Re: [obm-l] Prova da IMO - Primeiro dia
Oi pessoal, Vou mandar a minha solução (com contas, naturalmente) do problema 1, após a cópia da mensagem original do Shine, para ninguém que queira pensar antes no problema ler involuntariamente a solução. Depois, se não houver objeções, eu mando as minhas soluções dos problemas que faltam. Abraços, Gugu Oi gente, Acabei de ver a primeira prova da IMO no site http://www.mathlinks.ro/ Lá vão os enunciados (eu mesmo traduzi agora). 1. Escolhemos seis pontos sobre os lados do triângulo equilátero ABC: A_1, A_2 sobre BC; B_1, B_2 sobre AC; C_1, C_2 sobre AB. Essa escolha é feita de modo que A_1A_2B_1B_2C_1C_2 é um hexágono convexo com todos os seus lados iguais. Prove que A_1B_2, B_1C_2 e C_1A_2 são concorrentes. 2. Seja a_1,a_2,... uma seqüência de inteiros com infinitos termos positivos e negativos. Suponha que para todo n inteiro positivo os números a_1,a_2,...,a_n deixam n restos diferentes na divisão por n. Prove que todo inteiro aparece exatamente uma vez na seqüência a_1,a_2,... 3. Sejam x,y,z reais positivos tais que xyz = 1. Prove que (x^5-x^2)/(x^5+y^2+z^2) + (y^5-y^2)/(x^2+y^5+z^2) + (z^5-z^2)/(x^2+y^2+z^5) = 0. []'s Shine Start your day with Yahoo! - make it your home page http://www.yahoo.com/r/hs = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Se o lado do triângulo e' 1 e denotamos um segmento em cada lado por a, b e c, obtemos umas identidades como segue (pela lei dos cossenos): a^2+(1-x-b)^2-a(1-x-b)=x^2 b^2+(1-x-c)^2-b(1-x-c)=x^2 c^2+(1-x-a)^2-c(1-x-a)=x^2 Subtraindo a primeira da segunda temos a^2-c^2+(2c-b-a)(1-x)+b(a-c)=0, e, subtraindo a terceira da segunda, temos b^2-a^2+(2a-c-b)(1-x)+c(b-a)=0, que podem ser escritas como (a-c)(a+b+c)=(1-x)(a+b-2c) e (b-a)(a+b+c)=(1-x)(b+c-2a). Multiplicando a primeira por b+c-2a, a segunda por a+b-2c e igualando, temos, depois de cortar o a+b+c, (a-c)(b+c-2a)=(b-a)(a+b-2c), donde a(2b-a-c)=b^2+ab-bc+c^2-2ac, ou seja, ab+ac+bc=a^2+b^2+c^2, donde a=b=c, e a primeira equação vira algo como a^2+(1-a-x)^2-a(1-a-x)=x^2, donde a^2+(1-a)^2-a(1-a)-2x(1-a)+ax=0, ou seja, x(2-3a)=3a^2-3a+1, e 1-a-x=(1-2a)/(2-3a). Basta ver então que a reta que passa por ((1-2a)/(2-3a),0) e (1/2+a/2,(1-a)sqrt(3)/2) passa por (1/2,sqrt(3)/6), o centro do triângulo, e acabou. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Resultado da Equipe da IMO
Brasileiros que nos levantam ante o mundo, adquiriremos respeito e consideração em função de vossas atitudes. Parabéns aos alunos que com galhardia erguem-nos! Parabéns aos professores que os ensinam e elevam o nível o intelectual da nação brasileira! Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] Enviado Por: [EMAIL PROTECTED] 19/07/2005 13:56 Favor responder a obm-l Para: obm-l@mat.puc-rio.br cc: Assunto: [obm-l] Resultado da Equipe da IMO O Resultado da equipe na IMO foi a seguinte: Gabriel Tavares Bujokas Medalha de Ouro 37 pontos Edson Augusto Bezerra Lopes Sem premiação6 pontos Leandro Farias MaiaM. Honrosa 9 pontos Levi Máximo Viana Sem premiação6 pontos Thomás Yoiti Sasaki Hoshina Medalha de Bronze 14 pontos Guilherme Nogueira de Souza M. Honrosa 10 pontos Abraços, Nelly. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova da IMO - Primeiro dia
ÿþ< ! D O C T Y P E H T M L P U B L I C " - / / W 3 C / / D T D H T M L 4 . 0 T r a n s i t i o n a l / / E N " > < H T M L > < H E A D > < M E T A c o n t e n t = " t e x t / h t m l ; c h a r s e t = u n i c o d e " h t t p - e q u i v = C o n t e n t - T y p e > < M E T A c o n t e n t = " M S H T M L 5 . 0 0 . 2 6 1 4 . 3 5 0 0 " n a m e = G E N E R A T O R > < S T Y L E > < / S T Y L E > < / H E A D > < B O D Y b g C o l o r = # f f f f f f > < D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > O b j e ç ã o a l g u m a , p o r f a v o r e n v i e s u a s r e s o l u ç õ e s p a r a a l i s t a . < / F O N T > < / D I V > < D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > P ú l v i o . < / F O N T > < / D I V > < / B O D Y > < / H T M L >
[obm-l] OFF TOPIC Resultado da China
Por que a China obteve resultado com tantos ouros? Que política educativa vinculada à matemática existe por lá?
