Re: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
Caro Luís, Como vão as coisas? Por aqui tudo corrido, mas sempre se acha um pouco de tempo para um probleminha desses. Eu resolvi assim: Ignore os circulos phi_1 e phi_2 e esboce um triângulo ABC tradicional, marcando D_c sobre AB. O problema pede para determinarmos a reta suporte do lado AB passando por D_c e fazendo um angulo teta (a ser determinado) com CD_c. Chamemos de C/2 o angulo ACD_c = BCD_c. Assim, usaremos a mesma letra C para denotar duas coisas distintas (o vértice do triângulo e o ângulo ACB). O contexto deixa claro do que estamos falando. Pela lei dos senos no triângulo ABC: (1) CD_c / sen (teta - C/2) = b / sen (180 - teta) = b / sen (teta) (2) CD_c / sen (180 - C/2 - teta) = CD_c / sen (C/2 + teta) = a / sen (teta) Temos que eliminar o angulo C/2 das equacoes acima e achar uma expressao (trigonometrica) para teta. Reescrevendo o sistema: (3) sen (teta - C/2) = CD_c sen (teta) / b (4) sen (teta + C/2) = CD_c sen (teta) / a => (transformação em produto) (5) sen (teta) cos (C/2) = CD_c sen (teta) (a + b) / (2ab) (6) sen (C/2) cos (teta) = CD_c sen (teta) (b - a) / (2ab) => (7) cos (C/2) = CD_c (a + b) / (2ab) (8) sen (C/2) = CD_c (b - a) tg (teta) / (2ab) => (relação trigonométrica fundamental) (9) [ CD_c^2 (a + b)^2 ] + [ CD_c^2 (b - a)^2 tg^2 (teta) ] = 4 a^2 b^2 => (10) tg (teta) = sqrt{ [4 a^2 b^2 - CD_c^2 (a + b)^2 ] } / ( CD_c | b - a | ) Ou seja, "basta" você construir no braço a expressão acima para determinar o ângulo teta e, conseqüentemente, a reta suporte do lado AB! Com certeza, um geômetra mediano olha esta expressão e gera uma construção elegante. Se não me engano a expressão de cos (teta) fica um pouco mais simples. Abraço, sergio >Sauda,c~oes, > Aqui CD_c = d_c é o comprimento da bissetriz interna de C. > Há muitas maneiras de se construir um triângulo com > estes dados. > Folheando um livro do Virgilio encontrei uma outra. > Bem, quase. > Sejam os círculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a). > Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela. > Até aqui é a sugestão do Virgilio. > Agora o problema aparece: construir uma reta > passando por D_c tal que se intersecta phi_1 > e phi_2 em A e B, respectivamente, então > AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes). > Como fazer? > []'s > Luís _ Sergio Lima Netto PEE-COPPE/DEL-Poli/UFRJ POBox 68504, Rio de Janeiro, RJ 21941-972, BRAZIL (+55 21) 2562-8164 -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] GEOMETRIA COMBINATÓRIA!
