Re: [obm-l] representação de pares ordenados
Realmente fiquei confuso. Você utilizou que (a, b) = { {a, b}, b } e em uma
mensagem anterior o Marcelo colocou que (a, b) = { {a}, {a, b} }. Assim, {
{a, b}, b } = { {a}, {a, b} }, o que não é verdade. Abaixo você escreve "uma
das opções da definição de par ordenado", ou seja, poderiam haver diversos
conjuntos representando o mesmo par ordenado?
>> { {a}, {a, b}, {a, c} } seria (a, b, c) ?
Nao serve pois teriamos (a,b,c)=(a,c,b), mesmo que b<>c.
>> { {a}, {a, b}, {b, c} } seria (a, b, c) ?
Nao serve pois teriamos (a,b,a)=(a,a,b), mesmo que a<>b.
Não entendi essas observações.
Desculpe se estou parecendo chato persistindo nas explicações, mas esse
conceito não parece simples de definir e estou curioso procurando
entendê-lo.
2009/1/14 Ralph Teixeira
> Como alguem jah disse, essas definicoes sao interessantes sob o ponto
> de vista formal, mas pra mim "sacais" demais para usar de verdade. Mas
> vamos lah: vou usar:
>
> (a,b)={{a,b},b}
>
> Se voce realmente quiser generalizar para n-plas ordenadas, uma opcao
> eh definir recursivamente:
>
> (a1, a2,...,an)=((a1,a2,...,an-1),an)
>
> ou seja, uma n-pla de objetos eh um par ordenado, cujo primeiro termo
> eh uma (n-1)-pla ordenada e o segundo termo eh o "ultimo" objeto.
> Usando isto e (a,b)={{a,b},b} (que eh uma das opcoes da definicao de
> par ordenado), ficaria:
>
> (a,b,c)=((a,b),c)={ {(a,b),c} ,c}={ { {{a,b},b} ,c},c}
>
> Horrivel! Nao tenho nem coragem para ver se esta multitude de chaves
> estah correta :)
>
> Como voce mesmo colocou, aquelas tentativas de definicao de tripla
> ordenada nao servem. Em resumo:
>
> >> { {a}, {a, b}, {a, c} } seria (a, b, c) ?
> Nao serve pois teriamos (a,b,c)=(a,c,b), mesmo que b<>c.
>
> >> { {a}, {a, b}, {b, c} } seria (a, b, c) ?
> Nao serve pois teriamos (a,b,a)=(a,a,b), mesmo que a<>b.
>
> Abraco,
> Ralph
>
> 2009/1/14 Henrique Rennó :
> > Alguém poderia explicar as dúvidas que coloquei? Estaria errada a forma
> como
> > pensei os exemplos?
> >
> > On Fri, Jan 9, 2009 at 4:36 PM, Henrique Rennó >
> > wrote:
> >>
> >> E os seguintes casos?
> >>
> >> 1:
> >> { {a}, {a, b}, {a, c} } seria (a, b, c) ?
> >> { {a}, {a, b}, {b, c} } seria (a, b, c) ?
> >>
> >> Conjuntos diferentes correspondendo ao mesmo par ordenado.
> >>
> >> 2:
> >> { {a}, {a, b}, {b} } seria (a, b, ?) ou (a, b, b)?
> >> { {b}, {a, b}, {a} } seria (b, a, ?) ou (b, a, a)?
> >>
> >> Conjuntos iguais correspondendo a pares ordenados diferentes.
> >>
> >> O número de elementos no conjunto (sejam outros conjuntos ou não) é que
> >> especifica quantos elementos haverá no par ordenado? No caso 2, como a e
> b
> >> já foram "usados", qual seria o terceiro elemento do par ordenado?
> >>
> >> Estou pegando o conceito errado?
> >>
> >> --
> >> Henrique
> >
> >
> >
> > --
> > Henrique
> >
>
--
Henrique
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Curriculo [não abr ir é vírus]
Pode ser trauma de infância ... quero dizer, ele não foi muito feliz com o
Prof. de Matemática no ensino fundamental (a recíproca também pode ser
verdadeira).
--- Em qui, 15/1/09, alexmay nunes soares escreveu:
De: alexmay nunes soares
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Curriculo [não abrir é vírus]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 15 de Janeiro de 2009, 0:10
Poxa o cara vem passar vírus aqui!
