Re: [obm-l] Problemas
marcelo perdoe o atraso e o nao atendimentto do seu pedido, so vi sua mensagem agora abraco como vai ser o verao?
Re: [obm-l] Questao 2 da OBM-U 2006
Bem, apenas uma opinião sobre esta questão: A primeira parte (provar que basta considerar as potências de primo) é uma adaptação do Teorema Chinês dos Restos. Eu particularmente resolvi este problemna puramente na raça, sem usar nada além de teoria dos números. Mas após ler a mensagem no Mathlinks, fiquei curioso numa coisa: --O que é o Lema de Hensel e como ele pode ajudar nesta questão? claudio.buffara wrote: Seja R um anel comutativo com 1. Seja SL(R) o grupo das matrizes 2x2 com entradas em R e determinante igual a 1 . O problema pede que se calcule |SL(Z_n)|, com n inteiro >= 2. A ideia eh provar que se m e n sao inteiros positivos primos entre si, entao: |SL(Z_mn)| = |SL(Z_m)||SL(Z_n)|. Sejam as funcoes: g:SL(Z) -> SL(Z_mn) e h:SL(Z) -> SL(Z_m) x SL(Z_n) dados por: g(X) = X mod mn e h(X) = (X mod m,X mod n) (ou seja, cada entrada de g(X) eh igual a entrada de X reduzida mod mn. Definicao analoga para cada componente de h(X)). Eh facil ver que g e h sao homomorfismos. Basta notar que, para todo n em N: i) se det(X) = 1, entao det(X) == 1 (mod n), e ii) XY mod n = (X mod n)(Y mod n). g eh claramente sobrejetor. h tambem eh, pois dadas A em SL(Z_m) e B em SL(Z_n), o TCR garante a existencia de X em SL(Z) tal que: X mod m = A e X mod n = B. X pertence a ker(h) <==> h(X) = (I,I) <==> X mod m = I e X mod n = I <==> X(1,1) == X(2,2) == 1 (mod m); X(1,2) == X(2,1) == 0 (mod m); X(1,1) == X(2,2) == 1 (mod n); X(1,2) == X(2,1) == 0 (mod n) <==> X(1,1) == X(2,2) == 1 (mod mn); X(1,2) == X(2,1) == 0 (mod mn) <==> X mod mn = I <==> g(X) = I <==> X pertence a ker(g). Logo, ker(g) = Ker(h). O teorema dos isomorfismos diz entao que: SL(Z_mn) ~ SL(Z)/ker(g) = SL(Z)/ker(h) ~ SL(Z_m) x SL(Z_n). Em particular, |SL(Z_mn)| = |SL(Z_m)||SL(Z_n)|. *** A seguir, vamos calcular o valor de |SL(Z_(p^k))|, onde p eh primo e k eh inteiro positivo. k = 1: Sabemos que |SL(Z_p)| = |GL(Z_p)|/|Z_p*| = (p^2-1)(p^2-p)/(p-1) ==> |SL(Z_p)| = p^3 - p = p^3(1 - 1/p^2). Hipotese de inducao: Para k >= 1, |SL(Z_(p^k))| = p^(3k)(1 - 1/p^2) Seja a funcao f:SL(Z_p^(k+1)) -> SL(Z_p^k) dada por g(X) = X mod p^k. (ou seja, cada entrada de g(X) eh igual a entrada correspondente de X reduzida mod p^k) Eh facil ver que f eh um homomorfismo sobrejetor. X pertence a Ker(f) ==> f(X) = matriz identidade em SL(Z_p^k) ==> X mod p^k = I ==> X = I + p^kM. onde M = matriz 2x2 com entradas em Z_p e tal que: det(X) = det(I + p^kM) == 1 (mod p^(k+1)). X(i,j) = I(i,j) + p^kM(i,j), 1 <= i, j <= 2 ==> det(X) == X(1,1)X(2,2) - X(1,2)X(2,1) == (1 + p^kM(1,1))(1 + p^kM(2,2)) - (0 + p^kM(1,2))(0 + p^kM(2,1)) == 1 + p^k(M(1,1) + M(2,2)) + p^(2k)(M(1,1)M(2,2) - M(1,2)M(2,1)) == 1 + p^k(M(1,1) + M(2,2)) == 1 (mod p^(k+1)) (pois k+1 <= 2k e, portanto, p^(k+1) | p^(2k) ) ==> M(1,1) + M(2,2) == 0 (mod p) M(1,2) e M(2,1) podem ser escolhidas arbitrariamente em Z_p. Uma vez que M(2,2) == -M(1,1) (mod p), a escolha de M(1,1) fixa automaticamente o valor de M(2,2). Logo, M pode ser escolhida de p^3 maneiras distintas ==> |ker(f)| = p^3 ==> |SL(Z_p^(k+1))| = |ker(f)||SL(Z_p^k)| = p^3p^(3k)(1 - 1/p^2) = p^(3(k+1))(1 - 1/p^2). *** De posse das identidades: |SL(Z_mn)| = |SL(Z_m)||SL(Z_n)| se mdc(m,n) = 1 e |SL(Z_(p^k))| = p^(3k)(1 - 1/p^2), concluimos que se n = Produto(i=1...r) p_i^x_i, onde os p_i's sao primos distintos e os x_i's inteiros nao negativos, entao: |SL(Z_n)| = Produto(i=1...r) |SL(Z_p_i^x_i)| = Produto(i=1..r) p_i^(3x_i)(1 - 1/p_i^2) = Produto(i=1...r) (p_i^x_i)^3 * Produto(i=1...r) (1 - 1/p_i^2) = n^3*Produto(p|n;p primo) (1 - 1/p^2). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] probleminha da en
Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma questão da en, por favor: grato. Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, bolero e rock? a) 5%. b) 10%. c) 20%. d) 45%. e) 70%. Obs.: A alternativa correta é a letra b.
