[obm-l] Matrizes invertíveis....

2005-04-03 Por tôpico carlos gomes 



Alô amigos, 

Como faço para verificar que o conjuntos das 
matrizes invertíveis nxn é aberto em R^(n^2)? E que o conjunto das matrizes 
ortogonais nxn é um subconjunto compacto de R^(n^2) ?--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

Re:[obm-l] Problema do Kuratowski

2005-04-03 Por tôpico claudio.buffara 
Oi, Paulo (e quem mais estiver interessado):

Achei uma solução pra esse problema aqui:
http://www.mctague.org/carl/fun/kuratowski/kuratowski.pdf

Umconjunto que gera 14 conjuntos distintos é:
(0,1) união (1,2) união [Q inter (3,4)] união {5}.

E uma generalização aqui:
http://www.math.ucsb.edu/~dsherman/14-sets.pdf

Enfim, achei isso bem legal e vou dar uma estudada mais a fundo quando tiver tempo. 

Obrigado pela dica.

[]s,
Claudio.

[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.

2005-04-03 Por tôpico Frederico Reis Marques de Brito 
Olá Cláudio. está aí o nó da questão. Não conheço demonstração de que 1/p 
seja dízima periódica simples que não use o Peq. teorema...

Um abraço,
Frederico.
From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
Date: Sat,  2 Apr 2005 16:36:05 -0300
Se p = 3, então p divide 111, 11, 1, e qualquer número formado 
por 3k algarismos 1 (k inteiro positivo).

Suponhamos, portanto, que p  2, 3 e 5.
Nesse caso, 1/p é uma dízima periódica simples (não sei se isso é mais 
fácil de demonstrar do que o pequeno teorema de Fermat ou o teorema de 
Euler)

Escrevendo 1/p = 0,a_1a_2...a_na_1a_2...a_na_1a_2...,
teremos 10^n/p = a_1a_2...a_n,a_1a_2a_na_1a_2...
de forma que (10^n - 1)/p = a_1a_2...a_n, ou seja,
p divide 10^n - 1 = 9*11...1
Como p não divide 9, p divide N = 11...1 (n algarismos 1).
Além disso, os números (10^n+1)*N, (10^(2n)+10^n+1)*N, ... são todos 
formados apenas por algarismos 1 e são obviamente divisíveis por p.

[]s,
Claudio.

De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Sat, 02 Apr 2005 13:06:30 -0300
Assunto:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.


 Olá a todos.

 è bem conhecido o fato de que se p é primo diferente de 2 e 5 então p
 divide infinitos dos
 números R_n:=(10^n-)/9. Entretanto, a demonstração mais direta usa o 
Peq.
 Teorema de Fermat, que
 não é um resultado elementar. O fato está relacionado com a 
periodicidade da
 expansão decimal de 1/p. Gostaria de obter uma demonstração alternativa,
 que usasse fatos mais elementares. Alguém conhece alguma?

 Agradeço desde já a todas as sugestões.
 Um abraço a todos,
 Frederico.

 _
 Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
 http://www.msn.com.br/discador

 
=
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 
=

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Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! 
http://www.msn.com.br/discador

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Problemas de probabilidades

2005-04-03 Por tôpico Ralph Teixeira 
Oi, Andre. Vamos ver se eu consigo fazer observacoes boas
 
 1) Uma moeda equilibrada é lançada até que, pela primeira vez, o mesmo 
 resultado apareça duas
 vezes sucessivas. Descreva o espaço amostral desse experimento e calcule a 
 probabilidade do
 seguinte evento: o experimento terminar antes do sexto lançamento.
 Solução proposta:
 O espaço amostral é dado por W = {(k, k), (k, c, c), (k, c, k, k), (k, c, k, 
 c, c), (k, c, k, c, k),
 (c, c), (c, k, k), (c, k, c, c), (c, k, c, k, k), (c, k, c, k, c)}.
 
Perfeito, desde que se entenda que (k,c,k,c,k) significa kckck, ou seja, 
TODAS as series de lancamentos que **comecam** com kckck. Idem para ckckc.
 
