Re: [obm-l] Construcoes Geometricas
oi Rafael, Segundo, gostaria de fazer uma pergunta sobre um ponto que encontrei na sua pagina do download do material de geometria: O ITA atualmente cobra questoes de construcao geometrica em suas provas? Obrigado pelos comentarios. Acho que atualmente nenhum vestibular tem questoes de desenho geometrico. O ITA, IME e FUVEST cobraram estas questoes no passado. Eu agrupei estas questoes num unico material. Abraco, sergio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] "blow up" em EDOs
Oi, pessoal: Estou tentando resolver o seguinte problema: Prove que o problema de valor inicial: dx/dt = t + x^2 x(0) = a > 0 tem uma solucao unica, a qual tende a +infinito em tempo finito. Se a equacao fosse dx/dt = x^2, entao a solucao seria x(t) = 1/(1/a - t), a qual -> +infinito quando t -> 1/a pela esquerda. Como, para t > 0, t + x^2 > x^2, a solucao da equacao original (que existe e eh unica pois t+x^2 eh uma funcao infinitamente diferenciavel de t e x, quaisquer que sejam t e x reais) deve tender a +infinito ainda mais rapidamente. No entanto, estou com dificuldade pra provar esse fato que me parece intuitivamente obvio. Em geral, se temos dois PVIs: dx/dt = f(t,x); x(t_0) = a e dy/dt = g(t,x); y(t_0) = b onde: f, g: U -> R (U = aberto de R^2) sao suficientemente bem comportadas para que cada PVI tenha solucao unica, a >= b, e f(t,x) >= g(t,x) para todo (x,t) em U, entao eh de se esperar que x(t) >= y(t) para cada t no qual x e y estejam ambas definidas. Problema: prove isso (ou de um contra-exemplo) []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] esfera
> Foi a minha resposta... porem..lá deu como gabarito 2pi Bom dia, Vitório. Se possível faça uma figurinha para representar a situação. > Acho que fica mais fácil. > >Como o cone é circular reto, temos que A_l=pi.r.g , onde g é a geratriz e > r, > o raio da base. Por Pitágoras, PO^2=PA^2+AO^2 >==> g=PA=2sqrt(3). >Agora, denote por X, o ponto de intersecção entre a corda AB e PO. Então, > por AA, o triângulo APO é semelhante ao triângulo XAO. Daí, > g/AX=PO/AO. Como AX=r, temos r=sqrt(3). Portanto > A_l=6.pi m^2, > caso eu não tenha errado nas contas. > > Espero ter ajudado. > > Arlane. > > Citando vitoriogauss <[EMAIL PROTECTED]>: > > > 1) Uma esfera tem raio 2m e centro O. De um ponto P, distante 4m do ponto > > O, > > traçam-se as tangentes PA e PB, que são geratrizes de um cone circular reto. > > Sabendo-se que o segmento AB é um diâmetro da base do cone, qual é a medida > > em m^2, da área lateral desse cone? > > > > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > = > > > > > -- > Arlan Silva > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] esfera
Eu realmente dancei por besteira nesta questao a resposta é 6pi mesmo Bom dia, Vitório. Se possível faça uma figurinha para representar a situação. > Acho que fica mais fácil. > >Como o cone é circular reto, temos que A_l=pi.r.g , onde g é a geratriz e > r, > o raio da base. Por Pitágoras, PO^2=PA^2+AO^2 >==> g=PA=2sqrt(3). >Agora, denote por X, o ponto de intersecção entre a corda AB e PO. Então, > por AA, o triângulo APO é semelhante ao triângulo XAO. Daí, > g/AX=PO/AO. Como AX=r, temos r=sqrt(3). Portanto > A_l=6.pi m^2, > caso eu não tenha errado nas contas. > > Espero ter ajudado. > > Arlane. > > Citando vitoriogauss <[EMAIL PROTECTED]>: > > > 1) Uma esfera tem raio 2m e centro O. De um ponto P, distante 4m do ponto > > O, > > traçam-se as tangentes PA e PB, que são geratrizes de um cone circular reto. > > Sabendo-se que o segmento AB é um diâmetro da base do cone, qual é a medida > > em m^2, da área lateral desse cone? > > > > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > = > > > > > -- > Arlan Silva > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Vetores e Matrizes
Olá, Pessoal sera q dava pra voces me indicarem um material (de preferencia em portugues) q fala sobre operações entre vetores e matrizes? É que eu tô fazendo um programa em c++ que execute operações entre vetores, matrizes e vetores e matrizes. O que tá me enrolando é essa ultima parte. Obrigado!! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] triângulos
Por favor se alguém tiver um tempo e puder me ajudar: Quantos são os triângulos isósceles cujos lados têm medidas inteiras em cm tais que seu perimetro é menor ou igual a 20cm? Desde já. Obrigada. Anna.
