[obm-l] Problemas de Teoria de Numeros
Pessoal, estou com alguns problemas de Teoria de Números que não sei como resolver. 1. Provar que para p primo (p-1)!=p-1 (mod 1+2+3+...+(p-1)) 2. Encontrar o máximo divisor comum de (p-1)!-1 e p!, com p primo. 3. Mostrar que para n=4 o resto da divisão por 12 de 1!+2!+3!+...+n! é 9. 4. Mostrar que para todo n inteiro 3n^2-1 nunca é um quadrado. 5. Mostrar que 5n^3+7n^5=0 (mod 12) para todo n. 6. Seja f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n um polinômio com coeficientes inteiros onde a_n0 e n=1. Mostrar que f(x) é composto para infinitos valores da variável x. 7. Mostrar que para a e b inteiros, com (a, b)=1 temos a^fi(b)+b^fi(a)=1 (mod ab) Será que alguém pode me ajudar a resolvê-los? Obrigado, Aldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ESTRATÉGIA VENCEDORA!
Meus Colegas! Após o massacre mental das verdades e mentiras, nada melhor que um bom jogo... Dois jogadores colocam alternadamente moedas sobre uma mesa redonda, sem sobrepor as moedas. O jogador que não puder colocar uma moeda perde. Quem tem a estratégia vencedora? Existem duas pilhas com 7 pedras cada. Na sua vez, um jogador pode retirar quantas pedras ele quiser, mas somente de uma das pilhas. O perdedor é o jogador que não puder jogar. Quem tem a estratégia vencedora? Existem duas pilhas de bombons. Uma contém 20 bombons e a outra 21. Jogadores comem alternadamente todos os bombons de uma das pilhas e separam a outra em duas menores. O jogador que não puder realizar tal jogada perde. Quem tem a estratégia vencedora? Boa Diversão! _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] HABILIDADE CRIATIVA!
...continuando o nosso jogo criativo da estratégia vencedora, segue mais um convite à criatividade... Dizem que quando um determinado analista prevê uma subida no mercado, o mercado sempre sobe. Você deve checar essa declaração. Examine a informação disponível sobre os quatro eventos seguintes (cartões): Cartão 1 (Previsão: Relatório favorável); Cartão 2 (Previsão: Relatório desfavorável); Cartão 3 (Resultado: Subida no mercado); Cartão 4 (Resultado: Queda no mercado). Você pode ver as previsões (cartões 1 e 2) ou os resultados (cartões 3 e 4) associados a quatro eventos. Você está vendo um dos lados de um cartão. No outro lado dos cartões 1 e 2 estão os resultados reais, ao passo que no outro lado dos cartões 3 e 4 está a previsão que o analista fez. A evidência sobre a declaração está potencialmente disponível virando-se o cartão (ou os cartões). Que cartões você viraria para obter a evidência mínima de que você vai precisar para checar a declaração do analista? Sobre uma mesa há 137 fichas iguais, cada uma com o lado vermelho e outro azul, sendo que 10 estão com o lado vermelho para cima e as outras com o lado azul. Você está de olhos vendados e deve separar as fichas em dois grupos, cada um com a mesma quantidade de fichas vermelhas. Você pode virar as fichas se necessário. Como fazer? Divirtam-se! _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ajuda em diofantina
Companheiros, continuo aguardando ajuda, obrigado Mostre q não tem soluções inteiras as seguintes equações: a)x*13+12x+13y*5 = 1 b) x*2-14y*3 = 3 Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora!
