Re: [obm-l] Lugares geométricos...

2007-07-12 Thread Marcelo Salhab Brogliato 

Olá Ruy,

usei uma abordagem vetorial..
colocando A na origem e B no ponto (d, 0), temos:
AX = 2BX é o mesmo que ||X|| = 2||B-X||
||X||^2 = 4||B-X||^2
||B-X||^2 = (B-X).(B-X) = X.X + B.B - 2X.B = ||X||^2 + ||B||^2 - 2X.B

vamos dizer que: X = (a, b).. entao:
||X||^2 = 4||X||^2 + 4||B||^2 - 8X.B
0 = 3(a^2 + b^2) + 4d^2 - 8ad
0 = 3a^2 + 3b^2 + 4d^2 - 8ad
0 = 3a^2 - 8ad + 3b^2 + 4d^2

completando o quadrado pro a, temos:
0 = 3(a - 4d/3)^2 + 3b^2 + 4d^2 - 16d^2/3 ...
3(a - 4d/3)^2 + 3b^2 = 16d^2/3 - 4d^2 = 4d^2/3 ...
(a - 4d/3)^2 + b^2 = 4d^2/9

assim, provamos que é uma circunferencia centrada em (4d/3, 0) com raio 2d/3

abracos,
Salhab




On 7/12/07, Ruy Oliveira <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Às vezes,  afirmar que um problema está mal escrito e
aparentemente não tem solução, pode significar um
risco muito grande. Resolvi arriscar e apostei com
alguns amigos que este aqui que vou passar pra vocês
se encaixa nisso que eu disse. Espero ter razão, pois
, apostei alto.
 " Dados dois pontos distintos A e B de um plano, os
pontos X desse plano que satisfazem a condição AX=2BX
pertencem a uma mesma circunferência. Determine a
expressão do raio da circunferência  em função do
comprimento d do segmento AB.
   Agradeço antecipadamente a quem puder me resolver
esse problema.
  Ruy






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[obm-l] RES: [obm-l] Lugares geométricos...

2007-07-12 Thread Artur Costa Steiner 
Uma bordagem analitica:
 
No plano, consideremos eixos coordenados nos quais A = (-h , 0) e B = (h, 0). O 
lugar geometrico G pedido eh o conjunto {(x,y) em R^2   |   || (x,y) - (-h, 0) 
= 2 || (x,y) -(h , 0)||. Assi, (x, y) pertence a G se, e somente se, 
 
(x + h)^2 + y^2 =  4 [ (x - h)^2 + y^2)]  =>  x^2 + 2hx + h^2 + y^2 = 4 [x^2 - 
2hx + h^2 + y^2] =>  x^2 + 2hx + h^2 + y^2 = 4 x^2 - 8hx + 4h^2 + 4y^2 ou, 
3x^2 + 3y^2 - 10hx + 3 h^2 = 0  => x^2 + y^2 - 10/3 hx + h^2 = 0  =>  (x - 
5/3h)^2 + y^2 =  25/9h^2 - h^2  =>   (x - 5h/3)^2 + y^2  = (4h/3)^2. Assim, 
temos a equacao do circulo de centro em (5h/3, 0) e raio  4h/3. Segundo nossa 
definicao, h = AB/2. O centro estah sobre a reta suporte de AB, fora deste 
segmento, distando 1/2 (5/3 - 1) AB = AB/3 de B. O raio eh 2AB/3.
 
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Iuri
Enviada em: quinta-feira, 12 de julho de 2007 00:23
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Lugares geométricos...


A circunferencia é a do Apolonio, e calcular o raio dela não é dificil.

Iuri


On 7/12/07, Ruy Oliveira < [EMAIL PROTECTED]   > 
wrote: 

Às vezes,  afirmar que um problema está mal escrito e
aparentemente não tem solução, pode significar um 
risco muito grande. Resolvi arriscar e apostei com
alguns amigos que este aqui que vou passar pra vocês
se encaixa nisso que eu disse. Espero ter razão, pois
, apostei alto.
" Dados dois pontos distintos A e B de um plano, os 
pontos X desse plano que satisfazem a condição AX=2BX
pertencem a uma mesma circunferência. Determine a
expressão do raio da circunferência  em função do
comprimento d do segmento AB.
   Agradeço antecipadamente a quem puder me resolver 
esse problema.
  Ruy






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[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida Continuidade

2007-07-12 Thread Artur Costa Steiner 
Já foi visto que f(x) = k *x para todo racional x. Já vimos tambem que f eh 
continua em R. Definamos g:R --> R por g(x) = kx. Entao, g eh continua em R e 
concorda com f em Q. Como Q eh denso em R, f e g concordam em Q e f e g sao 
ambas continuas em R, segue-se de conhecido teorema (que, alias, vai alem dos 
espacos Euclidianos) que f = g em todo R. Assim, f(x) = kx para todo real x.