Ola Jorge e demais colegas desta lista ... OBM-L, > > Dados n pontos no plano (n>=3), o número de distâncias distintas entre eles > é, pelo menos (n-3/4)^1/2-1/2 . (Problema Difícil!) > 1) No excerto de mensagem acima voce deve estar se referindo a { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2) e nao a { [ (N - 3 ) /4) ]^(1/2) } - (1/2), pois esta ultima expressao fornece ZERO distancias distintas quando N=4, o que esta obviamente errado, visto que e facil ver que qualquer configuracao de 4 pontos distintos num plano darao origem ao menos a duas distancias distintas. 2) Mesmo se a expressao correta for { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2), tambem aqui ocorrem problemas, pois, sendo obvio ululante que tal expressao fornece numeros irracionais para diversos N's, como entender, por exemplo, que 5 pontos ( N=5 ) distintos no plano darao origem ao menos a ( sqrt(17) - 1) / 2 distancias distintas ? Voce esta se referindo ao piso de { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2), vale dizer, ao maior inteiro que ultrapassa { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2) ? 3) Mesmo se a expressao correta for PISO( { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2) ) ha problemas, pois para N=5 teremos PISO( { [ 5 - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2) ) = 1. Ora, 5 pontos distintos no plano darao origem ao menos a 2 distancias distintas ( um pentagono regular convexo, por exemplo). Sera TETO( { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2) ), onde TETO(X) e o menor inteiro maior ou igual a X ? Enfim, qual a expressao correta ? O problema pode ser formulado como segue : PROBLEMA : Determine o numero minimo de distancias distintas exibidas por N pontos distintos de um plano. ? Um Abracao PSR, 40306090D02 = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
Sauda,c~oes, Oi Sergio, Essa sua solução (confesso que não me detive nela) não segue o espírito das construções geométricas. Pode no máximo mostrar que o problema possui uma solução geométrica. Conheço muitas construções elegantes com estes dados. Pensei ontem e consegui a construção sugerida no Virgilio. Repito o início da construção: Sejam os círculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a). Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela. Até aqui é a sugestão do Virgilio. Agora o problema aparece: construir uma reta passando por D_c tal que se intersecta phi_1 e phi_2 em A e B, respectivamente, então AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes). Ou seja, o ponto B possui duas propriedades: 1) pertence a phi_2; 2) é a imagem de A pela homotetia inversa de centro D_c e razão a/b. Como A pertence a phi_1, então B pertence ao círculo phi'_1, transformado de phi_1 pela mesma homotetia. Descrever a constução de phi'_1 é um pouco longo e complicado sem uma figura. O livro do Wagner mostra como fazer na página 83. Ache B como interseção de phi_2 e phi'_1. A reta (B,D_c) é a reta pedida. []'s Luís > From: sergi...@lps.ufrj.br > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: Re: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c > Date: Wed, 3 Jun 2009 10:32:57 -0200 > > Caro Luís, > > Como vão as coisas? Por aqui tudo corrido, mas sempre se > acha um pouco de tempo para um probleminha desses. > > Eu resolvi assim: > > Ignore os circulos phi_1 e phi_2 e esboce um triângulo ABC > tradicional, marcando D_c sobre AB. O problema pede > para determinarmos a reta suporte do lado AB > passando por D_c e fazendo um angulo teta (a ser determinado) com CD_c. > > Chamemos de C/2 o angulo ACD_c = BCD_c. Assim, usaremos a > mesma letra C para denotar duas coisas distintas > (o vértice do triângulo e o ângulo ACB). O contexto > deixa claro do que estamos falando. > > Pela lei dos senos no triângulo ABC: > > (1) CD_c / sen (teta - C/2) = b / sen (180 - teta) = b / sen (teta) > (2) CD_c / sen (180 - C/2 - teta) = CD_c / sen (C/2 + teta) = a / sen (teta) > > Temos que eliminar o angulo C/2 das equacoes acima e achar > uma expressao (trigonometrica) para teta. Reescrevendo o sistema: > > (3) sen (teta - C/2) = CD_c sen (teta) / b > (4) sen (teta + C/2) = CD_c sen (teta) / a > > => (transformação em produto) > > (5) sen (teta) cos (C/2) = CD_c sen (teta) (a + b) / (2ab) > (6) sen (C/2) cos (teta) = CD_c sen (teta) (b - a) / (2ab) > > => > > (7) cos (C/2) = CD_c (a + b) / (2ab) > (8) sen (C/2) = CD_c (b - a) tg (teta) / (2ab) > > > => (relação trigonométrica fundamental) > > (9) [ CD_c^2 (a + b)^2 ] + [ CD_c^2 (b - a)^2 tg^2 (teta) ] = 4 a^2 b^2 > > => > > (10) tg (teta) = sqrt{ [4 a^2 b^2 - CD_c^2 (a + b)^2 ] } / ( CD_c | b - a | ) > > Ou seja, "basta" você construir no braço a expressão acima para determinar > o ângulo teta e, conseqüentemente, a reta suporte do lado AB! Com certeza, > um geômetra mediano olha esta expressão e gera uma > construção elegante. Se não me engano a expressão de cos (teta) fica um > pouco mais simples. > > Abraço, > sergio > _ Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, é grátis! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmail&utm_medium=Tagline&utm_campaign=IE8
[obm-l] Re: geometria CN
OPS! O enunciado da questão é o seguinte: O triângulo ADE da figura é equivalente ao quadrilátero BCDE. Se AE = 2/3 de AB, então AD é qual fração de AC? 2009/6/3 Thelio Gama > Boa noite professores, > Essa questão em anexo é do Colégio naval e não consigo resolver apesar de > já ter traçado todas as retas que minha imaginação permitiu. Poderiam dar > uma explicação. > > Agradeço a ajuda, > > Thelio >
[obm-l] geometria CN
Boa noite professores, Essa questão em anexo é do Colégio naval e não consigo resolver apesar de já ter traçado todas as retas que minha imaginação permitiu. Poderiam dar uma explicação. Agradeço a ajuda, Thelio <>
[obm-l] questão antiga do IME
Um quadrilátero inscritível e circunscritível tem um lado igual a 5 metros, área de 6sqtr5 metros quadrados e diagonais inversamente proporcionais a 9 e 3. Calcule os outros lados do quadrilátero. Obrigado. sqrt5 = raiz quadrada de 5
Re: [obm-l] Re: geometria CN
Uma maneira simples de resolver é observar a razão entre as áreas: x = AD, y = DC S[AED]/S[ABC] = 1*x/3*(x+y) 1/2 = x/(3x+3y) x = 3y Logo, AD/DC = 3 => AD/AC = 3/4
[obm-l] Re: [obm-l] GEOMETRIA COMBINATÃRIA!
Em 03/06/2009 13:03, Paulo Santa Rita < paulo.santar...@gmail.com > escreveu: Ola Jorge e demais colegasdesta lista ... OBM-L,>> Dados n pontos no plano (n>=3), o número de distâncias distintas entre eles> é, pelo menos (n-3/4)^1/2-1/2 . (Problema DifÃcil!)>1) No excerto de mensagem acima voce deve estar se referindo a { [ N -(3/4) ]^(1/2) } - (1/2) e nao a { [ (N - 3 ) /4) ]^(1/2) } - (1/2),pois esta ultima expressao fornece ZERO distancias distintas quandoN=4, o que esta obviamente errado, visto que e facil ver que qualquerconfiguracao de 4 pontos distintos num plano darao origem ao menos aduas distancias distintas.2) Mesmo se a expressao correta for { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2),tambem aqui ocorrem problemas, pois, sendo obvio ululante que talexpressao fornece numeros irracionais para diversos N's, comoentender, por exem plo, que 5 pontos ( N=5 ) distintos no plano daraoorigem ao menos a ( sqrt(17) - 1) / 2 distancias distintas ?Voce esta se referindo ao piso de { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2),vale dizer, ao maior inteiro que ultrapassa { [ N - (3/4) ]^(1/2) } -(1/2) ?3) Mesmo se a expressao correta for PISO( { [ N - (3/4) ]^(1/2) } -(1/2) ) ha problemas, pois para N=5 teremos PISO( { [ 5 - (3/4)]^(1/2) } - (1/2) ) = 1. Ora, 5 pontos distintos no plano daraoorigem ao menos a 2 distancias distintas ( um pentagono regularconvexo, por exemplo).Sera TETO( { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2) ), onde TETO(X) e o menorinteiro maior ou igual a X ?Enfim, qual a expressao correta ? O problema pode ser formulado como segue :PROBLEMA : Determine o numero minimo de distancias distintas exibidaspor N pontos distintos de um plano.?Um AbracaoPSR, 40306090D02 =Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: geometria CN