 O número de casos favoráveis (são aqueles que aparecem sublinhados) é 8. 
 Portanto,a
 probabilidade pedida é 8/10.
 
A armadilha mais comum em probabilidade (dentro da qual voce vai achar 
estudantes, professores e muita gente boa, incluindo eu) eh usar a formula do 
casos favoraveis / casos possiveis... Esta formula soh funciona se os casos 
sao IGUALMENTE PROVAVEIS, o que nem sempre eh verdade. Neste caso, por exemplo, 
os 10 casos do espaco amostral NAO SAO igualmente provaveis. Se a moeda eh 
justa e os lancamentos sao independentes, entao Pr(kk)=1/4 enquanto 
Pr(kcc)=1/8, certo? Uma tabela com todas as probabilidades, na ordem que voce 
escreveu, dah: 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/32, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/32. (Eu 
sempre aproveito para verificar se a soma deu 1; caso contrario, esqueci algo 
no espaco amostral).
 
Agora, o evento desejado eh o que voce sublinhou. Para encontrar sua 
probabilidade, SOME as probabilidades dos eventos: 
1/4+1/8+1/16+1/32+1/4+1/8+1/16+1/32 = 1-2/32 = 15/16.
 
 2) Seis urnas contêm cada uma 12 bolas entre pretas e brancas. Uma urna 
 contêm 8 bolas brancas.
 Duas urnas contêm 6 bolas brancas e três urnas contêm 4 bolas brancas. Uma 
 urna é selecionada e três
 bolas são extraídas. Foram obtidas duas bolas brancas e uma preta. Qual é a 
 probabilidade de que a
 urna selecionada tenha sido a que tinha 6 brancas e seis pretas?
 Solução proposta:
 Pede-se a probabilidade de ocorrer a urna II ou a urna III dado que foram 
 obtidas duas bolas brancas
 e uma bola preta, ou seja, é o caso de uma probabilidade condicional. 
 --  A é o evento obter duas bolas brancas e uma bola preta:

 Na urna I (há probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 6/10 x 5/9 
 x 4/8 x 3 = 1/12

O raciocinio estah perfeito, mas voce fez a urna 1 como se fossem 6 bolas 
brancas e 4 pretas. Sao **8** brancas e 4 pretas, entao Pr(A e Urna I)=1/6 x 
8/12 x 7/11 x 4/10 x 3

 

 Na urna II (há probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 6/12 x 
 5/11 x 6/10 x 3 = 3/44

 (o mesmo se dá na urna III)

 Na urna IV (há probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 4/12 x 
 3/11 x 8/10 x 3 = 2/55

 (o mesmo se dá nas urnas V e VI).

 Portanto: P(A) = 1/12 + 2 x 3/44 + 3 x 2/55 = 217/660

 A inter B é o evento obter duas bolas brancas e uma bola preta extraídas da 
 urna II ou da urna III:

 Na urna II: 1/6 x 6/12 x 5/11 x 6/10 x 3 = 3/44 (o mesmo se dá na urna III)

 Portanto: P(A e B) = 2 x 3/44 = 3/22.

 Assim, 3/22 : 217/660 = 90/217.

Eh, Pr(B|A) = Pr(A e B)/Pr(A). O resto estah perfeito ateh onde eu posso ver, 
soh tem que consertar aquele 1/12 na conta do P(A) e dali pra frente.

 
 3- Seis dados são lançados. Qual é a probabilidade de que todos os seis 
 números aparecerão?
 A probabilidade de ocorrer seqüência (1, 2, 3, 4, 5, 6) é (1/6)6. Como há 6! 
 formas de organizar a
 referida seqüência, a probabilidade pedida é (1/6)6x 6! » 1,5%.
Esta eu concordo 100%. :)
 
Abraco,
   Ralph

 

 
winmail.dat

[obm-l] Re: [obm-l] Primo ou composto??? (correção)

2005-04-03 Por tôpico Rhilbert Rivera 
Prezado Claudio, obrigado a você e aos outros pelo esforço em me ajudar 
nesse problema.
Minhas horas vagas são poucas, por isso demoro a escrever, e ainda estou 
digerindo as soluções que vocês enviam. Meu cérebro funciona um pouco 
devagar.

