Re: [obm-l] Progressões
S1=n*(n+1)/2 (1) S2=n(n+1)*(2n+1)/6 (2) S3=S1^2 (3) Sj=soma da jesima potencia dos n primeiros numeros naturais a)=S1 b)=S2 c)=S3 e) e) (2^2 + 4^2 + 6^2 + ...+n^2=(2*1)^2+(2*2)^2+(2*3)^2+,,,(2*n/2)^2= =4*(1^2+2^2+3^2+...+(n/2)^2) Usando a formula (2) =4*(n/2)(n/2 +1)(n+1)/6 =n(n+2)(n+1)/6 Analogamente a letra e f) (2^3 + 4^3 + 6^3 + ...+n^3=8(1^3+2^3+3^3+...+(n/2)^3) Usando a formula 3 =8*((n/2)(n/2 +1)/2)^2=(1/8)(n(n+2))^2 h) (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...(2n+1)^2) calculando cada parcela separadamente: 1^2 3^2=(2+1)^2=2^2+2*2*1+1^2 5^2=(4+1)^2=4^2+2*4*1+1^2 . . (2n+1)^2===(2n)^2+2*2n*1+1^2 somando tudo (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...(2n+1)^2)=[2^2+4^2+...(2n)^2] + [2*(2+4+...+2n) ]+n+1 1a parcela [2^2+4^2+...(2n)^2]=4*n(n+1)*(2n+1)/6 =(2/3)*n(n+1)*(2n+1) 2a parcela =4*(1+2+3+...+n)=4*n*(n+1)/2 =2*n*(n+1) somando tudo =(n+1)*[(2n+1)n*(2/3 )+2n +1] (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...(2n+1)^2)=[=(n+1)(2n+1)(2n/3 +1)= =(2n+1)(2n+2)(2n+3)/6 i) (1^3 + 3^3 + 5^3 + ...+(2n+1)^3) A letra i e analoga a letra h so que desta vez vc vai ter que expandir cubos, ou seja 1^3=1^3 3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2*1+3*2*1^2+1^3 5^3=(4+1)^3=4^3+3*4^2*1+3*4*1^2+1^3 . . (2n+1)^3===(2n)^3+3*(2n)^2*1+3*(2n)*1^2+1^3 somando os dois lados das desigualdades. [2^3+4^3+...+(2n^3)] + 3[2^2+4^2+...+(2n)^2] +3[2+4+...+2n]+(n+1)= =8(1^3+2^3+...+n^3)+12(1^2+2^2+3^2...+n^2) + 6(1+2+3+...+n)+(n+1)= =8[n*(n+1)/2]^2 +12*n(n+1)*(2n+1)/6 +6*n*(n+1)/2 +(n+1)= =(n+1)*[2n(n+1) + 2n*(2n+1) +3n +1]=(n+1)[(2n+1-1)(n+1)+2n(2n+1)+3n+1]= =(n+1)[(2n+1)(n+1)+2n*(2n+1) + 2n]= =(n+1)[(2n+1)(3n+1) +2n]= =(n+1)[(2n+1)(3n+2) -1] ou =(n+1)(6n^2+7n+1)=(6n+1)*(n+1)^2 Que e o resultado procurado Um abraço, saulo. As deducões das formulas 2 e 3 ja foram mostradas na lista diversas vezes mas se vc quiser e so pedir que eu faço de novo. On 5/9/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, pessoal ! 1) Considere as progressões seguintes de n termos e calcule as somas indicadas a) (1 + 2 + 3 + ...) b) (1^2 + 2^2 + 3^2 + ...) c) (1^3 + 2^3 + 3^3 + ...) d) (2 + 4 + 6 + ...) e) (2^2 + 4^2 + 6^2 + ...) f) (2^3 + 4^3 + 6^3 + ...) g) (1 + 3 + 5 + ...) h) (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...) i) (1^3 + 3^3 + 5^3 + ...) Os itens a, d e g, como pode ver, são absolutamente triviais, logo não precisam resolvê-los. Os outros, eu não consegui resolver. []`s Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Progressões