--- Em qua, 14/1/09, Samuel Wainer escreveu:
De: Samuel Wainer
Assunto: [obm-l] Curriculo
Para: linnet-do...@hotmail.com, lipeodeli...@hotmail.com, obm-l@mat.puc-rio.br,
lmontan...@gmail.com, ltg_...@hotmail.com, luana_onlinefrie...@hotmail.com
Data: Quarta-feira, 14 de Janeiro de 2009, 19:50
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#yiv2037105372 #yiv1024093341 {
font-size:10pt;font-family:Verdana;}
14/1/2009 19:51:04
1anexo(s)
curriculo...doc (69kb)
Segue Curriculo no anexo.
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RES: [obm-l] representação de pares ordenados
Uma outra forma de consideramos n-tuplas sobre um conjunto X eh como uma funcao
de {1,2...n} em X. O conjunto das n-tuplas formadas por elementos de X eh o
conjunto de todas as funcoes de {1,2n} em X. Isto vale inclusive para o
conjunto dos naturias {1,2,3,...n, ..}, que origina o conjunto de todas as
sequencias de elementos de X.
Esta eh a definicao mais rigorosa de n-tupla e eh a preferida dos autores de
livros sobre Analise e Topologia.
Artur
-Mensagem original-
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br]em
nome de Ralph Teixeira
Enviada em: quarta-feira, 14 de janeiro de 2009 16:44
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] representação de pares ordenados
Como alguem jah disse, essas definicoes sao interessantes sob o ponto
de vista formal, mas pra mim "sacais" demais para usar de verdade. Mas
vamos lah: vou usar:
(a,b)={{a,b},b}
Se voce realmente quiser generalizar para n-plas ordenadas, uma opcao
eh definir recursivamente:
(a1, a2,...,an)=((a1,a2,...,an-1),an)
ou seja, uma n-pla de objetos eh um par ordenado, cujo primeiro termo
eh uma (n-1)-pla ordenada e o segundo termo eh o "ultimo" objeto.
Usando isto e (a,b)={{a,b},b} (que eh uma das opcoes da definicao de
par ordenado), ficaria:
(a,b,c)=((a,b),c)={ {(a,b),c} ,c}={ { {{a,b},b} ,c},c}
Horrivel! Nao tenho nem coragem para ver se esta multitude de chaves
estah correta :)
Como voce mesmo colocou, aquelas tentativas de definicao de tripla
ordenada nao servem. Em resumo:
>> { {a}, {a, b}, {a, c} } seria (a, b, c) ?
Nao serve pois teriamos (a,b,c)=(a,c,b), mesmo que b<>c.
>> { {a}, {a, b}, {b, c} } seria (a, b, c) ?
Nao serve pois teriamos (a,b,a)=(a,a,b), mesmo que a<>b.
Abraco,
Ralph
2009/1/14 Henrique Rennó :
> Alguém poderia explicar as dúvidas que coloquei? Estaria errada a forma como
> pensei os exemplos?
>
> On Fri, Jan 9, 2009 at 4:36 PM, Henrique Rennó
> wrote:
>>
>> E os seguintes casos?
>>
>> 1:
>> { {a}, {a, b}, {a, c} } seria (a, b, c) ?
>> { {a}, {a, b}, {b, c} } seria (a, b, c) ?
>>
>> Conjuntos diferentes correspondendo ao mesmo par ordenado.
>>
>> 2:
>> { {a}, {a, b}, {b} } seria (a, b, ?) ou (a, b, b)?
>> { {b}, {a, b}, {a} } seria (b, a, ?) ou (b, a, a)?
>>
>> Conjuntos iguais correspondendo a pares ordenados diferentes.
>>
>> O número de elementos no conjunto (sejam outros conjuntos ou não) é que
>> especifica quantos elementos haverá no par ordenado? No caso 2, como a e b
>> já foram "usados", qual seria o terceiro elemento do par ordenado?
>>
>> Estou pegando o conceito errado?
>>
>> --
>> Henrique
>
>
>
> --
> Henrique
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] representação de pares ordenados
Oi, Henrique.
Resposta curta:
1. Sim, ha varias opcoes -- mas nao eh **uma** definicao de par
ordenado que lhe dah varias opcoes de conjunto! Sao varias opcoes PARA
A DEFINICAO que voce vai usar. Escolha uma definicao, use-a, mas fique
soh com ela, ateh o final.
