Re: [obm-l] Desigualdade
[EMAIL PROTECTED], 15/04/2006]: Sejam p,r,q reais nao-negativos. Tal que p+q+r=1. Prove que 7(pq+qr+pr)=2+9pqr. [...] Isso equivale a provar que 7(p+q+r)(pq+qr+rp) = 2(p+q+r)^3 + 9pqr, ou seja, 7(p^2*q + ...) + 21 pqr = 2*(p^3 + q^3 + r^3) + 6(p^2*q + ...) + 21pqr = 2p^3 + 2q^3 + 2r^3 = p^2*q + p*q^2 + q^2*r + q*r^2 + r^2*p + r*p^2 o que é trivial já que p^2*p + q^2*q = p^2*q + q^2*p pela desigualdade do rearranjo. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Saudações!
Olá, amigos da lista!Depois de algum tempo (mais de ano...) longe da lista, estou de volta. Espero contribuir com boas mensagens, motivadoras e enriquecedoras e espero aprender com vocês e me inspirar, assim como poder manter um contato com os amigos que aqui se encontram. Um grande abraço a todos os meus conhecidos!Duda
Re: [obm-l] Sobre problemas do tipo Qual o proximo termo da sequencia
On Wed, Apr 19, 2006 at 11:48:03PM -0300, Bruno França dos Reis wrote: Recentemente apareceu na lista o problema daquela sequenciazinha (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ...), dos números naturais cujos nomes, em português, começam com a letra D. Eu penso o seguinte: ... Eu, particularmente, acho meio sem sentido esses problemas de seqüencia do tipo dada a seqüencia, determine o próximo termo. Escrevo isso pois já vi esse tipo de problema em provas do tipo teste de inteligência (embora nunca tenha feito). Acho meio sem sentido esse tipo de questão, que, ao meu ver, admite infinitas respostas (na verdade, todas as respostas). Este assunto já foi bastante discutido aqui, talvez valha a pena procurar nos arquivos. Realmente, o que você diz é lógico, correto e pertinente: sempre é possível achar uma explicação matematicamente correta para justificar qualquer coisa como próximo termo. Eu pessoalmente sou contra este tipo de questão em olimpíadas de matemática, vestibulares ou quase qualquer prova séria. No entanto, acho que existe um outro ponto de vista a ser considerado. Digamos que você vá passar uma temporada entre os nativos da misteriosa ilha de Tumbolia. Os nativos falam uma língua sobre a qual você nada sabe, exceto que ela é muito diferente de qualquer lingua que você conheça. Durante um passeio com um nativo, vocês veem um coelho; o nativo aponta para o coelho e diz: Gavagai!. O que você deduz? A resposta lógica é: não deduzo nada: gavagai pode querer dizer coelho, pode querer dizer animal, pode querer dizer orelha esquerda de coelho, pode querer dizer objeto branco, ... Mas é irresistível achar que algumas destas explicações são mais plausíveis do que outras, e que a explicação mais plausível de todas é que gavagai queira dizer coelho. Mais relevante, talvez: se você estiver tentando aprender a língua dos nativos, você não tem escolha exceto fazer este tipo de adivinhação, mesmo que sabendo que às vezes você vai adivinhar errado e precisar consertar. Se você pensar, é surpreendente quantas vezes este tipo de adivinhação dá certo. Ajuda bastante o fato que o nativo de Tumbolia é humano, da mesma espécie que você, e que a língua dele surgiu por um processo não muito diferente da sua. Voltando à matemática, imagine que num problema de olimpíada seja pedido para determinar quantas vomplas sesquisimétricas de ordem 2006 existem. Você observa que é fácil calcular f(n), o número destes objetos de ordem n, no braço para valores menores de n, mas que a coisa vai ficando mais trabalhosa a medida que n aumenta. Você calcula que f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 8, f(4) = 16, f(5) = 32, f(6) = 64 e para, porque está começando a ficar trabalhoso. O que você deduz? Novamente, a resposta lógica é: não deduzo (quase) nada. Mas há algo errado se você não formular pelo menos a conjectura de que f(n) = 2^n, ou se você não achar que uma conjectura destas pode ajudar a resolver o problema. É muito possível, por exemplo, que uma fórmula destas possa ser demonstrada por indução, e é bem mais fácil fazer a demonstração por indução sabendo o que é que se está tentando provar. Suponha agora que no problema seguinte (contar vomplas