RE: [obm-l] Menor ângulo
Oi, acredito em duendes e errinhos de digitacao. Nao seria sqrt(2) = 1,414? Ai os lados medem 1000sqrt(2) e 1000sqrt(3). Ve se ajuda. Amplexos, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Menor ânguloDate: Wed, 5 Nov 2008 14:39:54 + Uma ajudinha por favor: 1) Três estradas retilíneas devem conectar os pontos A, B e C. Sabe-se que a distância entre A e B é igual a 1414m, que o ângulo ACB deve ser reto e que o comprimento total do percurso ACB deve ser de 1732m. Nestas condições, considerando sqrt[2]=1,4114 e sqrt[3]=1,732, o menor ângulo BAC possível deve medir, graus, exatamente a) 15 b)10 c) 5 d) 20 e)30 Observação: Sqrt[n] - raiz quadrada de n Notícias direto do New York Times, gols do Lance, videocassetadas e muitos outros vídeos no MSN Videos! Confira já! _ Discover the new Windows Vista http://search.msn.com/results.aspx?q=windows+vistamkt=en-USform=QBRE
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demosntração Apótema e Raio
Olá Eduardo, sim fiz a análise como você disse, entendi bem. Mais uma vez muito obrigado pela ajuda, valeu muito, abração, Marcelo. Em 06/11/08, Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Certamenrte, n representa o número de lados. Assim, o ângulo que compreende cada lado é 2*Pi/n e a tua própria expressão decorre do triângulo retângulo em que a hipotenusa è R e os catetos são An, adjacente ao ângulo Pi/n e Ln/2 oposto ao mesmo. Daí decorre a expressão em vermelho. A expressão em azul deve ser cotangente ou a tangente deve estar no denominador. []s --- Em *qui, 6/11/08, Marcelo Gomes [EMAIL PROTECTED]* escreveu: De: Marcelo Gomes [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Demosntração Apótema e Raio Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 6 de Novembro de 2008, 10:31 Olá pessoal da lista bom dia. Uma vez que todo polígono regular é inscritível em uma circunferência, pede-se desenvolver uma relação entre o apótema e o Raio desta circunferência. Então tomei Pn um polígono qualquer (regular) , An como apótema , R, como raio . Demonstrei a fórmula geral do apótema aquela que afirma : An = 1/2 sqrt (4R^2 - Ln^2) (Ln lado do polígono, aparece na fórmula.) Aí aparecem 2 dúvidas : 1-Teria como chegar a esta demonstração ligando An e R sem explicitar o Ln na fórmula, ou seja sem o termo Ln aparecer ? 2-Pesquisando na net, lá na Wikipedia, sobre apótema e Raio apresenta uma outra fórmula que nunca tinha visto. Olhei em alguns livros renomados por aqui e também não achei. Está lá na Wikipedia com o tema apótema. http://pt.wikipedia.org/wiki/Ap%C3%B3tema Eis a fórmula: Apótema = Ln / 2 tangente PI / n = R.cos (PI / n) Alguém teria também a demonstração das fórmulas em azul e especialmente da que está em vermelho, que não usa o Ln ? Nota: Como a Wikipedia tem erros, lá não está explicitado o que seja o n. Entendi que é o número de lados. Valeu pessoal, obrigadão, Marcelo. -- Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novohttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.new.mail.yahoo.com/addressescom a sua cara @ ymail.com ou @rocketmail.com.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demosntração Apótema e Raio
