavel... _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
Ja deram varias outras respostas, mas essa pra mim é a melhor justificativa.
Na expressao 7! = 7*6*5*4*3*2*1 observa-se que
7! = 7*(6!)
Raciocinando de maneira analoga, podemos escrever para qualquer n,
natural =3 :
n! = n(n-1)!
Assim, pode-se estender o conceito de fatorial de n para n = 1 e n = 0.
Em cada extensao deve-se conservar a propriedade n! = n(n-1)!, para n =2
e , depois, para n = 1;
2! = 2*(1!), ou seja
2*1 = 2* 1!
Para que esta sentenca seja verdadeira, deve-se definir 1! = 1
Voltando a relacao n! = n(n-1)! e fazendo n = 1 tem-se
1! = 1*0!
1 = 1*0!
Para que essa sentenca seja verdadeira, deve-se definir
0! = 1
Nicolau C. Saldanha wrote:
On Sun, Oct 03, 2004 at 03:45:15PM -0300, Ivan Miranda wrote:
Gostaria de saber por que 0! = 1.
Já deram várias outras respostas, mas acho que pularam uma bem óbvia.
Uma das principais motivações para definirmos n! é como o número
de permutações de um conjunto com n elementos. Por exemplo, 3! = 6 pois
temos as 6 permutações de A = {1,2,3} pertencentes a S, como abaixo:
S = { {(1,1),(2,2),(3,3)}, {(1,1),(2,3),(3,2)}, {(1,2),(2,1),(3,3)},
{(1,2),(2,3),(3,1)}, {(1,3),(2,1),(3,2)}, {(1,3),(2,2),(3,1)} },
onde identificamos uma permutação com um subconjunto P de AxA
(ou seja, P é um conjunto de pares ordenados) tal que para cada
elemento a de A existe um único elemento a' de A
tal que (a,a') pertence a P.
Fazendo A = {1,2} temos S = {{(1,1),(2,2)},{(1,2),(2,1)}}, donde 2! = 2.
Fazendo A = {1} temos S = {{(1,1)}}, donde 1! = 1.
Fazendo A = {} temos S = {{}}, donde 0! = 1:
o conjunto vazio admite uma única permutação,
que na nossa notação é também o conjunto vazio.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Títulos das Mensagens
Eu também concordo, porém não sabia disso... Vou tentar sempre colocar títulos que tenham mais a ver com a mensagem. Desculpem-me.
[]'s Ivan."claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi, pessoal:
Seria muito bom se todos nós fizéssemos um esforço para dar títulos relevantes às mensagens que enviamos para a lista.
Por exemplo, no caso abaixo, o mais óbvio seria "0! = 1" ou, pelo menos, "Fatorial".
Títulos tais como "Dúvida", "Questão", "Ajuda!", "Probleminha Difícil"e outros do gênero dificultam a vida de quem se interessa por tópicos específicos ou quem quer pesquisar algum tema nos arquivos da lista.
Um abraço a todos,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Mon, 4 Oct 2004 09:37:37 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Dúvida
On Sun, Oct 03, 2004 at 03:45:15PM -0300, Ivan Miranda wrote:
Gostaria de saber por que 0! = 1.
Já deram várias outras respostas, mas acho que pularam uma bem óbvia.
Uma das principais motivações para definirmos n! é como o número
de permutações de um conjunto com n elementos. Por exemplo, 3! = 6 pois
temos as 6 permutações de A = {1,2,3} pertencentes a S, como abaixo:
S = { {(1,1),(2,2),(3,3)}, {(1,1),(2,3),(3,2)}, {(1,2),(2,1),(3,3)},
{(1,2),(2,3),(3,1)}, {(1,3),(2,1),(3,2)}, {(1,3),(2,2),(3,1)} },
onde identificamos uma permutação com um subconjunto P de AxA
(ou seja, P é um conjunto de pares ordenados) tal que para cada
elemento a de A existe um único elemento a' de A
tal que (a,a') pertence a P.
Fazendo A = {1,2} temos S = {{(1,1),(2,2)},{(1,2),(2,1)}}, donde 2! = 2.
Fazendo A = {1} temos S = {{(1,1)}}, donde 1! = 1.
Fazendo A = {} temos S = {{}}, donde 0! = 1:
o conjunto vazio admite uma única permutação,
que na nossa notação é também o conjunto vazio.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
__Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