No caso Euclidiano, temos os seguinte:

Sejam f e g funcoes continuas de R^n em R^m que concordem em um subconjunto A 
de R^n, denso em R^n. Entao, f= g em todo o R^n.

Prova.: Seja x pertencente a R^n. Como A eh denso em R^n, existe uma sequencia 
(x_n) em A que converge para x. Como f e g concordam em A, (f(x_n) e (g(x_n)) 
sao a mesma sequencia. Da continuidade de f em R^n, segue-se que lim f(x_n) = 
f(x)e, da continuidade de g em R^n, segue-se que lim g(x_n) = g(x. Como (f_x_n) 
e (g(x_n)) sao a mesma sequencia, segue-se da unicidade do limite que f(x) = 
g(x). Logo, f = g em todo o R^n. f e g sao a mesma funcao.

Artur 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Marcelo Salhab Brogliato
Enviada em: quinta-feira, 12 de julho de 2007 03:26
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Dúvida Continuidade


Olá Kleber,

vamos dar uns chutes para x e y e encontrar umas propriedades dessas funcoes:
y=0... f(x+0) = f(x) + f(0)  f(0) = 0
x=-y... f(x-x) = f(x) + f(-x)  f(-x) = -f(x) [funcao impar]
x=y... f(x+x) = f(x) + f(x)  f(2x) = 2f(x) [por inducao,
facilmente mostramos que f(nx) = nf(x) para todo n natural]
como f(nx) = nf(x), para n natural, e f(-x) = -f(x), temos que:
f(-nx) = -f(nx) = -nf(x) ... assim, podemos extender para os inteiros..
vamos dizer que: p/q = a, mdc(p,q)=1, p, q inteiros..
p = aq ..assim: f(px) = pf(x)... f(aqx) = pf(x) ... mas q é inteiro,
logo: f(qax) = qf(ax)
assim: qf(ax) = pf(x)  f(ax) = p/q f(x) = af(x)  logo, vale
para os racionais tb...
-
[daqui para baixo (até os proximos -) estou chutando.. acredito
que alguem aki da lista pode confirmar o q estou dizendo ou me
corrigir!]
e agora? como generalizar isso para os irracionais?
acredito que é justamente usando o seu exercicio...
supondo que lim {x->a} f(x) = f(a)..
vamos particionar os reais.. R = Q U R\Q ...
para x E Q, temos: lim {x->a} f(x) = lim{k->a} f(kx) = lim{k->a} kf(x) = af(x)
para x E R\Q, temos que ter: lim {x->a} f(x) = af(x), pois, caso
contrario, f(x) nao seria continua em todos os pontos.
logo: f(ax) = af(x) para todo a real...
assim: f(x) = f(1*x) = x*f(1)  f(x) = kx, onde k=f(1)...
portanto, a unica funcao com essas propriedades é: f(x) = kx...
--

agora o que foi pedido:
vamos supor que lim {x->0} f(x) = f(0) [continuidade na origem]
isto é: para todo eps>0, existe um delta>0, tal que: |x| < delta
implica: |f(x)| < eps
fazendo x = y-a, temos: |y-a| < delta implica |f(y-a)| = |f(y) +
f(-a)| = |f(y) - f(a)| < eps..
logo: lim {x->a} f(x) = f(a)... (cqd)

abracos,
Salhab




On 7/11/07, Kleber Bastos <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Seja f: R->R  tq
>
> f(x+y) = f(x) + f(y)  ( para todo x,y E R )
>
> Mostrar que , se f é continua na origem, então f é contínua em R.
>
>
> --
> Kleber B. Bastos

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Re: [obm-l] O sapo, a escada e a moeda (probabilidade)

