Re: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c

[Sergio Lima Netto]

Caro Luís,

Como vão as coisas? Por aqui tudo corrido, mas sempre se
acha um pouco de tempo para um probleminha desses.

Eu resolvi assim:

Ignore os circulos phi_1 e phi_2 e esboce um triângulo ABC
tradicional, marcando D_c sobre AB. O problema pede
para determinarmos a reta suporte do lado AB
passando por D_c e fazendo um angulo teta (a ser determinado) com CD_c.

Chamemos de C/2 o angulo ACD_c = BCD_c. Assim, usaremos a
mesma letra C para denotar duas coisas distintas
(o vértice do triângulo e o ângulo ACB). O contexto
deixa claro do que estamos falando.

Pela lei dos senos no triângulo ABC:

(1) CD_c / sen (teta - C/2) = b / sen (180 - teta) = b / sen (teta)
(2) CD_c / sen (180 - C/2 - teta) = CD_c / sen (C/2 + teta) = a / sen (teta)

Temos que eliminar o angulo C/2 das equacoes acima e achar
uma expressao (trigonometrica) para teta. Reescrevendo o sistema:

(3) sen (teta - C/2) = CD_c sen (teta) / b
(4) sen (teta + C/2) = CD_c sen (teta) / a

=> (transformação em produto)

(5) sen (teta) cos (C/2) = CD_c sen (teta) (a + b) / (2ab)
(6) sen (C/2) cos (teta) = CD_c sen (teta) (b - a) / (2ab)

=>

(7) cos (C/2) = CD_c (a + b) / (2ab)
(8) sen (C/2) = CD_c (b - a) tg (teta) / (2ab) 


=> (relação trigonométrica fundamental)

(9)  [ CD_c^2 (a + b)^2 ] + [ CD_c^2 (b - a)^2 tg^2 (teta) ] = 4 a^2 b^2

=> 

(10) tg (teta) = sqrt{ [4 a^2 b^2  - CD_c^2 (a + b)^2 ] } / ( CD_c | b - a | )

Ou seja, "basta" você construir no braço a expressão acima para determinar
o ângulo teta e, conseqüentemente, a reta suporte do lado AB! Com certeza,
um geômetra mediano olha esta expressão e gera uma
construção elegante. Se não me engano a expressão de cos (teta) fica um
pouco mais simples.

Abraço,
sergio 




>Sauda,c~oes, 
> Aqui CD_c = d_c é o comprimento da bissetriz interna de C. 
> Há muitas maneiras de se construir um triângulo com 
> estes dados. 
> Folheando um livro do Virgilio encontrei uma outra. 
> Bem, quase. 
> Sejam os círculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a). 
> Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela. 
> Até aqui é a sugestão do Virgilio. 
> Agora o problema aparece: construir uma reta  
> passando por D_c tal que se  intersecta phi_1 
> e phi_2 em A e B, respectivamente, então 
> AD_c/D_cB = b/a  (teorema das bissetrizes). 
> Como fazer? 
> []'s 
> Luís 



_
Sergio Lima Netto
PEE-COPPE/DEL-Poli/UFRJ
POBox 68504, Rio de Janeiro, RJ
21941-972, BRAZIL
(+55 21) 2562-8164


-- 
This message has been scanned for viruses and
dangerous content by MailScanner, and is
believed to be clean.

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] GEOMETRIA COMBINATÓRIA!

[Paulo Santa Rita]

Ola Jorge e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

>
> Dados n pontos no plano (n>=3), o número de distâncias distintas entre eles
> é, pelo menos (n-3/4)^1/2-1/2 . (Problema Difícil!)
>

1) No excerto de mensagem acima voce deve estar se referindo a { [ N -
(3/4) ]^(1/2) } - (1/2) e nao a { [ (N - 3 ) /4) ]^(1/2) } - (1/2),
pois esta ultima expressao fornece ZERO distancias distintas quando
N=4, o que esta obviamente errado, visto que e facil ver que qualquer
configuracao de 4 pontos distintos num plano darao origem ao menos a
duas distancias distintas.