Na realidade não tirei esse problema de lugar nenhum. Nas horas vagas fico 
lendo sobre matemática e como não sou bom para resolver fico inventando 
problemas (fáceis) para que eu mesmo resolva. A inspiração para inventar 
esse problema veio de dois teoremas:

1.Teorema de Dirichlet. Sejam a e b inteiros primos entre si, isto é, mdc(a, 
b) = 1. Existem infinitos primos da forma an + b, onde n é inteiro.

2.Teorema de Sierpinski. Dado m inteiro, maior que 1 existe um primo p  tal 
que   p+_1,  p+_2,   ...,   p+_msão compostos.

Observação: p+_k, significa p mais ou menos k)
Só que me enrolei nas minha própria brincadeira.
(^_ ^)

From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l]  Primo ou composto??? (correção)
Date: Thu, 31 Mar 2005 17:43:59 -0300
Esse problema tah meio esquisito.
De onde voce tirou este problema?
_
MSN Messenger: converse online com seus amigos .  
http://messenger.msn.com.br

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RE: [obm-l] 2n^2 + p = composto

2005-04-03 Por tôpico Rhilbert Rivera 
Prezado Claudio, obrigado a você e aos outros pelo esforço em me ajudar 
nesse problema.
Minhas horas vagas são poucas, por isso demoro a escrever, e ainda estou 
digerindo as soluções que vocês enviam. Meu cérebro funciona um pouco 
devagar.

Na realidade não tirei esse problema de lugar nenhum. Nas horas vagas fico 
lendo sobre matemática e como não sou bom para resolver fico inventando 
problemas (fáceis) para que eu mesmo resolva. A inspiração para inventar 
esse problema veio de dois teoremas:

1.Teorema de Dirichlet. Sejam a e b inteiros primos entre si, isto é, mdc(a, 
b) = 1. Existem infinitos primos da forma an + b, onde n é inteiro.

2.Teorema de Sierpinski. Dado m inteiro, maior que 1 existe um primo p  tal 
que   p+_1,  p+_2,   ...,   p+_msão compostos.

Observação: p+_k, significa p mais ou menos k)
Só que me enrolei nas minha própria brincadeira.
Para não deixar dúvidas o enunciado do problema é:
“Determinar o menor valor positivo do inteiro n tal que  2.n^2 + p, seja um
número inteiro  composto, onde p1 é um número primo.
(^_ ^)
From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] 2n^2 + p = composto
Date: Sat,  2 Apr 2005 00:03:18 -0300
De onde saiu esse problema?
[]s,
Claudio.
_
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[obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.

2005-04-03 Por tôpico claudio.buffara 
A coisa é um pouco mais geral: basta que n seja primo com 10.

Assim, seja n um inteiro positivo primo com 10.

Considere as n divisões euclidianas:
10 = q_1*n + r_1
100 = q_2*n + r_2
...
10^n = q_n*n + r_n
onde, para cada i (1=i=n),vale 1 = r_i = n-1.

Nenhum r_i será zero pois n é primo com 10 e, portanto, não pode dividir nenhum 10^k exatamente.

Mas nesse caso, teremos n restos que só podem assumir n-1 valores distintos (de 1 a n-1, inclusive).
Logo, pelo PCP, vão existir inteirosu ev com 1 = u  v = n tais que:
r_u = r_v ==
10^u - q_u*n = 10^v - q_v*n ==
10^v - 10^u = (q_v - q_u)*n ==
n divide 10^u*(10^(v-u) - 1) ==
n divide 10^(v-u) - 1, pois n é primo com 10.

Sejam k = v - u e q = (10^k - 1)/n = 10^k/n - 1/n = inteiro.

Seja 1/n = a_1/10 + a_2/10^2 + ... + a_k/10^k + a_(k+1)/10^(k+1) + ...
Então: 
10^k/n = 10^(k-1)*a_1 + 10^(k-2)*a_2 + ... + a_k + a_(k+1)/10 + ...