Re: [obm-l] triângulos
Cada triangulo isosceles estará definido por um par de número (a,b), e seu perímetro será 2a + b. Para que seja um triangulo, temos as restrições de que a > 0, b > 0, b < 2a. Agora queremos encontrar o número de solucoes inteiras de 2a + b <= 20. Fica mais fácil assim? Abraço Bruno On 4/13/07, Anna Luisa <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Por favor se alguém tiver um tempo e puder me ajudar: Quantos são os triângulos isósceles cujos lados têm medidas inteiras em cm tais que seu perimetro é menor ou igual a 20cm? Desde já. Obrigada. Anna. -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] "blow up" em EDOs
Ola Claudio, pensei no seguinte: se f(t, x) >= g(t, x), entao dx/dt >= dy/dt, para todo t E R. integrando de t_0 a t, temos: x(t) - x(t_0) >= y(t) - y(t_0) x(t) - a >= y(t) - b se tivermos a >= b, temos: x(t) >= y(t) .. sobre a EDO, pensei no seguinte: derivando novamente em relacao ao tempo, temos: x'' = 1 + 2xx' entao, resolvendo esta EDO e dps ajustando para satisfazer x' = t + x^2 talvez conseguimos encontrar a solucao... bom.. vou pensar melhor aqui e se conseguir algo eu mando abracos, Salhab On 4/13/07, claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Oi, pessoal: Estou tentando resolver o seguinte problema: Prove que o problema de valor inicial: dx/dt = t + x^2 x(0) = a > 0 tem uma solucao unica, a qual tende a +infinito em tempo finito. Se a equacao fosse dx/dt = x^2, entao a solucao seria x(t) = 1/(1/a - t), a qual -> +infinito quando t -> 1/a pela esquerda. Como, para t > 0, t + x^2 > x^2, a solucao da equacao original (que existe e eh unica pois t+x^2 eh uma funcao infinitamente diferenciavel de t e x, quaisquer que sejam t e x reais) deve tender a +infinito ainda mais rapidamente. No entanto, estou com dificuldade pra provar esse fato que me parece intuitivamente obvio. Em geral, se temos dois PVIs: dx/dt = f(t,x); x(t_0) = a e dy/dt = g(t,x); y(t_0) = b onde: f, g: U -> R (U = aberto de R^2) sao suficientemente bem comportadas para que cada PVI tenha solucao unica, a >= b, e f(t,x) >= g(t,x) para todo (x,t) em U, entao eh de se esperar que x(t) >= y(t) para cada t no qual x e y estejam ambas definidas. Problema: prove isso (ou de um contra-exemplo) []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] lógica_negação e trigonometria
Olá, vamos supor que a proposicao é verdadeira... vamos tomar x>0, entao xy < 0 ... mas xy=6, absurdo! logo, eh falsa! podemos continuar: se x = 0, temos xy=0... absurdo! se x<0, entao xy > 0.. opa.. podemos ter xy=6, porem: x + y < 0.. mas x+y=5.. absurdo! logo, nao existe x tal que a proposicao eh verdadeira... abracos, Salhab On 4/10/07, vitoriogauss <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 1) Como se nega esta proposição : para todo x, existe y, tal que, se x+y=5 e xy=6 então y<0 2) O dominio de f(x)= sqrt [ 3 - arctg^2 x ] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Imersão isometrica
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:Thu, 12 Apr 2007 04:27:37 -0300 (BRT)
Assunto:[obm-l] Imersão isometrica
>
> > Pessoal, alguem sabe provar esse resultado?
>
> " Seja M um espaço metrico com a seguinte propriedade: Para toda imersão
> isometrica f: M-N temos que f(M)é um aberto em N, provar que M é o
> conjunto vazio"
>
> Abs.
>
Ou seja, temos que provar que se M <> vazio, então existe um espaço métrico N e
uma imersão isométrica f:M -> N tal que f(M) não é aberto em N.
Por exemplo, sejam:
N = MxR (R = conjunto dos reais), com a métrica:
d_N((m1,x1),(m2,x2)) = d_M(m1,m1)+|x1-x2|;
e
f:M -> N dada por f(m) = (m,0).
f é claramente uma imersão isométrica e f(M) = Mx{0}.
Como M <> vazio, existe m em M e f(m) = (m,0).
Qualquer que seja r > 0, a bola B((m,0),r) contém o ponto (m,r/2), o qual
pertence a N - f(M). Logo, (m,0) não é interior a f(M) e, portanto, f(M) não é
aberto.
[]s,
Claudio.
