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Só pra dizer mais umas coisas legais : O Elon tem no livro dele (não sei mais se é o Análise Real ou o Curso de Análise, volume 1, claro) a mesma idéia pra definir senos e cossenos. Pra quem gosta de cálculo diferencial, esse é um prato cheio pra lembrar como fazer algumas contas, e, melhor ainda, ver que realmente seno e cosseno estão bem-definidas e tal: 1) seja f'' + f = 0 uma função tal que f(0) = 0, f'(0) = 1 (qualquer semelhança com o seno é pura coincidência) 2) Chame (sei lá por quê...) g = f', e note que g'' = f''' = (-f)' = -f' = -g, logo g'' + g = 0 também, que legal, e g' = f'' = -f 3) Note que g^2 + f^2 = 1 : derivando, dá 2gg' + 2ff' = -2gf + 2fg = 0, logo é constante, logo g^2 + f^2 = g(0)^2 + f(0)^2 = 1 + 0 = 1 4) Como g(0) = 1 1/2, e f' = g, temos que f é monótona crescente num intervalo em torno de zero. Como g^2 = 1 - f^2, g é monótona decrescente. 5) Existe um ponto x 0 em que g(x) = 0 : senão, g seria sempre maior do que zero (pois g(0) = 1 0, teorema do valor intermediário), logo f seria sempre crescente. Olhando de novo para f' = g, temos que num intervalinho em torno do zero, f' 1/2, logo f 1/2 * comprimento do intervalinho. Como g' = -f, além desse intervalinho (digamos [0,a], g está ABAIXO de uma reta de inclinação -f(a) -a/2. Logo g *tem que* cruzar zero. 6) Chame esse ponto mágico de primeira anulação de g de A (como anulação !) Note que g'(A) = 1 ou -1 (porque g' = -f, f(A)^2 = 1 - g(A)^2 !) e como g é positiva entre 0 e A, temos f crescente, logo f positiva, logo f(A) = 1, logo g'(A) = -1 7) Use isso para ver que -g'(x+A) é uma solução também da equação, com mesmas condições e o mais. Repetindo duas vezes, você descobrirá que f(x+4A) = f(x) (atenção pros sinais) 8) Prove agora as fórmulas mágicas de soma e subtração de senos e cossenos que você conhece usando derivada, por exemplo : f''(a+x) = -f(a+x) é solução da equação diferencial, e (f(a)g(x) + f(x)g(a))'' = f(a)g''(x) + f''(x)g(a) = f(a)(-g(x)) + (-f(x))g(a) = -(f(a)g(x) + f(x)g(a)) também é solução, e note que f(a+0) = f(a) e f(a)g(0) + f(0)g(a) = f(a)*1 +0*g(a) = f(a) e a primeira derivada também coincide, logo as funções são iguais. 9) Essas funções estão definidas em toda a reta real, f(-x) = -f(x), e se a gente chamar A = pi/2, temos uma nova definição de pi. Uma idéia ainda mais ousada é definir seno e cosseno pela série deles seno(x) = soma (-1)^n x^(2n+1) / (2n +1)!, convergente em toda a reta (e normalmente em cada intervalo finito) pelo critério de d'Alembert. Isso dá imediatamente a equação diferencial (pra provar que ela se anula e o resto) e a série de Taylor, as derivadas, os limites sin(x)/x pra x-0 etc. Outra coisa : o Liouville provou um teorema descrevendo um algoritmo de integração que decide se uma função é integrável ou não em termos simples (com uma definição do que sejam termos simples, claro). Ela usa uns conceitos de Álgebra pra funcionar, e é bem interessante do ponto de vista moderno : considerar todas as funções de uma vez só é permite provar o teorema, enquanto uma análise caso a caso não. Um link (não achei um pdf com a demo, mas deve dar pra encontrar) : http://www.sosmath.com/calculus/integration/fant/fant.html 2009/3/24 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Oi, Bouskela. Você tem uma certa razão... Mas, sinceramente, o que diabos é e^x? Mais espcificamente, o que é e^pi, por exemplo? Dá para definir por limites usando números racionais, mas dá um certo trabalhinho... Então tem um pessoal que prefere DEFINIR o logaritmo pela integral, e DEFINIR a função e^x como sendo a inversa do ln (assim, este tal de e por definição seria o número cujo ln é 1!). Neste novo universo, as coisas se encaixam elegantemente (e, de bônus, responde-se a pergunta do meu parágrafo anterior). Mais detalhadamente, a ordem lógica desse pessoal é: *Alerta! Texto DENSO a seguir! Nada difícil, mas está denso!