Por exemplo: tem gente que define os numeros naturais contendo o 0 (eu
gosto assim, acho que o Nicolau tambem), tem gente que define
comecando pelo 1 (o Elon, por exemplo, nos seus livros). Como nao ha
um consenso sobre qual destas definicoes eh a *correta*, a gente tem
que dizer qual definicao estah usando sempre que necessario. A unica
coisa que eu nao posso eh usar as DUAS DEFINICOES ao mesmo tempo -- ai
teriamos que 0 eh natural e nao eh ao mesmo tempo, e toda a minha
matematica vai por agua abaixo.
2. Para as triplas, voce escolhe a definicao que voce quiser, ou ateh
inventa uma nova. Mas eh muito importante que valha o seguinte:
(a,b,c)=(d,e,f) se e somente se a=d, b=e e c=f.
Se voce inventar uma definicao que nao satisfaca isso (uma onde
(1,2,3)=(1,3,2) ou algo assim), bom, suas triplas ordenadas nao terao
as mesmas propriedades de todas as triplas ordenadas que todo mundo
usa. Isso que eu quis dizer com "nao serve".
---
Resposta comprida:
Como definir um "par ordenado" (e, consequentemente, definir AxB, isto
eh, A cartesiano B)? O que *queremos* eh o seguinte:
DEFINICAO 1. Um par ordenado (a,b) eh um objeto que tem a seguinte
propriedade: (a1,b1)=(a2,b2) se e somente se a1=a2 e b1=b2.
Se voce parar para pensar, esta eh realmente a *unica* propriedade que
precisamos dos pares ordenados -- soh sao iguais quando ambas as
componentes sao RESPECTIVAMENTE iguais. Agora, isto eh um pouco
estranho. Afinal, quando voce define um objeto por uma propriedade,
quem garante que existe ALGUM objeto no mundo que a satisfaz?
...
Bom, tem um pessoal que prefere a seguinte definicao:
DEFINICAO 2. Um par ordenado (a,b) eh o conjunto {{a,b},b}.
A vantagem desta eh que ela eh construtiva (bom, ela soh faz uso da
Teoria dos Conjuntos). Agora, tem gente que usa outras pequenas
variacoes, como (a,b)={{a,b},a} ou outras coisas parecidas. Que eu
saiba, nao existe um consenso (e um dos motivos de nao haver um padrao
eh que ninguem usa pra valer a definicao 2 ou suas variantes -- todo
mundo soh usa a propriedade dentro da DEFINICAO 1, que eh mais simples
e, no final, eh o que interessa).
O que fica faltando aqui eh mostrar que o objeto definido pela DEF2
tem de fato a propriedade lah da DEF1 (que, lembre-se, eh o que
queremos de fato). Entao, para sermos rigorosamente logicos,
precisamos provar:
PROPOSICAO: {{a1,b1},b1}={{a2,b2},b2} se e somente se a1=b1 e a2=b2.
Se a1, b1, a2, b2 forem objetos quaisquer, demonstrar isto eh
surpreendentemente dificil. A unica demonstracao que eu tenho precisa
usar um CANHAO de lema que eu nem sei se eh consenso entre os
matematicos: a ideia de que, na Teoria dos Conjuntos, eh proibido ter
um conjunto que pertenca a si mesmo ou a qualquer de seus elementos...
Se a1, b1, a2, b2 forem restritos a numeros, eu sei fazer: nao pode
ser b1={a2,b2} nem b2={a1,b1} (jah que o da esquerda eh um numero e o
da direita eh um conjunto de numeros); entao b1=b2 e {a1,b1}={a2,b2}.
Mas entao {a1,b1}={a2,b1}. Ou estes conjuntos sao ambos unitarios
(entao a1=b1 e a2=b1, donde vem a1=a2), ou ambos tem dois elementos
(entao para os conjuntos serem iguais devemos ter a1=a2).
Isto cuida da IDA do "se e somente se". A volta eh imediata. CQD.
Em suma, mostramos que o objeto da DEFINICAO 2 tem a propriedade que
estah na DEFINICAO 1. O engracado eh que, agora, podemos voltar a usar
a definicao 1 sem problema algum -- a definicao 2 junto com a
PROPOSICAO mostram que ha, de fato, objetos que satisfazem a DEFINICAO
1, entao o grande defeito da DEFINICAO 1 acaba de sumir!