2007-07-12 Thread Nicolau C. Saldanha 
On Mon, Jul 02, 2007 at 03:53:32PM -0300, Rogerio Ponce wrote:
> Durante o mes de julho, um super-sapo, infinitamente rapido, desceu,
> sequencialmente, todos os degraus de uma escadaria infinita. Somente ao
> final da viagem ele se deu conta que, ao atender o celular no dia 15, ele
> deixou cair sua moeda da sorte em algum degrau.
> 
> Entao, pediu a um primo extremamente minucioso, que faria o mesmo percurso
> durante o mes de agosto, que ele tentasse encontrar a moeda.
> 
> Sabe-se que o primo, ainda mais veloz, desce escadas empregando
> aleatoriamente 2 tipos de pulos: - saltos longos para a frente, (quando
> avanca diretamente do degrau N para o degrau N+2), - e saltos curtos
> para tras (quando retrocede do degrau N para o degrau N-1).
> 
> Como os 2 tipos sao equiprovaveis, o primo realmente desce a escadaria, com
> taxa media de 1 degrau a cada 2 saltos. 
> 
> Sabendo-se tambem que seu primo somente examina os degraus em que pisa, qual
> e' a probabilidade de que a moeda seja encontrada?

Gostei muito deste problema. A probabilidade de que a moeda seja encontrada
é 1 - phi^(-4) = (-5 + 3 sqrt(5))/2 ~= 0.854101966 onde phi = (1+sqrt(5))/2.

Acho que é melhor começar considerando um problema relacionado.
Suponha que no tempo 0 o primo encontra-se no degrau k > 0.
Seja a_k a probabilidade de que o primo *não* volte a pisar no degrau 0.
Vamos calcular a_k.

Podemos considerar que a_0 = 0. Por teoremas de probabilidade
(lei dos grandes números, teorema central do limite ou algo do gênero)
sabemos que lim_(k -> + infinito) a_k = 1.
Considerando o primeiro pulo, temos ainda
a_k = (a_(k-1) + a_(k+2))/2 para k > 0.
Para resolver esta equação de diferenças considere a equação
l^3 - 2 l + 1 = 0, que tem raízes 1, phi^(-1) ~= 0.6 e -phi ~= -1.6.
Assim a_k = C_1 + C_2 phi^(-k) + C_3 (-phi)^k.
Pelas condições acima temos C_3 = 0 donde a_k = 1 - phi^(-k).
Em particular a_1 = 1 - phi^(-1) = phi^(-2) ~= 0.4.

Outro problema preliminar relacionado:
no tempo t = 0 o primo está na posição k < 0.
Seja b_k a probabilidade de que o primeiro degrau >= 0 a ser pisado
seja o degrau 0. Note que ele atingirá degraus >= 0 com probabilidade 1
e que o primeiro a ser pisado pode ser o degrau 0 ou o degrau 1.
Vamos calcular b_k.

Podemos considerar que b_0 = 1, b_1 = 0.
Temos ainda 0 <= b_k <= 1 para todo k < 0.
Novamente considerando o primeiro pulo temos
b_k = (b_(k-1) + b_(k+2))/2 para k < 0.
Novamente temos b_k = C_4 + C_5 phi^(-k) + C_6 (-phi)^k.
Pelas condições acima temos C_5 = 0 donde b_k = phi^(-1) + (-phi)^(k-2).
Em particular lim_(k -> - infinito) b_k = phi^(-1) ~= 0.6.

Vamos agora considerar o problema original.
Suponha sem perda de generalidade que a moeda caiu no degrau 0.
É melhor calcular a probabilidade de que o primo *não* encontre
a moeda, ou seja, de que ele nunca pise no degrau 0.

Vamos observar o primeiro instante em que o primo pisa em degraus >= 0.
Pelo que vimos sobre b_k (lim_(k -> - infinito) b_k = phi^(-1)),
com probabilidade phi^(-1) ele pisa no 0 e acha a moeda;
com probabilidade phi^(-2) ele pisa no 1 e não acha a moeda ainda.
Para que ele de fato nunca encontre a moeda deve ocorrer o segundo
caso e o primo a partir do degrau 1 não deve voltar a pisar no degrau 0.
Pelo que vimos sobre a_k (a_1 = phi^(-2)), isto ocorre com probabilidade
phi^(-2) e portanto a probabilidade de que a moeda não seja encontrada
é phi^(-4).

