Re: [obm-l] ajuda 5 problemas
2009/9/24 Patricia Ruel pattyr...@hotmail.com: 4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que a_(n+2)=a_(n+1)+a_n, para todo n0. Se a_7=120, determine a_8. Esse problema é bem interessante. Uma dica, usa a fórmula geral para a recorrência, e em seguida escreva a_7 em função de duas constantes a_1 e a_2, que são inteiras positivas. Em seguida, veja que você vai ter uma equação diofantina com uma única solução em inteiros positivos! 5) a_(n+3)=[a_(n+2)].[a_(n+1)+a_n], para todo n0. Sabendo que a_6=144, calcule a_7. Aqui não falta nenhum dado não? Do tipo a_n ser inteiro para n0? Se for exatamente isso, fatore 144 e expanda a recorrência o máximo possível, você terá uns poucos casos a testar e pronto ! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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[obm-l] Brasil é ouro e prata na olimpíad a iberoamericana de matemática
Caros amigos(as) da OBM: Envio o resultado do Brasil na Iberoamericana 2009. DIVULGAÇÃO Brasil é ouro e prata na olimpíada iberoamericana de matemática México (Santiago de Querétaro, México) 17 a 27 de setembro de 2009 O Brasil conquistou duas medalhas de ouro e duas de prata na 24ª. Olimpíada Iberoamericana de Matemática, que acontece de 17 a 27 de setembro na cidade de Santiago de Querétaro, México. O estudante Renan Henrique Finder, de Joinville – SC, que atualmente estuda na cidade de São Paulo – SP, obteve medalha de ouro com 41 pontos sendo a maior pontuação da competição. Matheus Secco do Rio de Janeiro – RJ obteve também a medalha de ouro, enquanto Marcelo Tadeu de Sá Oliveira Sales de Salvador – BA, que estuda em São Paulo e Marco Antonio Lopes Pedroso de Santa Izabel – SP conquistaram a medalha de prata. A Olimpíada Iberoamericana de Matemática é realizada desde 1985 com a colaboração dos Ministérios de Educação e de Sociedades de Matemática junto a um importante grupo de professores e alunos. Os objetivos principais da competição são: fortalecer e estimular o estudo da Matemática, contribuir para o desenvolvimento científico da comunidade iberoamericana, detectar jovens talentos nesta ciência e incentivar uma troca de experiências entre os participantes. Este ano participaram da competição as delegações de Argentina, Bolívia, Brasil, Chile, Colômbia, Costa Rica, Cuba, El Salvador, Equador, Espanha, Guatemala, Honduras, México, Panamá, Paraguai, Peru, Portugal, Porto Rico, República Dominicana, Uruguai e Venezuela, representados por equipes de até 4 alunos, totalizando 84 estudantes. *Histórico do Brasil* O Brasil participa desta importante competição desde 1985 conquistando desde então um total de 85 medalhas, sendo 46 de ouro, 29 de prata e 10 de bronze. A participação brasileira nestas competições é organizada através da Olimpíada Brasileira de Matemática, iniciativa realizada nas modalidades de ensino fundamental, médio e superior nas instituições públicas e privadas de todo o Brasil que atualmente atinge cerca de 350 mil estudantes e que tem desempenhado um importante papel relacionado à melhoria do ensino e descoberta de talentos para a pesquisa em matemática. A Olimpíada Brasileira é um projeto conjunto da Sociedade Brasileira de Matemática, do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e conta com o apoio do CNPq e do Instituto do Milênio Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira. *Informações:* Assessoria de Comunicação** Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Tel: 21-25295077 Fax: 21-25295023 e-mail:o...@impa.br -- Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Jd. Botânico, Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023 e-mail: o...@impa.br web site: www.obm.org.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Falando em construções geométricas..