* 0. Não sabemos o que é ln, nunca ouvimos falar de e, não temos a mínima idéia do que seja a^x quando x não é racional. 1. Para x em (0,+Inf), definimos ln(x)=Int(1 a x) 1/t dt. Assim, d(lnx)/dx=1/x e ln1=0. 2. Conclua que ln(x) é crescente (pois a derivada é +). (2a. Em particular, note que ln2ln1=0.) 3. Mostre que ln(x^r)=r.ln(x) (pelo menos para r racional) -- Um jeito é: tome h(x)=ln(x^r)-rln(x); derivando, usando a Regra da Cadeia e (1), vem h'(x)=0. Então h(x)=h(1)=0. 4. Usando 2a e 3, temos que ln(2^r)=r.ln2 pode ser tão grande quanto quisermos se r for grande, e tão negativo quanto quisermos se r for bem negativo. Assim, a imagem desta misteriosa ln(x) é o intervalo (-Inf, +Inf). 5. Por (2), lnx é monótona, então invertível; vamos chamar sua inversa de exp(x):(-Inf, +Inf) - (0,+Inf) (estes intervalos vêm de (4) e (1)). 6. Mostre que exp(rx)=exp(x)^r (pelo menos para r racional) -- Um jeito: use que exp(rx)=exp(rln(exp(x)))=exp(ln(exp(x)^r))=exp(x)^r. 7. DEFINIÇÃO: e=exp(1). Assim, exp(x)=exp(x.1)=exp(1)^x=e^x (pelo menos para x racional) 8. Agora é o contrário: a
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Olá a todos! Esta Lista é realmente muito legal! É com prazer e estímulo que participo dela. Para mim, o melhor da Lista é que um estudante propõe um problema mais ou menos assim: Paulo tem o dobro da idade de Pedro. Pedro tem 10 anos. Qual é a idade de Paulo? Aí, o primeiro cara responde 20 anos. O segundo pergunta se o aniversário de Pedro coincide com o de Paulo. O terceiro considera que a idade evolui de forma contínua, e não discreta, portanto não há uma resposta exata, já que os aniversários não podem ser absolutamente coincidentes. O quarto indaga em que sistema (métrica) de numeração estão expressas as idades. O quinto expõe que sendo Paulo um adulto e Pedro uma criança, a massa corporal de Paulo é maior do que a de Pedro, daí, pela Teoria da Relatividade, o tempo evolui mais rapidamente para Pedro do que para Paulo - como as massas de ambos não foram informadas, o problema está indeterminado. O sexto explica que, além da falta da informação referente às massas, Paulo, por ser mais velho, já andou (se deslocou) mais do que Pedro, daí (novamente pela Relatividade de Einstein) o espaço-tempo dos dois é diferente: Paulo já viveu mais do que o dobro do que viveu Pedro. E por aí vai... O que quero dizer é que essa discussão sobre integrais e definições, digamos não ortodoxas, de algumas funções foi bastante interessante. Eu mesmo me lembro que há 10 - 15 anos atrás (como eu já estou ficando velho!) discuti com o Nicolau Saldanha sobre a definição da função Gama. Da mesma forma, tudo começou quando um estudante perguntou o valor numérico do fatorial de pi (pi!). Depois de algumas mensagens, o Nicolau quis estender o domínio da função Gama para o R^n (ou mesmo matrizes), mas preservando a correspondência dessa função com o fatorial dos números naturais. Eu já queria definir a função Gama de acordo com as suas propriedades em Relação à Transformada de Laplace - bacana, não? Pois é... Finalizando, acho que não fui claro em um ponto de minhas mensagens anteriores: O que quis dizer foi: ainda não foi descoberto um algoritmo generalizado para o cálculo das integrais indefinidas. Acredito, até, que