Em 06/11/08, Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Certamenrte, n representa o número de lados. Assim, o ângulo que compreende cada lado é 2*Pi/n e a tua própria expressão decorre do triângulo retângulo em que a hipotenusa è R e os catetos são An, adjacente ao ângulo Pi/n e Ln/2 oposto ao mesmo. Daí decorre a expressão em vermelho. A expressão em azul deve ser cotangente ou a tangente deve estar no denominador. []s --- Em *qui, 6/11/08, Marcelo Gomes [EMAIL PROTECTED]* escreveu: De: Marcelo Gomes [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Demosntração Apótema e Raio Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 6 de Novembro de 2008, 10:31 Olá pessoal da lista bom dia. Uma vez que todo polígono regular é inscritível em uma circunferência, pede-se desenvolver uma relação entre o apótema e o Raio desta circunferência. Então tomei Pn um polígono qualquer (regular) , An como apótema , R, como raio . Demonstrei a fórmula geral do apótema aquela que afirma : An = 1/2 sqrt (4R^2 - Ln^2) (Ln lado do polígono, aparece na fórmula.) Aí aparecem 2 dúvidas : 1-Teria como chegar a esta demonstração ligando An e R sem explicitar o Ln na fórmula, ou seja sem o termo Ln aparecer ? 2-Pesquisando na net, lá na Wikipedia, sobre apótema e Raio apresenta uma outra fórmula que nunca tinha visto. Olhei em alguns livros renomados por aqui e também não achei. Está lá na Wikipedia com o tema apótema. http://pt.wikipedia.org/wiki/Ap%C3%B3tema Eis a fórmula: Apótema = Ln / 2 tangente PI / n = R.cos (PI / n) Alguém teria também a demonstração das fórmulas em azul e especialmente da que está em vermelho, que não usa o Ln ? Nota: Como a Wikipedia tem erros, lá não está explicitado o que seja o n. Entendi que é o número de lados. Valeu pessoal, obrigadão, Marcelo. -- Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novohttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.new.mail.yahoo.com/addressescom a sua cara @ ymail.com ou @rocketmail.com.
Re: [obm-l] ESCOLA NAVAL
Pessoal desculpem pelo furo, pois omiti o 36 da questão.Segue o enunciado correto.Os 36 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova de 3 questões para estabelecer a antiguidade militar. Sabendo que dentre estes alunos, 5 só acertaram a primeira questão, 6 só acertaram a segunda, 7 só a terceira, 9 acertaram a primeira e a segunda, 10 acertaram a primeira e a terceira, 7 acertaram a segunda e a terceira e, 4 erraram todas as questões, podemos afirmar que o número de alunos que não acertaram todas as 3 questões é igual a:(A) 6. (B) 8. (C) 26. (D) 30. (E) 32. Em 23/10/2008 15:18, arkon escreveu: Pessoal, uma atual da EN.Os melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova de 3 questões para estabelecer a antiguidade militar. Sabendo que dentre estes alunos, 5 só acertaram a primeira questão, 6 só acertaram a segunda, 7 só a terceira, 9 acertaram a primeira e a segunda, 10 acertaram a primeira e a terceira, 7 acertaram a segunda e a terceira e, 4 erraram todas as questões, podemos afirmar que o número de alunos que não acertaram todas as 3 questões é igual a:(A) 6. (B) 8. (C) 26. (D) 30. (E) 32. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Re: [obm-l] Menor ângulo
Olá.
Pelo menos essas duas questões fazem parte de uma coletânea de exercícios de
trigonometria que confeccionei dois anos atrás, para meus alunos do 2º ano,
aqui em Belém do Pará, colégio Ideal, juntamente com, salvo engano, mais umas
15 questões.
Em particular, essas que enviaste adaptei, criando alternativas ou o contexto,
da excelente Coleção do Professor de Matemática, da SBM.
Abraços.
Márcio Pinheiro.
From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Menor
ânguloDate: Thu, 6 Nov 2008 20:24:58 +
Olá Márcio, você poderia me dizer de onde vieram essas questões? Meu colega
apenas mostrou o caderno onde constavam essas duas juntamente com muitas
outras, e essas nos complicaram a vida. Aproveito para dizer obrigado (^_ ^)
Date: Wed, 5 Nov 2008 10:34:18 -0800From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Re:
[obm-l] Menor ânguloTo: obm-l@mat.puc-rio.br
Olá, novamente.
Há um erro no valor da aproximação da raiz quadrada de 2: é 1,414.
