Re: [obm-l] divida ou dúvida
Voce quer saber de quantas meneiras podemos escolher a,b,c tais que abc=36, certo? Eis a luz entao: fatore 36=2^2*3^2 --- Hermann [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros companheiros da lista, me deem uma luz. De quantos modos diferentes um produto com 3 fatores(pode ser repetido, tipo 36.1.1 ou 2.2.9) dá 36 ? Abraços Hermann __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Geometria analitica
Determine a equacao do lugar geometrico dos pontos de igual potencia em relacao as circunferencias tangentes as retas de equacao x+ y-4=0 e7x-y+4=0 e cujos centros pertencem a reta de equacao 4x + 3y-2=0. Grato__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] Log
log(2)(x/4)=log na base 2 de x/4 log(3)(27/(x+1))=log na base 3 de (27/(x+1)) 5=2+3 =log(2)2^2 +log(3)3^3 abraço, saulo. On 8/14/05, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: logx/ +log*(x+1) =2+3=log2^2 +log3^3= log(2)(x/4)=log(3)(27/(x+1)) como os logaritmos possuem bases diferentes, a igualdade so satisfaz se: 0=0 x=4nao convem 1=1 x/4=2 x=8 satisfaz a resposta, abraço, saulo. On 8/13/05, Miguel Almeida [EMAIL PROTECTED] wrote: log(x) na base 2 + log(x+1) na base 3 = 5 encontre X resposta x=8 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Analitica
Parece mais facil usar uma rotacao de Euler, pelo menos conceitualmente. O angulo de rotacao (apenas bidimensional) seria b = 2(c-d) com tg c = y/x e tg d = a, sendo (x,y) o ponto inicial. Assim as coordenadas do novo ponto seriam x1 = x.cos b + y.sen b = sqrt(x^2+y^2).cos(c-b) y1 =-x.sen b + y.cos b = sqrt(x^2+y^2).sen(c-b) ou, como c-b=2d-c x1=(x - x.a^2 + 2a.y^2)/(1 + a^2) y1=(2a.x - y + y.a^2)/(1 + a^2)] --- fabiodjalma [EMAIL PROTECTED] escreveu: - y = -(1/a)x + C é a forma de qualquer reta perpendicular à reta dada. Para que essa reta passe por P(xo,yo): yo = -(1/a)xo + C = C = yo + xo/a Encontre a interseção das duas retas: -(1/a)x + yo + xo/a = ax = X = (a.yo + xo)/(a^2 + 1) e Y = (a^2.yo + a.xo)/(a^2 + 1) Faça (X,Y) - (xo,yo). Com isso, cria-se o vetor v = [(a.yo - a^2.xo)/(a^2 + 1) , (a.xo - yo)/(a^2 + 1)] Agora adicione v ao ponto (X,Y). Dado um ponto P(x,y) em R^2, teria como achar uma fórmula fechada para saber o ponto simétrico em relação a uma reta da forma y=ax,seria fácil para as bissetrizes , mas qual seria essa fórmula para qualquer valor de a . Obrigado. -- ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria
Ue, pelo menos um dos caras nao e maior que 2 ( o caso do 1 ai escrito, e do 2, que nao e maior ue 2 pois e igual...). E alias vamos fazer logo isso antes que nao de mais! Temos 1/xy+1/xz+1/yz=1. Se xy=c, xz=b, yz=a, temos 1/a+1/b+1/c=1 Suponha a=b=c. Entao se c=4, temos 1/a+1/b+1/c=3/41, absurdo! Logo c=3 Ai e so testar! *c=3 1/a+1/b=2/3 Se b=4 entao 1/a+1/b = 2/4 = 1/2 2/3, nao da! Entao b=3 Mas 3=c=b=3, o que da b=c=3 E (a,b,c)=(3,3,3) da certo. *c=2 Ai 1/a+1/b=1/2 E entao b=4 Testa de novo! **b=4 1/a=1/4 e ai a=4, (a,b,c)=(4,4,2) **b=3 1/a=1/6 (a,b,c)=(6,3,2) **b=2 1/a=0. Nao da! c=1, nao serve! Ai e so transformar cada a,b,c em x,y,z: (xy,xz,yz)=(3,3,3) (xyz)^2=27 (xy,xz,yz)=(4,4,2) (xyz)^2=32 (xy,xz,yz)=(6,3,2) (xyz)^2=36=6^2 A primeira nao serve (3 nao e quadrado perfeito). A segunda tambem nao... Ja temos entao xyz=6, e agora sem dificuldade comclui-se que a solucao apresentada anteriormente e unica (alias e exatamente a solucao que voce achou e satisfaz uma porrada de requisitos adicionais...) P.S.: Como eu ja desconfiava este problema nao tem nada de trigonometria! --- Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] escreveu: E se tivermos, por exemplo, X = 3, Y= 2 e Z = 1 ? Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] escreveu:tg C= tg A + tg B/ 1- tg A. tgB tg C - tg A . tg B .tg C = tg A+tg B tg A . tg B .tg C = tg A+ tg B + tg C Ou seja, se acharmos X,Y,Z tais que XYZ=X+Y+Z, o problema acaba. Isto e algo facil de resolver, e prova que a solucao e mesmo unica. Como o Caio ja disse, e facil ver que pelo menos um dos caras X,Y,Z e no maximo 2. --- Jefferson Franca escreveu: Desculpe, Caio,mas desconfio que não seja. [EMAIL PROTECTED] escreveu: Suponha que 2 dessas tangentes sejam maiores que 2, ou seja, tg A = 2 + x tg B = 2 + y (x,y 0) A + B + C = 180 A + B = 180 -C tg (A + B ) = - tg C tg A + tg B/ 1- tg A. tgB = (4+x+y)/1- (4 + 2(x+y) +xy) = (4 + x + y )/ -(3 + 2(x+y) +xy) tg C = (4+x+y)/(3+ 2x + 2y +xy) Teremos que tg C 2 = 4 + x + y 6 + 4x + 4y + 2xy = 2 + 3x + 3y + 2xy0 Como por hipótese, x e y sao positivos , essa soma nunca é negativa ou seja, nunca vale que tg C 2 ou seja, é impossível ter as 3 tangentes maior que 2 (simultaneamente) Ou seja, a solução dada pelo nosso amigo é unica! ''-- Mensagem Original -- ''Date: Wed, 10 Aug 2005 12:19:32 -0700 ''From: Marcio ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: Re: [obm-l] trigonometria ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''On Wed, 10 Aug 2005 06:20:13 -0700, Jefferson Franca '' wrote: '' '' Será que alguém já viu esta questão ou tem alguma idéia de como resolver '' '' ? '' Sejam a ,b e c ângulos internos de umtriângulo e, supondo que as '' tangentes dos três ângulos sejam números inteiros e positivos, calcule '' '' essas tangentes. '' Valeu '' '' __ '' Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger '' http://br.download.yahoo.com/messenger/ '' '' '' ''-- ''Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ '' ''Oi, Jefferson. '' ''Se não errei nada, aqui vai. '' ''Ângulos: a, b e c '' ''a + b + c = 180 = tg(a + b + c)= tg 180, ou seja, tg(a + b + c) = 0 '' ''Daí, tg(a + b) + tg(c) = 0. '' ''No final das contas, chega-se a '' ''tg a + tg b + tg c = (tg a)(tg b)(tg c) '' ''Como as tangentes são números inteiros e positivos, uma opção (não sei se '' ''única) é '' ''tg a = 1, tg b = 2 e tg c = 3 '' '' ''[]s, '' ''Márcio. ''= ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ''= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
Bom dia a todos Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um intervalo I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja uniformemente em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia de numero reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge uniformemente em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao eh realmente essencial? Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das primitivas? Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao alguma conclusao interessante, alem de que g eh continua? Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n sao Lipschitz, mas nao sei qual eh. Obrigado Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] divida ou dúvida
Pensei nessa fatoração mas não atingi a resposta ou seja não sei fazer o exercício - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, August 16, 2005 10:45 AM Subject: Re: [obm-l] divida ou dúvida Voce quer saber de quantas meneiras podemos escolher a,b,c tais que abc=36, certo? Eis a luz entao: fatore 36=2^2*3^2 --- Hermann [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros companheiros da lista, me deem uma luz. De quantos modos diferentes um produto com 3 fatores(pode ser repetido, tipo 36.1.1 ou 2.2.9) dá 36 ? Abraços Hermann __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
De: [EMAIL PROTECTED] Para: "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 Assunto: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas Bom dia a todos Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um intervalo I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja uniformemente em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia de numero reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge uniformemente em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao eh realmente essencial? Sim. Suponha que f_n:I - Ré dada por: f_n(x) = x + (-1)^n. Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge uniformemente para a função constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não converge. Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não converge. Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das primitivas? Não, conforme o exemplo acima. Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao alguma conclusao interessante, alem de que g eh continua? Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua == f_n' integrável. Mas continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) para algum u. Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n sao Lipschitz, mas nao sei qual eh. Me parece que a condição de (f_n(u)) ser convergente para algum u permanece necessária. []s, Claudio.