Ola Rafael ! Seja BI(N,P)=N!/[P!*(N-P)!]. Se NP, considere BI(N,P)=0. TEOREMA Se elevarmos os termos de uma PAr a s-esima potencia teremos uma PArs. (r, s inteiros nao negativos quaisquer ) Nos casos abaixo temos os termos de uma PA1 elevados ao quadrado e ao cubo. As somas sao : Para uma PA1*2=PA2 : Sn=A1*BI(N,1)+(A2-A1)*BI(N,2)+(A3-2*A2+A1)*BI(N,3) Para uma PA1*3=PA3 : Sn=A1*BI(N,1)+(A2-A1)*BI(N,2)+(A3-2*A2+A1)*BI(N,3)+(A4-3*A3+3*A2-A1)*BI(N,4) Basta entao encontrar os coeficientes. Vou fazer os itens h e i : h) A1=1, A2=9 e A3=25. Logo : Sn=BI(N,1) + 8*BI(N,2) + 8*BI(N,3) i)A1=1, A2=27 e A3=125 e A4=343. Logo : Sn=BI(N,1) + 26*BI(N,2) + 72*BI(N,3) + 48*BI(N,4) Note que (x,x,x,...) e uma PA0 - PA de ordem zero - e nao uma PA1. So assim o teorema que enunciei implicitamente acima fica consistente. Um Abraco Paulo Santa Rita 3,0904,100505 On 5/9/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, pessoal ! 1) Considere as progressões seguintes de n termos e calcule as somas indicadas a) (1 + 2 + 3 + ...) b) (1^2 + 2^2 + 3^2 + ...) c) (1^3 + 2^3 + 3^3 + ...) d) (2 + 4 + 6 + ...) e) (2^2 + 4^2 + 6^2 + ...) f) (2^3 + 4^3 + 6^3 + ...) g) (1 + 3 + 5 + ...) h) (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...) i) (1^3 + 3^3 + 5^3 + ...) Os itens a, d e g, como pode ver, são absolutamente triviais, logo não precisam resolvê-los. Os outros, eu não consegui resolver. []`s Rafael _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] questão do Munkres
Oi Eder Acho que o livro esta certo e a integral eh zero. Sem formalizar muito, dado que estou sem tempo agora, veja que podemos particionar [0,1]x[0,1] em um número finito de retangulos de modo que muitos deles nao intersectem a reta x=y . A soma inferior para qualquer particao eh de fato zero. A soma superior de uma particao resume-se aa area dos retangulos que intersectam a reta x=y. Escolhendo-se particoes nas quais os retangulos que intersectam a reta x=y tenham area arbitraiamente proximas de zero, podemos fazer com que a soma superior seja tambem arbitrariamente proxima de zero. Podemos, por exemplo, escolher particoes mantendo fixo o numero de retangulos que intersectam a reta x=y e fazendo com que um dos lados destes retangulos tenda a zero. Assim, o infimo do conjunto das somas superiores eh zero, igual portanto ao supremo do conjunto das somas inferiores. A integral, portanto, eh zero. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Lista OBM Enviada em: segunda-feira, 9 de maio de 2005 16:35 Para: Lista OBM Assunto: [obm-l] questão do Munkres Gostaria que vocês dessa uma olhada se o problema abaixo, tirado do livro do James R. Munkres (Analysis on Manifolds) estah errado. Seja f:[0,1]x[0,1] -- R uma função definida por: f(x,y) = 0 se xy e f(x,y) = 1 se x=y. Prove que f é integrável sobre [0,1]x[0,1]. Digo isso porque qualquer partição P que tomarmos para [0,1]x[0,1], tem-se que s(f,R) = 0 e S(f,R) = 1, para todo sub-retângulo R da partição P. Isso significa que a integral inferior de f vale 0 enquanto a superior vale 1 (sobre [0,1]x[0,1], é claro!). Obs.: Esta é a questão 3 da pág. 90. grato desde já, éder. Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] questão do Munkres