Re: [obm-l] probleminha da en
arkon wrote: Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, bolero e rock? Analisa o pior caso. Primeiro só samba e choro, se 70% gostam de samba, então 30% não gostam; no pior caso, esses 30% que não gostam de samba gostam de choro, então 75-30=45% gostam de samba e choro. Por raciocinio análogo, 20% não gostam de bolero, então o pior caso é que 85-20=65% gostem de bolero e rock. Mais uma vez, se 45% gostam de samba e choro, então 55% não gostam dos dois ao mesmo tempo. Daí, 65-55=10% é total mínimo de pessoas que gostam dos quatro conjuntos. -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Conjunto
Porque o conjunto Vazio está contido em todo conjunto ?? Não entendo isso. -- Bjos, Bruna
Re: [obm-l] probleminha da en
Olá Arkon, Como dizia o nosso mestre MORGADO , um " truque" para este tipo de problema é : Como são quatro conjuntos , o que ultrapassar a 300% será a quantidade da interseção dos conjuntos . Se tivermos n conjuntos , o que ultrapasar a (n-1)x100% será o mínimo da interseção , ( tente provar) ,ok ? []´s Carlos Victor At 16:58 11/12/2006, arkon wrote: Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma questão da en, por favor: grato. Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, bolero e rock? a) 5%. b) 10%. c) 20%. d) 45%. e) 70%. Obs.: A alternativa correta é a letra b. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto
Existem 2 tipos de afirmações a respeito de conjuntos: afirmações existenciais e afirmações universais. Afirmções existenciais são aquelas do tipo: Existe x pertencente a X tal que blablabla. Afirmações universais são aquelas do tipo: Para todo x pertencente a X, temos que blablabla. Toda afirmação existencial a respeito do conjunto vazio é falsa (pq afinal de contas não tem ninguém no conjunto vazio para que possamos dizer: existe alguem no vazio tal que...). Toda afirmação universal a respeito do conjunto vazio é verdadeira (pq não podemos tomar um contra-exemplo do conjunto vazio para contradizer a afirmação, já que não tem ninguem lá dentro). A afirmação: vazio está contido em todo conjunto X é uma afirmação universal a respeito do conjunto vazio. Veja: vazio contido em X <==> para todo "a" pertencente a vazio, a pertence a X. (pela definição de relação "está contido"). Deu pra entender? Qualquer coisa, pergunte! Bruno On 12/11/06, Bruna Carvalho <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Porque o conjunto Vazio está contido em todo conjunto ?? Não entendo isso. -- Bjos, Bruna -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Conjunto
Vejamos:
i) Gelson Iezzi em Fundamentos de Matemática Elementar
"Propriedades da Inclusão
1ª) { } está contido em A
(...)
Para todo x, a implicação se x pertence a { } então x pertence a A é
verdadeira pois x pertence ao vazio é falsa. Então por definição* de
subconjunto, { } está contido em A.
*Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somnete se, todo elemento
de A pertence também a B.
ii) Manoel Paiva no Livro Matemática vol.1
"O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto
DEMONSTRAÇÃO
(...) Supor que é falso que { } está contido em A. Ora, pela definição** de
subconjunto, temos que: se é falso que { } está contido em A, então existe x,
tal que x pertence a { } e x não pertence a A. Mas isso é uma contradição,
pois o conjunto vazio não possui elemento algum. Assim a afirmação de que { }
está contido em A não é falsa (...)."
**Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente
se, todo elemento de A pertece a B.
Bruna Carvalho <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Porque o conjunto Vazio está contido em todo conjunto ??
Não entendo isso.
--
Bjos,
Bruna
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Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
Re: [obm-l] Conjunto
Para complementar (e acredito eu, para tirar a dúvida) o livro Teoria Ingênua Dos Conjuntos de P. Halmos é um clássico para quem estuda matemática e ele tece um comentário muito interessante sobre como provar verdades para o conjunto vazio (mais precisamente no início do cap. 3 - Pares Não Ordenados). "Para provar que alguma coisa é verdade para o conjunto vazio, prova-se que ela não pode ser falsa. Como, por exemplo, *pode ser falso que 'o conjunto vazio está contido em A'?* Isto é falso somente se o vazio tem um elemento que não pertence a A. Como o vazio não possui elementos, isso é absurdo! *Conclusão: o vazio está contido em A, para todo A"* É isso! Espero que tenha contribuído. Thiago 2006/12/11, Bruna Carvalho <[EMAIL PROTECTED]>: Porque o conjunto Vazio está contido em todo conjunto ?? Não entendo isso. -- Bjos, Bruna