Puxa, eu sou prolixo demais. Serah que alguem se deu ao trabalho de
ler tudo isso? :)
Abraco,
Ralph
2009/1/15 Henrique Rennó :
> Realmente fiquei confuso. Você utilizou que (a, b) = { {a, b}, b } e em uma
> mensagem anterior o Marcelo colocou que (a, b) = { {a}, {a, b} }. Assim, {
> {a, b}, b } = { {a}, {a, b} }, o que não é verdade. Abaixo você escreve "uma
> das opções da definição de par ordenado", ou seja, poderiam haver diversos
> conjuntos representando o mesmo par ordenado?
>
>>> { {a}, {a, b}, {a, c} } seria (a, b, c) ?
> Nao serve pois teriamos (a,b,c)=(a,c,b), mesmo que b<>c.
>
>>> { {a}, {a, b}, {b, c} } seria (a, b, c) ?
> Nao serve pois teriamos (a,b,a)=(a,a,b), mesmo que a<>b.
>
> Não entendi essas observações.
>
> Desculpe se estou parecendo chato persistindo nas explicações, mas esse
> conceito não parece simples de definir e estou curioso procurando
> entendê-lo.
>
> 2009/1/14 Ralph Teixeira
>>
>> Como alguem jah disse, essas definicoes sao interessantes sob o ponto
>> de vista formal, mas pra mim "sacais" demais para usar de verdade. Mas
>> vamos lah: vou usar:
>>
>> (a,b)={{a,b},b}
>>
>> Se voce realmente quiser generalizar para n-plas ordenada
[obm-l] curriculo no email
15/1/2009 13:55:39 1anexo(s) Curriculo...doc (92kb) Curriculo no anexo. _ Mais do que emails! Confira tudo o que Windows Live™ pode oferecer. http://www.microsoft.com/windows/windowslive/
Re: [obm-l] representação de pares ordenados
Obrigado Ralph! Entendi muito bem a idéia da definição. Foi uma explicação
bem clara.
2009/1/15 Ralph Teixeira
> Oi, Henrique.
>
> Resposta curta:
> 1. Sim, ha varias opcoes -- mas nao eh **uma** definicao de par
> ordenado que lhe dah varias opcoes de conjunto! Sao varias opcoes PARA
> A DEFINICAO que voce vai usar. Escolha uma definicao, use-a, mas fique
> soh com ela, ateh o final.
> Por exemplo: tem gente que define os numeros naturais contendo o 0 (eu
> gosto assim, acho que o Nicolau tambem), tem gente que define
> comecando pelo 1 (o Elon, por exemplo, nos seus livros). Como nao ha
> um consenso sobre qual destas definicoes eh a *correta*, a gente tem
> que dizer qual definicao estah usando sempre que necessario. A unica
> coisa que eu nao posso eh usar as DUAS DEFINICOES ao mesmo tempo -- ai
> teriamos que 0 eh natural e nao eh ao mesmo tempo, e toda a minha
> matematica vai por agua abaixo.
> 2. Para as triplas, voce escolhe a definicao que voce quiser, ou ateh
> inventa uma nova. Mas eh muito importante que valha o seguinte:
>
> (a,b,c)=(d,e,f) se e somente se a=d, b=e e c=f.
>
> Se voce inventar uma definicao que nao satisfaca isso (uma onde
> (1,2,3)=(1,3,2) ou algo assim), bom, suas triplas ordenadas nao terao
> as mesmas propriedades de todas as triplas ordenadas que todo mundo
> usa. Isso que eu quis dizer com "nao serve".
>
> ---
>
> Resposta comprida:
>
>
> Como definir um "par ordenado" (e, consequentemente, definir AxB, isto
> eh, A cartesiano B)? O que *queremos* eh o seguinte:
>
> DEFINICAO 1. Um par ordenado (a,b) eh um objeto que tem a seguinte
> propriedade: (a1,b1)=(a2,b2) se e somente se a1=a2 e b1=b2.
>
> Se voce parar para pensar, esta eh realmente a *unica* propriedade que
> precisamos dos pares ordenados -- soh sao iguais quando ambas as
> componentes sao RESPECTIVAMENTE iguais. Agora, isto eh um pouco
> estranho. Afinal, quando voce define um objeto por uma propriedade,
> quem garante que existe ALGUM objeto no mundo que a satisfaz?
>
> ...
>
> Bom, tem um pessoal que prefere a seguinte definicao:
>
> DEFINICAO 2. Um par ordenado (a,b) eh o conjunto {{a,b},b}.