[obm-l] geometria
a resposta é 600 cm^2. quem poderia dizer como responder a questão a baixo? A diagonal de um losango mede 40 cm e a altura 24 cm.Qual a área desse losango? ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Problemas de Teoria de Numeros
De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 28 Sep 2005 07:46:35 -0300 Assunto: [obm-l] Problemas de Teoria de Numeros Pessoal, estou com alguns problemas de Teoria de Números que não sei como resolver. 1. Provar que para p primo (p-1)!=p-1 (mod 1+2+3+...+(p-1)) módulo = p(p-1)/2 Obviamente, (p-1)! == p-1 ( == 0 ) (mod (p-1)/2) T. de Wilson == (p-1)! == p-1 (mod p) Logo, (p-1)! == p-1 (mod p(p-1)/2). 2. Encontrar o máximo divisor comum de (p-1)!-1 e p!, com p primo. p divide ambos e, além disso, p^2 não divide p!. Qualquer primo maior do que p não divide p! Qualquer primo menor do quep não divide (p-1)! - 1. Logo, mdc = p. 3. Mostrar que para n=4 o resto da divisão por 12 de 1!+2!+3!+...+n! é 9. Para n = 4, n! é divisível por 12. Logo, Soma == 1! + 2!+ 3! == 9 (mod 12). 4. Mostrar que para todo n inteiro 3n^2-1 nunca é um quadrado. Um quadrado só pode ser == 0 ou 1 (mod 3), pois: k == 0, 1, 2 (mod 3) == k^2 == 0, 1, 1 (mod 3), respectivamente. 3n^2 - 1 == 2 (mod 3). Logo, não pode ser quadrado. 3n^2 - m^2 = 1 == 5. Mostrar que 5n^3+7n^5=0 (mod 12) para todo n. Usando pequeno Fermat e propriedades das congruências, teremos: Mod 3: 5n^3 + 7n^5 == 2n + n = 3n == 0 Mod 4: 5n^3 + 7n^5 == n^3 - n^5 = -n^3(n - 1)(n + 1) == 0, pois se n for par, então 8 | n^3 e se n for ímpar então n-1 e n+1 serão pares. 6. Seja f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n um polinômio com coeficientes inteiros onde a_n0 e n=1. Mostrar que f(x) é composto para infinitos valores da variável x. Suponhamos que f(c) = p = primo, para algum inteiro c (se um tal c não existir, então acabou!). f(x) - f(c) = (x - c)*g(x), para um certo g(x) == f(x) = (x - c)*g(x) + p. Além disso, como a_n 0, g(x) 0 para x suficientemente grande. Tome x = t*p - c, com t inteiro. Então, f(t*p - c) = p*(t*g(t*p - c) + 1). Para todo t suficientemente grande, t*g(t*p - c) + 1 1 == f(t*p - c) = múltiplo de p = composto. 7. Mostrar que para a e b inteiros, com (a, b)=1 temos a^fi(b)+b^fi(a)=1 (mod ab) T. de Euler == a^fi(b) == 1 (mod a) e b^fi(a) == 1 (mod b). Logo, (a^fi(b) - 1)(b^fi(a) - 1) == 0 (mod ab) == a^fi(b)*b^fi(a) - (a^fi(b) + b^fi(a)) + 1 == 0 (mod ab) == Mas a^fi(b)*b^fi(a) == 0 (mod ab), donde segue o resultado desejado. []s, Claudio.
Re: [obm-l] Problemas de Teoria de Numeros
As soluções de algumas das questões seguem abaixo. Pessoal, estou com alguns problemas de Teoria de Números que não sei como resolver. 1. Provar que para p primo (p-1)!=p-1 (mod 1+2+3+...+(p-1)) 2. Encontrar o máximo divisor comum de (p-1)!-1 e p!, com p primo. Seja d = mdc [(p - 1)! - 1, p!] = d | (p - 1)! - 1 e d | p! = d | p[(p - 1)! - 1] - p! = d | - p = d = 1 ou d = p Entretanto, pelo teorema de Wilson, temos que (p - 1)! = - 1 (mpd. p), ou seja, (p - 1)! - 1 = - 2 (mod. p), ou seja, p não divide (p - 1)! - 1. Logo, a única possibilidade é d = 1. 3. Mostrar que para n=4 o resto da divisão por 12 de 1!+2!+3!+...+n! é 9. Como para n = 4 temos que 12 | n!, então o resto da divisão de 1!+2!+3!+...+n! por 12 é igual ao resto da divisão de 1! + 2! + 3! = 9 por 12, que vale 9. 4. Mostrar que para todo n inteiro 3n^2-1 nunca é um quadrado. Observe que: (3x)^2 = 9x^2 = 3k, (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 = 3(3x^2 + 2x) + 1 = 3k + 1, (3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4 = 3(3x^2 + 4x + 1) + 3 = 3k + 1 Logo, todo quadrado perfeito deixa resto o ou 1 na divisão por 3. Como 3n^2 - 1 deixa resto 2 na divisão por 3 então não pode ser quadrado perfeito. 5. Mostrar que 5n^3+7n^5=0 (mod 12) para todo n. 6. Seja f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n um polinômio com coeficientes inteiros onde a_n0 e n=1. Mostrar que f(x) é composto para infinitos valores da variável x. 7. Mostrar que para a e b inteiros, com (a, b)=1 temos a^fi(b)+b^fi(a)=1 (mod ab) Até mais, Marcelo Rufino Será que alguém pode me ajudar a resolvê-los? Obrigado, Aldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ajuda em diofantina
