Re: RES: [obm-l] Medida
Oi Artur,
Consegui fazer algo parecido, embora mais elementar,
pois nao conheco muita coisa deste assunto: para cada
ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um cubo
unitario com centro neste ponto. Fixemo s um destes
cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh
dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De
resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos
AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula.
PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido para
qq subconjunto de Rn.
Tertuliano
--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:
> Na realidade, esta demonstracao poderia ser um
> pouquinho mais simples do que
> a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de
> paralelepipedos abertos e
> limitados para conjuntos genericos limitados,
> poderiamos ter invocado
> diretamente a sigma-subaditividade da medida. Antes
> de apresentar a prova,
> uma observacao de um fato sutil que me passou
> desapercebido. O enunciado
> deveria dizer que B eh um conjunto qualquer
> MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
> subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a medida de
> Lebesgue). No caso, B
> teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel,
> gerada pelos conjuntos
> abertos de R^n
>
> A prova poderia ser assim:
>
> Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
> paralelepipedo limitado e aberto
> de R^n de hipervolume
> V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula, para
> todo eps>0 podemos
> cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
> paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada um
> com hipervolume V_k, tal
> que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos
> entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A
> X P por paralelepipedos
> abertos de R^(m+n). O
> hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k * V
> = V * Soma(k>=1)V_k <
> V * eps/V = eps. Como eps eh
> arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula em
> R^(m+n).
>
> O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma
> colecao enumeravel (nao
> precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de paralelepipedos
> abertos de hipervolume
> 1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel
> (nao necessariamente
> disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida nula e
> cada Q_k eh um
> paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao
> anterior nos mostra que cada A
> X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a
> sigma-sub-aditividade da medida,
> concluimos que A X R^n tem medida nula. E valendo
> esta conclusao para o caso
> B = R^n, segue-se que vale automaticamente para
> qualquer subconjunto
> MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em A X
> R^n e subconjuntos
> mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.
>
> A sigma-sub-aditividade da medida eh a propriedade
> segundo a qual se {A_n}
> eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos
> mensuraveis e A eh a uniao desta
> colecao, entao u(A) <= Soma(n>=1) u(A_n),
> entendendo-se esta desigualdade no
> sistema dos reais expandidos. Se a colecao for
> disjunta 2 a 2, ocorre
> igualdade.
>
> Artur
>
>
>
> --- Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> > Oi para todos!
> > Alguem pode me ajudar neste?
> >
> > Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm
> um
> > conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
> >
> > Grato,
> > Tertuliano
> >
> > __
> > Converse com seus amigos em tempo real com o
> Yahoo!
> > Messenger
> > http://br.download.yahoo.com/messenger/
> >
>
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> usar a lista em
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] geometria
Prezados senhores: Corrijam-me se eu estiver errado. Brunno, não vou escrever a solução com precisão. Observe dois triângulos retângulos com vértices nos centros das circunferências e nos quais um dos catetos (em cada triângulo) é paralelo as tangentes internas e externas. Desses triângulos, você perceberá que R+r=8 e R-r=6. Portanto, R=8 e r=1. "Brunno Fernandes" <[EMAIL PROTECTED]> Enviado Por: [EMAIL PROTECTED] 05/07/2005 21:04 Favor responder a obm-l Para: cc: Assunto: [obm-l] geometria Ola pessoal, poderiam me ajudar com essa questao de geometria As tangentes comuns externas e internas a duas circunferencias medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. Achar os raios das duas circunferencias sabendo que a distancia entre os seus centros tem 10 cm Um abraco = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria
Oi, acho que R=7 e r=1. Abraços, Carlos [EMAIL PROTECTED] wrote: Prezados senhores: Corrijam-me se eu estiver errado. Brunno, não vou escrever a solução com precisão. Observe dois triângulos retângulos com vértices nos centros das circunferências e nos quais um dos catetos (em cada triângulo) é paralelo as tangentes internas e externas. Desses triângulos, você perceberá que R+r=8 e R-r=6. Portanto, R=8 e r=1. *"Brunno Fernandes" <[EMAIL PROTECTED]>* Enviado Por: [EMAIL PROTECTED] 05/07/2005 21:04 Favor responder a obm-l Para: cc: Assunto:[obm-l] geometria Ola pessoal, poderiam me ajudar com essa questao de geometria As tangentes comuns externas e internas a duas circunferencias medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. Achar os raios das duas circunferencias sabendo que a distancia entre os seus centros tem 10 cm Um abraco = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ajuda com um problema sobre fatorização e inteiros
Bom aqui vai um problema que eu não sei resover: Encontrar os valores inteiros de x que fazem que x^2-5x-1 seja um quadrado perfeito. A conclusão que eu cheguei é que não existe nenhum valor. _ Descarga gratis la Barra de Herramientas de MSN http://www.msn.es/usuario/busqueda/barra?XAPID=2031&DI=1055&SU=http%3A//www.hotmail.com&HL=LINKTAG1OPENINGTEXT_MSNBH = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria
Isso, tens razão. Não sei se digitei errado ou a causa do equívoco é outra. No papel que utilizei realmente achei 7 e 1. Vc está certo, obrigado. Carlos <[EMAIL PROTECTED]> Enviado Por: [EMAIL PROTECTED] 06/07/2005 12:06 Favor responder a obm-l Para: obm-l@mat.puc-rio.br cc: Assunto: Re: [obm-l] geometria Oi, acho que R=7 e r=1. Abraços, Carlos [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Prezados senhores: > > Corrijam-me se eu estiver errado. > Brunno, não vou escrever a solução com precisão. Observe dois > triângulos retângulos com vértices nos centros das circunferências e > nos quais um dos catetos (em cada triângulo) é paralelo as tangentes > internas e externas. > Desses triângulos, você perceberá que R+r=8 e R-r=6. Portanto, > R=8 e r=1. > > > > > *"Brunno Fernandes" <[EMAIL PROTECTED]>* > Enviado Por: [EMAIL PROTECTED] > > 05/07/2005 21:04 > Favor responder a obm-l > > > Para: > cc: > Assunto: [obm-l] geometria > > > > > Ola pessoal, poderiam me ajudar com essa questao de geometria > > As tangentes comuns externas e internas a duas circunferencias medem 8 > cm e > 6 cm, respectivamente. Achar os raios das duas circunferencias sabendo > que a > distancia entre os seus centros tem 10 cm > > Um abraco > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Medida
Bom, o que o Artur esta falando é que você NAO PODE definir uma funçao
medida para todos os subconjuntos de R (portanto pode esquecer R^n),
pois existe um jeito (utilizando o Axioma da Escolha) de construir um
conjunto que nao pode ter medida zero nem positiva. A idéia principal
é fazer uma decomposiç~ao enumerável de [0, 1] em conjuntos que tem
que ter a mesma medida. Para criar esta decomposiç~ao, você utiliza o
Axioma da Escolha e em seguida você tira um absurdo disto.
Mas acho que, realmente, o seu resultado prova uma coisa bem legal, e
lembra-me de sigma-álgebras completas (ou seja, aquelas para as quais
X tem medida nula => todo Y contido em X está na sigma-álgebra e
também - por estar contido em X, nao poderia ser diferente - tem
medida nula). Assim, como o Artur ou você provaram, A x R^m tem medida
nula. Ora, para todo B contido em R^m, temos A x B contido em A x R^m,
e (do fato que existe uma sigma-álgebra completa que contém os abertos
de R^k para todo k) A x B é mensurável e tem medida zero. Esta
demonstraçao está contida na que você deu (bastando notar que B está
contido em alguma uniao enumerável dos Q_i).
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 7/6/05, Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Oi Artur,
> Consegui fazer algo parecido, embora mais elementar,
> pois nao conheco muita coisa deste assunto: para cada
> ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um cubo
> unitario com centro neste ponto. Fixemo s um destes
> cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh
> dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De
> resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos
> AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula.
> PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido para
> qq subconjunto de Rn.
>
> Tertuliano
>
> --- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
> escreveu:
>
> > Na realidade, esta demonstracao poderia ser um
> > pouquinho mais simples do que
> > a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de
> > paralelepipedos abertos e
> > limitados para conjuntos genericos limitados,
> > poderiamos ter invocado
> > diretamente a sigma-subaditividade da medida. Antes
> > de apresentar a prova,
> > uma observacao de um fato sutil que me passou
> > desapercebido. O enunciado
> > deveria dizer que B eh um conjunto qualquer
> > MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
> > subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a medida de
> > Lebesgue). No caso, B
> > teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel,
> > gerada pelos conjuntos
> > abertos de R^n
> >
> > A prova poderia ser assim:
> >
> > Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
> > paralelepipedo limitado e aberto
> > de R^n de hipervolume
> > V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula, para
> > todo eps>0 podemos
> > cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
> > paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada um
> > com hipervolume V_k, tal
> > que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos
> > entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A
> > X P por paralelepipedos
> > abertos de R^(m+n). O
> > hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k * V
> > = V * Soma(k>=1)V_k <
> > V * eps/V = eps. Como eps eh
> > arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula em
> > R^(m+n).
> >
> > O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma
> > colecao enumeravel (nao
> > precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de paralelepipedos
> > abertos de hipervolume
> > 1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel
> > (nao necessariamente
> > disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida nula e
> > cada Q_k eh um
> > paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao
> > anterior nos mostra que cada A
> > X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a
> > sigma-sub-aditividade da medida,
> > concluimos que A X R^n tem medida nula. E valendo
> > esta conclusao para o caso
> > B = R^n, segue-se que vale automaticamente para
> > qualquer subconjunto
> > MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em A X
> > R^n e subconjuntos
> > mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.
> >
> > A sigma-sub-aditividade da medida eh a propriedade
> > segundo a qual se {A_n}
> > eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos
> > mensuraveis e A eh a uniao desta
> > colecao, entao u(A) <= Soma(n>=1) u(A_n),
> > entendendo-se esta desigualdade no
> > sistema dos reais expandidos. Se a colecao for
> > disjunta 2 a 2, ocorre
> > igualdade.
> >
> > Artur
> >
> >
> >
> > --- Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > > Oi para todos!
> > > Alguem pode me ajudar neste?
> > >
> > > Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm
> > um
> > > conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
> > >
> > > Grato,
> > > Tertuliano
> > >
> > > __
> > > Converse com seus amigos em tempo real com o
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> > >
> >
> =
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > > usar a lista em
> > >
> > http://www.mat.puc-rio.
Re: [obm-l] Ajuda com um proble ma sobre fatorização e inteiros
Se x^2 - 5x - 1 é um quadrado perfeito, podemos escreve-lo como (x-a)^2 , onde a também é inteiro. x^2 - 5*x - 1 = (x-a)^2 = x^2 - 2*a*x + a^2 -5*x - 1 = - 2*a*x + a^2 5*x + 1 - 2*a*x + a^2 = 0 x(5-2*a) + a^2 + 1 = 0 -x = (a^2 + 1)/(5 - 2*a) para que x seja inteiro, sendo a inteiro, basta que o denominador seja 1 ou -1, ou seja, a=2 ou a=3 se a =2 > x = -5 se a=3 -> x = 10 On 7/6/05, Sam Tatao <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Bom aqui vai um problema que eu não sei resover: > Encontrar os valores inteiros de x que fazem que x^2-5x-1 seja um quadrado > perfeito. > A conclusão que eu cheguei é que não existe nenhum valor. > > _ > Descarga gratis la Barra de Herramientas de MSN > http://www.msn.es/usuario/busqueda/barra?XAPID=2031&DI=1055&SU=http%3A//www.hotmail.com&HL=LINKTAG1OPENINGTEXT_MSNBH > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] continuidade...