Outra forma de ver que a integral eh zero eh observar que o integrando so eh diferente de zero em um conjunto cuja medida de Lebesgue eh nula. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Lista OBM Enviada em: segunda-feira, 9 de maio de 2005 16:35 Para: Lista OBM Assunto: [obm-l] questão do Munkres Gostaria que vocês dessa uma olhada se o problema abaixo, tirado do livro do James R. Munkres (Analysis on Manifolds) estah errado. Seja f:[0,1]x[0,1] -- R uma função definida por: f(x,y) = 0 se xy e f(x,y) = 1 se x=y. Prove que f é integrável sobre [0,1]x[0,1]. Digo isso porque qualquer partição P que tomarmos para [0,1]x[0,1], tem-se que s(f,R) = 0 e S(f,R) = 1, para todo sub-retângulo R da partição P. Isso significa que a integral inferior de f vale 0 enquanto a superior vale 1 (sobre [0,1]x[0,1], é claro!). Obs.: Esta é a questão 3 da pág. 90. grato desde já, éder. Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Grupo e Subgrupo - Ajuda
Amigos, por favor me ajudem nessas duas questões: 1) Seja G um grupo abeliano finito no qual o número de soluções em G da equação x^n = e é no máximo n. Mostre que G é cíclico. 2) Sejam N um subgrupo normal de G e a pertencendo a G um elemnto de ordem finita. Mostre que a ordem de a N em G/N é um divisor dao(a). Obrigado por qualquer ajuda (^_ ^) Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis Instale Já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Progressões
De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 9 May 2005 18:31:55 EDT Assunto: [obm-l] Progressões Olá, pessoal !1) Considere as progressões seguintes de n termos e calcule as somas indicadasa) (1 + 2 + 3 + ...)b) (1^2 + 2^2 + 3^2 + ...)c) (1^3 + 2^3 + 3^3 + ...) Chame as somas (a), (b) e (c) acima de S1(n), S2(n) e S3(n), respectivamente. d) (2 + 4 + 6 + ...) = 2*S1(n)e) (2^2 + 4^2 + 6^2 + ...) = 4*S2(n)f) (2^3 + 4^3 + 6^3 + ...) = 8*S3(n)g) (1 + 3 + 5 + ...) = S1(2n) - 2*S1(n)h) (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...) = S2(2n) - 4*S2(n)i) (1^3 + 3^3 + 5^3 + ...) = S3(2n) - 8*S3(n) []s, Claudio. Os itens a, d e g, como pode ver, são absolutamente triviais, logo não precisam resolvê-los. Os outros, eu não consegui resolver.[]`sRafael
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Progressões
Ola Pessoal,
Pode ser que a mensagem abaixo nao tenha ficado suficientemente clara. Vou
complementa-la agora.
Uma PA e uma sequencia A1,A2,A3, ... tal que Ai+1 - Ai e constante para todo
i=1,2,... Adotando esta definicao e considerando que em muitas
circunstancias surgem PA's de ordem superior, seria desejavel extender este
conceito de forma que pudessemos preservar aquilo que ja sabemos e ampliar a
nossa compreensao.
Entao fazemos assim :
Uma PA1 e uma sequencia A1,A2,A3,... tal que Ai+1 - Ai = constante = K, K
diferente de zero, para todo i=1,2,3, Uma PA2 e uma sequencia
A1,A2,A3,... tal que Ai+2 - 2*Ai+1 + Ai=constante=K,
K diferente de zero, para todo i=1,2,3,... De maneira geral :
Uma PAn e uma sequencia A1,A2,A3,... tal que :
Somatorio(j=0 ate N){ [(-1)^j]*BI(N,j)*Ai+N-j } = constante = K, K diferente
de zero, para todo i=1,2,3,...