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] picaretagem no ensino da matemática

2007-07-12 Thread Paulo Cesar 

Bom, já que ninguém comentou, é bom ver também que o algoritmo da soma está
errado. Funciona em alguns casos, mas como todo algoritmo, deveria funcionar
em todos.

[]'s

PC

Res: [obm-l] iberoamericana

2007-07-12 Thread Klaus Ferraz 
Boa Marcelo. Até tinha pensado nessa reta perpendicular OA passando por x mas 
nem me liguei q poderia fazer as contas e ver que PO e PA eram constantes.
Valeu.


- Mensagem original 
De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 11 de Julho de 2007 3:15:51
Assunto: Re: [obm-l] iberoamericana


Olá novamente Klaus,
acho que consegui uma solucao por geometria.. peco que me corrijam
caso esteja errada...:)

Sejam O, A, M os pontos conforme o enunciado. Seja X o centro da
circunferencia pedida.
O ponto X é encontrado pelo encontro das mediatrizes (hehe) dos
segmentos MN e MA.
1) Trace a reta OA, OM, OX, XA.
2) Trace a reta que passa por X e é perpendicular a OA.
3) Chame o ponto da interseccao de P.

Vamos chamar OP = b, PA = a, OA = k, XP = d, XA = XM = R.
O triangulo XPA é retangulo em P, logo: R^2 = a^2 + d^2 (i)
O triangulo XPO é retangulo em P, logo: c^2 = d^2 + b^2 (ii)
O triangulo XOM é retangulo em O, logo: R^2 = c^2 + r^2 (iii)
Substituindo (ii) em (iii), temos: R^2 = d^2 + b^2 + r^2 (iv)
Fazendo (iv) - (i), temos: a^2 = b^2 + r^2.
Mas, sabemos que a + b = k.
Assim: (k-b)^2 = b^2 + r^2  k^2 - 2kb + b^2 = b^2 + r^2 ... 2kb = k^2 - r^2
b = (k^2 - r^2)/(2k)
veja que k é o tamanho do segmento OA (constante, pois A é fixo).
Deste modo, o comprimento "b" é constante. Consequentemente, "a" é constante.
Isto é: Para qualquer ponto M na circunferencia de raio "r", a reta
que passa pelo centro da circunferencia pedida (que passa por M, N e
A) e é perpendicular a reta OA, divide o segmento OA em 2 segmentos
constantes (isto é, nao variam com a escolha de M).
Deste modo, X só pode se situar nesta reta (para todo valor de M).
Assim, o lugar geometrico é uma reta (que esta determinada).

Uma outra argumentacao seria: existe uma unica reta que divide o
segmento OA em "b" e "a" e é perpendicular ao segmento. Quando ligamos
X perpendicularmente ao segmento OA, ele divide o segmento exatamente
em "b" e "a" para qualquer posicao de M.
Deste modo, X sempre pertence a esta reta.

Acho que a explicacao nao ficou muito clara.. qualquer coisa mande
outra mensagem.

abracos,
Salhab




On 7/11/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Olá Klaus,
> ja dei uma pensada mas ainda nao consegui achar uma solucao..
> se eu conseguir pode deixar que eu mando..
> tem mta gente boa de geometria aqui na lista.. ja ja mandam a solucao :)
>
> abracos,
> Salhab
>
>
> On 7/10/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > Ola Marcelo,
> >  será q vc num consegue algum modo de fazer usando
> > geometria sintética?
> > vlw.
> >
> >
> > - Mensagem original 
> > De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Enviadas: Terça-feira, 10 de Julho de 2007 1:46:48
> > Assunto: Re: [obm-l] iberoamericana
> >
> >
> > Olá,
> > pensei em uma abordagem usando vetores..
> > vamos dizer que nossa circunferencia esta na origem.. e conhecemos os
> > vetores M e A..
> > como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N e A é o
> > encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA..
> > M, N e A sao vetores no plano XY (isto é, nao possuem componente em Z)..
> > x = produto vetorial
> > . = produto escalar
> >
> > V1 = (M-A) x k .. este é o vetor diretor da mediana de MA
> > (A+M)/2.. este é um ponto da mediana de MA...
> > portanto, esta reta já esta determinada..
> >
> > V2 = M x k ... este é o vetor diretor da mediana de MN
> > 0.. este é um ponto da demana de MN
> > portanto, esta reta tambem já esta determinada..
> >
> > temos que encontrar X, tal que:
> > X = (A+M)/2 + s*V1
> > X = t*V2
> >
> > X é o centro da circunferencia pedida..
> > (A+M)/2 + s*[(M-A)xk] = t*[Mxk]
> > fazendo o produto escalar por M, temos:
> > [(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] = t*[(Mxk).M]
> > [A.M + M.M]/2 - s*[(Axk).M] = 0
> > s = [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}
> >
> > assim: X = (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima..
> > agora, temos que A = (xa, ya) ; M = (xm, ym) ... substituir..
> >
> > vou fazer aki mais tarde... dai eu mando
> >
> > abracos,
> > Salhab
> >
> >
> > On 7/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > >
> > > (Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma
> > > circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja M
> > um
> > > ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M. Determinar
> > o
> > > lugar geométrico dos centros das  circunferências que passam por A, M e N
> > > quando M varia.
> > >
> > > ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei analiticamente,
> > porém
> > > deu muitas contas e acabou num dando em nada.
> > > Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >

[obm-l] questão 4 de matemática

2007-07-12 Thread rafael carvalho 

nao sei se estou mandando a questão para o e-mail certo, mas lá vai:


Quatro torneiras A, B, C e D enchem um tanque. Sabendo que: as torneiras A, 
B e C enchem um tanque em 10 horas; B, C, e D em 15 horas; A, B e D em 20 
horas e A, C e D em 30 horas. Estando o tanque vazio, em quantas horas as 
quatro torneiras encheriam o tanque se funcionassem conjuntamente?




(suponho q as os dados da questão estejam errados, pois minhas resposta deu 
ilógicas 12 horas)


_
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http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d


=
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] picaretagem no ensino da matemática

2007-07-12 Thread Mario Barbosa 
NADA A VER!

Paulo Cesar <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:  

  Bom, já que ninguém comentou, é bom ver também que o algoritmo da soma está 
errado. Funciona em alguns casos, mas como todo algoritmo, deveria funcionar em 
todos.

[]'s 

PC




   
-
Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.

Re: [obm-l] questão 4 de matemática

2007-07-12 Thread J. Renan 

Última conta errada (der) são 12 horas mesmo. Só agora vi a outra resposta.

Em 13/07/07, J. Renan <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:


Oi Rafael,

Quando você usa várias torneiras em conjunto, para calcular uma
equivalente pode usar média harmônica global (como se faz com capacitores,
se não me engano).

Se n torneiras, cada uma com vazão Z(x) (Volume / Tempo) completam um
recipiente de volume V em um tempo t, a vazão total é a soma das vazões de
cada uma das torneiras

Z(1) + Z(2) + ... + Z(n) = V/T ->
1/T(1) + 1/T(2) + ... + 1/T(n) = 1/T

No caso desse exercício

1/T(A) + 1/T(B) + 1/T(C) = 1/10
1/T(D) + 1/T(B) + 1/T(C) = 1/15
1/T(A) + 1/T(B) + 1/T(D) = 1/20
1/T(A) + 1/T(C) + 1/T(D) = 1/30

Somando tudo..

3[ 1/T(A) + 1/T(B) + 1/T(C) + 1/T(D) ] = 6/60 + 4/60 + 3/60 + 2/60

1/T = 15/90 -> T = 6h

Acho que é isso.. não entendo muito sobre outras utilizações da média
harmônica, mas sei que é conveniente nesse caso.

Abraços,
J. Renan

Em 12/07/07, rafael carvalho <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> nao sei se estou mandando a questão para o e-mail certo, mas lá vai:
>
>
> Quatro torneiras A, B, C e D enchem um tanque. Sabendo que: as torneiras
> A,
> B e C enchem um tanque em 10 horas; B, C, e D em 15 horas; A, B e D em
> 20
> horas e A, C e D em 30 horas. Estando o tanque vazio, em quantas horas
> as
> quatro torneiras encheriam o tanque se funcionassem conjuntamente?
>
>
>
> (suponho q as os dados da questão estejam errados, pois minhas resposta
> deu
> ilógicas 12 horas)
>
> _
> Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis.
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>
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>
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> 
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>
> =
>




--
Abraços,
J.Renan

Re: [obm-l] questão 4 de matemática

2007-07-12 Thread J. Renan 

Oi Rafael,

Quando você usa várias torneiras em conjunto, para calcular uma equivalente
pode usar média harmônica global (como se faz com capacitores, se não me
engano).