se possa provar a impossibilidade de um algoritmo assim. Daí, EM PRINCÍPIO, não é possível calcular a integral indefinida de uma função genérica - só é possível calcular a integral indefinida de determinadas famílias de funções. Daí, EM PRINCÍPIO, a integral indefinida de uma certa função não pode ser calculada, até que alguém, por algum método a descubra (aí valendo até a intuição) - é isto. Saudações a todos, Albert Bouskela bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com -Original Message- From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Bernardo Freitas Paulo da Costa Sent: Wednesday, March 25, 2009 4:45 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é impossível? Só pra dizer mais umas coisas legais : O Elon tem no livro dele (não sei mais se é o Análise Real ou o Curso de Análise, volume 1, claro) a mesma idéia pra definir senos e cossenos. Pra quem gosta de cálculo diferencial, esse é um prato cheio pra lembrar como fazer algumas contas, e, melhor ainda, ver que realmente seno e cosseno estão bem-definidas e tal: 1) seja f'' + f = 0 uma função tal que f(0) = 0, f'(0) = 1 (qualquer semelhança com o seno é pura coincidência) 2) Chame (sei lá por quê...) g = f', e note que g'' = f''' = (-f)' = -f' = -g, logo g'' + g = 0 também, que legal, e g' = f'' = -f 3) Note que g^2 + f^2 = 1 : derivando, dá 2gg' + 2ff' = -2gf + 2fg = 0, logo é constante, logo g^2 + f^2 = g(0)^2 + f(0)^2 = 1 + 0 = 1 4) Como g(0) = 1 1/2, e f' = g, temos que f é monótona crescente num intervalo em torno de zero. Como g^2 = 1 - f^2, g é monótona decrescente. 5) Existe um ponto x 0 em que g(x) = 0 : senão, g seria sempre maior do que zero (pois g(0) = 1 0, teorema do valor intermediário), logo f seria sempre crescente. Olhando de novo para f' = g, temos que num intervalinho em torno do zero, f' 1/2, logo f 1/2 * comprimento do intervalinho. Como g' = -f, além desse intervalinho (digamos [0,a], g está ABAIXO de uma reta de inclinação -f(a) -a/2. Logo g *tem que* cruzar zero. 6) Chame esse ponto mágico de primeira anulação de g de A (como anulação !) Note que g'(A) = 1 ou -1 (porque g' = -f, f(A)^2 = 1 - g(A)^2 !) e como g é positiva entre 0 e A, temos f crescente, logo f positiva, logo f(A) = 1, logo g'(A) = -1 7) Use isso para ver que -g'(x+A) é uma solução também da equação, com mesmas condições e o mais. Repetindo duas vezes, você descobrirá que f(x+4A) = f(x) (atenção pros sinais) 8) Prove agora as fórmulas mágicas de soma e subtração de senos e cossenos que você conhece usando derivada, por exemplo : f''(a+x) = -f(a+x) é solução da equação diferencial, e (f(a)g(x) + f(x)g(a))'' = f(a)g''(x) + f''(x)g(a) = f(a)(-g(x)) + (-f(x))g(a) = -(f(a)g(x) +
Re: [obm-l] 6 amigos no cinema
Oi, José AirtonMatou a charada! Agora sim entendi. Obrigado! 2009/3/24 JOSE AIRTON CARNEIRO nep...@ig.com.br Olá Palmerim, é verdade eu achei que seu passo (1) estava correto, mas há um equívoco. Quais da duas moças v. chamou apenas de uma, a m1m2 ou m1m3 ou a m2m3? Na verdade o o total de agrupamentos com 2 moças juntas (2 ou 3) é 576 e não 240. O total com apenas 2 moças juntas é 432. O total com 3 moças juntas 144. O total de 3 moças separadas 144. 2 moças juntas e 2 rapazes nunca juntos 72. 2009/3/23 Palmerim Soares palmerimsoa...@gmail.com Oi José Airton Humm... Não entendo. Se no passo 2 faço a contagem de todos os grupamentos onde estão 2 rapazes juntos e duas moças juntas, então aí já não estariam incluídos necessariamente os grupamentos onde há três rapazes juntos?? Bem, vou pensar mais para ver se encontro alguma outra causa do erro. Valeu! Palmerim 2009/3/22 JOSE AIRTON CARNEIRO nep...