Note que esta definicao absorve bem o que ja sabemos e amplia, ao menos, o
nosso poder de computacao. De fato. Com base na definicao acima mostre que,
em particular :
Numa PA2 :
TERMO GERAL An=A1*BI(N-1,0) + (A2-A1)*BI(N-1,1) + (A3 - 2*A2+A1)*BI(N-1,2)
SOMA DOS TERMOS Sn=A1*BI(N,1) + (A2-A1)*BI(N,2) + (A3 - 2*A2+A1)*BI(N,3)
Aqui, em particular :
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + N^2 = BI(N,1)+3*BI(N,2)+2*BI(N,3)
Numa PA3 :
TERMO GERAL :
An=A1*BI(N-1,0)+(A2-A1)*BI(N-1,1)+(A3 -
2*A2+A1)*BI(N-1,2)+(A4-3*A3+3*A2-A1)*BI(N-1,3)
SOMA DOS TERMOS :
Sn=A1*BI(N,1) + (A2-A1)*BI(N,2) + (A3 -
2*A2+A1)*BI(N,3)+(A4-3*A3+3*A2-A1)*BI(N,4)
Aqui, em particular :
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + N^3=BI(N,1)+7*BI(N,2)+20*BI(N,3)+6*BI(N,4)
Usando a Definicao Geral Acima e considerando que uma sequencia de
constantes e uma PA0 ( PA zero ) prove a afirmacao seguinte : Se A1, A2,
A3,... e uma PAr e B1, B2, B3, ... e uma PAs entao A1*B1, A2*B2, A3*B3,... e
uma PAr+s. Daqui Conclua o Teorema que enunciei na mensagem abaixo : Se
elevarmos cada termo de uma PAr a s-esima potencia obteremos uma PArs
Tudo isso e muito simples. Talvez mais interessante e verificar que se
partirmos de uma PAn qualquer A1, A2, A3, ... e definirmos :
Tn-1,j=Aj+1 - Aj e Tn+1,j=A1+..+Aj
Conforme n for variando teremos todos os triangulos aritmeticos Tipo
Pascal, cada qual caracterizado univocamente por um numero, o NIC do
triangulo. Se voce partir de uma PAn o polinomio em NIC :
P(NIC) = NIC^P + BI(P,1)*NIC^(p-1) + ...
Tem raizes tais que permitem definer o Triangulo harmonico conjugado, vale
dizer, as colunas negativas do triangulo de Pascal associado ou, o que
tambem da no mesmo, as PAr, r inteiro negativo. Aqui, P é o menor primo
maior que NIC. Bom, mas isso e outra historia e acabei fugindo do tema.
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
3,1120,100505
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Progressões
Date: Tue, 10 May 2005 12:07:02 +
Ola Rafael !
Seja BI(N,P)=N!/[P!*(N-P)!]. Se NP, considere BI(N,P)=0. TEOREMA Se
elevarmos os termos de uma PAr a s-esima potencia teremos uma PArs. (r,
s inteiros nao negativos quaisquer ) Nos casos abaixo temos os termos de
uma PA1 elevados ao quadrado e ao cubo. As somas sao :
Para uma PA1*2=PA2 :
Sn=A1*BI(N,1)+(A2-A1)*BI(N,2)+(A3-2*A2+A1)*BI(N,3)
Para uma PA1*3=PA3 :
Sn=A1*BI(N,1)+(A2-A1)*BI(N,2)+(A3-2*A2+A1)*BI(N,3)+(A4-3*A3+3*A2-A1)*BI(N,4)
Basta entao encontrar os coeficientes. Vou fazer os itens h e i :
h) A1=1, A2=9 e A3=25. Logo :
Sn=BI(N,1) + 8*BI(N,2) + 8*BI(N,3)
i)A1=1, A2=27 e A3=125 e A4=343. Logo :
Sn=BI(N,1) + 26*BI(N,2) + 72*BI(N,3) + 48*BI(N,4)
Note que (x,x,x,...) e uma PA0 - PA de ordem zero - e nao uma PA1. So assim
o teorema que enunciei implicitamente acima fica consistente.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,0904,100505
On 5/9/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá, pessoal !
1) Considere as progressões seguintes de n termos e calcule as somas
indicadas
a) (1 + 2 + 3 + ...)
b) (1^2 + 2^2 + 3^2 + ...)
c) (1^3 + 2^3 + 3^3 + ...)
d) (2 + 4 + 6 + ...)
e) (2^2 + 4^2 + 6^2 + ...)
f) (2^3 + 4^3 + 6^3 + ...)
g) (1 + 3 + 5 + ...)
h) (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...)
i) (1^3 + 3^3 + 5^3 + ...)
Os itens a, d e g, como pode ver, são absolutamente triviais, logo não
precisam resolvê-los. Os outros, eu não consegui resolver.