Caro Osmundo, Obrigado pelo problema e pela fonte do mesmo. Antes que os verdadeiros mestres do desenho geometrico desta lista acordem, coloco minha resposta obtida por geometria analitica! Sejam: . teta o angulo entre o segmento AB e a reta r dados; . I o ponto de intersecao de AB com r; . M o ponto medio de AB; . m a mediatriz de AM; . d a distancia de I ao ponto M medio de AM; Resposta: o centro O da circunferencia desejada esta sobre a mediatriz de AB e eh tal que: OM = d cotg(teta). Isto nos conduz a uma construcao, por exemplo, do tipo: (i) trace a mediatriz m de AB pelo ponto M medio deste segmento; (ii) trace o circulo de centro M e raio MI (= d), cuja intersecao (mais proxima da reta r) com m eh o ponto P; (iii) trace uma paralela r' a r por P, cuja intersecao com AB eh o ponto P' (tal que MP' = d cotg(teta)); (iv) Marque MO = MP', com O sobre a mediatriz m e o mais distante possivel da reta r; (v) trace a circunferencia desejada: centro O e raio OA = OB. Agora eu vou esperar pela solucao mais elegante. Abraco, sergio On Thu, 24 Sep 2009 11:28:15 -0300, Osmundo Bragança wrote Já que estamos falando em construções com a régua e o compasso aproveito para compartilhar um lindo problema que está no livro do do Ross Honsberger intitulado Mathematical Chestnuts from Around the World . Sejam A e B pontos situados em lados opostos em relação a uma reta r do plano. Construa uma circunferência que passa pelos pontos A e B e corta a reta nos pontos P e Q de tal modo que a corda PQ determinada pela reta na circunferência seja mínima. Muito legal para as nossas aulas de desenho geométrico. Um abraço. Osmundo Bragança. -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. Sergio Lima Netto PEE-COPPE/DEL-Poli/UFRJ POBox 68504, Rio de Janeiro, RJ 21941-972, BRAZIL (+55 21) 2562-8164 -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: RES: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas
1) Seja a um numero inteiro
positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e
a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir.
acho que esse problema é de uma olimpiada e a solução que eu vi era algo como
se A=5k; A=7k-1; A=9k-2;
A=11k-3
então 2A=5k; 2A=7k-2; 2A=9k-4;2A=11k-6
e2A-5=5k; 2A-5=7k-2-5=7k';2A-5=9k-4-5=9k';2A-5=11k-6-5=11k'
assim 2A-5=5x7x9x11xK , com K pertencente aos inteiros, logo o menor valor é
K=1
A=1735
4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que a_(n+2)=a_(n+1)+a_n,
para todo n0. Se a_7=120, determine a_8.
esse problema é um exercicio basico de recorencia. Usando que toda recorencia
pode ser escrita como uma soma de PGs
temos
a_(n)=a_(0)q^n
a_(0)q^(n+2)=a_(0)q^(n+1)+a_(0)q^n
q^2=q+1
q= [1+raiz(5)]/2 ou q=[1-raiz(5)]/2
assim o termo geral da Recorencia fica
a_(n) = b_(0){[1+raiz(5)]/2}^n + c_(0){[1-raiz(5)]/2}^n
tente agora aplicar um pouco de teoria dos numeros que deve sair
OBS: para a_(0)=1 e a_(1)=1 teremos a sequencia de Fibonacci
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de
Patricia Ruel
Enviada em: quarta-feira, 23 de
setembro de 2009 23:01
Para: OBM
Assunto: [obm-l] ajuda 5 problemas
1) Seja a um numero inteiro
positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e
a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir.
2) Seja ABC um triângulo em retângulo em A e M e N pontos médios do lado BC
tais que BM=MN=CN. Se AM=3 e AN=2, calcule a medida de MN.
3) Seja ABC um triângulo acutângulo com BC=5. Seja E o pé da altura relativa ao
lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE=CF=4, calcule a área do triângulo
ABC.
4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que a_(n+2)=a_(n+1)+a_n,
para todo n0. Se a_7=120, determine a_8.
5) a_(n+3)=[a_(n+2)].[a_(n+1)+a_n], para todo n0. Sabendo que a_6=144,
calcule a_7.
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[obm-l] ANÁLISE TEMPORAL!
Olá Pessoal! Parabéns a solução dada pelos colegas Lafayette e Ralph quanto ao Paradoxo de Aquiles cuja solução clássica envolve a utilização do conceito de limite e convergência, um dos mais fecundos da matemática e o principal para o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. Através da engenhosa análise temporal conseguiram a façanha de ultrapassar o mérito da questão já que o objetivo de Aquiles era apenas alcançar a tartaruga. Surpreendente, não! esta capacidade de ultrapassarmos a cada passo, a cada movimento, infinitas vezes o infinito... A propósito! Como uma minhoca que caminha 1cm por segundo sobre uma corda elástica de 100.000cm, corda que aumenta 100.000cm a cada segundo, consegue chegar na outra extremidade da corda? Atenção especial ao problema do cubo falso proposto pelo prof. Rogério Ponce...um verdadeiro tesouro...o problema gente...! Agora só para relaxar...Ana e Liliana estão na praia a jogar raquetes. Ana deu uma raquetada com pouca força e Liliana não conseguiu alcançar a bola. Liliana achava que a bola tinha caído mais próximo da Ana, esta achava o contrário. Como podem elas saber quem está mais perto da bola? Divirtam-se! _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
[obm-l] Re: [obm-l] Falando em construções geométricas..