RES: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
Eh,de fato, acho que a condicao eh essencial mesmo.Eu naoconheco outro teorema neste sentido. Ruim para o trabalho que estou desenvolvendo Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 16 de agosto de 2005 15:41Para: obm-lAssunto: Re:[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas De: [EMAIL PROTECTED] Para: "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 Assunto: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas Bom dia a todos Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um intervalo I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja uniformemente em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia de numero reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge uniformemente em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao eh realmente essencial? Sim. Suponha que f_n:I - Ré dada por: f_n(x) = x + (-1)^n. Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge uniformemente para a função constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não converge. Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não converge. Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das primitivas? Não, conforme o exemplo acima. Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao alguma conclusao interessante, alem de que g eh continua? Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua == f_n' integrável. Mas continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) para algum u. Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n sao Lipschitz, mas nao sei qual eh. Me parece que a condição de (f_n(u)) ser convergente para algum u permanece necessária. []s, Claudio.
Re: [obm-l] Geometria analitica
cada circunferencia tem que tangenciar as duas retas ao mesmo tempo? On 8/16/05, Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] wrote: Determine a equacao do lugar geometrico dos pontos de igual potencia em relacao as circunferencias tangentes as retas de equacao x+ y-4=0 e 7x-y+4=0 e cujos centros pertencem a reta de equacao 4x + 3y-2=0. Grato __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Rodízio de pneus
Suponha que os pneus novos de um automóvelduram 3km quando usados nas rodas dianteiras e 5km quando usados nas rodas traseiras. Seja N o número máximo de quilômetros que um carro pode rodar começando com 4 pneus novos e fazendo um rodízio adequado entre eles. Qual o valor de N? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria analitica
o enunciado seria .. DetermineUMA (delas) equacao do lugar... acho q deve-se considerar todos os casos.. RESP: 9x-12y+13=0 saulo nilson [EMAIL PROTECTED] escreveu: cada circunferencia tem que tangenciar as duas retas ao mesmo tempo?On 8/16/05, Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Determine a equacao do lugar geometrico dos pontos de igual potencia em relacao as circunferencias tangentes as retas de equacao x+ y-4=0 e 7x-y+4=0 e cujos centros pertencem a reta de equacao 4x + 3y-2=0. Grato __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] CURSOS NO IMPA ( OFF - TOPIC)
Caros amigos, possuo grande interesse em participar de cursos no IMPA. Gostaria de saber como devo proceder, uma vez que ainda sou aluno do terceiro ano do curso de licenciatura. Desculpem-me o off-topic e muito obrigado àqueles que colaborarem comigo. Obs: Ficaria extremamente grato se me mandassem a resposta para o meu e-mail [EMAIL PROTECTED] Muitissimo Obrigado Alan uchoa Pellejero Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Problema de Conjuntos