pseudosimétricas) os números sejam g(0) = 1, g(1) = 1, g(2) = 3, g(3) = 11, g(4) = 41. Não é interessante tentar adivinhar uma regra? Você não acharia que progrediu ao observar que g(n+2) = 4*g(n+1) - g(n) para n = 0, 1, 2? Você não ficaria tentado a verificar se g(5) é igual a 153? Existe na internet uma enciclopédia de sequencias de inteiros: http://www.research.att.com/~njas/sequences Você entra com os primeiros termos (digamos 1,1,3,11,41) e ela te diz quais sequencias conhecidas e estudadas começam desta forma. Neste caso, há exatamente uma seqüência na enciclopédia que começa assim, e ela é uma seqüência bem estudada: http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001835 É claro que a sua seqüência pode ser uma das que estão tabuladas na enciclopédia mas também pode ser uma seqüência nova e desconhecida. Eu já usei esta enciclopédia nos meus trabalhos em combinatória e acho que ela pode ajudar muito. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] USA math olympiad
Sauda,c~oes, Recebi agora de uma outra lista. []'s Luis This question was on today's USA math olympiad. Enjoy. Let ABCD be a quadrilateral, and let E and F be points on AC and BC, respectively, such that AE/ED = B/FC. Ray FE meets rays BA and CD at S and T, respectively. Prove that the circumcircles of SAE, SBF, TCF, and TDE pass through a common point. A neat schema. Steve Sigur Triangle web page: http://paideiaschool.org/TeacherPages/Steve_Sigur/geometryIndex.htm Other math: http://paideiaschool.org/TeacherPages/Steve_Sigur/interesting2.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Saudações!
Bem vindo de volta! Esperamos que vc nao desaparecea de novo! Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Eduardo Casagrande StabelEnviada em: quinta-feira, 20 de abril de 2006 03:54Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Saudações!Olá, amigos da lista!Depois de algum tempo (mais de ano...) longe da lista, estou de volta. Espero contribuir com boas mensagens, motivadoras e enriquecedoras e espero aprender com vocês e me inspirar, assim como poder manter um contato com os amigos que aqui se encontram. Um grande abraço a todos os meus conhecidos!Duda
[obm-l] Olá
Prezados amigos, sou novato na lista e gostaria apenas de dizer que me sintomuito honrado e feliz em poder participar desta lista da qual participam amigosdos quaisSINCERAMENTE sintosaudades. Fernando ´Miglo´
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Inequa ção entre função quadrática e exponencial
Talvez se colocar mais um termo do polinômio dê pra achar a terceira raiz. Parece que esta aproximação só é boa perto da origem, como a outra raiz é próxima de 14 não sei como ficará a precisão. Vou tentar fazer. - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, April 20, 2006 3:20 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Inequação entre função quadrática e exponencial Olá, seja f(x) = 100n^2 - 2^n, entao: por inspeção: n=0: f(x) = -1 n=1: f(x) = 98 n=-1:f(x) = 99,5 deste modo, estes pontos tem de estar entre -1 e 1. então, talvez uma boa aproximacao seria por polinomio de taylor, onde teremos: f(x) = 100n^2 - e^[n*ln(2)] e^x = 1 + x + x^2/2 + ... logo: f(x) = 100n^2 - (1 + n*ln(2) + n^2 * [ln(2)]^(2) / 2) cujas raizes sao: 0,1037 e -0,0967... (pode calcular por baskara) espero ter ajudado, abraços, Salhab - Original Message - From: Ojesed Mirror [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, April 20, 2006 12:57 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Inequação entre função quadrática e exponencial -0.00996552170823 e 22.23756639530996 considerando (100*n)^2 2^n -0.09670403432670 e 14.32472783699820 considerando 100*(n^2) 2^n Acho que não tem método analítico de resolução, se tiver quero conhecer. Ojesed. - Original Message - From: Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, April 19, 2006 11:14 PM Subject: [obm-l] Inequação entre função quadrática e exponencial Olá pessoal da lista!!! Gostaria de saber uma possível solução para o problema: 100n^2 2^n Se verificarmos pelos gráficos das duas funções 100n^2 e 2^n sobrepostos, existem