Oi Sérgio, eu dei uma pensada na sua solução (você usou uma derivada implícita, não ?), mas para ter certeza, e pra deixar claro, eu acho que você trocou AB por AM duas vezes: Ah, pra ter certeza, quando você escreveu 2009/9/25 Sergio Lima Netto sergi...@lps.ufrj.br: Sejam: . teta o angulo entre o segmento AB e a reta r dados; . I o ponto de intersecao de AB com r; . M o ponto medio de AB; . m a mediatriz de AM; . d a distancia de I ao ponto M medio de AM; m é a mediatriz de AB, e d a distância de I ao ponto M, médio de AB Resposta: o centro O da circunferencia desejada esta sobre a mediatriz de AB e eh tal que: OM = d cotg(teta). Mas eu fiquei matutando um tempo mesmo foi aqui... e acho que existe uma construção instantânea do ponto O: (0) Trace uma reta s perpendicular a r pelo ponto I = AB inter r Isto nos conduz a uma construcao, por exemplo, do tipo: (i) trace a mediatriz m de AB pelo ponto M medio deste segmento; O = s inter m (ii) trace o circulo de centro M e raio MI (= d), cuja intersecao (mais proxima da reta r) com m eh o ponto P; (iii) trace uma paralela r' a r por P, cuja intersecao com AB eh o ponto P' (tal que MP' = d cotg(teta)); (iv) Marque MO = MP', com O sobre a mediatriz m e o mais distante possivel da reta r; (v) trace a circunferencia desejada: centro O e raio OA = OB. Agora eu vou esperar pela solucao mais elegante. Se a gente não errou conta, e se a minha trigonometria ainda não enferrujou, isso talvez ajude a descobrir a solução elegante! Abraco, sergio Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Falando em construções geométricas..
oi Bernardo, Esta eh a beleza desta lista. A gente acaba interagindo com pessoas tao distantes e tao proximas ao mesmo tempo. E a solucao elegante pode demorar, mas sempre chega! Realmente, voce tem razao em todas suas argumentacoes (como era de se esperar): (i) troquei AB por AM duas vezes [correto]; (ii) minha construcao eh patetica [correto] (voce nao disse isto, mas eu digo); (iii) a sua construcao esta correta e eh a solucao apropriada para o problema. Bem, para ser franco, voce cometeu um unico equivoco: Na sua estimativa da ferramenta que usei. Nao usei derivada implicita nao. Foi algebrismo basico mesmo por geo analitica, acessivel para qualquer um (os puristas, por favor, devem ignorar o desenvolvimento abaixo). Chamando A = (0,0) B = (d,0) reta r: y = alfa x + beta (com 0 beta d) a circunferencia desejada tem centro O = (xo, d/2) e raio R = sqrt(xo^2 + d^2/4). Assim sua equacao eh: (x - xo)^2 + (y - d/2)^2 = R^2 e o problema passa a ser a determinacao de xo (abscissa do centro O). Achando as intersecoes C e D da circunferencia com a reta r, tem-se (x - x0)^2 + (alfa x + beta - d/2)^2 = xo^2 + d^2/4 = (1 + alfa^2) x^2 + (2 alfa beta - 2 xo - alfa d) x + (beta^2 - beta d) = 0 = ax^2 + bx + c = 0 (*) com a = (1+alfa^2) b = (2 alfa beta - 2 xo - alfa d) c = (beta^2 - beta d) Note que dentre a, b e c, apenas b eh funcao de xo. Vale observar tambem que c 0 (pois beta d) Calculando o comprimento L da corda CD, temos que: L^2 = (xC - xD)^2 + (yC - yD)^2 = (xC - xD)^2 + [(alfa xC + beta) + (alfa xD + beta)]^2 = (1+alfa^2)(xC - xD)^2 com xC e xD solucoes de (*) e assim |xC - xD| = [-b + sqrt(b^2-4ac)]/(2a) - [-b - sqrt(b^2-4ac)]/(2a) = sqrt(b^2-4ac)/(2a) Agora vem a parte bacana: Para L minimo, devemos ter |xC - xD| minimo (jah que alfa eh fixo); Para |xC - xD| minimo, devemos ter sqrt(b^2-4ac) minimo (jah que a eh fixo); Para sqrt(b^2-4ac) minimo, devemos ter b^2 minimo (jah que a e c sao fixos); Para b^2 minimo, devemos ter b = 0. Logo, xo = alfa (beta - d/2), o que geometricamente corresponde a: alfa = cotg(teta) e (beta - d/2) = IM de onde se conclui que xo = IM cotg(teta). On Fri, 25 Sep 2009 17:06:25 +0200, Bernardo Freitas Paulo da Costa wrote Oi Sérgio, eu dei uma pensada na sua solução (você usou uma derivada implícita, não ?), mas para ter certeza, e pra deixar claro, eu acho que você trocou AB por AM duas vezes: Ah, pra ter certeza, quando você escreveu 2009/9/25 Sergio Lima Netto sergi...