Re: [obm-l] OFF TOPIC Resultado da China
Eu diria que lá EXISTE, ao contrário daqui, uma politica educativa... Em 20/07/05, [EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Por que a China obteve resultado com tantos ouros? Que política educativa vinculada à matemática existe por lá? -- Matemáticos são máquinas de transformar café em teoremas. (Paul Erdos) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dúvidas de matrizes. Alguém p ode me ajudar?
1) Seja A uma matriz nilpotente nxn, mostre que A -In é inversível e obtenha sua inversa. Gostaria de saber como resolvo este tipo de questão organizadamente, separando a hipótese a tese, essas coisas. 2) A matriz inversa é A-1, onde A-1.A = A.A-1=I Por que preciso garantir a matriz A sendo nxn? Obrigado.
Re: [obm-l] Dúvidas de matr izes. Alguém pode me ajudar?
Uma matriz é dita nilpotente se existe n natural tal que A^n=0. Certo? Não me lembro muito bem dessa definição. Mas admita que isto seja o correto. Seja então n* o menor natural tal que A^n*=0. Observe o seguinte produto matricial: (-1)*[I+A+A^2+A^3+...+A^(n*-1)]*(A-I)=I-A^n*. Ora, por hipótese A^n*=0 e temos então que A-I é invertível e sua inversa é (-1)*[I+A+A^2+A^3+...+A^(n*-1)]. Creio que este resultado possa ser estendido usando autovalores. Em que condições teríamos o seguinte lim A^n=0? Uma matriz sempre comuta com sua inversa. Seja axb a dimensão de A e cxd a dimensão de A^-1. Da definição de multiplicação e igualdade de matrizes devemos ter a=d=n e c=b=n. Logo ambas devem ser obrigatoriamente quadradas. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Um problema de racioc�nio l�gico
Denisson, Primeiro, uma observação terminológica: o problema diz concluir e não inferir. Na Lógica, o termo inferência tem um significado mais abrangente do que o de deduzir ou concluir, mas podemos deixar esta questão de lado por enquanto. Segundo: na Lógica DEDUTIVA -- e isto se aplica também à Matemática clássica ou ortodoxa --, concluir significar extrair uma conclusão NECESSÁRIA (e não meramente POSSÍVEL ou compatível com as premissas). Na Matemática, normalmente estabelecemos uma conclusão DEMONSTRANDO-A com base em regras de dedução. Você é capaz de DEMONSTRAR que, partindo das premissas do problema, pode-se chegar à conclusão de que o Renault é azul? Eu lhe darei um PRÊMIO se conseguir isto!!! Como preparação para o meu próximo e-mail, considere o seguinte problema, que acabo de formular por analogia com o que está sob discussão: início problema Seja x um número real. Das seguintes informações I. x é um inteiro no intervalo [1,10]; II. x é par; pode-se concluir que: (A) x=2. (B) x=3. (C) x=5. (D) x=7. (E) x=9. fim problema O que você responderia? Imagino (pelo menos) duas respostas possíveis: (1) O problema está mal-colocado, pois as condições I e II não são SUFICIENTES para CONCLUIR que x=2. Afinal, os números 4,6 e 8 também satisfazem as condições do problema. (2) O problema está bem-colocado e a resposta é (A). De fato, o enunciado não implica que a solução é única. Você concordaria com a resposta (2)? Carlos César de Araújo Gregos Troianos Educacional LTDA = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