2) Mesmo se a expressao correta for { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2),
tambem aqui ocorrem problemas, pois, sendo obvio ululante que tal
expressao fornece numeros irracionais para diversos N's, como
entender, por exemplo, que 5 pontos ( N=5 ) distintos no plano darao
origem ao menos a ( sqrt(17) - 1) / 2 distancias distintas ?

Voce esta se referindo ao piso de { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2),
vale dizer, ao maior inteiro que ultrapassa { [ N - (3/4) ]^(1/2) } -
(1/2) ?

3) Mesmo se a expressao correta for PISO(  { [ N - (3/4) ]^(1/2) } -
(1/2)  ) ha problemas, pois para N=5 teremos  PISO(  { [ 5 - (3/4)
]^(1/2) } - (1/2)  ) = 1. Ora, 5 pontos distintos no plano darao
origem ao menos a 2 distancias distintas ( um pentagono regular
convexo, por exemplo).

Sera TETO(  { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2)  ), onde TETO(X) e o menor
inteiro maior ou igual a X ?

Enfim, qual a expressao correta ? O problema pode ser formulado como segue :

PROBLEMA : Determine o numero minimo de distancias distintas exibidas
por N pontos distintos de um plano.

?

Um Abracao
PSR, 40306090D02

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, 

Oi Sergio, 

 

Essa sua solução (confesso que não me detive nela) 

não segue o espírito das construções geométricas. 

Pode no máximo mostrar que o problema possui uma 

solução geométrica. 

 

Conheço muitas construções elegantes com estes dados. 

Pensei ontem e consegui a construção sugerida no Virgilio. 

 

Repito o início da construção: 

 

Sejam os círculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a). 
Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela. 
 Até aqui é a sugestão do Virgilio. 
 Agora o problema aparece: construir uma reta  
 passando por D_c tal que se  intersecta phi_1 
 e phi_2 em A e B, respectivamente, então 
 AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes). 

Ou seja, o ponto B possui duas propriedades: 

 

1) pertence a phi_2; 

 

2) é a imagem de A pela homotetia inversa de centro D_c 

e razão a/b. Como A pertence a phi_1, então B pertence 

ao círculo phi'_1, transformado de phi_1 pela mesma homotetia. 

 

Descrever a constução de phi'_1 é um pouco longo e complicado 

sem uma figura. O livro do Wagner mostra como fazer na página 83. 

 

Ache B como interseção de phi_2 e phi'_1. A reta (B,D_c) é a reta 

 pedida. 

 

[]'s 

Luís  

 


 
> From: sergi...@lps.ufrj.br
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: Re: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
> Date: Wed, 3 Jun 2009 10:32:57 -0200
> 
> Caro Luís,
> 
> Como vão as coisas? Por aqui tudo corrido, mas sempre se
> acha um pouco de tempo para um probleminha desses.
> 
> Eu resolvi assim:
> 
> Ignore os circulos phi_1 e phi_2 e esboce um triângulo ABC
> tradicional, marcando D_c sobre AB. O problema pede
> para determinarmos a reta suporte do lado AB
> passando por D_c e fazendo um angulo teta (a ser determinado) com CD_c.
> 
> Chamemos de C/2 o angulo ACD_c = BCD_c. Assim, usaremos a
> mesma letra C para denotar duas coisas distintas
> (o vértice do triângulo e o ângulo ACB). O contexto
> deixa claro do que estamos falando.
> 
> Pela lei dos senos no triângulo ABC:
> 
> (1) CD_c / sen (teta - C/2) = b / sen (180 - teta) = b / sen (teta)
> (2) CD_c / sen (180 - C/2 - teta) = CD_c / sen (C/2 + teta) = a / sen (teta)
> 
> Temos que eliminar o angulo C/2 das equacoes acima e achar
> uma expressao (trigonometrica) para teta. Reescrevendo o sistema:
> 
> (3) sen (teta - C/2) = CD_c sen (teta) / b
> (4) sen (teta + C/2) = CD_c sen (teta) / a
> 
> => (transformação em produto)
> 
> (5) sen (teta) cos (C/2) = CD_c sen (teta) (a + b) / (2ab)
> (6) sen (C/2) cos (teta) = CD_c sen (teta) (b - a) / (2ab)
> 
> =>
> 
> (7) cos (C/2) = CD_c (a + b) / (2ab)
> (8) sen (C/2) = CD_c (b - a) tg (teta) / (2ab) 
> 
> 
> => (relação trigonométrica fundamental)
> 
> (9) [ CD_c^2 (a + b)^2 ] + [ CD_c^2 (b - a)^2 tg^2 (teta) ] = 4 a^2 b^2
> 
> => 
> 
> (10) tg (teta) = sqrt{ [4 a^2 b^2 - CD_c^2 (a + b)^2 ] } / ( CD_c | b - a | )
> 
> Ou seja, "basta" você construir no braço a expressão acima para determinar
> o ângulo teta e, conseqüentemente, a reta suporte do lado AB! Com certeza,
> um geômetra mediano olha esta expressão e gera uma
> construção elegante. Se não me engano a expressão de cos (teta) fica um
> pouco mais simples.
> 
> Abraço,
> sergio 
> 