@lps.ufrj.br: Sejam: . teta o angulo entre o segmento AB e a reta r dados; . I o ponto de intersecao de AB com r; . M o ponto medio de AB; . m a mediatriz de AM; . d a distancia de I ao ponto M medio de AM; m é a mediatriz de AB, e d a distância de I ao ponto M, médio de AB Resposta: o centro O da circunferencia desejada esta sobre a mediatriz de AB e eh tal que: OM = d cotg(teta). Mas eu fiquei matutando um tempo mesmo foi aqui... e acho que existe uma construção instantânea do ponto O: (0) Trace uma reta s perpendicular a r pelo ponto I = AB inter r Isto nos conduz a uma construcao, por exemplo, do tipo: (i) trace a mediatriz m de AB pelo ponto M medio deste segmento; O = s inter m (ii) trace o circulo de centro M e raio MI (= d), cuja intersecao (mais proxima da reta r) com m eh o ponto P; (iii) trace uma paralela r' a r por P, cuja intersecao com AB eh o ponto P' (tal que MP' = d cotg(teta)); (iv) Marque MO = MP', com O sobre a mediatriz m e o mais distante possivel da reta r; (v) trace a circunferencia desejada: centro O e raio OA = OB. Agora eu vou esperar pela solucao mais elegante. Se a gente não errou conta, e se a minha trigonometria ainda não enferrujou, isso talvez ajude a descobrir a solução elegante! Abraco, sergio Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. Sergio Lima Netto PEE-COPPE/DEL-Poli/UFRJ POBox 68504, Rio de Janeiro, RJ 21941-972, BRAZIL (+55 21) 2562-8164 -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] ANÁLISE TEMPORAL!
Ola' Jorge e colegas da lista, Inicialmente elas reajustam suas posições (deslocando-se lateralmente) de modo que a bola fique exatamente sobre a reta que liga Ana 'a Juliana. Entao, usando a raquete como unidade de comprimento, tanto Ana quanto Juliana se deslocam da mesma distância para a sua própria direita. A bola estara' mais proxima da jogadora que vir a bola do lado esquerdo da nova reta que liga as duas jogadoras. []'s Rogerio Ponce -- Ana e Liliana estão na praia a jogar raquetes. Ana deu uma raquetada com pouca força e Liliana não conseguiu alcançar a bola. Liliana achava que a bola tinha caído mais próximo da Ana, esta achava o contrário. Como podem elas saber quem está mais perto da bola? --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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[obm-l] Re: [obm-l] Falando em construções geométricas..
Ola' Osmundo e colegas da lista, o problema se resume a encontrar o centro O da circunferencia desejada. Entao, seja X a intersecao do segmento AB com a reta r. Trace por X a reta s, perpendicular 'a reta r. Trace a mediatriz t relativa ao segmento AB. A intersecao de s e t e' o centro O da circunferencia procurada. Justificativa: Como A e B pertencem 'a circunferencia, entao O esta' sobre a mediatriz t de AB. Considerando a potencia de X em relacao 'a circunferencia desejada, vemos que o produto de PX e XQ e' constante, de forma que, para que PX+XQ seja minimo, basta que PX=XQ. Logo X deve ser o ponto medio de PQ. E assim, o centro O tambem estara' sobre a reta s , que vem a ser a mediatriz de PQ. []'s Rogerio Ponce 2009/9/24 Osmundo Bragança barz...@dglnet.com.br: Já que estamos falando em construções com a régua e o compasso aproveito para compartilhar um lindo problema que está no livro do do Ross Honsberger intitulado Mathematical Chestnuts from Around the World . Sejam A e B pontos situados em lados opostos em relação a uma reta r do plano. Construa uma circunferência que passa pelos pontos A e B e corta a reta nos pontos P e Q de tal modo que a corda PQ determinada pela reta na circunferência seja mínima. Muito legal para as nossas aulas de desenho geométrico. Um abraço. Osmundo Bragança. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Falando em construções geométricas..