>
> A vantagem desta eh que ela eh construtiva (bom, ela soh faz uso da
> Teoria dos Conjuntos). Agora, tem gente que usa outras pequenas
> variacoes, como (a,b)={{a,b},a} ou outras coisas parecidas. Que eu
> saiba, nao existe um consenso (e um dos motivos de nao haver um padrao
> eh que ninguem usa pra valer a definicao 2 ou suas variantes -- todo
> mundo soh usa a propriedade dentro da DEFINICAO 1, que eh mais simples
> e, no final, eh o que interessa).
>
> O que fica faltando aqui eh mostrar que o objeto definido pela DEF2
> tem de fato a propriedade lah da DEF1 (que, lembre-se, eh o que
> queremos de fato). Entao, para sermos rigorosamente logicos,
> precisamos provar:
>
> PROPOSICAO: {{a1,b1},b1}={{a2,b2},b2} se e somente se a1=b1 e a2=b2.
>
> Se a1, b1, a2, b2 forem objetos quaisquer, demonstrar isto eh
> surpreendentemente dificil. A unica demonstracao que eu tenho precisa
> usar um CANHAO de lema que eu nem sei se eh consenso entre os
> matematicos: a ideia de que, na Teoria dos Conjuntos, eh proibido ter
> um conjunto que pertenca a si mesmo ou a qualquer de seus elementos...
>
> Se a1, b1, a2, b2 forem restritos a numeros, eu sei fazer: nao pode
> ser b1={a2,b2} nem b2={a1,b1} (jah que o da esquerda eh um numero e o
> da direita eh um conjunto de numeros); entao b1=b2 e {a1,b1}={a2,b2}.
> Mas entao {a1,b1}={a2,b1}. Ou estes conjuntos sao ambos unitarios
> (entao a1=b1 e a2=b1, donde vem a1=a2), ou ambos tem dois elementos
> (entao para os conjuntos serem iguais devemos ter a1=a2).
>
> Isto cuida da IDA do "se e somente se". A volta eh imediata. CQD.
>
>
> Em suma, mostramos que o objeto da DEFINICAO 2 tem a propriedade que
> estah na DEFINICAO 1. O engracado eh que, agora, podemos voltar a usar
> a definicao 1 sem problema algum -- a definicao 2 junto com a
> PROPOSICAO mostram que ha, de fato, objetos que satisfazem a DEFINICAO
> 1, entao o grande defeito da DEFINICAO 1 acaba de sumir!
>
> Puxa, eu sou prolixo demais. Serah que alguem se deu ao trabalho de
> ler tudo isso? :)
>
> Abraco,
> Ralph
>
>
> 2009/1/15 Henrique Rennó :
> > Realmente fiquei confuso. Você utilizou que (a, b) = { {a, b}, b } e em
> uma
> > mensagem anterior o Marcelo colocou que (a, b) = { {a}, {a, b} }. Assim,
> {
> > {a, b}, b } = { {a}, {a, b} }, o que não é verdade. Abaixo você escreve
> "uma
> > das opções da definição de par ordenado", ou seja, poderiam haver
> diversos
> > conjuntos representando o mesmo par ordenado?
> >
> >>> { {a}, {a, b}, {a, c} } seria (a, b, c) ?
> > Nao serve pois teriamos (a,b,c)=(a,c,b), mesmo que b<>c.
> >
> >>> { {a}, {a, b}, {b, c} } seria (a, b, c) ?
> > Nao serve pois teriamos (a,b,a)=(a,a,b), mesmo que a<>b.
> >
> > Não entendi essas observações.
> >
> > Desculpe se estou parecendo chato persistindo nas explicações, mas esse
> > conceito não parece simples de definir e estou curioso
[obm-l] sequências Elon / Análise 1
prezados amigos da lista,
Poderiam me ajudar com algumas questões de séries?
1) dados a,b pertencente a R+ defina indutivamente as sequências (xn)
e (yn) pondo x1=(a.b)^(1/2) e y1 = (a+b)/2 e xn+1=(xn.yn)^1/2 e yn+1=
(xn+yn)/2. Prove que xn e yn convergem para o mesmo limite.