[]`s
Rafael
_
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[obm-l] Irredutíveis e Anéis
Preciso de ajuda como exercício 3 da seção IV.4 do livro Elementos de Álgebra (Arnaldo Garcia e Yves Lequain - Projeto Euclides): a) Mostre que Z[raiz(3)] é isomorfo a Z[x]/(x^2-3). b) Seja p um primo de Z. Mostre que p é um elemento primo de Z[raiz(3)] se e somente se o polinômio x^2 - 3 é irredutível em (Z/pZ)[x]. Eu fiz o item (a) mostrando que o ideal (x^2-3) é o núcleo do homomorfismo sobrejetor H:Z[x] - Z[raiz(3)]dado por H(f(x)) = f(raiz(3)) e invocando o teorema dos homomorfismos. No item (b) eu provei que se p é primo em Z[raiz(3)] então x^2 - 3 é irredutível (de fato, eu provei o contrapositivo): x^2 - 3 não é irredutível em Z_p[x] == x^2 - 3 tem uma raiz em Z_p[x] == existe um inteiro a tal que a^2 ==3 (mod p) == p divide a^2 - 3 = (a + raiz(3))(a- raiz(3)) em Z[raiz(3)]. Mas p não divide a + raiz(3) nem a - raiz(3) pois se dividisse, teria que dividir os coeficientes de raiz(3)respectivos, iguais a 1 e -1, o que é uma contradição, pois p é um primo de Z. Logo, p não é primo em Z[raiz(3)]. No entanto, não estou conseguindo provar a recíproca. Imagino que, de alguma forma, eu tenha que usar o item (a). Qualquer ajuda será bem vinda. []s, Claudio.
Re: [obm-l] analise combinatoria
obrigado mas no numero 2 houve um pequeno erro onde 2 bolas: 5*3 + 3*2 + 5*2 = 15+6+10 = 31 e nao 21 como esta no resultado mas mesmo assim muito obrigado ontem eu tava malzao e nao onsegui pensa nisso brigadao mesmo - Original Message - From: Davi de Melo Jorge Barbosa [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 09, 2005 11:21 PM Subject: Re: [obm-l] analise combinatoria 1- n = 9 * 9 * 8 = 648 (o primeiro numero nao pode ser 0) 2- Pode-se pedir: 1 bola: 5 + 3 + 2 = 10 maneiras 2 bolas: 5*3 + 3*2 + 5*2 = 15 + 6 + 10 = 21 maneiras 3 bolas: 5*3*2 = 30 maneiras total: 10 + 21 + 30 = 61 maneiras distintas. deve ser isso. On 5/9/05, RAfitcho [EMAIL PROTECTED] wrote: No sistema decimal de numeração, os números inteiros entre 100 e 999 que possuem algarismos diferentes constituem um conjunto com n elementos. O valor de n é: A) 720 B) 648 C) 576 D) 504 Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos em três grupos: o vermelho, com 5 sabores; o amarelo, com 3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pedir uma casquinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas cada casquinha não pode conter 2 bolas de um mesmo grupo. O número de maneiras distintas de se pedir uma casquinha é A) 71 B) 86 C) 131 D) 61 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questão de cálculo.
Olá amigos, alguém poderia me ajudar nessa questão? Calcule f(3), se f(x)=g(x) / h(x), com g(x) e h(x) contiínuas, h 0 e x-3 = g(x) = h(x) = (x-3)^2 Obrigado ! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatória
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Tue, 10 May 2005 13:45:36 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Somatória
Citando Bruno Bonagura <[EMAIL PROTECTED]>:
Acho que faz um ano que vi essa questão e jamais consegui responder. Sempre
que tenho alguma idéia acabo voltando para a pergunta original :/.
S = 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n²
Se você souber a fórmula:
1² + 2² + 3² + 4² + ... + n²= (1+2+3+...+n)²
Espero sinceramente que ninguém saiba esta fórmula. Por exemplo, teste o caso n = 2.
A fórmula correta é:
1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2.
Além da demonstração padrão por indução, tem esta aqui:
Seja I_n= {0,1,2,,n}.
Seja A = conjunto das quadruplas ordenadas (x,y,z,w) de elementos de I_ntais que x y, x z e x w.
Seja B = conjunto das quádruplas ordenadas (x,y,z,w) de elementos de I_n tais que x y e z w.