Tens dois caminhos pra seguir (pelo menos que percebo agora):
1ª solução:
O triângulo ABC possui, com as aproximações dadas, lados AB = 100sqrt(2), BC =
x e AC = 100sqrt(3) - x, já que AC + BC = 100sqrt(3). Portanto, semelhante ao
triângulo retângulo de hipotenusa sqrt(2) e catetos y e sqrt(3) - y. Logo, pelo
teorema de Pitágoras, encontra-se y a partir da equação 2y^2 - 2ysqrt(3) + 1 =
0, obtendo-se dois valores: [sqrt(3) + 1]/2 e [sqrt(3) - 1]/2. Como se deseja o
menor valor possível do ângulo (agudo) BAC, deve-se impor menor BC possível, a
saber, 100x[sqrt(3) - 1]/2. Por conseguinte, já com essa última condicionante,
sen (BAC) = {[sqrt(3) - 1]/2}/sqrt(2) = [sqrt(6) - sqrt(2)]/4, de que se
conclui BAC = 15º (60º - 45º, por exemplo).
2ª solução:
Com as mesmas notações da solução precedente, pode-se proceder sem necessidade
de determinar os lados do triângulo. Basta notar que sen (BAC) = y/sqrt(2) e
cos (BAC) = [sqrt(3) - y]/sqrt(2). Somando: sen (BAC) + cos (BAC) =
sqrt(3)/sqrt(2), ou seja, sen (pi/4 + BAC) = sqrt(3)/2 = sen (pi/3) (é só usar
a identidade sen x + cos x = sqrt(2).sen (x + pi/4). Enfim, BAC + pi/4 = pi/3 +
2kpi ou pi - [BAC + pi/4] = pi/3 + 2kpi, com k inteiro. Como BAC deve ser
agudo, necessariamente BAC = pi/3 - pi/4 ou BAC = 3pi/4 - pi/3. Uma vez que BAC
é mínimo, conclui-se que BAC = pi/3 - pi/4 = 15º.
Até mais,
Márcio Pinheiro.
P.S.: Já sei de onde vieram as questões.
--- Em qua, 5/11/08, Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Menor ânguloPara:
[EMAIL PROTECTED]: Quarta-feira, 5 de Novembro de 2008, 12:39
Uma ajudinha por favor: 1) Três estradas retilíneas devem conectar os pontos
A, B e C. Sabe-se que a distância entre A e B é igual a 1414m, que o ângulo ACB
deve ser reto e que o comprimento total do percurso ACB deve ser de 1732m.
Nestas condições, considerando sqrt[2]=1,4114 e sqrt[3]=1,732, o menor ângulo
BAC possível deve medir, graus, exatamente a) 15 b)10 c) 5 d) 20 e)30
Observação: Sqrt[n] - raiz quadrada de n
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[obm-l] OFF TOPIC - CURSO
Caros Amigos! Boa tarde. A Univ. Gama Filho (Rio de Janeiro) está oferencendo um excelente curso para estudantes e professores de matemática: Origami voltado para matemática. Estarei lá fazendo o curso e espero encontrar alguns colegas da lista. Detalhes abaixo: *Local: PIEDADE Data Início * 29/11/2008 Dias/Horários sábado - 07:00h às 12:00h e 13:00h às 17:00h Investimento: 1 x R$ 20,00 * Atenção! A data de início poderá sofrer alteração. Objetivo Instrumentalizar o professor para o uso de técnicas que tornem mais atraentes as aulas de Matemática. Discutir as mais variadas técnicas de ensino de frações e Geometria. Criar atividades que tornem as aulas mais dinâmicas. Público-Alvo Alunos dos cursos de Licenciatura em Matemática, Licenciatura em Séries Iniciais, Pedagogia e professores em geral. Disciplinas - As dobraduras básicas: do envelope, da casquinha de sorvete, da casa, da flor, da pirâmide, do barco, da porta, do pássaro; - Dobraduras para as crianças das séries iniciais; - Educação Infantil e Origamis Natalinos; - * *Construção de poliedros a partir dos módulos: de Sonobe, triangular, quadrado, pentagonais, do copinho.** Corpo Docente - Prof. José Antonio Novaes Mestre em Matemática pela UFRJ. Carga Horária 08 horas Coordenação -Profª. Dulcinéa de Lourdes Varella Ferreira Mestre em Ciência da Computação; Coordenadora do Curso de Licenciatura em Matemática da UGF. Contatos: Tel.: (21) 2599-7100 E-Mail:* [EMAIL PROTECTED]