2) seja a >=0, b>=0, prove que lim(a^n + b^n)^(1/n) = max { a, b}
abs,
Murilo
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] dúvida simples - valor de aderência
Ola Carlos,
Ele nao deu DOIS termos : ele definiu uma sequencia DESTACANDO duas desuas
subsequencias. A sequencia esta bem definida e comporta umainfinidade de
subsequencias. Agora, no que concerne diretamente com aquestao, ha um resultado
classico e basico da analise real que podeser enunciado da seguinte maneira :
"Se uma sequencia converge, entao TODAS as suas sub-sequencias tambemconvergem
PARA O MESMO VALOR."
Entenda bem. Se uma seqquencia converge, entao 1) todas as suassubsequencia
convergem 2) todas as subsequencias convergem para omesmo valor a que a
sequencia converge.
Uma implicacao obvia e imediata e a seguinte : se sabemos que umasequencia
converge, para sabermos para que valor ela converge bastacalcular o limite de
qualquer uma de suas subsequencias.
Voltando ao seu problema, vemos que a subsequencia formada pelostermos impares
diverge. Logo, a sequencia nao converge. A subsequenciaformada pelos termos
pares converge para ZERO. Logo, zero e um valorde aderencia da sequencia. Eu
afirmo que trata-se do UNICIO valor deaderencia. Para ver isso rapida e
claramente, seja "r" # 0 um realqualquer
1) se r < 0 entao "r" nao pode ser valor de aderencia porque toda asequencia,
por definicao, tem termos positivos e sabemos - por umaaplicacao direta do
teorema da permanencia do sinal - que se umasequencia converge para um valor
negativo, a partir de um certo pontotodos os seus termos devem ser negativos.
Assim, nenhum r < 0 pode servalor de aderencia desta sequencia
2) se r > 0, tome E > 0 tal que r-E > 0. Seja N1 um natural tal quen>N1, X2n <
r-E ( isto e possivel porque X2n -> 0 ) e seja N2 outronatural tal que n> N2,
X2n-1 > r+E (isto e possivel porque X2n+1 tendeao infinito ). Para N3 =
max{N1,N2} temos Xn nao esta em I=(r-E,r+E)para todo n > N3 ( pois os termos
impares estarao a direita de "I" eos termos pares estarao a esquerda de "I" ).
Isto mostra que apenas umnumero finito de termos esta neste invervalo I, vale
dizer, "r" nao evalor de aderencia de Xn.
Note que estou aqui usando o fato de que se "r" e o valor de aderenciade uma
sequencia (Xn) entao para todo E > 0 o intervalo (r-E,r+E)contem uma infinidade
de termos da sequencia. Eu diria que esteresultado e obvio ululante, mas pode
ser provado com rigor. Voce querfazer isso ?
Um AbracaoPSR, 51501091845
2009/1/15 Carlos Silva da Costa :> No livro do
Elon (pequeno), tem uma questão assim:>> quais os valores de aderência da
sequeência (xn) tal que x2n-1=n e x2n=1/n?> Está sequência converge?> o valor
de aderência é zero, até ai tudo bem.>> Agora a sequência converge?,> qual é
minha dúvida ele me deus dois termos dela, tal que x2n-1 -> oo e x2n> vai para
zero porém é divergente (harmonica), a análise que tem que ser> feita é essa
mesma?>> []'s> Carlos
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] sequências Elon / Análise 1
Olá Murilo ,
Para o (2) :
Suponha que "a" seja menor do que ou igual a "b" ; então a^n
*<*b^n e b^n
*<* a^n +b^n *<* 2.b^n já que a e b são não negativos , teremos b *<
* (a^n + b^n)^(1/n) *<* 2^(1/n) .b . Utilizando o Teorema do Confronto
temos que o limite será "b" , que é supostamente o máximo , ok ?
Abraços
Carlos Victor
2009/1/15 Murilo Krell
> prezados amigos da lista,
>
> Poderiam me ajudar com algumas questões de séries?
>
> 1) dados a,b pertencente a R+ defina indutivamente as sequências (xn)
> e (yn) pondo x1=(a.b)^(1/2) e y1 = (a+b)/2 e xn+1=(xn.yn)^1/2 e yn+1=
> (xn+yn)/2. Prove que xn e yn convergem para o mesmo limite.