Tem como resolver esse problema com teoria de conjuntos também? É que ele se encontra no capítulo sobre conjuntos. Em um exame vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos, 20% optaram pelo curso de Direito. Do total dos candidatos, qual a porcentagem dos que optaram por Direito? Resp: 6% Pessoal, obrigado pela ajuda! Susanna [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olha, a respeito de porcentagem:é simples! porcento quer dizer "por cem" ou "dividido por 100" sempre que for fazer conta com porcentagem transforme o número em algo / 100.(20% = 20/100 = 0,2)outra dica: "de" em matemática sempre quer dizer multiplicação. então20% de 30% é = a 20% vezes 30%.e exercícios de matemática básica, você pode encontrar em qual querlivro de matemática de colégio. fale com seu professor. tenho certezaque poderá te ajudar.boa sorte e não desista!On 8/13/05, admath <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Alguém me recomenda alguns exercícios como este pra eu treinar? Estou horrível em matemática básica. Obrigado. Júnior <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: 0,2 x 0,3 = 0,06 = 6% Alguém pode me ajudar nesta? Em um ! exame vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos, 20% optaram pelo curso de Direito. Do total dos candidatos, qual a porcentagem dos que optaram por Direito? Resp: 6% Obrigado.__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
[obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Rodízio de pneus
Suponhamos que após o carro percorrer xkm seja feita a troca ea partir daí o carro rode mais ykm. Para que a distância seja máxima o percentual degasto deve ser de 100%. Logo x/30+y/50 = 1 Após a troca x/50+y/30 = 1 Resolvendo o sistema x = 300/16 mil km y = 300/16 mil km Distância máxima = x+y = 600/16 = 37,5mil km De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 16 Aug 2005 19:29:23 -0200 Assunto: [Spam] [obm-l] Rodízio de pneus Suponha que os pneus novos de um automóvelduram 3km quando usados nas rodas dianteiras e 5km quando usados nas rodas traseiras. Seja N o número máximo de quilômetros que um carro pode rodar começando com 4 pneus novos e fazendo um rodízio adequado entre eles. Qual o valor de N? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente.Para alterar a categoria classificada, visite o Terra Mail Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 16/08/2005 / Versão: 4.4.00/4559Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ Fábio Bernardo [EMAIL PROTECTED] Tel. 2676-6854
[obm-l] Dúvida de Trig. Básica
Por que um grau se divide em 60 minutos? Obrigado.__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] trigonometria
Meu caro amigo e ex aluno Eurico, vc não deve ter pensado no seguinte: a + b + c = a.b.c = (1/bc) + (1/ac) + (1/ab) = 1 e, suponha que bc = 3, ac = 3 e ab = 3, ese tivéssemos bc = 2, ac = 4 e ab = 4? Eu, sinceramente acho queesta questão não tem só uma solução como vc afirma. Valeu e abraço Antonio Eurico Dias [EMAIL PROTECTED] escreveu: E completando o raciocinio do Dirichlet: TgA + TgB + TgC = TgA. TgB. TgC a + b + c = a.b.c = abc - a = b + c = a (bc - 1) = b + c a = (b + c) / (bc - 1), como a é inteiro positivo: b + c = bc - 1 = bc - b = c + 1 b.(c - 1) = c + 1 = b = (c+1)/(c-1) = b =1 + 2/(c-1) Logo, como b também é inteiro c - 1 =2 ou c -1 = 1, que levam ao unico conjunto de solucoes inteiras positivas (1 , 2 , 3)... Eurico Sistema Elite de Ensino - Unidade Belém Start your day with Yahoo! - make it your home page __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] trigonometria