dois pontos que limitam uma região onde a função 100n^2 é menor que 2^n. Quais são os dois valores de n que limitam essa região? Agradeço a atenção, Abraços!!! -- Henrique Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão pequeno que não possa ensinar. There's no one that is so great that could not learn nor so small that could not teach. O indivíduo confiante tenta mais, erra mais, aprende mais. - Piaget The confident individual try more, err more, learn more. - Piaget = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.4.3/317 - Release Date: 18/4/2006 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.4.3/317 - Release Date: 18/4/2006 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Sobre problemas do tipo Qual o proximo termo da seq uencia
Sob o ponto de vista matematico, este tipo de problema nao faz sentido.Nenhuma sequencia fica definida conhecendo-se apenas um numero finito de seus termos. Assim, se a unica informacao for queos 4 primeiros termos sao1, 2 , 3, 4, nada garante que o proximo seja 5. Pode ser 17, ou - 3972,616, ou sqrt(3), ou 2 + 5i, ou. Se alguem dizer que o proximo termo eh um bode, tambem estah certo, pois nao foi definido o contadominio da sequencia. Em testes de QI este tipo de problema costuma aparecer, mas, matematicamente, nao faz sentido. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Bruno França dos ReisEnviada em: quarta-feira, 19 de abril de 2006 23:48Para: OBMAssunto: [obm-l] Sobre problemas do tipo "Qual o proximo termo da sequencia"Recentemente apareceu na lista o problema daquela sequenciazinha (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ...), dos números naturais cujos nomes, em português, começam com a letra D.Eu penso o seguinte:Considere o problema: "Dada a seqüência (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ...), determine seu 8o. termo".Respondo: 1.Demonstração: seja f: N - N, definida por:f(1) = 2f(2) = 10f(3) = 12f(4) = 16f(5) = 17f(6) = 18f(7) = 19f(n) = 1, para todo n = 8.A seqüencia dada pode ser a seqüencia dos valores da assumidos pela função f: (f(1), f(2), ...), cujo n-ésimo termo é f(n).Não é esta uma demonstração plausível?Sendo assim, dado qualquer problema desse tipo de seqüencia, não posso escolher a resposta que eu quiser para o problema?Já vi problemas também que dão k alternativas para o próximo termo da seqüencia. Mesmo assim, ainda poderia escolher a resposta, e poderia demonstrar que há uma lógica matemática na resposta.Outro problema:(1,2,3,4,?,...)qual é o 5o. termo?a) 5b) 6c) 7d) (2^30402457 -1)e) 3.14159265358979323846264338327950Muitos responderiam de cara: "5, ora! a seqüencia é obviamente a sequencia dos numeros naturais!"Então, em defesa a esse tipo de problema, poderiamos dizer que devemos assumir uma seqüencia com bastante lógica matemática ao dar a resposta, e, vendo o 1, 2, 3 e 4 nessa ordem, o mais lógico parece ser continuar com o 5.Pois bem: tome a sequencia (1,2,3,4,6), ache o polinômio interpolador dessa seqüencia, p(x), e então você diz que a seqüencia é, logicamente, a imagem do polinômio interpolador da seqüenciazinha acima, e calcula p(5) e obtem o 5o. elemento: 6. Tem bastante lógica pensar assim, ora!Eu, particularmente, acho meio sem sentido esses problemas de seqüencia do tipo "dada a seqüencia, determine o próximo termo".Escrevo isso pois já vi esse tipo de problema em provas do tipo "teste de inteligência" (embora nunca tenha feito). Acho meio sem sentido esse tipo de questão, que, ao meu ver, admite infinitas respostas (na verdade, todas as respostas).O que vocês acham?-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Sobre problemas do tipo Qual o proximo termo da sequencia