Respondo suas questões abaixo de cada uma. - Original Message - From: nilton rr To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, September 28, 2005 9:14 AM Subject: [obm-l] ajuda em diofantina Companheiros, continuo aguardando ajuda, obrigado Mostre q não tem soluções inteiras as seguintes equações: a)x*13+12x+13y*5 = 1 Pelo Teorema de Fermat x^13 = x (mod. 13) Além disso, 12.x = - x (mod. 13) e 13.y^5 = 0 (mod. 13) Somando estas congruências obtemos x^13 + 12x + 13y^5 = 0 (mod. 13), não podendo valer 1, pois 1 não é divisível por 13. b) x*2-14y*3 = 3 se x = 0 (mod. 7) então x^2 = 0 (mod. 7) se x = +/- 1 (mod. 7) então x^2 =1 (mod. 7) se x =+/- 2(mod. 7) então x^2 =4 (mod. 7) se x =+/- 3(mod. 7) então x^2 =2 (mod. 7)Assim, x^2 - 14y^3 =0 ou 1 ou 2 ou 4 (mod. 7), não podendo valer 3 Até mais, Marcelo Rufino Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora!
Re: [obm-l] ajuda em diofantina
q q significa x*2x elevado ao quadrado??? --- nilton rr [EMAIL PROTECTED] escreveu: Companheiros, continuo aguardando ajuda, obrigado Mostre q não tem soluções inteiras as seguintes equações: a)x*13+12x+13y*5 = 1 b) x*2-14y*3 = 3 - Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas de Teoria de Numeros
Eu não entendi porque o Cláudio Buffara deu a solução abaixo pra questão Encontrar o máximo divisor comum de (p-1)!-1 e p!, com p primo e a resposta do Marcelo Rufino deu diferente? Tem alguma razão? Onde está o erro? -- Resposta do Cláudio Buffara p divide ambos e, além disso, p^2 não divide p!. Qualquer primo maior do que p não divide p! Qualquer primo menor do que p não divide (p-1)! - 1. Logo, mdc = p. -- Resposta do Marcelo Rufino Seja d = mdc [(p - 1)! - 1, p!] = d | (p - 1)! - 1 e d | p! = d | p[(p - 1)! - 1] - p! = d | - p = d = 1 ou d = p Entretanto, pelo teorema de Wilson, temos que (p - 1)! = - 1 (mpd. p), ou seja, (p - 1)! - 1 = - 2 (mod. p), ou seja, p não divide (p - 1)! - 1. Logo, a única possibilidade é d = 1. Abraços, Aldo Marcelo Rufino wrote: As soluções de algumas das questões seguem abaixo. Pessoal, estou com alguns problemas de Teoria de Números que não sei como resolver. 1. Provar que para p primo (p-1)!=p-1 (mod 1+2+3+...+(p-1)) 2. Encontrar o máximo divisor comum de (p-1)!-1 e p!, com p primo. Seja d = mdc [(p - 1)! - 1, p!] = d | (p - 1)! - 1 e d | p! = d | p[(p - 1)! - 1] - p! = d | - p = d = 1 ou d = p Entretanto, pelo teorema de Wilson, temos que (p - 1)! = - 1 (mpd. p), ou seja, (p - 1)! - 1 = - 2 (mod. p), ou seja, p não divide (p - 1)! - 1. Logo, a única possibilidade é d = 1. 3. Mostrar que para n=4 o resto da divisão por 12 de 1!+2!+3!+...+n! é 9. Como para n = 4 temos que 12 | n!, então o resto da divisão de 1!+2!+3!+...+n! por 12 é igual ao resto da divisão de 1! + 2! + 3! = 9 por 12, que vale 9. 4. Mostrar que para todo n inteiro 3n^2-1 nunca é um quadrado. Observe que: (3x)^2 = 9x^2 = 3k, (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 = 3(3x^2 + 2x) + 1 = 3k + 1, (3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4 = 3(3x^2 + 4x + 1) + 3 = 3k + 1 Logo, todo quadrado perfeito deixa resto o ou 1 na divisão por 3. Como 3n^2 - 1 deixa resto 2 na divisão por 3 então não pode ser quadrado perfeito. 5. Mostrar que 5n^3+7n^5=0 (mod 12) para todo n. 6. Seja f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n um polinômio com coeficientes inteiros onde a_n0 e n=1. Mostrar que f(x) é composto para infinitos valores da variável x. 7. Mostrar que para a e b inteiros, com (a, b)=1 temos a^fi(b)+b^fi(a)=1 (mod ab) Até mais, Marcelo Rufino Será que alguém pode me ajudar a resolvê-los? Obrigado, Aldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria
Ola Ary 01.Pode-se combinar a lei dos senos , relacionando senC e senA (*), com a lei dos cossenos que fornece cosA = 3/4. Do ultimo obtem-se senA que em (*) fornece senC. Combinanado senA e cosA, voce obtem-se sen 2A e pode-se comparar. 02. E so lembrar que sen 20°= sen(30°-10°) ou (1/2)*cos 10° - (sqrt3/2)*sen 1)° = sen 20°, para obter y = 4. []s Wilner --- matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] escreveu: Gostaria que me ajudassem nestas questões, a primeira tentei usar a lei dos senos mais não conseguir finalizar , e a segunda questão não sei como fazer. 01.Os lados de um triangulo ABC medem a =4 , b = 5 e c =6.Mostre que o ângulo C = 2Â(Livro de trigonometria da SBM) 02.Calcule y = 1 / sen 10 3^1/2 / cos 10 ( Questão 25 do livro de trigonometria da SBM 1ª edição) Agradeço desde de já Ary Queroz ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria
--- matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] escreveu: Gostaria que me ajudassem nestas questões, a primeira tentei usar a lei dos senos mais não conseguir finalizar , e a segunda questão não sei como fazer. 01.Os lados de um triangulo ABC medem a =4 , b = 5 e c =6.Mostre que o ângulo C = 2Â(Livro de trigonometria da SBM) 02.Calcule y = 1 / sen 10 3^1/2 / cos 10 ( Questão 25 do livro de trigonometria da SBM 1ª edição) Agradeço desde de já Ary Queroz ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria
1-pela lei dos senos: senA/senC = a/c = 2/3 pela lei dos cossenos: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cosA, logo cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/2bc = 3/4 Assim, (sen2A/senC) = (2senA.cosA)/senC = 2(2/3)(3/4) = = 1.Como o triângulo eh acutangulo, A=2C 2- 1/sen10-(3^1/2)/cos10 = = (cos10 - (3^1/2)sen10)/sen10.cos10 = = (cos10.1/2 - (3^1/2)sen10(1/2))/sen10cos10(1/2) = = (sen30.cos10 - cos30.sen10)/2sen10cos10(1/2) = = (sen20)/sen20.(1/2)= 2. --- matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] escreveu: Gostaria que me ajudassem nestas questões, a primeira tentei usar a lei dos senos mais não conseguir finalizar , e a segunda questão não sei como fazer. 01.Os lados de um triangulo ABC medem a =4 , b = 5 e c =6.Mostre que o ângulo C = 2Â(Livro de trigonometria da SBM) 02.Calcule y = 1 / sen 10 3^1/2 / cos 10 ( Questão 25 do livro de trigonometria da SBM 1ª edição) Agradeço desde de já Ary Queroz ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria
Editando erro de redacao na digitacao: Ola Ary 01.Pode-se combinar a lei dos senos , relacionando senC e senA (*), com a lei dos cossenos que fornece cosA = 3/4. Do ultimo obtem-se senA que em (*) fornece senC. Combinanado senA e cosA, voce obtem sen 2A e pode comparar. 02. E so lembrar que sen 20°= sen(30°-10°) ou (1/2)*cos 10° - (sqrt3/2)*sen 1)° = sen 20°, para obter y = 4. []s Wilner --- matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] escreveu: Gostaria que me ajudassem nestas questões, a primeira tentei usar a lei dos senos mais não conseguir finalizar , e a segunda questão não sei como fazer. 01.Os lados de um triangulo ABC medem a =4 , b = 5 e c =6.Mostre que o ângulo C = 2Â(Livro de trigonometria da SBM) 02.Calcule y = 1 / sen 10 3^1/2 / cos 10 ( Questão 25 do livro de trigonometria da SBM 1ª edição) Agradeço desde de já Ary Queroz ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Função Complexa
Muito obrigado!! Ficou tudo bem claro. Até a próxima. Paulo Cesar
[obm-l] Primeiro dia - XX Ibero
Oi pessoal,
Estou trazendo notícias da Ibero.