Em 03/06/2009 21:34, Thelio Gama < teliog...@gmail.com > escreveu: OPS! O enunciado da questão é o seguinte: O triângulo ADE da figura é equivalente ao quadrilátero BCDE. Se AE = 2/3 de AB, então AD é qual fração de AC? 2009/6/3 Thelio GamaBoa noite professores, Essa questão em anexo é do Colégio naval e não consigo resolver apesar de já ter traçado todas as retas que minha imaginação permitiu. Poderiam dar uma explicação. Agradeço a ajuda, Thelio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: RE: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
Em 03/06/2009 19:24, LuÃs Lopes < qed_te...@hotmail.com > escreveu: .hmmessage P { margin:0px; padding:0px } body.hmmessage { font-size: 10pt; font-family:Verdana } Sauda,c~oes, Oi Sergio,  Essa sua solução (confesso que não me detive nela) não segue o espÃrito das construções geométricas. Pode no máximo mostrar que o problema possui uma solução geométrica.  Conheço muitas construções elegantes com estes dados. Pensei ontem e consegui a construção sugerida no Virgilio.  Repito o inÃcio da construção:  Sejam os cÃrculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a). Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela. Até aqui é a sugestão do Virgilio. Agora o problema aparece: construir uma reta  passando por D_c tal que se intersecta phi_1 e phi_2 em A e B, respectivamente, então AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes). Ou seja, o ponto B possui duas propriedades:  1) pertence a phi_2;  2) é a imagem de A pela homotetia inversa de centro D_c e razão a/b. Como A pertence a phi_1, então B pertence ao cÃrculo phi'_1, transformado de phi_1 pela mesma homotetia.  Descrever a constução de phi'_1 é um pouco longo e complicado sem uma figura. O livro do Wagner mostra como fazer na página 83.  Ache B como interseção de phi_2 e phi'_1. A reta (B,D_c) é a reta pedida.  []'s LuÃs    > From: sergi...@lps.ufrj.br> To: obm-l@mat.puc-rio.br> Subject: Re: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c> Date: Wed, 3 Jun 2009 10:32:57 -0200> > Caro LuÃs,> > Como vão as coisas? Por aqui tudo corrido, mas sempre se> acha um pouco de tempo para um probleminha desses.> > Eu resolvi assim:> > Ignore os circulos phi_1 e phi_2 e esboce um triângulo ABC> tradicional, marcando D_c sobre AB. O problema pede> para determinarmos a reta suporte do lado AB> passando por D_c e fazendo um angulo teta (a ser determinado) com CD_c.> > Chamemos de C/2 o angulo ACD_c = BCD_c. Assim, usaremos a> mesma letra C para denotar duas coisas distintas> (o vértice do triângulo e o ângulo ACB). O contexto> deixa claro do que estamos falando .> > Pela lei dos senos no triângulo ABC:> > (1) CD_c / sen (teta - C/2) = b / sen (180 - teta) = b / sen (teta)> (2) CD_c / sen (180 - C/2 - teta) = CD_c / sen (C/2 + teta) = a / sen (teta)> > Temos que eliminar o angulo C/2 das equacoes acima e achar> uma expressao (trigonometrica) para teta. Reescrevendo o sistema:> > (3) sen (teta - C/2) = CD_c sen (teta) / b> (4) sen (teta + C/2) = CD_c sen (teta) / a> > => (transformação em produto)> > (5) sen (teta) cos (C/2) = CD_c sen (teta) (a + b) / (2ab)> (6) sen (C/2) cos (teta) = CD_c sen (teta) (b - a) / (2ab)> > =>> > (7) cos (C/2) = CD_c (a + b) / (2ab)> (8) sen (C/2) = CD_c (b - a) tg (teta) / (2ab) > > > => (relação trigonométrica fundamental)> > (9) [ CD_c^2 (a + b)^2 ] + [ CD_ c^2 (b - a)^2 tg^2 (teta) ] = 4 a^2 b^2> > => > > (10) tg (teta) = sqrt{ [4 a^2 b^2 - CD_c^2 (a + b)^2 ] } / ( CD_c | b - a | )> > Ou seja, "basta" você construir no braço a expressão acima para determinar> o ângulo teta e, conseqüentemente, a reta suporte do lado AB! Com certeza,> um geômetra mediano olha esta expressão e gera uma> construção elegante. Se não me engano a expressão de cos (teta) fica um> pouco mais simples.