Digamos que voc? v? passar uma temporada entre os nativos da misteriosa ilha de Tumbolia. Os nativos falam uma l?ngua sobre a qual voc? nada sabe, exceto que ela ? muito diferente de qualquer lingua que voc? conhe?a. Durante um passeio com um nativo, voc?s veem um coelho; o nativo aponta para o coelho e diz: Gavagai!. O que voc? deduz? Diz a lenda que os exploradores quando chegaram no Canada' foram recebidos ao som de Kanata (ou algo parecido). Os exploradores acharam que este era o nome do lugar (se nao me engano, Kanata se referia `a cabana indigena) e deram o nome ao pais. Voltando ? matem?tica, imagine que num problema de olimp?ada seja pedido para determinar quantas vomplas sesquisim?tricas de ordem 2006 existem. Vomplas sesquisimetricas realmente nao dah. Mas eu jah fiz uma prova de Matematica em que uma questao comecava assim: Um arataca tem em seu carpuz n guaiamuns Na epoca, eu nao sabia o que era um arataca, um carpuz e muito menos um guaiamum. Tive que deduzir primeira quantas patas tem um guaiamum (tentei com 2, 4, 6, 8 e 10) para depois descobrir o valor de n. O mais interessante foi descobrir, 15 anos depois, que quem tinha feito a questao foi um atual amigo meu, TenCel Apolinario, professor do IME. Abracos, sergio
[obm-l] 2 questoes do IME
Caros colegas, Estou para disponibilizar a versao 9 do material do IME. Esta versao incluira os enunciados de todas as provas do periodo 1963/1964 a 1973/1974. Infelizmente, ficarao faltando as provas de 1974/1975 a 1976/1977. Incluirei ainda as solucoes das provas de geometria de 1978/1979 e 1977/1978. Para deixar a versao 9 mais completa, gostaria de postar duas questoes do vestibular do IME que nao consegui resolver: i) IME 1986/1987 (9a questao) Sejam duas retas ortogonais r e r' nao coplanares. Considere sobre r dois pontos fixos A e B e sobre r' dois pontos variaveis M e M', tais que a projecao de M' sobre o plano que contem o triangulo MAB eh o ortocentro H deste triangulo. Determine o lugar geometrico dos centros das esferas circunscritas ao tetraedro ABMM'. ii) IME 1985/1986 (6a questao, item (b)) Determine o lugar geometrico dos centros dos circulos que cortam dois circulos exteriores, de centros O1 e O2 e raios respectivamente iguais a R1 e R2, em pontos diametralmente opostos. Abracos, sergio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Olá
seja bem vindo! Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Fernando Lukas MigloranciaEnviada em: quinta-feira, 20 de abril de 2006 10:43Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Olá Prezados amigos, sou novato na lista e gostaria apenas de dizer que me sintomuito honrado e feliz em poder participar desta lista da qual participam amigosdos quaisSINCERAMENTE sintosaudades. Fernando ´Miglo´
[obm-l] sequencia de polinomios
Gostaria de saber se alguem conhece a demosntracao do seguinte teorema: Se P_n uma sequencia de polinomios definidos em um intervalo I de R que convirja para uma funcao f. Se a sequencia g_n formada pelos graus dos polinomios for limitada, entao f eh um polinomio. Eu tambem tenho algumas duvidas sobre as hipoteses para validade do teorema. Noa estou certo se I pode ser qualquer intervalo ou se tem que ser compacto. Tambem nao estou certo se eh necessario que a convergencia seja uniforme. Talvez alguem possa ajudar. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Olá
Obrigado Em 20/04/06, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: seja bem vindo! Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Fernando Lukas MigloranciaEnviada em: quinta-feira, 20 de abril de 2006 10:43Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Olá Prezados amigos, sou novato na lista e gostaria apenas de dizer que me sintomuito honrado e feliz em poder participar desta lista da qual participam amigosdos quaisSINCERAMENTE sintosaudades. Fernando ´Miglo´
RE: [obm-l] 2 questoes do IME
Sauda,c~oes, Caro Sergio, Antes de mais nada, parabéns pelo excelente trabalho com estas provas. Mandei os problemas para uma outra lista com uma tradução do que entendi do segundo. Acabou de chegar uma resposta mas não tenho como confirmar sua correção. Vc poderia acrescentar algo ao enunciado? Acho difícil mas perguntar não ofende. Ou então mandar uma figura ilustrando um círculo satisfazendo o lugar geométrico? []'s Luís Dear Luis Lopes Let C1 and C2 be two exterior circles with centers O1 and O2 and radii R1 and R2. Determine the locus of the centers of the circles that cut C1 and C2 with antipode points. If I well understand, the