[obm-l] Sist.Legal de Medidas
Pelo sistema Legal de Medidas temos que ( se eu não errei) Compriemnto unid. fund é o Metro Superfície unid. fund é o Metro Quadrado Volume unid. fund é o Metro Cúbico Capacidade unid. fund é o Litro Massa unid. fund é o Grama, Acho que até tudo certo, corrigam se não estiver, por favor.Porém a pergunta é : qual a diferença (conceitual) entre VOLUME e CAPACIDADE ? temos algum site que eu pudesse ler sobre o assunto ? OBRIGADO!!
Re:[obm-l] "blow up" em EDOs
De:[EMAIL PROTECTED] Para:"obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data:Fri, 13 Apr 2007 09:28:41 -0300 Assunto:[obm-l] "blow up" em EDOs > Oi, pessoal: > > Estou tentando resolver o seguinte problema: > Prove que o problema de valor inicial: > dx/dt = t + x^2 > x(0) = a > 0 > tem uma solucao unica, a qual tende a +infinito em tempo finito. > > Se a equacao fosse dx/dt = x^2, entao a solucao seria x(t) = 1/(1/a - t), > a qual -> +infinito quando t -> 1/a pela esquerda. > > Como, para t > 0, t + x^2 > x^2, a solucao da equacao original (que existe e > eh unica pois t+x^2 eh uma funcao infinitamente > diferenciavel de t e x, quaisquer que sejam t e x reais) deve tender a > +infinito ainda mais rapidamente. > No entanto, estou com dificuldade pra provar esse fato que me parece > intuitivamente obvio. > Acabei de ter a seguinte idéia: Seja x tal que x'(t) = x(t)^2 e x(0) = a. Sejam u e v tais que: u(t) = y(t) - x(t) e v(t) = y(t) + x(t). Então: u(0) = 0; v(0) = 2a > 0; v'(t) = y'(t) + x'(t) = t + y(t)^2 + x(t)^2 > 0, para todo t > 0; u'(t) = y'(t) - x'(t) = t + y(t)^2 - x(t)^2 = t + v(t)*u(t) ==> u'(t) - v(t)*u(t) = t ==> (multiplicando pelo fator integrante e(t) = exp(-Integral(0...t) v(s)*ds) ) u'(t)*e(t) - v(t)*u(t)*e(t) = t*e(t) ==> d/dt(u(t)*e(t)) = t*e(t) ==> (integrando de 0 a t) u(t)*e(t) - u(0)*e(0) = Integral(0...t) s*e(s)*ds ==> u(t) = e(t)^(-1)*Integral(0...t) s*e(s)*ds > 0, para todo t > 0. Logo, y(t) > x(t), para todo t > 0. Como x(t) -> +infinito quando t -> 1/a-, devemos ter: y(t) -> +infinito, quando t -> b-, para algum b <= 1/a. []s, Claudio.
[obm-l] questão de polinomios
* Sejam 1, x2, x3, x4, ... , xn as raizaes de x^n=1. Calcule: (1-x2)*(1-x3)*...*(1-xn).* -- Atenciosamente Júlio Sousa
Re: [obm-l] questão de polinomios
a0=2pi On 4/13/07, saulo nilson <[EMAIL PROTECTED]> wrote: seja y o numero procurado y=(1-x2)*(1-x3)*...*(1-xn) podemos fazer e^y=e^[(1-x2)*(1-x3)*...*(1-xn)] e^y=e^n/e^(x2+x3+,,,+xn) w=x2+x3+,,+xn as raizes sao em pares e sao conjugadas, logo temos que considerar apenas a parte real. w=cosa2+cosa3+cosa4+,,+cosan x0=cosa0+isena0 xi=cos(a0/n+2ipi/n)+isen(a0/n+2ipi/n) w=soma(i,1,n)cos(a0/n+2ipi/n) soma de cossenos em PA On 4/13/07, Julio Sousa <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > * > > Sejam 1, x2, x3, x4, ... , xn as raizaes de x^n=1. Calcule: > (1-x2)*(1-x3)*...*(1-xn). > * > > -- > Atenciosamente > Júlio Sousa
Re: [obm-l] questão de polinomios
seja y o numero procurado y=(1-x2)*(1-x3)*...*(1-xn) podemos fazer e^y=e^[(1-x2)*(1-x3)*...*(1-xn)] e^y=e^n/e^(x2+x3+,,,+xn) w=x2+x3+,,+xn as raizes sao em pares e sao conjugadas, logo temos que considerar apenas a parte real. w=cosa2+cosa3+cosa4+,,+cosan x0=cosa0+isena0 xi=cos(a0/n+2ipi/n)+isen(a0/n+2ipi/n) w=soma(i,1,n)cos(a0/n+2ipi/n) soma de cossenos em PA On 4/13/07, Julio Sousa <[EMAIL PROTECTED]> wrote: * Sejam 1, x2, x3, x4, ... , xn as raizaes de x^n=1. Calcule: (1-x2)*(1-x3)*...*(1-xn). * -- Atenciosamente Júlio Sousa
Re: [obm-l] "blow up" em EDOs