> > Abraço,> sergio > Instale o novo Internet Explorer 8 otimizado para o MSN. Download aqui = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Lose Weight and Feel Great Free
Em 03/06/2009 22:08, nico...@mat.puc-rio.br escreveu: Lose Weight Fast with Acai BerryGet your Free trial today!--Acai Power Slim -- The newest and most exciting fat loss product available - As seen on Oprah! Real testimonials: "I was originally amazed that the first two pills I took of Acai Power Slim, almost immediately took my cravings away. Now 4 weeks later, 3 belt holes later, I have become an advocate for this awesomely powerful, natural supplement!" "I tried Acai Power Slim after visiting your website, and I lost a few pounds without doing anything else. I was so amazed I decided to start exercising and getting outside more and I even starting eating better. Now I don't even look like the same man. Friends I haven't seen for more than a year don't even recognize me. The change is that dramatic! Thank you  . Acai Power Slim really works!" Read more testimonals here!Willa Myles--Click and enjoy http://www.tebiefo.com/?jbftacdlajbi=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria CN
Em 03/06/2009 21:32, Thelio Gama < teliog...@gmail.com > escreveu: Boa noite professores, Essa questão em anexo é do Colégio naval e não consigo resolver apesar de já ter traçado todas as retas que minha imaginação permitiu. Poderiam dar uma explicação. Agradeço a ajuda, Thelio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] questão antiga do IME
Em 03/06/2009 21:45, Vandelei Nemitz < vanderm...@brturbo.com.br > escreveu: Um quadrilátero inscritÃvel e circunscritÃvel tem um lado igual a 5 metros, área de 6sqtr5 metros quadrados e diagonais inversamente proporcionais a 9 e 3. Calcule os outros lados do quadrilátero.  Obrigado.   sqrt5 = raiz quadrada de 5 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Acai Berry fights Cancer , Increases energy and burns fat.
Em 03/06/2009 21:35, nico...@mat.puc-rio.br escreveu: " A life changing experience " Try Acai Berry.Get your Free trial today!--Acai Power Slim -- The newest and most exciting fat loss product available - As seen on Oprah! Real testimonials: "I was originally amazed that the first two pills I took of Acai Power Slim, almost immediately took my cravings away. Now 4 weeks later, 3 belt holes later, I have become an advocate for this awesomely powerful, natural supplement!" "I tried Acai Power Slim after visiting your website, and I lost a few pounds without doing anything else. I was so amazed I decided to start exercising and getting outside more and I even starting eating better. Now I don't even look like the same man. Friends I haven't seen for more than a year don't even recognize me. The change is that dramatic! Thank you  . Acai Power Slim really works!" Read mo re testimonals here!Randolph Odell--Click promptly http://www.tebiefo.com/?jbftacdlajbi=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Geometria Plana CN
Gostaria de ajuda na seguinte questão: Sejam o triângulo ABC de lados AB= 25, AC=26, BC=27cm, H o ortocentro de ABC e M o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em que a reta HM intersecta o arco BC(que não contém A) da circunferência circunscrita a ABC. Seja Y o ponto de interseção da reta BH com a circunferência, distinto de B. Determine a medida de XY. a)28 b)27 c)26 d)25 e)24 []s João Gabriel Preturlan