common point M of the two diameters must move on the radical axis of C1 and C2 and the center of the required circle is the common point of the perpendicular lines at O1 to MO1 and at O2 to MO2. Hence, the locus is the reflection of the radical axis in the midpoint of O1O2 Friendly. Jean-Pierre From: Sergio Lima Netto [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] 2 questoes do IME Date: Thu, 20 Apr 2006 11:01:52 -0300 (BRT) Caros colegas, Estou para disponibilizar a versao 9 do material do IME. Esta versao incluira os enunciados de todas as provas do periodo 1963/1964 a 1973/1974. Infelizmente, ficarao faltando as provas de 1974/1975 a 1976/1977. Incluirei ainda as solucoes das provas de geometria de 1978/1979 e 1977/1978. Para deixar a versao 9 mais completa, gostaria de postar duas questoes do vestibular do IME que nao consegui resolver: i) IME 1986/1987 (9a questao) Sejam duas retas ortogonais r e r' nao coplanares. Considere sobre r dois pontos fixos A e B e sobre r' dois pontos variaveis M e M', tais que a projecao de M' sobre o plano que contem o triangulo MAB eh o ortocentro H deste triangulo. Determine o lugar geometrico dos centros das esferas circunscritas ao tetraedro ABMM'. ii) IME 1985/1986 (6a questao, item (b)) Determine o lugar geometrico dos centros dos circulos que cortam dois circulos exteriores, de centros O1 e O2 e raios respectivamente iguais a R1 e R2, em pontos diametralmente opostos. Abracos, sergio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] 2 questoes do IME
Sauda,c~oes, Mais esclarecimentos da 2a. questão. Agora parece que podemos parar e dar o problema como resolvido. Uma figura no pdf da versao 9 do material do IME seria legal. :)) ii) IME 1985/1986 (6a questao, item (b)) Determine o lugar geometrico dos centros dos circulos que cortam dois circulos exteriores, de centros O1 e O2 e raios respectivamente iguais a R1 e R2, em pontos diametralmente opostos. Dear Luis, here is the solution for your second problem. Let R be the radius of a circle, with center P, intersecting the circles C1 and C2 in antipodal points. We have R^2 = R1^2 + O1P^2 = R2^2 + O2P^2 or O1P^2 - O2P^2 = R2^2 - R1^2 So P lies on a perpendicular to O1O2 For the radical axis of C1 and C2 we have O1P^2 - O2P^2 = R1^2 - R2^2 So the locus and the radical axis lie symmetrically wrt the midpoint of O1O2 In Dutch we call this line the antimachtlijn translated in English as antiradical axis. I know there is another name in English but I can't remember it. If I remember well it already appeared in Hyacinthos but I couldn't find it. Kind regards Eric []'s Luis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] 2 questoes do IME
Sauda,c~oes, Oi Sergio, i) IME 1986/1987 (9a questao) Sejam duas retas ortogonais r e r' nao coplanares. Considere sobre r dois pontos fixos A e B e sobre r' dois pontos variaveis M e M', tais que a projecao de M' sobre o plano que contem o triangulo MAB eh o ortocentro H deste triangulo. Determine o lugar geometrico dos centros das esferas circunscritas ao tetraedro ABMM'. A solução que segue eu não entendi. Precisaria de algumas aulas de geometria espacial e bons desenhos para entendê-la. Espero que lhe seja útil. []'s L. Dear Luís Lopes Let r and r' be two orthogonal lines not belonging to the same plane. Take two fixed points A and B over r and two variable points M and M' over r' such that the projection of M' over the plane that contains MAB is the orthocenter H of this triangle. Determine the locus of the centers of the spheres that circumscribe the tetrahedre ABMM'. It is easy if we know some properties of the orthocentric tetrahedrons. If V is the common point of r' with the plane passing through r and orthogonal to r', the condition means that the tetrahedron is orthocentric with orthocenter the orthocenter H of ABV. As the centroid G of the tetrahedron moves on a line parallel to r', the center of the circumsphere, which is the reflection of H in G, will move too on a line parallel to r'. Friendly. Jean-Pierre = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade (divagando na solução ).