_
Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, é grátis!
http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmail&utm_medium=Tagline&utm_campaign=IE8

[obm-l] Re: geometria CN

[Thelio Gama]

OPS!
O enunciado da questão é o seguinte:

O triângulo ADE da figura é equivalente ao quadrilátero BCDE. Se AE = 2/3 de
AB, então AD é qual fração de AC?


2009/6/3 Thelio Gama 

> Boa noite professores,
> Essa questão em anexo é do Colégio naval e não consigo resolver apesar de
> já ter traçado todas as retas que minha imaginação permitiu. Poderiam dar
> uma explicação.
>
> Agradeço a ajuda,
>
> Thelio
>

[obm-l] geometria CN

[Thelio Gama]

Boa noite professores,
Essa questão em anexo é do Colégio naval e não consigo resolver apesar de já
ter traçado todas as retas que minha imaginação permitiu. Poderiam dar uma
explicação.

Agradeço a ajuda,

Thelio
<>

[obm-l] questão antiga do IME

[Vandelei Nemitz]

Um quadrilátero inscritível e circunscritível tem um lado igual a 5 metros,
área de 6sqtr5 metros quadrados e diagonais inversamente proporcionais a 9 e
3. Calcule os outros lados do quadrilátero.

Obrigado.


sqrt5 = raiz quadrada de 5

Re: [obm-l] Re: geometria CN

[ricardo . bioni]

Uma maneira simples de resolver é observar a razão entre as áreas:
x = AD, y = DC
S[AED]/S[ABC] = 1*x/3*(x+y)
1/2 = x/(3x+3y)
x = 3y
Logo, AD/DC = 3 => AD/AC = 3/4

[obm-l] Re: [obm-l] GEOMETRIA COMBINATÓRIA!

[lucianarodriggues]

Em 03/06/2009 13:03, Paulo Santa Rita < paulo.santar...@gmail.com > escreveu:
Ola Jorge e demais colegasdesta lista ... OBM-L,>> Dados n pontos no plano (n>=3), o número de distâncias distintas entre eles> é, pelo menos (n-3/4)^1/2-1/2 . (Problema Difícil!)>1) No excerto de mensagem acima voce deve estar se referindo a { [ N -(3/4) ]^(1/2) } - (1/2) e nao a { [ (N - 3 ) /4) ]^(1/2) } - (1/2),pois esta ultima expressao fornece ZERO distancias distintas quandoN=4, o que esta obviamente errado, visto que e facil ver que qualquerconfiguracao de 4 pontos distintos num plano darao origem ao menos aduas distancias distintas.2) Mesmo se a expressao correta for { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2),tambem aqui ocorrem problemas, pois, sendo obvio ululante que talexpressao fornece numeros irracionais para diversos N's, comoentender, por exem
 plo, que 5 pontos ( N=5 ) distintos no plano daraoorigem ao menos a ( sqrt(17) - 1) / 2 distancias distintas ?Voce esta se referindo ao piso de { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2),vale dizer, ao maior inteiro que ultrapassa { [ N - (3/4) ]^(1/2) } -(1/2) ?3) Mesmo se a expressao correta for PISO( { [ N - (3/4) ]^(1/2) } -(1/2) ) ha problemas, pois para N=5 teremos PISO( { [ 5 - (3/4)]^(1/2) } - (1/2) ) = 1. Ora, 5 pontos distintos no plano daraoorigem ao menos a 2 distancias distintas ( um pentagono regularconvexo, por exemplo).Sera TETO( { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2) ), onde TETO(X) e o menorinteiro maior ou igual a X ?Enfim, qual a expressao correta ? O problema pode ser formulado como segue :PROBLEMA : Determine o numero minimo de distancias distintas exibidaspor N pontos distintos de um plano.?Um AbracaoPSR, 40306090D02
 =Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: geometria CN

[lucianarodriggues]

Em 03/06/2009 21:34, Thelio Gama < teliog...@gmail.com > escreveu:
OPS!