Nossa viagem foi um pouco complicada. Qdo chegamos no aeroporto de Guarulhos
descobrimos que nosso voo, que partiu de RJ, teria uma troca para uma aeronave
menor, e isso causou um overbooking enorme.
Entao todos que partiam de SP, eu, Gabriel, Thiago e Rafael, tivemos que
arranjar outros voos. O Thomaz acabou indo no voo certo, pq saiu de RJ.
Nós fomos para Santiago, dormimos lá, e no outro dia seguimos viagem para
Bogotá, e por fim Cartagena. Pelo menos íamos chegar um dia antes, entao
todos puderam descansar bem.
Sobre a prova: o 1o dia foi ontem, e o 2o está acontecendo nesse instante.
Segue abaixo a prova de ontem:
PROBLEMA 1
Determine todas as ternas de números reais (x,y,z) tais que
xyz = 8 ,
x^2y + y^2z + z^2x = 73 ,
x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2 = 98.
PROBLEMA 2
Uma pulga salta sobre pontos inteiros da reta numérica. Em seu primeiro
movimento ela salta do ponto 0 ao ponto 1. Em seguida, se em um movimento
ela salta do ponto A e cai no ponto B, entao no proximo movimento ela salta
do ponto B e cai em um dos pontos
B + (B-A) - 1 , B + (B-A) , B + (B-A) + 1 .
Mostre que se a pulga caiu duas vezes sobre o ponto n, n inteiro positivo,
entao ela fez pelo menos t movimentos, onde t é o menor inteiro maior ou
igual a 2.n^(1/2).
PROBLEMA 3
Seja p3 um primo. Se
\sum_{i=1}^{p-1} 1/(i^p) = n/m,
onde mdc(n,m)=1, mostre que p^3 divide n.
Como foram os meninos: parece que todos fizeram o 1 e 3 bem rápido, e ficaram
o resto da prova no 2. O Gabriel e Rafael conseguiram fazer, o Thomaz acho
que chegou relativamente perto e o Thiago nao fez muita coisa.
Hj comecaremos a correccao. Qto já tivermos algo certo enviaremos pra vcs.
Abraccos,
Yuri
Até mais,
Yuri
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] ajuda em diofantina
Sim, é x ao quadrado.Paulo Melo [EMAIL PROTECTED] escreveu: q q significa x*2x elevado ao quadrado???--- nilton rr <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: Companheiros, continuo aguardando ajuda, obrigado Mostre q não tem soluções inteiras as seguintes equações: a)x*13+12x+13y*5 = 1 b) x*2-14y*3 = 3 - Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instaleagora!___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora!
[obm-l] A. Combinatoria
Preciso de ajuda nesses 2 probleminhas: 1- Mostrar que 2n pessoas podem sentar-se em duas mesas redondas, acomodando cada uma n pessoas, de (2n)!/n^2 maneiras diferentes. 2- Numa festa há 6 rapazes desacompanhados e 10 moças desacompanhadas. Quantos são os estados possiveis no fim da festa ? Júnior.