o que é trivial já que p^2*p + q^2*q = p^2*q + q^2*p pela desigualdade do rearranjo. Eu nunca ouvi falar dessa desigualdade, mas acho que uma das formas de demonstrá-la seria verificar todos os casos possíveis com p e q reais. p^2*p + q^2*q = p^2*q + q^2*p p^2 (p-q) + q^2(q-p) = 0 p^2 (p-q) = q^2(p-q) Exemplo: Supondo p== q temos igualdade OK pass Supondo p q , p0, q0 temos p^2 q^2 OK ... pass Supondo q p , p0, q0 == p-q 0 e p^2 q^2 (trocando o sinal). OK... pass Os outros casos (p0,q0 com pq ), (p0, q0 com pq ), (p0,q0 com pq ) (p0,q0 com pq), (p0, q0 com pq), (p0,q0 com pq) são demonstrados de forma similares. Eu sei que essa maneira de demonstrar via compilação de todos os casos é meio tosca, mas será que não pode ser interessante em problemas muito difícieis? Neste exemplo houve uma série de expansões de termos usando fatos conhecidos. Exemplo: Prove que 7(pq+qr+pr)=2+9pqr. 7(p+q+r)(pq+qr+rp) = 2(p+q+r)^3 + 9pqr Note que 2 = 2.1 foi expandido. Um provador automático de teoremas feito em Prolog, por exemplo poderia fazer essas expansões.O problema seria ele saber exatamente *o que* expandir. É exatamente aí que entra o desafio, o sentimento e a criatividade. Uma vez estava conversando com um amigo meu que estava terminando seu doutorado em análise. Ele havia concordado comigo que na matemática tudo são fatos e regras como na linguagem Prolog. Para quem não conhece Prolog: http://en.wikipedia.org/wiki/Prolog Então não era difícil construir provadores de teorema que pudessem responder questões mais ou menos simples via aplicação de regras. Mas há um problema: Cada axioma/hipótese do teorema é uma regra e cada teorema no banco de dados do programa é uma regra. Se fôssemos usar a força bruta e aplicar todas as regras indiscriminadamente isso iria gera uma explosão combinatória de sentenças e dificilmente chegaríamos a solução ou a conclusão da verdade/falsidade do teorema chegando em regras atômicas que por hipótese e/ou teoremas anteriores sabemos ser verdadeiras. Claro que se soubéssemos quais regras expandir, não precisaríamos de computador... como nesse exercício. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] 2 questoes do IME
Sauda,c~oes, Caro Sergio, Foram muitas as respostas. Esta esclarece um pouco mais. []'s L. Dear Luis, The answer to Let r and r' be two orthogonal lines not belonging to the same plane. Take two fixed points A and B over r and two variable points M and M' over r' such that the projection of M' over the plane that contains MAB is the orthocenter H of this triangle. Determine the locus of the centers of the spheres that circumscribe the tetrahedre ABMM'. is a line parallel to r'. The condition that H is proj. of M' implies that ABMM' is an orthocentric tetrahedron (such that its 4 altitudes concur). Its orthocenter H* lies on the common perpendicular of r and r'. As MM' varies, the point H* remains fixed. (This can be shown using the fact that MD*MH = const, where MD is an altitude of MAB.) In an orthocentric tetrahedron, the centroid is the midpoint of OH* (O the circumcenter). Obviously, the locus g of G is the image of r' under (1/2) dilation wrt the midpoint of AB. So the locus of O is the image of g under dilation with factor 2 wrt H*. Sincerely, Vladimir Dubrovsky = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] 2 questoes do IME