@ig.com.br É como o Paulo Cesar,Rafael Forte e Luis Lopes resolveram, dá 72. Agora o erro do Palmerim é que ele está esquecendo que dentre esses 240 possíveis agrupamentos, também estão os que possuem 3 rapazes juntos.Que são exatamente 72. 2009/3/20 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, Vou me arriscar mas vou escrever pouco. Chame de P as duas moças juntas. Elas formam um bloco e sobram 5 lugares. Como os rapazes r não sentam juntos, as duas disposições possíveis nas poltronas são: rMrPr (a) rPrMr (b) Então faço (a) e dobro o resultado para considerar (b). (3,2) é o símbolo de combinação. O P é dado por (3,2)=3. R(3)M(1)R(2)P(3,2)R(1)=3X1X2X3X1=18 Mas P pode permutar. Logo, 18X2=36. E dobrando para levar em conta a disposição (b), encontro 72. []'s Luís -- Date: Fri, 20 Mar 2009 09:42:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] 6 amigos no cinema From: palmerimsoa...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br OPS! quem escreveu o texto abaixo fui eu Palmerim. Enviei sem querer pelo e-mail do meu amigo Ney Falcao quando tentava ajuda-lo a resolver a questão. Afinal, a resposta é 72 ou 144, amigos? Palmerim 2009/3/20 Ney Falcao neyfal...@gmail.com Olá Ney, Paulo Cesar e Rafael Geralmente há mais de uma forma de resolver esses problemas, e algumas vezes acabamos deixando escapar algum detalhe (deve ser por isso que muitos alunos odeiam análise combinatória). Devo ter deixado escapar algum detalhe, porque a solução está parecendo outra para mim, mas não consigo detectar a falha. Ajudem-me, se for possível. Analisei da seguinte forma: 1) Se os rapazes e as moças pudessem se sentar em qualquer das seis poltronas e do lado de quem quisessem (independente do sexo) então seria um problema trivial de permutação, teríamos 6! = 720. Mas como duas moças devem estar sempre juntas, podemos considerar as duas moças como se fossem uma só pessoa, e assim, ao invés de 6 pessoas, contaríamos 5 pessoas e teríamos 5! = 120. Só que as duas moças podem permutar entre si (2! = 2) e para cada permutação das moças teremos as 120 permutações do grupo todo. Portanto, há 2 x 120 = 240 grupamentos que podem ser formados onde duas moças estão sempre juntas. 2) Só que entre esses possíveis 240 grupamentos estão incluídos aqueles onde há dois rapazes sempre juntos também. Então, precisamos retirar todos os grupamentos que contém 2 rapazes juntos e também contém 2 moças juntas e assim restarão só os grupamentos onde há 2 moças juntas, mas não há 2 rapazes juntos, certo? 3) Agora, para calcular quantos grupamentos podemos formar onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas, podemos fazer como fizemos para o cálculo anterior: consideramos 2 moças como se fossem 1 só pessoa e consideramos dois rapazes come se fossem 1 só pessoa. Neste caso, então, das 6 pessoas passaríamos a ter apenas 4 “pessoas’ para permutar, ou seja, 4! = 24. Mas, não podemos esquecer que os dois rapazes que estão juntos podem permutar entre si (2!=2) e o mesmo se dá com as duas moças juntas (2!=2). Assim, teremos 24 X 2 X 2 = 96 grupamentos onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas. 4) Finalmente, 240 – 96 = 144. A pergunta agora é: onde foi que eu errei??? Abraços Palmerim Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos? -- Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! Experimente já!http://www.livemaps.com.br/index.aspx?tr=true -- Dharmo rakshati rakshatah O Dharma protege aquele que protege o Dharma -- Dharmo rakshati rakshatah O Dharma protege aquele que protege o Dharma