Se n torneiras, cada uma com vazão Z(x) (Volume / Tempo) completam um
recipiente de volume V em um tempo t, a vazão total é a soma das vazões de
cada uma das torneiras

Z(1) + Z(2) + ... + Z(n) = V/T ->
1/T(1) + 1/T(2) + ... + 1/T(n) = 1/T

No caso desse exercício

1/T(A) + 1/T(B) + 1/T(C) = 1/10
1/T(D) + 1/T(B) + 1/T(C) = 1/15
1/T(A) + 1/T(B) + 1/T(D) = 1/20
1/T(A) + 1/T(C) + 1/T(D) = 1/30

Somando tudo..

3[ 1/T(A) + 1/T(B) + 1/T(C) + 1/T(D) ] = 6/60 + 4/60 + 3/60 + 2/60

1/T = 15/90 -> T = 6h

Acho que é isso.. não entendo muito sobre outras utilizações da média
harmônica, mas sei que é conveniente nesse caso.

Abraços,
J. Renan

Em 12/07/07, rafael carvalho <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:


nao sei se estou mandando a questão para o e-mail certo, mas lá vai:


Quatro torneiras A, B, C e D enchem um tanque. Sabendo que: as torneiras
A,
B e C enchem um tanque em 10 horas; B, C, e D em 15 horas; A, B e D em 20
horas e A, C e D em 30 horas. Estando o tanque vazio, em quantas horas as
quatro torneiras encheriam o tanque se funcionassem conjuntamente?



(suponho q as os dados da questão estejam errados, pois minhas resposta
deu
ilógicas 12 horas)

_
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] quest�o 4 de matem�tica (il�gica resposta?)

2007-07-12 Thread Carlos Eddy Esaguy Nehab 

Ai que saudades destes problemas !

Ai vai:

Em uma hora, temos:
A, B e C enchem 1/10 do tanque
B, C e D enchem 1/15 do tanque
A, B e D enchem 1/20 do tanque
A, C e D enchem 1/30 do tanque.

Logo em 1 hora 3 torneiras A, 3 B, 3 C 3 3 D  enchem 1/10 + 1/15 + 
1/20 + 1/30 =  1/4 do tanque, ou seja as torneiras A, B, C e D 
(apenas uma de cada tipo) enchem 1/12 do tanque.


Ou seja, sua ilógica resposta está lógica e certa :-)

Abraços,
Nehab

PS: só no gostei do "segundo" artigo indefinido "um" 
tanque  Ficaria melhor se fosse "o tanque"...


At 14:55 12/7/2007, you wrote:

nao sei se estou mandando a questão para o e-mail certo, mas lá vai:


Quatro torneiras A, B, C e D enchem um tanque. Sabendo que: as 
torneiras A, B e C enchem um tanque em 10 horas; B, C, e D em 15 
horas; A, B e D em 20 horas e A, C e D em 30 horas. Estando o tanque 
vazio, em quantas horas as quatro torneiras encheriam o tanque se 
funcionassem conjuntamente?




(suponho q as os dados da questão estejam errados, pois minhas 
resposta deu ilógicas 12 horas)


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Re: [obm-l] questão 4 de matemática (ilógica resposta?)

2007-07-12 Thread J. Renan 

Essa torneira D parece mais um ralo, apropósito. A vazão dela é negativa,
não é?

Em 13/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:


 Ai que saudades destes problemas !

Ai vai:

Em uma hora, temos:
A, B e C enchem 1/10 do tanque
B, C e D enchem 1/15 do tanque
A, B e D enchem 1/20 do tanque
A, C e D enchem 1/30 do tanque.

Logo em 1 hora 3 torneiras A, 3 B, 3 C 3 3 D  enchem 1/10 + 1/15 + 1/20 +
1/30 =  1/4 do tanque, ou seja as torneiras A, B, C e D (apenas uma de cada
tipo) enchem 1/12 do tanque.

Ou seja, sua ilógica resposta está lógica e certa :-)

Abraços,
Nehab

PS: só no gostei do "segundo" artigo indefinido "um" tanque  Ficaria
melhor se fosse "o tanque"...