1) |A| = 1^3 + 2^3 + ... + n^3.
Se x = 0, então não há nenhuma quadrupla satisfazendo a condição.
Se x = k 0, então, temos k alternativas para y, k para z e k para w, num total de k^3 (ou seja, y, z, w pertencem a I_k = {0,1,...,k-1}).
Somando de k = 1 até n, obtemos que:
|A| = 1^3 + 2^3 + ... + n^3.
2) |B| = (1 + 2 + ... + n)^2.
Um par (x,y) com x ypode ser escolhido de Binom(n+1,2) maneiras.
Um par (z,w) com z w também.
Logo, |B| = Binom(n+1,2)^2 = ((n+1)n/2)^2 = (1 + 2 + ... + n)^2.
3) A inter B = {(x,y,z,w) em I_n^4 | x y, x z w}.
Assim, se (x,y,z,w) pertence a A - B, então de duas uma:
Ou x w = z ou x w z.
Se (x,y,z,w) pertence a B - A, então de duas uma:
Ou x = z w ou x z w.
Mas o número de quadruplas (x,y,z,w) com x y e x w = z é igual ao número de quádruplas (x,y,z,w) com x y e x = z w.
Fixando x = ke y x, teremos k quádruplas de cada tipo.
Além disso, o número de quádruplas (x,y,z,w) com x y e x w z é igual ao número de quádruplas (x,y,z,w) com x y e x z w.
Fixando x = k e y x, teremos Binom(k,2) quádruplas de cada tipo.
Em suma, existe uma bijeção entre A - B e B - A.
Adicionando (via união) o conjunto A inter B a cada um deles, concluímos que existe uma bijeção entre A e B.
Logo, |A| = |B| e acabou.
[]s,
Claudio.
[obm-l] Re:[obm-l] Questão de cálculo.
No intervalo (3,4), (x-3)^2 x-3, de modo que não existemg eh nesse intervalo (contínuas ou não) com a propriedade mencionada. Tem certeza de que o enunciado é esse? Se você restringir g e h ao intervalo (-inf,3], então g(3) = h(3) = 0, de modo que não existe o quociente. Por outro lado, escolhendo g e h de forma adequada, podemos ter: lim(x - 3-) g(x)/h(x) igual a qualquer coisa. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 10 May 2005 14:43:26 -0300 Assunto: [obm-l] Questão de cálculo. Olá amigos, alguém poderia me ajudar nessa questão? Calcule f(3), se f(x)=g(x) / h(x), com g(x) e h(x) contiínuas, h 0 e x-3 = g(x) = h(x) = (x-3)^2 Obrigado ! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] jogo de dominós
Boa tarde, Considere um jogo de dominó sem as peças com valores iguais dos dois lados (restarão portanto 21 peças). De quantas formas diferentes é possível "fechar o jogo", em umapartida com dois jogadores? Desde já agradeço... []s
Re:[obm-l] Grupo e Subgrupo - Ajuda
De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 10 May 2005 13:29:20 + Assunto: [obm-l] Grupo e Subgrupo - Ajuda Amigos, por favor me ajudem nessas duas questões: 1) Seja G um grupo abeliano finito no qual o número de soluções em G da equação x^n = e é no máximo n. Mostre que G é cíclico. Você por acaso tirou este aí do Herstein (Topics in Algebra)? Este problema precisa de um lema preliminar (um outro exercício do Herstein)não muito difícil de se provar: Se G é um grupo abeliano e a e b dois elementos de G cujas ordens são m e n com mdc(m,n) = 1, então ab tem ordem mn. Seja |G| = m = p1^k1*...*pr^kr. Suponhamos que G seja abeliano mas não seja cíclico. Se m tem r divisores primos distintos, usamos r-1 vezes o lema e concluímos que, dentre estes, existe um primo p tal que: i) p^k || m (ou seja, k é o maior inteiro tal que p^k divide m) e ii) nenhum elemento de G tem ordem p^k. Caso contrário, G teria elementos a1, ..., ar cujas ordens seriam p1^k1, ..., pr^kr, respectivamente, e nesse caso, pelo lema 2, a = a1*...*ar teria ordem m, fazendo de G um grupo cíclico gerado por a == contradição. Ou seja, se a pertence a G e a^(p^k) = e, então a^(p^(k-1)) = e. Seja a pertencente a G. É claro que a^m = e (consequência do teorema de Lagrange). Mas a^m = (a^(m/p^k))^(p^k) = e. Logo, pelo que vimos acima, (a^(m/p^k))^(p^(k-1)) = e. Ou seja, a^(m/p) = e para cada a em G == x^(m/p) = e tem m m/p soluções. 2) Sejam N um subgrupo normal de G e a pertencendo a G um elemnto de ordem finita. Mostre que a ordem de a N em G/N é um divisor dao(a). Nesse caso, é só provar que (aN)^k = a^kN e isso sai fácil por indução, levando em conta que N é normal, ou seja, bN = Nb para cada b em G. Assim, se o(a) = m, então (aN)^m = a^mN = eN = N == o(aN) divide m. []s, Claudio.