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos:
q = (10^k - 1)/n = 
10^(k-1)*a_1 + ... +a_k + (a_(k+1)-a_1)/10 + (a_(k+2)-a_2)/10^2 + ...

10^(k-1)*a_1 + ... + a_k é inteiro e positivo.
Em particular, k = 1 e a_1 = 1.

No entanto, (a_(k+1) - a_1)/10 + (a_(k+2) - a_2)/10^2 + ... só será inteiro se a(k+1) - a_1 =a_(k+1) - a_2 = ... = 0 e isso significa que:
a_(k+1) = a_1,
a_(k+2) = a_2,
...
a_(2k) = a_(k),
a_(2k+1) = a_(k+1) = a_1,
...

Ou seja, 1/n é uma dízima periódica simples cujo período é (a_1a_2...a_k).

[]s,
Claudio.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




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Data:
Sun, 03 Apr 2005 11:56:49 -0300




Assunto:
[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
 Olá Cláudio. está aí o nó da questão. Não conheço demonstração de que 1/p 
 seja dízima periódica simples que não use o Peq. teorema...
 
 Um abraço,
 Frederico.
 
 From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
 Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 To: "obm-l" 
 Subject: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
 Date: Sat, 2 Apr 2005 16:36:05 -0300
 
 Se p = 3, então p divide 111, 11, 1, e qualquer número formado 
 por 3k algarismos 1 (k inteiro positivo).
 
 Suponhamos, portanto, que p  2, 3 e 5.
 Nesse caso, 1/p é uma dízima periódica simples (não sei se isso é mais 
 fácil de demonstrar do que o pequeno teorema de Fermat ou o teorema de 
 Euler)
 
 Escrevendo 1/p = 0,a_1a_2...a_na_1a_2...a_na_1a_2...,
 teremos 10^n/p = a_1a_2...a_n,a_1a_2a_na_1a_2...
 de forma que (10^n - 1)/p = a_1a_2...a_n, ou seja,
 p divide 10^n - 1 = 9*11...1
 Como p não divide 9, p divide N = 11...1 (n algarismos 1).
 Além disso, os números (10^n+1)*N, (10^(2n)+10^n+1)*N, ... são todos 
 formados apenas por algarismos 1 e são obviamente divisíveis por p.
 
 []s,
 Claudio.
 
 
 
 De:[EMAIL PROTECTED]
 
 Para:obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Cópia:
 
 Data:Sat, 02 Apr 2005 13:06:30 -0300
 
 Assunto:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
 
  
  
   Olá a todos.
  
   è bem conhecido o fato de que se p é primo diferente de 2 e 5 então p
   divide infinitos dos
   números R_n:=(10^n-)/9. Entretanto, a demonstração mais direta usa o 
 Peq.
   Teorema de Fermat, que
   não é um resultado elementar. O fato está relacionado com a 
 periodicidade da
   expansão decimal de 1/p. Gostaria de obter uma demonstração alternativa,
   que usasse fatos mais elementares. Alguém conhece alguma?
  
   Agradeço desde já a todas as sugestões.
   Um abraço a todos,
   Frederico.
  
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   Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
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   Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
   http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
   
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Re: [obm-l] Problemas de probabilidades

2005-04-03 Por tôpico andre 
Prezado Ralph, muito obrigado pelas suas geniais contribuições. Um abração,
André.

- Original Message -
From: Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, April 03, 2005 12:49 PM
Subject: RE: [obm-l] Problemas de probabilidades


Oi, Andre. Vamos ver se eu consigo fazer observacoes boas

 1) Uma moeda equilibrada é lançada até que, pela primeira vez, o mesmo
resultado apareça duas
 vezes sucessivas. Descreva o espaço amostral desse experimento e calcule
a probabilidade do
 seguinte evento: o experimento terminar antes do sexto lançamento.
 Solução proposta:
 O espaço amostral é dado por W = {(k, k), (k, c, c), (k, c, k, k), (k, c,
k, c, c), (k, c, k, c, k),
 (c, c), (c, k, k), (c, k, c, c), (c, k, c, k, k), (c, k, c, k, c)}.