>
> 2) seja a >=0, b>=0, prove que lim = max { a, b}
>
>
> abs,
> Murilo
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
Re: [obm-l] sequências Elon / Análise 1
1) E claro que para todo N temos que Xn =< Yn, pois a media geometricanunca e
maior que a media aritmetica. Desta desigualdade pontualdecorre imediatamente o
seguinte :
Xn+1 = (Xn*Yn)^(1/2) >= (Xn*Xn)^(1/2)=Xn => (Xn) e uma
sequencianao-decrescenteYn+1 =(Xn+Yn)/2 =< (Yn+Yn)/2 = Yn => (Yn) e uma
sequencia nao-crescente
E tambem o seguinte :
Yn >= Xn para todo N, Xn >= X1 para todo N => X1 =< (Yn) =< Y1 paratodo N =>
(Yn) e limitada.Xn <= Yn para todo N, Yn =< Y1 para todo N => X1 =< (Xn) =< Y1
paratodo N => (Xn) e limitada
E concluimos :
(Xn) e (Yn) sao monotonas e limitadas => (Xn) e (Yn) sao convergentes.
Sejam A = lim Xn= sup{X1, X2, ... } e B = lim Yn = inf{Y1, Y2, ...}
Nao pode ser B < A porque sendo B um infimo isto implicaria aexistencia de um
Yp < A e a monotonicidade de (Yn) implicaria que Yn = p. Ora,
tomando um E > 0 tal que A-E > Yp teriamosque Xn > Yp para todo N
suficientemente grande => Xn > Yn para Nsuficientemente grande ... ABSURDO !
Nao pode ser B > A porque teriamos Yn+1 =(Xn+Yn)/2 >= B , para todo N=> Xn >= B
+ (B-Yn), para todo N. Para N suficientemente grante temosque B-Yn tende a zero
pois LIM Yn = B => para N suficientemente grandeXn > A ... ABSURDO !
Assim, nao podendo ser A < B ou A > B segue que A=B, como queriamos demonstrar !
2) Sem perda de generalidade vou supor que a >= b > 0. Os detalhesdos casos em
que a=0 ou/e b=0 sao triviais e fica como exercicio.
Xn=(a^n+b^n)^(1/n) = [a^n(1+(b/a)^n]^(1/n)=a[(1+(b/a)^(1/n))^(1/n)Lim Xn =
a*LIM[(1+(b/a)^(1/n))^(1/n)
Note agora que a >= b => (b/a) =< 1 => (b/a)^N <= 1 =>1+(b/a)^N =< 1+1
=> 1 =< 1+(b/a)^N =< 2=> 1 =<[1+(b/a)^N]^(1/N) =< 2^(1/N)Aplicando o
teorema do confronto ( teorema do sandwich ) temos que LIM [1+(b/a)^N]^(1/N) =
1. Logo :
LIm Xn= a*1 = a = max{a,b}
Fica com Deus !PSR, 51501092019
OBS : Da pra tornar mais claro os dois ultimos argumentos, sendotalvez mais
prolixo. Isso fica como exercicio.2009/1/15 Murilo Krell
:> prezados amigos da lista,>> Poderiam me ajudar com
algumas questões de séries?>> 1) dados a,b pertencente a R+ defina
indutivamente as sequências (xn)> e (yn) pondo x1=(a.b)^(1/2) e y1 = (a+b)/2 e
xn+1=(xn.yn)^1/2 e yn+1=> (xn+yn)/2. Prove que xn e yn convergem para o mesmo
limite.>> 2) seja a >=0, b>=0, prove que lim(a^n + b^n)^(1/n) = max { a, b}>>>
abs,> Murilo>>
=>
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em>
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>
=>
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] dúvida simples - valor de aderência
Veja, explicitamente, os termos desta sequencia sao 1,1,2,1/2... A sequencia diverge. Tem uma subseq. que vai para oo e outra que converge para 0, de fato unico ponto de aderencia. Voce esta confundindo, x_2n nao eh a a serie harmonica, nao hah somas. Eh apenas a seq. dos inversos dod naturais, que converge para 0. Artur From: Carlos Silva da Costa To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 15, 2009 12:41:26 PM Subject: [obm-l] dúvida simples - valor de aderência No livro do Elon (pequeno), tem uma questão assim: quais os valores de aderência da sequeência (xn) tal que x2n-1=n e x2n=1/n? Está sequência converge? o valor de aderência é zero, até ai tudo bem. Agora a sequência converge?, qual é minha dúvida ele me deus dois termos dela, tal que x2n-1 -> oo e x2n vai para zero porém é divergente (harmonica), a análise que tem que ser feita é essa mesma? []'s Carlos