[obm-l] mais uma do Munkres q naum....
Olá gente!!!
Não estou conseguindo concluir a solução da quetão
abaixo (também tirada de Analysis on Manifolds -
Munkres).
Sejam C = {(x,y); x 0 e y 0} (aberto em R^2!) e
f(x,y) = 1/{[x^2 + sqrt(x)].[y^2 + sqrt(y)]}. Mostre
que existe a integral de f sobre C.
Obs. do Livro: Não tente calculá-la!!!
Notação: sqrt(x) é o mesmo que raiz quadrada de x.
Esta questão encontra-se na parte de integrais
impróprias!!!
Como eu estava tentando resolvê-la:
Tomemos C como a reunião dos retângulos fechados C_n =
[1/n,n]x[1/n,n], onde n varia nos naturais (sem o
zero, é claro!). Daí temos que C_n estah contido no
interior de C_(n+1) (para cada n) e f é contínua em
cada C_n, donde segue-se que ela é limitada (pois cada
C_n é compacto!). Com isso, temos as hipóteses de um
teorema (do livros acima) que diz que |f| (e no nosso
caso f) é integrável sobre C (que é aberto!) se, e só
se a sequência da integrais de f sobre C_n é limitada.
Meu problema é justamente esse, ou seja, não estou
conseguindo mostrar que a integral de f sobre cada C_n
existe e que a sequência formada por elas é limitada.
Grato desde já, éder.
Yahoo! Mail, cada vez
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Re: [obm-l] 25o Colóquio Brasileiro de Matemática
Rafael Castilho wrote: Alguém vai/pretende ir ao colóquio em julho? Preciso de algumas informações. Eu vou... talvez seja melhor você procurar o pessoal do IMPA para tirar suas dúvidas. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] problema do caminhao
Mas nesse caso, o caminhao não passa pela cidade F. Que tal o caminho A-B-G-H-I-J-K-L-C-D-E-A? Veja que ele passa por todas as cidades e ainda pode voltar para A. O que voc? descreveu na verdade pode ser visualizado como um dodecaedro. Se voc? estudou teoria dos grafos, pode notar que o problema pede para provar a exist?ncia de um caminho (ciclo) hamiltoniano nesse grafo que ? c?bico. Se n?o me engano (pode ser que eu esteja enganado), todo grafo conexo c?bico (todo v?rtice tem grau 3) admite um ciclo hamiltoniano. []'s Shine --- eritotutor <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Boa tarde, Considere um caminh?o que abastece as cidades A, B , C, D, E, F, G, H, I, J, K , L. Duas cidades s?o adjacentes se existe um caminho entre elas. A ? adjacente a B, J, E B ? adjacente a A, C, G C ? adjacente a L, B, D D ? adjacente a E, C, H E ? adjacente a D, A , F F ? adjacente a L, E, G G ? adjacente a H, F, B H ? adjacente a I, G, D I ? adjacente a K, J, H J ? adjacente a K, I, A K ? adjacente a J, I, L L ? adjacente a K,C,F ? poss?vel que o caminh?o saia da cidade A e percorra todas as cidades uma ?nica vez? Justifique Desde j? agrade?o []s __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - ? gr?tis! http://antipopup.uol.com.br/ Discover Yahoo! Find restaurants, movies, travel and more fun for the weekend. Check it out! http://discover.yahoo.com/weekend.html = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Progressões
Agradeço de antemão a todos que responderam à questão sobre sequências que enviei. Vou lê-las com bastante calma. []`s Rafael
Re: [obm-l] problema do caminhao
Se você estudou teoria dos grafos, pode notar que o problema pede para provar a existência de um caminho (ciclo) hamiltoniano nesse grafo que é cúbico. Se não me engano (pode ser que eu esteja enganado), todo grafo conexo cúbico (todo vértice tem grau 3) admite um ciclo hamiltoniano. Isso é falso... até mesmo se nos restringirmos a grafos cúbicos bipartidos 3-conexos, veja http://mathworld.wolfram.com/BicubicGraph.html Há a seguinte conjectura em aberto http://mathworld.wolfram.com/BarnettesConjecture.html [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] jogo de dominós