Como faço esta? Se f: [0,1] --> R é contínua , f(0)=1 e f(x) é racional , para todo x em [0,1], mostre que f(x)=1 para todo x em [0,1].-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda com um problema sobre fato rização e inteiros
y^2 = x^2 -5x-1 (2y)^2=(2x)^2-2*5*(2x)-2 (2y)^2=(2x-5)^2-25-2 (2y)^2=(2x-5)^2-27 (2x-5)^2-(2y)^2=27 (2x-2y-5)(2x+2y-5)=27 Agora e so fazer as possibilidades... --- Sam Tatao <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Bom aqui vai um problema que eu não sei resover: > Encontrar os valores inteiros de x que fazem que > x^2-5x-1 seja um quadrado > perfeito. > A conclusão que eu cheguei é que não existe nenhum > valor. > > _ > Descarga gratis la Barra de Herramientas de MSN > http://www.msn.es/usuario/busqueda/barra?XAPID=2031&DI=1055&SU=http%3A//www.hotmail.com&HL=LINKTAG1OPENINGTEXT_MSNBH > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda com um problema sobre fato rização e inteiros
--- Bruno Bruno <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Se x^2 - 5x - 1 é um quadrado perfeito, podemos > escreve-lo como > (x-a)^2 , onde a também é inteiro. De onde saiu esta ideia? Este fato eu nao sei se e verdadeiro ou falso mas nao tenho muita certeza... > > x^2 - 5*x - 1 = (x-a)^2 = x^2 - 2*a*x + a^2 > -5*x - 1 = - 2*a*x + a^2 > 5*x + 1 - 2*a*x + a^2 = 0 > x(5-2*a) + a^2 + 1 = 0 > -x = (a^2 + 1)/(5 - 2*a) > > para que x seja inteiro, sendo a inteiro, basta que > o denominador seja > 1 ou -1 Bem, se a fracao for irredutivel a sua conclusao pode estar correta. Por exemplo, 200/100 e inteiro. >>, ou seja, a=2 ou a=3 > se a =2 > x = -5 > se a=3 -> x = 10 > > > > On 7/6/05, Sam Tatao <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Bom aqui vai um problema que eu não sei resover: > > Encontrar os valores inteiros de x que fazem que > x^2-5x-1 seja um quadrado > > perfeito. > > A conclusão que eu cheguei é que não existe nenhum > valor. > > > > > _ > > Descarga gratis la Barra de Herramientas de MSN > > > http://www.msn.es/usuario/busqueda/barra?XAPID=2031&DI=1055&SU=http%3A//www.hotmail.com&HL=LINKTAG1OPENINGTEXT_MSNBH > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > = > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade...
Isso aí é consequência imediata do teorema do valor intermediário. Veja: Suponha, por absurdo, que exista c em (0,1] tal que f(c) != f(0) = 1. Então, pelo teorema do valor intermediario, para todo y0 em [f(0), f(c)] u [f(c), f(0)] existe x0 em [0,c] tal que y0 = f(x0) (i.e., f assume todos os valores entre 1 e c). Mas sabemos que entre 0 e c (0!=c por hipotese) existem infinitos números irracionais. Então, pelo teorema do valor intermediário, supor que f assuma algum valor diferente de 1 implica f assumir algum valor irracional, o que contraria a hipótese. Logo, não se pode supor que f assuma valor diferente de 1. Portanto, f(x) = 1, para todo x em [0,1]. Se quiser uma resolução mais detalhada, teríamos que provar o teorema do valor intermediário, o que é relativamente simples usando a propriedade do supremo, e também provar que entre 2 reais distintos quaisquer existem infinitos irracionas, o que também sai da propriedade do supremo Abraço BrunoOn 7/6/05, Carlos Gomes <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Como faço esta? Se f: [0,1] --> R é contínua , f(0)=1 e f(x) é racional , para todo x em [0,1], mostre que f(x)=1 para todo x em [0,1].-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000e^(pi*i)+1=0