Obrigado , mas acho que vc não analisou direito esta questão e perceba que ela é sim de trigonometria!!! Valeu e um abraçoJohann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ue, pelo menos um dos caras nao e maior que 2 ( o casodo 1 ai escrito, e do 2, que nao e maior ue 2 pois eigual...).E alias vamos fazer logo isso antes que nao de mais!Temos 1/xy+1/xz+1/yz=1. Se xy=c, xz=b, yz=a, temos1/a+1/b+1/c=1Suponha a=b=c. Entao se c=4, temos1/a+1/b+1/c=3/41, absurdo!Logo c=3Ai e so testar!*c=31/a+1/b=2/3Se b=4 entao 1/a+1/b = 2/4 = 1/2 2/3, nao da!Entao b=3Mas 3=c=b=3, o que da b=c=3E (a,b,c)=(3,3,3) da certo.*c=2Ai 1/a+1/b=1/2E entao b=4Testa de novo!**b=41/a=1/4 e ai a=4, (a,b,c)=(4,4,2)**b=31/a=1/6(a,b,c)=(6,3,2)**b=21/a=0. Nao da!c=1, nao serve!Ai e so transformar cada a,b,c em x,y,z:(xy,xz,yz)=(3,3,3) (xyz)^2=27(xy,xz,yz)=(4,4,2) (xyz)^2=32(xy,xz,yz)=(6,3,2) (xyz)^2=36=6^2A primeira nao serve (3 nao e quadrado perfeito).A segunda tambem nao...Ja temos entao xyz=6, e agora sem dificuldadecomclui-se que a solucao apresentada anteriormente eunica (alias e exatamente a solucao que voce achou esatisfaz uma porrada de requisitos adicionais...)P.S.: Como eu ja desconfiava este problema nao temnada de trigonometria!--- Jefferson Franca <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: E se tivermos, por exemplo, X = 3, Y= 2 e Z = 1 ? Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]>escreveu:tg C= tg A + tg B/ 1- tg A. tgB tg C - tg A . tg B .tg C = tg A+tg B tg A . tg B .tg C = tg A+ tg B + tg C Ou seja, se acharmos X,Y,Z tais que XYZ=X+Y+Z, o problema acaba. Isto e algo facil de resolver, e prova que a solucao e! mesmo unica. Como o Caio ja disse, e facil ver que pelo menos um dos caras X,Y,Z e no maximo 2. --- Jefferson Franca escreveu: Desculpe, Caio,mas desconfio que não seja.[EMAIL PROTECTED] escreveu: Suponha que 2 dessas tangentes sejam maiores que 2, ou seja, tg A = 2 + x tg B = 2 + y (x,y 0)A + B + C = 180 A + B = 180 -C tg (A + B ) = - tg C tg A + tg B/ 1- tg A. tgB = (4+x+y)/1- (4 + 2(x+y) +xy) = (4 + x + y )/ -(3 + 2(x+y) +xy)tg C = (4+x+y)/(3+ 2x + 2y +xy)Teremos que tg C 2 = 4 + x + y 6 + 4x + 4y + 2xy = 2 + 3x + 3y + 2xy0 Como por hipótese, x e y sao positivos , essa soma nunca é negativa! t; ou seja, nunca vale que tg C 2ou seja, é impossível ter as 3 tangentes maior que 2 (simultaneamente)Ou seja, a solução dada pelo nosso amigo é unica!''-- Mensagem Original -- ''Date: Wed, 10 Aug 2005 12:19:32 -0700 ''From: Marcio ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: Re: [obm-l] trigonometria ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''On Wed, 10 Aug 2005 06:20:13 -0700, Jefferson Franca '' wrote: '' '' Será que alguém já viu esta questão ou tem alguma idéia de como resolver '' '' ? '' Sejam a ,! b e c ângulos internos de umtriângulo e, supondo que as '' tangentes dos três ângulos sejam números inteiros e positivos, calcule '' '' essas tangentes. '' Valeu '' '' __ '' Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger '' http://br.download.yahoo.com/messenger/ '' '' '' ''-- ''Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ '' ''Oi, Jefferson. '' ''Se não errei nada, aqui vai. '' ''Ângulos: a, b e c '' ''a + b + c = 180 = tg! (a + b + c)= tg 180, ou seja, tg(a + b + c) = 0 '' ''Daí, tg(a + b) + tg(c) = 0. '' ''No final das contas, chega-se a '' ''tg a + tg b + tg c = (tg a)(tg b)(tg c) '' ''Como as tangentes são números inteiros e positivos, uma opção (não sei se '' ''única) é '' ''tg a = 1, tg b = 2 e tg c = 3 '' '' ''[]s, '' ''Márcio. ''= ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ''= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =- Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Ins! truções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=- Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!__Converse com seus amigos em