Boa noite, Considere um jogo de dominó sem as peças com valores iguais dos dois lados (restarão portanto 21 peças). De quantas formas diferentes é possível "fechar o jogo", em umapartida com dois jogadores? Desde já agradeço... []s
[obm-l] problema do caminhao
Boa noite, Domingos, e demais colegas, cmo poderia mostrar então q o grafo não éhamiltoniano? Se você estudou teoria dos grafos, pode notar que o problema pede para provar a existência de um caminho (ciclo) hamiltoniano nesse grafo que é cúbico. Se não me engano (pode ser que eu esteja enganado), todo grafo conexo cúbico (todo vértice tem grau 3) admite um ciclo hamiltoniano. Isso é falso... até mesmo se nos restringirmos a grafos cúbicos bipartidos 3-conexos, veja http://mathworld.wolfram.com/BicubicGraph.html Há a seguinte conjectura em aberto http://mathworld.wolfram.com/BarnettesConjecture.html [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 25o Colóquio Brasileiro de Ma temática
Ja mendei um email pra la. Um aluno de graduação que não seja matemática será que aguenta bem? On 5/10/05, Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael Castilho wrote: Alguém vai/pretende ir ao colóquio em julho? Preciso de algumas informações. Eu vou... talvez seja melhor você procurar o pessoal do IMPA para tirar suas dúvidas. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] problema do caminhao
Oi gente, Nossa, quando eu escrevi a outra mensagem eu me esqueci de um grafo cúbico que não é hamiltoniano muito familiar (pelo menos para mim): o grafo de Petersen, símbolo da OPM. Dicas de como demonstrar que esse grafo não é hamiltoniano estão em http://www.opm.mat.br/misc/petersen.php Lá também tem a história do grafo de Petersen, e exatamente como ele serviu como contra-exemplo em vários problemas. As dicas de como provar que o grafo não é hamiltoniano estão no final do artigo. Há três problemas lá também (sendo que um deles é exatamente provar que o grafo não é hamiltoniano). Momento propaganda: aproveitem e visitem o site da OPM, que está de cara nova! http://www.opm.mat.br/ []'s Shine --- eritotutor [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa noite, Domingos, e demais colegas, cmo poderia mostrar então q o grafo não é hamiltoniano? Se você estudou teoria dos grafos, pode notar que o problema pede para provar a existência de um caminho (ciclo) hamiltoniano nesse grafo que é cúbico. Se não me engano (pode ser que eu esteja enganado), todo grafo conexo cúbico (todo vértice tem grau 3) admite um ciclo hamiltoniano. Isso é falso... até mesmo se nos restringirmos a grafos cúbicos bipartidos 3-conexos, veja http://mathworld.wolfram.com/BicubicGraph.html Há a seguinte conjectura em aberto http://mathworld.wolfram.com/BarnettesConjecture.html [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ __ Do you Yahoo!? Make Yahoo! your home page http://www.yahoo.com/r/hs = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] analise combinatoria
Ola pessoal do grupo poderiam me ajudar com esta questão? escola naval 2001 Considere uma progressão geométrica de razão maior do que 1 em que três de seus termos consecutivos representam as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Se o primeiro termo dessa progressão geométrica é 64, então seu décimo terceiro termo vale: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