Perfeito, desde que se entenda que (k,c,k,c,k) significa kckck, ou
seja, TODAS as series de lancamentos que **comecam** com kckck. Idem para
ckckc.

 O número de casos favoráveis (são aqueles que aparecem sublinhados) é 8.
Portanto,a
 probabilidade pedida é 8/10.

A armadilha mais comum em probabilidade (dentro da qual voce vai achar
estudantes, professores e muita gente boa, incluindo eu) eh usar a formula
do casos favoraveis / casos possiveis... Esta formula soh funciona se os
casos sao IGUALMENTE PROVAVEIS, o que nem sempre eh verdade. Neste caso, por
exemplo, os 10 casos do espaco amostral NAO SAO igualmente provaveis. Se a
moeda eh justa e os lancamentos sao independentes, entao Pr(kk)=1/4 enquanto
Pr(kcc)=1/8, certo? Uma tabela com todas as probabilidades, na ordem que
voce escreveu, dah: 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/32, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/32.
(Eu sempre aproveito para verificar se a soma deu 1; caso contrario, esqueci
algo no espaco amostral).

Agora, o evento desejado eh o que voce sublinhou. Para encontrar sua
probabilidade, SOME as probabilidades dos eventos:
1/4+1/8+1/16+1/32+1/4+1/8+1/16+1/32 = 1-2/32 = 15/16.

 2) Seis urnas contêm cada uma 12 bolas entre pretas e brancas. Uma urna
contêm 8 bolas brancas.
 Duas urnas contêm 6 bolas brancas e três urnas contêm 4 bolas brancas.
Uma urna é selecionada e três
 bolas são extraídas. Foram obtidas duas bolas brancas e uma preta. Qual é
a probabilidade de que a
 urna selecionada tenha sido a que tinha 6 brancas e seis pretas?
 Solução proposta:
 Pede-se a probabilidade de ocorrer a urna II ou a urna III dado que foram
obtidas duas bolas brancas
 e uma bola preta, ou seja, é o caso de uma probabilidade condicional.
 --  A é o evento obter duas bolas brancas e uma bola preta:

 Na urna I (há probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 6/10 x
5/9 x 4/8 x 3 = 1/12

O raciocinio estah perfeito, mas voce fez a urna 1 como se fossem 6 bolas
brancas e 4 pretas. Sao **8** brancas e 4 pretas, entao Pr(A e Urna I)=1/6 x
8/12 x 7/11 x 4/10 x 3



 Na urna II (há probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 6/12 x
5/11 x 6/10 x 3 = 3/44

 (o mesmo se dá na urna III)

 Na urna IV (há probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 4/12 x
3/11 x 8/10 x 3 = 2/55

 (o mesmo se dá nas urnas V e VI).

 Portanto: P(A) = 1/12 + 2 x 3/44 + 3 x 2/55 = 217/660

 A inter B é o evento obter duas bolas brancas e uma bola preta extraídas
da urna II ou da urna III:

 Na urna II: 1/6 x 6/12 x 5/11 x 6/10 x 3 = 3/44 (o mesmo se dá na urna
III)

 Portanto: P(A e B) = 2 x 3/44 = 3/22.

 Assim, 3/22 : 217/660 = 90/217.

Eh, Pr(B|A) = Pr(A e B)/Pr(A). O resto estah perfeito ateh onde eu posso
ver, soh tem que consertar aquele 1/12 na conta do P(A) e dali pra frente.


 3- Seis dados são lançados. Qual é a probabilidade de que todos os seis
números aparecerão?
 A probabilidade de ocorrer seqüência (1, 2, 3, 4, 5, 6) é (1/6)6. Como há
6! formas de organizar a
 referida seqüência, a probabilidade pedida é (1/6)6x 6! » 1,5%.
Esta eu concordo 100%. :)

Abraco,
   Ralph





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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Matrizes invertíveis....

2005-04-03 Por tôpico Mario Salvatierra Junior 
A funçao determinante de martizes  é continiua. O conjunto das matrizes 
inversiveis é a imagem inversa do conjunto aberto (-oo,0)U(0,+oo), 
portanto é um conjunto aberto.