Olá a todos, caro Sérgio a resolução que está no livro do Honsberger é imperdível. Ei-la: O ponto K onde a corda AB corta a reta r é invariável, já que A e B e r são fixos no plano. Assim o produto PK x KQ é constante e igual ao produto AK x KB. Nessa condição a soma PK + KQ é mínima quando as parcelas forem iguais ( isso se deve a clássica desigualdade MG = MA ). Assim K é o ponto médio de PQ, o que implica que o centro O da circunferência procurada esta na perpendicular baixada por K à reta r, está também na mediatriz da corda AB. A intersecção dessas retas dá-nos o centro O.Está construído e provado. É claro que uma figura ajuda muito. Na minha humilde opinião essas resoluções sintéticas ( ou quase ) são de suma beleza. Um abraço do colega Osmundo Bragança. -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Sergio Lima Netto Enviada em: sexta-feira, 25 de setembro de 2009 10:39 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Falando em construções geométricas.. Caro Osmundo, Obrigado pelo problema e pela fonte do mesmo. Antes que os verdadeiros mestres do desenho geometrico desta lista acordem, coloco minha resposta obtida por geometria analitica! Sejam: . teta o angulo entre o segmento AB e a reta r dados; . I o ponto de intersecao de AB com r; . M o ponto medio de AB; . m a mediatriz de AM; . d a distancia de I ao ponto M medio de AM; Resposta: o centro O da circunferencia desejada esta sobre a mediatriz de AB e eh tal que: OM = d cotg(teta). Isto nos conduz a uma construcao, por exemplo, do tipo: (i) trace a mediatriz m de AB pelo ponto M medio deste segmento; (ii) trace o circulo de centro M e raio MI (= d), cuja intersecao (mais proxima da reta r) com m eh o ponto P; (iii) trace uma paralela r' a r por P, cuja intersecao com AB eh o ponto P' (tal que MP' = d cotg(teta)); (iv) Marque MO = MP', com O sobre a mediatriz m e o mais distante possivel da reta r; (v) trace a circunferencia desejada: centro O e raio OA = OB. Agora eu vou esperar pela solucao mais elegante. Abraco, sergio On Thu, 24 Sep 2009 11:28:15 -0300, Osmundo Bragança wrote Já que estamos falando em construções com a régua e o compasso aproveito para compartilhar um lindo problema que está no livro do do Ross Honsberger intitulado Mathematical Chestnuts from Around the World . Sejam A e B pontos situados em lados opostos em relação a uma reta r do plano. Construa uma circunferência que passa pelos pontos A e B e corta a reta nos pontos P e Q de tal modo que a corda PQ determinada pela reta na circunferência seja mínima. Muito legal para as nossas aulas de desenho geométrico. Um abraço. Osmundo Bragança. -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. Sergio Lima Netto PEE-COPPE/DEL-Poli/UFRJ POBox 68504, Rio de Janeiro, RJ 21941-972, BRAZIL (+55 21) 2562-8164 -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Re: [obm-l] Olimpiada Iberoamericana de Matematica Universitaria - Inscricao
Eric, Segue link onde você pode encontrar as informações solicitadas. http://www.obm.org.br/opencms/competicoes/internacionais/oimu_oficial.html Att, Felipe Marinho de Oliveira Sardinha --- Em qui, 24/9/09, Eric Campos Bastos Guedes fato...@hotmail.com escreveu: De: Eric Campos Bastos Guedes fato...@hotmail.com Assunto: [obm-l] Olimpiada Iberoamericana de Matematica Universitaria - Inscricao Para: Lista obm-l obm-l@mat.puc-rio.br, o...@impa.br Data: Quinta-feira, 24 de Setembro de 2009, 22:45 Prezados Gostaria de participar da Olimpiada Iberoamenricana de Matematica Universitaria em 2009. Como devo proceder? [ ]'s E. [ eric campos bastos guedes -- ] [ matemático, escritor e pesquisador - ] [ A verdade tem várias faces e várias fontes ] [ twitter: mathfighter --- ] [ Orkut: Eric Campos Bastos Guedes --- ] [ e-mail/MSN: fato...@hotmail.com ] [ cel. (0xx 21) 8721-5420 ] _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
