Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória : dúvida...
Valeu Gustavo pela atenção! Gustavo Duarte [EMAIL PROTECTED] escreveu: Acho que está certo, eu tb resolveria assim !! - Original Message - From:clebervieira To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, April 09, 2008 9:53PM Subject: [obm-l] Análise Combinatória:dúvida... Amigos gostaria da opinião de vcs sobre a resolução que fiz doseguinte problema: Um dia pode ter uma de sete classificações: MB(muitobom), B(bom), O(ótimo), P(péssimo), S(sofrível) e T(terrivel). Os dias de umasemana são: domingo, segunda, terça, quarta,quinta, sexta e sábado. Duassemanas se dizem distintas se dois dias de mesmo nome têm classificaçõesdistintas. Quantas semanas distintas, segundo o critério dado,existem? a) 7!b) 7^2c)7*7!d) 7^7e) (7^7)! Minharesolução foi a seguinte: segunda = 7 possib. terça = 7 possib. quarta =7 possib. quinta=7 possib. sexta = 7 possib. sábado = 7 possib. domingo =7 possib. Como cadaclassificação de um dia da semana é independente dos outros dias e como cadadia da semana tem 7 possibilidades, teremos 7^7 semanas distintas. Desde jáagradeço. - Abra sua conta no Yahoo!Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Combinatória
Quantas letras têm o alfabeto que você considera? 2008/4/5, dasilva [EMAIL PROTECTED]: Fala gente, gostaria de uma ajuda para a seguinte questão de combinatória. Quantas palavras de no máximo 9 letras existem onde o máximo de vezes que uma letra pode aparecer consecutivamente é 3? Obrigado. -- Ideas are bulletproof. V = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida combinatoria
Poemos pensar nisso como n pontos na posição mais geral possível. Cada quadrupla de pontos determina três intersecções, uma interna e as outras duas externas ao polígono formado por elas quatro. Se variarmos as quádruplas, teremos (n escolhe 4) delkas, somando 3*(n escolhe 4) intersecções. Mas algumas dessas intersecções são de lados copnsecutivos entre si. Então, subtraímos n. Alguém pode corrigir pra mim? Não sei se essa é a idéia. Em 11/04/08, Graciliano Antonio Damazo[EMAIL PROTECTED] escreveu: Boa tarde caros amigos da lista. Peço ajuda em um exercicio de combinatoria que nao consegui formular. 1) considere um poligono convexo de n lados e suponha que nao há duas de suas diagonais que sejam paralelas nem três que concorram em um mesmo ponto que nao seja vértice. a) Quantos sao os pontos de interseção dessas diagonais? b) Quantos desses pontos de interseçao sao interiores ao poligono? c) Quantos sao exteriores? Desde já agradeço. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! -- Ideas are bulletproof. V = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos
Se der pra aproximar p_n por (n*log n), acho que sai fácil! Mas é trapaça da pesada usar o Teorema do Nùmero Primo. Em 08/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu: Ha uma solucao que nao eh dificil, naoi Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Fernando Enviada em: segunda-feira, 7 de abril de 2008 14:25 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos Prioridade: Alta Olá colega, boa tarde! Eu também encontrei uma solução bastante trivial,... mas a margem é muito pequena para contê-la . r (brincadeirinha...) Devemos manter o bom humor nesta lista, não é mesmo? Amplexo. Fernando - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 07, 2008 10:50 AM Subject: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos Acho este problema interessante. Encontrei uma solucao, gostaria de ver como os colegas resolvem. Seja p_n, n =1,2,3 a sequencia dos numeros primos. Mostre que, para todo k 1, a desigualdade, p_n n^k ocorre para uma infinidade de índices n. -- Ideas are bulletproof. V = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Corolário
Na verdade, pelo que eu entendi, ele usa o princípio da boa ordem travestido de indução. Cê prova que de n+1 vale pra n, e prova que para n=1 falha. Deu pra entender? Em 06/04/08, Pedro Júnior[EMAIL PROTECTED] escreveu: Seguinte Bruno, o livro usa o axioma da indução para resolver, apenas não entendi como ele concluiu, como disse estou um pouco enferrujado, mas com um pouco de paciência vou conseguir ele usa, Seja S um subconjunto de N tal que i) 0 pertence a S ii) S é fechado com respeito à operação de somar 1 a seus elementos, ou seja, para todo n, se n pertence a S, então n+1 pertence a S Logo, S = N pois é como falei o livro usou isso, e não ficou tão claro algumas coisas, vejam: Corolário 1 Não existe nenhum número natural n tal que 0 n 1. Demonstração: O enunciado acima é equivalente dizer que p(n) : n 0 --n=1 é verdade para todo n pertencente aos Naturais. Sendo 0 0 falso, segue-se que p(0) : 0 0 -- 0=1 é verdade. Por outro lado, note que p(n+1) : n+1 0-- n+11 é verdade para todo n natural. De fato, n + 1 = 1 é verdade para todo n natural. Logo, sendo p(n+1) verdade para todo n, segue-se que p(n) -- p(n+1) é verdade para todo n natural. Portanto o resultado decorre do Princípio da Indução Matemática Prá quem está afiado o autor deve está sendo extremamente claro, só que prá mim não está tão claro... Então se alguém consegui entender claramente, pederia por favor que me esclarecesse, desde já agradeço bastante. Abraços Pedro Jr 2008/4/4 Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]: De onde você quer partir? Quer dizer, quais axiomas vc quer admitir para demonstrar tal fato? 2008/4/4 Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED]: Mostre que entre 0 e 1 não existe nenhum número natural. Bom na realidade esse corolário está demonstrado no livro do Hefez, infelizmente não consegui entender tal demonstração, será que alguém poderia mmostrar de outra maneira ou me explicar o que claramente o autor quis dizer? Agradeço antecipadamente. Pedro Jr -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0 -- Ideas are bulletproof. V = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equação