Sauda,c~oes, Oi Sergio, As msgs continuam a chegar. Esta talvez ajude também. []'s L. Cher Luis ce que je sais (assez peu en fait) sur les tétraèdres orthocentriques (voir par exemple Nathan Altshiller Court : Modern pure solid geometry) Un tétraèdre orthocentrique est un tétraèdre dans lequel les paires d'arêtes opposées sont orthogonales (il suffit en fait que deux paires le soient) Dans ce cas, la projection d'un sommet sur la face opposée est l'orthocentre de la face; les perpendiculaires menées d'un sommet à la face opposée et les perpendiculaires communes à deux arêtes opposées passent toutes par un même point : l'orthocentre du tétraèdre. Le centre de gravité du tétraèdre est le milieu du segment [orthocentre - centre de la sphère circonscrite] Tout ceci est très facile à vérifier avec du calcul vectoriel Je crois que ce problème revient en fait à redémontrer quelques-unes de ces propriétés Amicalement. Jean-Pierre = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 2006 USAMO, problem 6 [era: USA math olympiad]
Sauda,c~oes, Último do dia. []'s Luís From: Steve Sigur Reply-To: Subject: Re: [EMHL] 2006 USAMO, problem 6 Date: Thu, 20 Apr 2006 16:48:31 -0400 Dear François and Quang Tuan, You both found the two ways that I found, one by angle chasing and Miquel and one by symmetry. The position of the point is independent of E and F. François, I bet the folds who made the problem did not consider E and F as distracting elements. None of the Georgia students (8 of them) who took this test got this problem. Steve On Apr 19, 2006, at 10:53 PM, Quang Tuan Bui wrote: Dear Steve and All, (One typo correction of Steve: E and F be points on AD and BC respectively, such that AE/ED = BF/FC) It is very nice configuration. I try to proof as follow: We denote intersection of BC and AD as U. Use Miquel theorem for quadrilateral we have: - Circle(SBF), circle(SAE) concur with circle(ABU), circle(EFU) - Circle(TCF), circle(TDE) concur with circle(CDU), circle(EFU) So now problem is: Let's ABCD is quadrilateral, E, F is midpoint of AD, BC and AD, BC intersect at U then three following circles concur circle(ABU), circle(CDU), circle(EFU) Let circle(ABU), circle(CDU) concur at V, we should proof UVEF is concyclic. Draw perpendicular bisectors of EF and UV. They intersection at W. Note that center of circle(ABU) as Oa, and center of circle(CDU) as Oc then Oa, Oc are on perpendicular bisector of UV. From Oa, Ob, W draw perpendiculars to FU at Ka, Kb, M. Easy to show M is midpoint of FU. That means W is on the perpendicular bisector of FU. Analogously we have W is on the perpendicular bisector of EV. So W is center of circle pass through UVEF. Please note that W is midpoint of OaOb. Remark: 1. Miquel theorem about four circles concurrency can be easy and elementary proof by inscribed angles. 2. There are many other circles pass through concurrent point of the problem (by Miquel theorem). 3. You can see Steiner proof for Miquel theorem in FG (Ten theorems of complete quadrilateral proof by Steiner) Best regards, Bui Quang Tuan Steve Sigur wrote: This question was on today's USA math olympiad. Enjoy. Let ABCD be a quadrilateral, and let E and F be points on AC and BC, respectively, such that AE/ED = B/FC. Ray FE meets rays BA and CD at S and T, respectively. Prove that the circumcircles of SAE, SBF, TCF, and TDE pass through a common point. A neat schema. Steve Sigur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