Re: [obm-l] Problemas de Teoria de Numeros
Por que a^fi(b)*b^fi(a) == 0 (mod ab) ? claudio.buffara wrote: *De:* [EMAIL PROTECTED] *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Cópia:* *Data:* Wed, 28 Sep 2005 07:46:35 -0300 *Assunto:* [obm-l] Problemas de Teoria de Numeros Pessoal, estou com alguns problemas de Teoria de Números que não sei como resolver. 1. Provar que para p primo (p-1)!=p-1 (mod 1+2+3+...+(p-1)) módulo = p(p-1)/2 Obviamente, (p-1)! == p-1 ( == 0 ) (mod (p-1)/2) T. de Wilson == (p-1)! == p-1 (mod p) Logo, (p-1)! == p-1 (mod p(p-1)/2). 2. Encontrar o máximo divisor comum de (p-1)!-1 e p!, com p primo. p divide ambos e, além disso, p^2 não divide p!. Qualquer primo maior do que p não divide p! Qualquer primo menor do que p não divide (p-1)! - 1. Logo, mdc = p. 3. Mostrar que para n=4 o resto da divisão por 12 de 1!+2!+3!+...+n! é 9. Para n = 4, n! é divisível por 12. Logo, Soma == 1! + 2! + 3! == 9 (mod 12). 4. Mostrar que para todo n inteiro 3n^2-1 nunca é um quadrado. Um quadrado só pode ser == 0 ou 1 (mod 3), pois: k == 0, 1, 2 (mod 3) == k^2 == 0, 1, 1 (mod 3), respectivamente. 3n^2 - 1 == 2 (mod 3). Logo, não pode ser quadrado. 3n^2 - m^2 = 1 == 5. Mostrar que 5n^3+7n^5=0 (mod 12) para todo n. Usando pequeno Fermat e propriedades das congruências, teremos: Mod 3: 5n^3 + 7n^5 == 2n + n = 3n == 0 Mod 4: 5n^3 + 7n^5 == n^3 - n^5 = -n^3(n - 1)(n + 1) == 0, pois se n for par, então 8 | n^3 e se n for ímpar então n-1 e n+1 serão pares. 6. Seja f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n um polinômio com coeficientes inteiros onde a_n0 e n=1. Mostrar que f(x) é composto para infinitos valores da variável x. Suponhamos que f(c) = p = primo, para algum inteiro c (se um tal c não existir, então acabou!). f(x) - f(c) = (x - c)*g(x), para um certo g(x) == f(x) = (x - c)*g(x) + p. Além disso, como a_n 0, g(x) 0 para x suficientemente grande. Tome x = t*p - c, com t inteiro. Então, f(t*p - c) = p*(t*g(t*p - c) + 1). Para todo t suficientemente grande, t*g(t*p - c) + 1 1 == f(t*p - c) = múltiplo de p = composto. 7. Mostrar que para a e b inteiros, com (a, b)=1 temos a^fi(b)+b^fi(a)=1 (mod ab) T. de Euler == a^fi(b) == 1 (mod a) e b^fi(a) == 1 (mod b). Logo, (a^fi(b) - 1)(b^fi(a) - 1) == 0 (mod ab) == a^fi(b)*b^fi(a) - (a^fi(b) + b^fi(a)) + 1 == 0 (mod ab) == Mas a^fi(b)*b^fi(a) == 0 (mod ab), donde segue o resultado desejado. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geo Plan 2
Seja ABCD o losango, com BCD CBA. Projete ortogonalmente C em AB = H. Seja L o lado do losango e X = BH. Temos (L + X)^2 + 24^2 = 40^2 X^2 + 24^2 = L^2 = L + X = 32 (L+X)(L-X) = 24^2 = L = 25. E agora S = L*24 = 600. On 9/27/05, elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: ola, amigo! queria eu q fosse, mas o livro diz q é 600 cm^2 --- Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] escreveu: A área é (40 x 24)/2 = 480 cm^2, nao é? elton francisco ferreira wrote: A diagonal de um losango mede 40 cm e a altura 24 cm. qual a área desse losango? ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ajuda em diofantina
Reduzindo a 1a. equação mod 13, teremos: x^13 - x == 1 (mod 13). Mas o pequeno teorema de Fermat implica que x^13 - x == 0 (mod 13) para todo x inteiro. Logo, a congruência não tem solução e, portanto, com mais razão ainda, a equação diofantina não tem solução. Reduzindo a 2a. equação mod7 teremos: x^2==3 (mod 5) Mas se n == 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (mod 7), então: n^2 == 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1 (mod 7). Ou seja, nenhum quadrado é == 3 (mod 7). Mesma conclusão. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 28 Sep 2005 12:47:10 -0300 (ART) Assunto: Re: [obm-l] ajuda em diofantina Sim, é x ao quadrado.Paulo Melo [EMAIL PROTECTED] escreveu: q q significa x*2x elevado ao quadrado???--- nilton rr <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: Companheiros, continuo aguardando ajuda, obrigado Mostre q não tem soluções inteiras as seguintes equações: a)x*13+12x+13y*5 = 1 b) x*2-14y*3 = 3 - Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instaleagora!___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora!