O enunciado da questão é o seguinte:

O triângulo ADE da figura é equivalente ao quadrilátero BCDE. Se AE = 2/3 de AB, então AD é qual fração de AC?

2009/6/3 Thelio Gama 
Boa noite professores,

Essa questão em anexo é do Colégio naval e não consigo resolver apesar de já ter traçado todas as retas que minha imaginação permitiu. Poderiam dar uma explicação. 

Agradeço a ajuda,


Thelio




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: RE: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c

[lucianarodriggues]

Em 03/06/2009 19:24, Luís Lopes < qed_te...@hotmail.com > escreveu:

.hmmessage P { margin:0px; padding:0px } body.hmmessage { font-size: 10pt; font-family:Verdana }
Sauda,c~oes, Oi Sergio,  Essa sua solução (confesso que não me detive nela) não segue o espírito das construções geométricas. Pode no máximo mostrar que o problema possui uma solução geométrica.  Conheço muitas construções elegantes com estes dados. Pensei ontem e consegui a construção sugerida no Virgilio.  Repito o início da construção:  Sejam os círculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a). Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela. Até aqui é a sugestão do Virgilio. Agora o problema aparece: construir uma reta
 passando por D_c tal que se
intersecta phi_1 e phi_2 em A e B, respectivamente, então AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes). Ou seja, o ponto B possui duas propriedades:  1) pertence a phi_2;  2) é a imagem de A pela homotetia inversa de centro D_c e razão a/b. Como A pertence a phi_1, então B pertence ao círculo phi'_1, transformado de phi_1 pela mesma homotetia.  Descrever a constução de phi'_1 é um pouco longo e complicado sem uma figura. O livro do Wagner mostra como fazer na página 83.  Ache B como interseção de phi_2 e phi'_1. A reta (B,D_c) é a reta
pedida.  []'s Luís    > From: sergi...@lps.ufrj.br> To: obm-l@mat.puc-rio.br> Subject: Re: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c> Date: Wed, 3 Jun 2009 10:32:57 -0200> > Caro Luís,> > Como vão as coisas? Por aqui tudo corrido, mas sempre se> acha um pouco de tempo para um probleminha desses.> > Eu resolvi assim:> > Ignore os circulos phi_1 e phi_2 e esboce um triângulo ABC> tradicional, marcando D_c sobre AB. O problema pede> para determinarmos a reta suporte do lado AB> passando por D_c e fazendo um angulo teta (a ser determinado) com CD_c.> > Chamemos de C/2 o angulo ACD_c = BCD_c. Assim, usaremos a> mesma letra C para denotar duas coisas distintas> (o vértice do triângulo e o ângulo ACB). O contexto> deixa claro do que estamos falando
 .> > Pela lei dos senos no triângulo ABC:> > (1) CD_c / sen (teta - C/2) = b / sen (180 - teta) = b / sen (teta)> (2) CD_c / sen (180 - C/2 - teta) = CD_c / sen (C/2 + teta) = a / sen (teta)> > Temos que eliminar o angulo C/2 das equacoes acima e achar> uma expressao (trigonometrica) para teta. Reescrevendo o sistema:> > (3) sen (teta - C/2) = CD_c sen (teta) / b> (4) sen (teta + C/2) = CD_c sen (teta) / a> > => (transformação em produto)> > (5) sen (teta) cos (C/2) = CD_c sen (teta) (a + b) / (2ab)> (6) sen (C/2) cos (teta) = CD_c sen (teta) (b - a) / (2ab)> > =>> > (7) cos (C/2) = CD_c (a + b) / (2ab)> (8) sen (C/2) = CD_c (b - a) tg (teta) / (2ab) > > > => (relação trigonométrica fundamental)> > (9) [ CD_c^2 (a + b)^2 ] + [ CD_
 c^2 (b - a)^2 tg^2 (teta) ] = 4 a^2 b^2> > => > > (10) tg (teta) = sqrt{ [4 a^2 b^2 - CD_c^2 (a + b)^2 ] } / ( CD_c | b - a | )> > Ou seja, "basta" você construir no braço a expressão acima para determinar> o ângulo teta e, conseqüentemente, a reta suporte do lado AB! Com certeza,> um geômetra mediano olha esta expressão e gera uma> construção elegante. Se não me engano a expressão de cos (teta) fica um> pouco mais simples.> > Abraço,> sergio > 