6x^2 - 77[x] + 147=0 A idéia é usar uma desigualdade com [x] em tudo. Temos x [x]-1, certo? Substitui lá em cima então! Seja [x]=p Se x0, x^2 p^2-2p+1 6p^2-12p+6-77p+147 0 6p^2-89p+1530 Aí cê arranja valores para p (lembre que p é inteiro) e substitui lá em cima. Caso x0, use a substituição y=-x e faça do mesmo jeito. Outra maneira que funciona é usar uma equação em x, e não em p. Em 04/04/08, Bruno França dos Reis[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olhe para esse problema como uma busca pelas intersecções dos graficos de 6x² + 147 e de 77[x]. 2001/11/1 Pedro [EMAIL PROTECTED]: Ajude-me nessa equação Quantas soluções reais tem a equação 6x^2 - 77[x] + 147=0 onde [x] maior inteiro que não supera x -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0 -- Ideas are bulletproof. V = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Corolário
O que quis dizer quando.. Sendo 0 0 falso, segue-se que p(0) : 0 0 -- 0=1 é verdade. Muito obrigado!!! 2008/4/13 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED]: Na verdade, pelo que eu entendi, ele usa o princípio da boa ordem travestido de indução. Cê prova que de n+1 vale pra n, e prova que para n=1 falha. Deu pra entender? Em 06/04/08, Pedro Júnior[EMAIL PROTECTED] escreveu: Seguinte Bruno, o livro usa o axioma da indução para resolver, apenas não entendi como ele concluiu, como disse estou um pouco enferrujado, mas com um pouco de paciência vou conseguir ele usa, Seja S um subconjunto de N tal que i) 0 pertence a S ii) S é fechado com respeito à operação de somar 1 a seus elementos, ou seja, para todo n, se n pertence a S, então n+1 pertence a S Logo, S = N pois é como falei o livro usou isso, e não ficou tão claro algumas coisas, vejam: Corolário 1 Não existe nenhum número natural n tal que 0 n 1. Demonstração: O enunciado acima é equivalente dizer que p(n) : n 0 --n=1 é verdade para todo n pertencente aos Naturais. Sendo 0 0 falso, segue-se que p(0) : 0 0 -- 0=1 é verdade. Por outro lado, note que p(n+1) : n+1 0-- n+11 é verdade para todo n natural. De fato, n + 1 = 1 é verdade para todo n natural. Logo, sendo p(n+1) verdade para todo n, segue-se que p(n) -- p(n+1) é verdade para todo n natural. Portanto o resultado decorre do Princípio da Indução Matemática Prá quem está afiado o autor deve está sendo extremamente claro, só que prá mim não está tão claro... Então se alguém consegui entender claramente, pederia por favor que me esclarecesse, desde já agradeço bastante. Abraços Pedro Jr 2008/4/4 Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]: De onde você quer partir? Quer dizer, quais axiomas vc quer admitir para demonstrar tal fato? 2008/4/4 Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED]: Mostre que entre 0 e 1 não existe nenhum número natural. Bom na realidade esse corolário está demonstrado no livro do Hefez, infelizmente não consegui entender tal demonstração, será que alguém poderia mmostrar de outra maneira ou me explicar o que claramente o autor quis dizer? Agradeço antecipadamente. Pedro Jr -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0 -- Ideas are bulletproof. V = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida combinatoria
Ola Graciliano, Vou usar a notacao C(X,Y) para exprimir Combinacao de X elementos tomados Y a Y . Como sao n vertices, e de cada vertice saem n-3 diagonais, havera' n*(n-3)/2 diagonais ( a divisao por 2 e' porque cada diagonal foi contada 2 vezes, a partir dos seus 2 vertices). Existem intersecoes externas, internas e sobre a linha poligonal (nos vertices). O total de intersecoes e' obtido pela combinacao de todas as diagonais, tomadas duas a duas, ou seja, C(n*(n-3)/2 , 2) intersecoes ao todo. Considerando que em cada vertice haja uma superposicao de intersecoes simples, podemos contar C( n-3 , 2 ) por vertice, perfazendo um total de n*C(n-3,2) intersecoes sobre os vertices, ou seja , n*(n-3)*(n-4)/2 intersecoes sobre. Cada intersecao interna corresponde biunivocamente a um conjunto de 4 vertices, de modo que existem C(n,4) dessas intersecoes, ou seja, n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24 intersecoes internas. A quantidade de intersecoes externas e' calculada pela diferenca entre o total de intersecoes e a soma das intersecoes sobre com internas , ou seja, (apos simplificar a expressao) n*(n-3)*(n-4)*(n-5)/12 intersecoes externas. []'s Rogerio Ponce Em 11/04/08, Graciliano Antonio Damazo[EMAIL PROTECTED] escreveu: Boa tarde caros amigos da lista. Peço ajuda em um exercicio de combinatoria que nao consegui formular. 1) considere um poligono convexo de n lados e suponha que nao há duas de suas diagonais que sejam paralelas nem três que concorram em um mesmo ponto que nao seja vértice. a) Quantos sao os pontos de interseção dessas diagonais? b) Quantos desses pontos de interseçao sao interiores ao poligono? c) Quantos sao exteriores? Desde já agradeço. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Dúvida em Algebra Linear
Prezados, Peço orientação para a resolver o seguinte problema: Dados os vetores (1,1,-1) ; (2,3,-1) ; (3,1,5) e (1,-1,3) ;(3,-2,1) ; (2,1,3), mostre que eles geram o mesmo subespaço vetorial do R^3. justifique porque. Estou com dificuldades de calcular o subespaço gerado. Com respeito a justificativa que pretendo dar é que ele são geradores e não uma base desse subespaço. Estou no caminho certo? Agradeço, mais uma vez a ajuda. bruno - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Onde está o erro???