Re: [obm-l] Problemas de Teoria de Numeros
Eu erreiquando disse que "p divide ambos". Supondo p ímpar, teremos: p divide p! mas não divide (p-1)! - 1, pois o teorema de Wilson diz que p divide (p-1)! + 1 e não que p divide (p-1)! - 1. Conclusão: conforme o resto do meu argumento original, nenhum primo divide ambos, o que implica que o mdc é 1. Se p = 2, o mdc é 2. No mais, a divide a^fi(b) e b divide b^fi(a), pois fi(x) =1 para todo x inteiro positivo. Logo ab divide a^fi(b)*b^fi(a). []s e desculpe o deslize na 2a. questão. Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 28 Sep 2005 11:04:12 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Problemas de Teoria de Numeros Eu não entendi porque o Cláudio Buffara deu a solução abaixo pra questão "Encontrar o máximo divisor comum de (p-1)!-1 e p!, com p primo" e a resposta do Marcelo Rufino deu diferente? Tem alguma razão? Onde está o erro? -- Resposta do Cláudio Buffara p divide ambos e, além disso, p^2 não divide p!. Qualquer primo maior do que p não divide p! Qualquer primo menor do que p não divide (p-1)! - 1. Logo, mdc = p. -- Resposta do Marcelo Rufino Seja d = mdc [(p - 1)! - 1, p!] = d | (p - 1)! - 1 e d | p! = d | p[(p - 1)! - 1] - p! = d | - p = d = 1 ou d = p Entretanto, pelo teorema de Wilson, temos que (p - 1)! = - 1 (mpd. p), ou seja, (p - 1)! - 1 = - 2 (mod. p), ou seja, p não divide (p - 1)! - 1. Logo, a única possibilidade é d = 1. Abraços, Aldo Marcelo Rufino wrote: As soluções de algumas das questões seguem abaixo. Pessoal, estou com alguns problemas de Teoria de Números que não sei como resolver. 1. Provar que para p primo (p-1)!=p-1 (mod 1+2+3+...+(p-1)) 2. Encontrar o máximo divisor comum de (p-1)!-1 e p!, com p primo. Seja d = mdc [(p - 1)! - 1, p!] = d | (p - 1)! - 1 e d | p! = d | p[(p - 1)! - 1] - p! = d | - p = d = 1 ou d = p Entretanto, pelo teorema de Wilson, temos que (p - 1)! = - 1 (mpd. p), ou seja, (p - 1)! - 1 = - 2 (mod. p), ou seja, p não divide (p - 1)! - 1. Logo, a única possibilidade é d = 1. 3. Mostrar que para n=4 o resto da divisão por 12 de 1!+2!+3!+...+n! é 9. Como para n = 4 temos que 12 | n!, então o resto da divisão de 1!+2!+3!+...+n! por 12 é igual ao resto da divisão de 1! + 2! + 3! = 9 por 12, que vale 9. 4. Mostrar que para todo n inteiro 3n^2-1 nunca é um quadrado. Observe que: (3x)^2 = 9x^2 = 3k, (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 = 3(3x^2 + 2x) + 1 = 3k + 1, (3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4 = 3(3x^2 + 4x + 1) + 3 = 3k + 1 Logo, todo quadrado perfeito deixa resto o ou 1 na divisão por 3. Como 3n^2 - 1 deixa resto 2 na divisão por 3 então não pode ser quadrado perfeito. 5. Mostrar que 5n^3+7n^5=0 (mod 12) para todo n. 6. Seja f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n um polinômio com coeficientes inteiros onde a_n0 e n=1. Mostrar que f(x) é composto para infinitos valores da variável x. 7. Mostrar que para a e b inteiros, com (a, b)=1 temos a^fi(b)+b^fi(a)=1 (mod ab) Até mais, Marcelo Rufino Será que alguém pode me ajudar a resolvê-los? Obrigado, Aldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] HABILIDADE CRIATIVA!
Olá Jorge e pessoal da lista, separe 10 fichas quaisquer em um grupo e as restantes (127) no outro grupo. Agora inverta as 10 fichas do 1o grupo. É o suficiente. Abraços, Rogerio Ponce. --- Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis [EMAIL PROTECTED] escreveu: Sobre uma mesa há 137 fichas iguais, cada uma com o lado vermelho e outro azul, sendo que 10 estão com o lado vermelho para cima e as outras com o lado azul. Você está de olhos vendados e deve separar as fichas em dois grupos, cada um com a mesma quantidade de fichas vermelhas. Você pode virar as fichas se necessário. Como fazer? __ Faça ligações para outros computadores com o novo Yahoo! Messenger http://br.beta.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Segundo dia - XX Ibero
Estou enviando agora os problemas do segundo dia. Ainda nao sei como os
meninos foram pq desde depois do almocco eles estao na prova por equipes
e nem chegaram a voltar pro hotel.