Para mostrar que o conjunto das matrizes ortogonais é compacto, mostre que 
é fechado e limitado. É limitado , pois por exemplo na norma 2 de matrizes 
a norma de uma matriz ortogonal é sempre =1.
Para mostrar que é fechado pegue uma sequencia convergente de matrizes 
ortogonais A_k, com limite A_k=A. Mostre que A é ortogonal.

Por A_k serem ortogonais (A_k^T)A_k=I. faça k tender a infinito nesta 
igualdade e vc tera que (A^T)A=I, logo A é ortogonal. Para explicar isso 
pense em A=[a_1,a_2,...,a_n] onde a_i sao as colunas de A, e
 A_k=[a_k^1,a_k^2,...,a_k^n] onde a_k^i sao as colunas de A_k.
A igualdade (A_k^T)A_k=I é equivalente a
a_k^i,a_k^i=1, para todo k, e para i=1,...,n  ,é o produto interno ( 
escalar de vetores.
Dizer q A_k converge para A siginifica que para cada i=1,...,n a 
coluna a_k^i converge para a coluna a_i. Logo tomando os limites em k nas 
igualdades do produto escalar, teremos que a_i,a_i=1 para i=1,...,n e 
assim A é matriz ortoganal .


On Sun, 3 Apr 2005, carlos gomes wrote:
Alô amigos,
Como faço para verificar que o conjuntos das matrizes invertíveis nxn é aberto 
em R^(n^2)? E que o conjunto das matrizes ortogonais nxn é um subconjunto 
compacto de R^(n^2) ?
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[obm-l] Re: [obm-l] Matrizes invertíveis....

2005-04-03 Por tôpico claudio.buffara 
Pra mostrar que o conjunto das matrizes ortogonais é fechado, você poderia também mostrar que o seu complementar M é aberto.

A pertence a M == A'A  I.

A função F: R^(n^2) x R^(n^2) - R^(n^2) dada por F(X) = X'X é contínua e M é a imagem inversa por F do aberto R^(n^2) - {I}.

[]s,
Claudio.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Sun, 3 Apr 2005 20:23:36 -0300 (BRT)




Assunto:
Re: [obm-l] Matrizes invertíveis
 A funçao determinante de martizes é continiua. O conjunto das matrizes 
 inversiveis é a imagem inversa do conjunto aberto (-oo,0)U(0,+oo), 
 portanto é um conjunto aberto.
 
 Para mostrar que o conjunto das matrizes ortogonais é compacto, mostre que 
 é fechado e limitado. É limitado , pois por exemplo na norma 2 de matrizes 
 a norma de uma matriz ortogonal é sempre =1.
 Para mostrar que é fechado pegue uma sequencia convergente de matrizes 
 ortogonais A_k, com limite A_k=A. Mostre que A é ortogonal.
 
 Por A_k serem ortogonais (A_k^T)A_k=I. faça k tender a infinito nesta 
 igualdade e vc tera que (A^T)A=I, logo A é ortogonal. Para explicar isso 
 pense em A=[a_1,a_2,...,a_n] onde a_i sao as colunas de A, e
 A_k=[a_k^1,a_k^2,...,a_k^n] onde a_k^i sao as colunas de A_k.
 A igualdade (A_k^T)A_k=I é equivalente a
 =1, para todo k, e para i=1,...,n ,é o produto interno ( 
 escalar de vetores.
 Dizer q A_k converge para A siginifica que para cada i=1,...,n a 
 coluna a_k^i converge para a coluna a_i. Logo tomando os limites em k nas 
 igualdades do produto escalar, teremos que =1 para i=1,...,n e 
 assim A é matriz ortoganal .
 
 
 
 
 On Sun, 3 Apr 2005, carlos gomes wrote:
 
  Alô amigos,
 
  Como faço para verificar que o conjuntos das matrizes invertíveis nxn é aberto em R^(n^2)? E que o conjunto das matrizes ortogonais nxn é um subconjunto compacto de R^(n^2) ?
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