VI NO LIVRO DO AREF E NO SITE RUMO AO ITA O TEOREMA ABAIXO. Sejam f e g duas funções periódicas, definidas for y=f(x) e y=g(x), cujos períodos são, respectivamente, p1 e p2, com p1 diferente de p2. Se p1/p2=m/n,onde m e n são inteiros positivos e primos entre si, então as funções definidas por f+g e f.g são periódicas e seu período(P) é P=n.p1=n.p2. POLÊMICA O período da função f(x)=cosx.sen5x aplicando o teorema acima é período=2pi.No entanto, temos a seguinte definição: Se f é periódica, então f(x+p)=f(x), para todo x pertencente no domínio de f, onde o menor p positivo que satisfaz a sentença anterior chamaremos de período principal ou primitivo de f. Então, resolvendo pela definição, encontramos período igual a pi. E agora o que faço? Existem restrições? O teorema tá errado? Agradeço antecipadamente pelos esclarecimentos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Onde está o erro???
Eh, eh um problema de notacao -- frequentemente, a literatura confunde (para economizar linguagem) periodo com periodo fundamental. Entao, se ele quer dizer que as funcoes f+g e f.g TEM periodo P, estah correto. Elas tem periodo P sim. Por exemplo, cosx.sin5x tem periodo 2pi (dentre outros, inclusive pi, que eh o fundamental). Agora, este periodo nao eh necessariamente o FUNDAMENTAL, como voce mesmo destacou. (Um exemplo mais drastico ainda eh tomar f=qualquer coisa periodica e g=-f. Entao f+g=0 tem qualquer periodo, nao soh o original de f.) Abraco, Ralph 2008/4/13 [EMAIL PROTECTED]: VI NO LIVRO DO AREF E NO SITE RUMO AO ITA O TEOREMA ABAIXO. Sejam f e g duas funções periódicas, definidas for y=f(x) e y=g(x), cujos períodos são, respectivamente, p1 e p2, com p1 diferente de p2. Se p1/p2=m/n,onde m e n são inteiros positivos e primos entre si, então as funções definidas por f+g e f.g são periódicas e seu período(P) é P=n.p1=n.p2. POLÊMICA O período da função f(x)=cosx.sen5x aplicando o teorema acima é período=2pi.No entanto, temos a seguinte definição: Se f é periódica, então f(x+p)=f(x), para todo x pertencente no domínio de f, onde o menor p positivo que satisfaz a sentença anterior chamaremos de período principal ou primitivo de f. Então, resolvendo pela definição, encontramos período igual a pi. E agora o que faço? Existem restrições? O teorema tá errado? Agradeço antecipadamente pelos esclarecimentos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Álgebra Linear
prezados, boa noite!
Peço orientação para resolver o seguinte problema:
a)Determinar uma base ortonormal em R^3 , contendo o vetor normal ao plano
2x-2y+z=0
Tenho, também, as seguintes dúvidas:
b) É correto admitir que um espaço vetorial de dimensão n possa ser gerado
por um conjunto de vetores linearmente dependentes com n+1 vetores?
c)Tenho alguma dificuldade em dar uma resposta em equações parametricas para
um sistema indeterminado. Há alguma regra específica que me permita fazer isso
sem usar a intuição?
Por exemplo como devo proceder para determinar a base e a dimensão dos
seguintes subespaços vetoriais: X1={ (x,y,z,w) em R^4 /x+y+z=0 , y-w=0}
X2={ (x,y,z,w) em R^4 /x-w=0}
d) Para calcular a dimensão de X1+X2 , basta juntar as bases desses
subespaços e escalonar a matriz formada ?
Desde já muito obrigado pela atenção.
Bruno
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