O problema 5 é do Brasil (meu e do Davi). =))
PROBLEMA 4
Dados dois inteiros positivos a e b, denota-se por (a mod b) o resto da
divisao de a por b, que é um dos números 0,1, ..., b-1. Determine todos
os pares de números (a,p) tais que p é primo e
(a mod p) + (a mod 2p) + (a mod 3p) + (a mod 4p) = a + p.
PROBLEMA 5
Seja O o circuncentro de um triangulo acutangulo ABC e A_1 um ponto do arco
menor BC da circunferencia circunscrita ao triangulo ABC. Sejam A_2 e A_3
pontos dos lados AB e AC, respectivamente, tais que vale a igualdade de
angulos
BA_1A_2 = OACeCA_1A_3 = OAB.
Demonstre que a reta A_2A_3 passa pelo ortocentro do triangulo ABC.
PROBLEMA 6
Dado um inteiro positivo n, num plano consideram-se 2n pontos alinhados
A_1, A_2, ..., A_2n. Pinta-se cada ponto de azul ou vermelho de acordo com
o seguinte procedimento:
no plano dado sao traccadas n circunferencias disjuntas duas a duas, com
diametros de extremos A_i e A_ j. Cada A_k, 1 = k = 2n, pertence exatamente
a uma circunferencia. Os pontos sao pintados de modo que dois pontos de
uma mesma circunferencia ficam com a mesma cor.
Determine o numero de coloraccoes distintas dos 2n pontos que se podem obter
ao variar as n circunferencias e a distribuiccao das duas cores.
Abraccos,
Yuri
-- Mensagem original --
Oi pessoal,
Estou trazendo notícias da Ibero.
Nossa viagem foi um pouco complicada. Qdo chegamos no aeroporto de Guarulhos
descobrimos que nosso voo, que partiu de RJ, teria uma troca para uma aeronave
menor, e isso causou um overbooking enorme.
Entao todos que partiam de SP, eu, Gabriel, Thiago e Rafael, tivemos que
arranjar outros voos. O Thomaz acabou indo no voo certo, pq saiu de RJ.
Nós fomos para Santiago, dormimos lá, e no outro dia seguimos viagem para
Bogotá, e por fim Cartagena. Pelo menos íamos chegar um dia antes, entao
todos puderam descansar bem.
Sobre a prova: o 1o dia foi ontem, e o 2o está acontecendo nesse instante.
Segue abaixo a prova de ontem:
PROBLEMA 1
Determine todas as ternas de números reais (x,y,z) tais que
xyz = 8 ,
x^2y + y^2z + z^2x = 73 ,
x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2 = 98.
PROBLEMA 2
Uma pulga salta sobre pontos inteiros da reta numérica. Em seu primeiro
movimento ela salta do ponto 0 ao ponto 1. Em seguida, se em um movimento
ela salta do ponto A e cai no ponto B, entao no proximo movimento ela salta
do ponto B e cai em um dos pontos
B + (B-A) - 1 , B + (B-A) , B + (B-A) + 1 .
Mostre que se a pulga caiu duas vezes sobre o ponto n, n inteiro positivo,
entao ela fez pelo menos t movimentos, onde t é o menor inteiro maior ou
igual a 2.n^(1/2).
PROBLEMA 3
Seja p3 um primo. Se
\sum_{i=1}^{p-1} 1/(i^p) = n/m,
onde mdc(n,m)=1, mostre que p^3 divide n.
Como foram os meninos: parece que todos fizeram o 1 e 3 bem rápido, e ficaram
o resto da prova no 2. O Gabriel e Rafael conseguiram fazer, o Thomaz acho
que chegou relativamente perto e o Thiago nao fez muita coisa.
Hj comecaremos a correccao. Qto já tivermos algo certo enviaremos pra vcs.
Abraccos,
Yuri
Até mais,
Yuri
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Até mais,
Yuri
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[obm-l] sistema de congruencias
Olá pessoal, Como eu resolvo o sistema de congruências abaixo: x==0 (mod 5) x==6 (mod 7) x==7 (mod 9) x==8 (mod 11) Abraços, Aldo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