At 14:55 12/7/2007, you wrote:

nao sei se estou mandando a questão para o e-mail certo, mas lá vai:


Quatro torneiras A, B, C e D enchem um tanque. Sabendo que: as torneiras
A, B e C enchem um tanque em 10 horas; B, C, e D em 15 horas; A, B e D em 20
horas e A, C e D em 30 horas. Estando o tanque vazio, em quantas horas as
quatro torneiras encheriam o tanque se funcionassem conjuntamente?



(suponho q as os dados da questão estejam errados, pois minhas resposta
deu ilógicas 12 horas)

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--
Abraços,
J.Renan

[obm-l] Estatistica

2007-07-12 Thread Graciliano Antonio Damazo 
Ai vao duas questoes em que encontrei dificuldade:
   
  a primeira a minha dificuldade foi em que o numero de bolas sorteadas eram 
diferentes do numero de bolas escolhidas, ai eu me perdi em montar os casos 
possiveis e favoraveis e acho que resolvi errado
   
  1) Na Sena sao sorteados 5 dezenas entre 01 - 02 - ... - 99 - 00,  e o 
apostador pode escolher 10 dezenas. Qual a probabilidade do apostador acertar a 
terna( 3 dezenas)?
   
  na segunda questao, eu tenho a resposta e a minha resolução dá exatamente o 
dobro da resposta.
   
  2) Supondo que na Loto as dezenas 01 - 02 - ... - 50  nas cartelas sao 
dispostas em 5 linhas e 10 colunas. Sabendo que sao sorteadas 6 dezenas, qual a 
probabilidade dessas dezenas ocuparem exatemente duas linhas, com 5 dezenas em 
uma e 1 dezena em outra?
   
  A minha soluçõa foi: 
   
  OBS: represento por C(n,p) a combinação de n elementos para escolher p, e Pn, 
por uma permutação de n elemntos.
   
  casos favoraveis: primeiro temos que escolher 2 linhas dentre as 5, o que 
pode ser feito de C(5,2) maneiras. Ainda temos que escolher 5 dezenas em uma 
linha e 1 dezenas na outra linha que pode ser feito de C(10,5)*C(10,1). Além 
disso, podemos escolher 5 na primeira linha e 1 na segunda linha escolhida, ou 
vice versa, entao temos que multiplicar o resultado por P2.
   
  casos possiveis: C(50,6)
   
  portanto eu encontrei como resposta essa expressao:
   
  probabilidade = C(5,2)*C(10,5)*C(10,1)*P2 / C(50,6)
   
  gostaria da ajuda de voces mais uma vez galeraagradeço desde já
   
  abraços 
   
  Graciliano

   
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Re: [obm-l] O sapo, a escada e a moeda (probabilidade)

2007-07-12 Thread Rogerio Ponce 
Ola' Nicolau,
tambem gostei do problema!
Segue a solucao que encotrei.
(me desculpem os colegas da lista, mas a explicacao detalhada tornou o texto 
muito longo)

-- Solucao --

Queremos a probabilidade de que o sapo ache a moeda, ou seja, a probabilidade 
de um degrau ser pisado.
Vamos, primeiramente, calcular a probabilidade de que um degrau nao seja pisado 
jamais.

Ao contar o numero de pulos do sapo, podemos dizer que:
(usando "#" para designar  "o numero de")

#total_de_pulos =
 [1 * #degraus visitados exatamente uma vez] +
 [2 * #degraus visitados exatamente duas vezes] +
 [3 * #degraus visitados exatamente tres vezes] + ...

Como o sapo gasta, na media, 2 pulos para avancar 1 degrau, entao, dividindo os 
dois lados da equacao pelo total de degraus percorridos, temos (no limite):
2 =
 [1 * probabilidade de um degrau ser visitado exatamente uma vez] +
 [2 * probabilidade de um degrau ser visitado exatamente duas vezes] +
 [3 * probabilidade de um degrau ser visitado exatamente tres vezes] +
 ...

Bem, para que um degrau seja visitado mais de uma vez, alguns "loops" serao 
necessarios.
Vamos numerar os degraus, de forma que o degrau de referencia para um loop seja 
0, e os degraus 'a frente sejam positivos.
Sabemos que o sapo executa pulos com extensao +2 (para frente) e -1 (para tras) 
, ambos com probabilidade 1/2 .
Entao, qual e' a probabilidade do sapo retornar a um dado ponto? (ou seja, qual 
a probabilidade de um "loop" ?)