Instale o novo Internet Explorer 8 otimizado para o MSN. Download aqui 
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Lose Weight and Feel Great Free

[lucianarodriggues]

Em 03/06/2009 22:08, nico...@mat.puc-rio.br escreveu:
Lose Weight Fast with Acai BerryGet your Free trial today!--Acai Power Slim -- The newest and most exciting fat loss product available - As seen on Oprah! Real testimonials: "I was originally amazed that the first two pills I took of Acai Power Slim, almost immediately took my cravings away. Now 4 weeks later, 3 belt holes later, I have become an advocate for this awesomely powerful, natural supplement!" "I tried Acai Power Slim after visiting your website, and I lost a few pounds without doing anything else. I was so amazed I decided to start exercising and getting outside more and I even starting eating better. Now I don't even look like the same man. Friends I haven't seen for more than a year don't even recognize me. The change is that dramatic! Thank you …. Acai Power Slim really works!" Read more testimonals
  here!Willa Myles--Click and enjoy http://www.tebiefo.com/?jbftacdlajbi=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] geometria CN

[lucianarodriggues]

Em 03/06/2009 21:32, Thelio Gama < teliog...@gmail.com > escreveu:
Boa noite professores,

Essa questão em anexo é do Colégio naval e não consigo resolver apesar de já ter traçado todas as retas que minha imaginação permitiu. Poderiam dar uma explicação. 

Agradeço a ajuda,

Thelio


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] questão antiga do IME

[lucianarodriggues]

Em 03/06/2009 21:45, Vandelei Nemitz < vanderm...@brturbo.com.br > escreveu:

Um quadrilátero inscritível e circunscritível tem um lado igual a 5 metros, área de 6sqtr5 metros quadrados e diagonais inversamente proporcionais a 9 e 3. Calcule os outros lados do quadrilátero.
 
Obrigado.
 
 
sqrt5 = raiz quadrada de 5

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Acai Berry fights Cancer , Increases energy and burns fat.

[lucianarodriggues]

Em 03/06/2009 21:35, nico...@mat.puc-rio.br escreveu:
" A life changing experience " Try Acai Berry.Get your Free trial today!--Acai Power Slim -- The newest and most exciting fat loss product available - As seen on Oprah! Real testimonials: "I was originally amazed that the first two pills I took of Acai Power Slim, almost immediately took my cravings away. Now 4 weeks later, 3 belt holes later, I have become an advocate for this awesomely powerful, natural supplement!" "I tried Acai Power Slim after visiting your website, and I lost a few pounds without doing anything else. I was so amazed I decided to start exercising and getting outside more and I even starting eating better. Now I don't even look like the same man. Friends I haven't seen for more than a year don't even recognize me. The change is that dramatic! Thank you …. Acai Power Slim really works!" Read mo
 re testimonals here!Randolph Odell--Click promptly http://www.tebiefo.com/?jbftacdlajbi=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Geometria Plana CN

[Joâo Gabriel Preturlan]

Gostaria de ajuda na seguinte questão:

 

“Sejam o triângulo ABC de lados AB= 25, AC=26, BC=27cm, H o ortocentro de
ABC e M o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em que a reta HM intersecta
o arco BC(que não contém A) da circunferência circunscrita a ABC. Seja Y o
ponto de interseção da reta BH com a circunferência, distinto de B.
Determine a medida de XY.

a)28
b)27
c)26
d)25
e)24”

 

[]’s

João Gabriel Preturlan