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Fri, 13 Apr 2007 16:45:03 -0300 Assunto: Re: [obm-l] "blow up" em EDOs > Ola Claudio, > > pensei no seguinte: > se f(t, x) >= g(t, x), entao dx/dt >= dy/dt, para todo t E R. > integrando de t_0 a t, temos: > x(t) - x(t_0) >= y(t) - y(t_0) > > x(t) - a >= y(t) - b > se tivermos a >= b, temos: x(t) >= y(t) .. > > sobre a EDO, pensei no seguinte: > derivando novamente em relacao ao tempo, temos: > x'' = 1 + 2xx' > > entao, resolvendo esta EDO e dps ajustando para satisfazer > x' = t + x^2 talvez conseguimos encontrar a solucao... > > bom.. vou pensar melhor aqui e se conseguir algo eu mando > > abracos, > Salhab > > > > > > > On 4/13/07, claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Oi, pessoal: > > > > Estou tentando resolver o seguinte problema: > > Prove que o problema de valor inicial: > > dx/dt = t + x^2 > > x(0) = a > 0 > > tem uma solucao unica, a qual tende a +infinito em tempo finito. > > > > Se a equacao fosse dx/dt = x^2, entao a solucao seria x(t) = 1/(1/a - t), > > a qual -> +infinito quando t -> 1/a pela esquerda. > > > > Como, para t > 0, t + x^2 > x^2, a solucao da equacao original (que existe > > e eh unica pois t+x^2 eh uma funcao infinitamente > > diferenciavel de t e x, quaisquer que sejam t e x reais) deve tender a > > +infinito ainda mais rapidamente. > > No entanto, estou com dificuldade pra provar esse fato que me parece > > intuitivamente obvio. > > > > Em geral, se temos dois PVIs: > > dx/dt = f(t,x); x(t_0) = a > > e > > dy/dt = g(t,x); y(t_0) = b > > onde: > > f, g: U -> R (U = aberto de R^2) sao suficientemente bem comportadas para > > que cada PVI tenha solucao unica, > > a >= b, e > > f(t,x) >= g(t,x) para todo (x,t) em U, > > entao eh de se esperar que x(t) >= y(t) para cada t no qual x e y estejam > > ambas definidas. > > > > Problema: prove isso (ou de um contra-exemplo) > > > > []s, > > Claudio. > > > > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > = > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questão de polinomios
1, x2, ..., xn sao raizes de x^n - 1 = 0, ou seja, de (x - 1)(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1) = 0. Assim, se fizermos Q(x) = x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1, as raizes de Q(x) = 0 serao as mesmas que as de x^n - 1 = 0, exceto o 1 ==> Q(x) = (x - x2)(x - x3)...(x - xn). Entao eh soh calcular Q(1) = (1 - x2)(1 - x3)...(1 - xn) = n Em 13/04/07, Julio Sousa <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: * Sejam 1, x2, x3, x4, ... , xn as raizaes de x^n=1. Calcule: (1-x2)*(1-x3)*...*(1-xn). * -- Atenciosamente Júlio Sousa
Re: [obm-l] "blow up" em EDOs
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Fri, 13 Apr 2007 16:45:03 -0300 Assunto: Re: [obm-l] "blow up" em EDOs > Ola Claudio, > > pensei no seguinte: > se f(t, x) >= g(t, x), entao dx/dt >= dy/dt, para todo t E R. > integrando de t_0 a t, temos: > x(t) - x(t_0) >= y(t) - y(t_0) > > x(t) - a >= y(t) - b > se tivermos a >= b, temos: x(t) >= y(t) .. > Realmente, do jeito que eu escrevi mais abaixo, o problema fica trivial. De fato, a segunda equacao deveria ser dy/dt = g(t,y) e nao dy/dt = g(t,x). Nesse caso, nao podemos afirmar de cara que dy/dt > dx/dt, jah que, para x <> y, pode ser que g(t,y) < f(t,x). []s, Claudio. > > Em geral, se temos dois PVIs: > > dx/dt = f(t,x); x(t_0) = a > > e > > dy/dt = g(t,x); y(t_0) = b > > onde: > > f, g: U -> R (U = aberto de R^2) sao suficientemente bem comportadas para > > que cada PVI tenha solucao unica, > > a >= b, e > > f(t,x) >= g(t,x) para todo (x,t) em U, > > entao eh de se esperar que x(t) >= y(t) para cada t no qual x e y estejam > > ambas definidas. > > > > Problema: prove isso (ou de um contra-exemplo) > > > > []s, > > Claudio. > > > > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > = > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