Vamos analisar os 3 tipos possiveis de "loops" :

1) Existe um tipo de "loop" em que o sapo utiliza apenas os degraus 'a frente 
(ou degraus positivos)  do degrau de referencia (ou degrau zero).
Chamemos esse loop de "loop positivo".
Entao, qual a probabilidade de, partindo do degrau 0, o sapo retornar ao mesmo, 
tendo pisado apenas em degraus positivos?
Vamos chama'-la de Pp (Probabilidade de "loop com degraus positivos" ):
Basicamente o sapo pula do degrau "0" para o degrau "2", e depois volta ao 
degrau "1" , e finalmente volta ao degrau "0".
Neste percurso ele pode executar loops positivos a partir do degrau 2 e a 
partir do degrau 1.
Assim, partindo do degrau "0" (sem perda de generalidade) , existe uma 
probabilidade de 1/2 de pular para o degrau "2" .
Entao, o sapo pode novamente executar um numero qualquer de "loops positivos" a 
partir deste degrau (antes de voltar ao degrau 1).
Entao ha' uma probabilidade de 1/2 de pular para o degrau 1.
E, novamente, o sapo pode executar uma quantidade qualquer de "loops positivos" 
, e, finalmente, ha' uma probabilidade de 1/2 de atingir o degrau 0.
Repare que todos os movimentos que o sapo pode fazer num "loop positivo" se 
encaixam no esquema descrito.

Assim,
Pp = 1/2 * (1+Pp+Pp**2+Pp**3+... ) * 1/2 * (1+Pp+Pp**2+Pp**3+...) * 1/2
Pp = 1/8 *  1/(1-Pp)**2
Pp * (1-Pp)**2 = 1/8

Por inspecao , 0.5 e' raiz. Assim, apos decompor a expressao, obtemos
(Pp-0.5) * (Pp - (3+sqrt(5))/4 ) * (Pp - (3-sqrt(5))/4 ) = 0

Sabemos que a probabilidade do primeiro pulo (de "0" a "2") e'  0.5 , de forma 
que a probabilidade para completar o loop tem que ser menor que 0.5 .

Assim, Pp = (3-sqrt(5))/4


2) Outra especie de loop e' o "loop negativo", em que o sapo pisa apenas em 
degraus negativos.
Vamos chamar de Pn a probabilidade deste loop  (Probabilidade de loop com os 
degraus negativos):
Basicamente o sapo pula do degrau "0" para o degrau "-1", passando depois ao 
degrau "-2" , e finalmente volta ao degrau "0".
Neste percurso ele pode executar loops negativos a partir do degrau -1 e a 
partir do degrau -2.
Assim, comecando do degrau "0" (sem perda de generalidade), ha' uma 
probabilidade de 1/2 de pular para o degrau "-1" .
Entao o sapo pode executar uma quantidade qualquer de "loops negativos" a 
partir deste degrau (antes de passar para o degrau "-2").
Entao ha' uma probabilidade de 1/2 de pular para o degrau "-2".
E, novamente, o sapo pode executar uma quantidade qualquer de "loops negativos" 
, e, finalmente , ha' uma probabilidade de 1/2 de atingir o degrau 0.
Repare que todos os movimentos que o sapo pode fazer num "loop negativo" se 
encaixam no esquema descrito.

Assim,
Pn = 1/2 * (1+Pn+Pn**2+Pn**3+... ) * 1/2 * (1+Pn+Pn**2+Pn**3+...) * 1/2

Observe que a equacao para Pn e' similar 'a equacao para Pp. Assim,  Pn = 
(3-sqrt(5))/4


3) O ultimo tipo de loop e' o "loop misto", em que o sapo passeia inicialmente 
por degraus negativos, e ( apos pular "por cima" do degrau zero) depois passeia 
por degraus positivos, antes de voltar ao degrau zero.
Calculemos a probabilidade "Pm" de um loop misto:
Basicamente o sapo pula do degrau "0" para o degrau "-1", passando depois ao 
degrau "+1" , e finalmente volta ao degrau "0".
Neste percurso ele pode executar loops negativos a partir do degrau -1 e loops 
positivos a partir do degrau +1.
Comecando do degrau "0" (sem perda de generalidade) , ha' uma probabilidade de 
1/2 de pular para o degrau "-1" .
Entao o sapo pode executar uma quantidade qualquer de loops negativos a partir 
deste degrau