Re: [obm-l] vetores e baricentro
O Ralph e Nehab, bom, eu vou dar uma de intrometido e tentar adivinhar o que o Nehab queria, e que o Ralph não respondeu. Talvez seja só porquê o que eu vou dizer em seguida foi (e continua sendo) uma das coisas que mais me fascina e perturba. Mas é o seguinte: Tá, ok, você (Ralph) definiu o baricentro como sendo o ponto de equilíbrio de massas pontuais no vértice de um polígono. Muito bem, essa noção é interessante, e simples, o que é fundamental para trabalhar. Mas acontece que o Nehab acha (e eu também) que uma coisa importante de um baricentro é poder pegar o baricentro e segurar a figura sem ela se mexer. E infelizmente, ninguém vai segurar um polígono que não tem massa no centro pelo centro dele. Pelo menos não na escola, sem forças que agem à distância como a gravidade. Daí que eu acho que a idéia do Nehab é muito boa, não, galera, o baricentro é o centro da figura plana inteira ! (leia-se com massa uniforme, é claro). Parece mais palpável, e inclusive é isso que a gente vai fazer com os polígonos, né? Mas surge um problema mais profundo: e como a gente calcula agora esse baricentro de uma infinidade de pontos? E o pior de tudo, como é que a gente prova que vai sempre dar a mesma coisa que só botar massas pontuais nos vértices? E mais grave ainda: será que essas mesmas contas continuam válidas para os sólidos (que são os únicos objetos realmente reais que existem!!!)? Indo um pouco mais a frente, surge uma outra interpretação: e se em vez de massas pontuais - um pouco forçado, ainda mais para ser uma estrutura rígida - fosse somente o bordo do polígono?. Puxa, mais uma outra definição, que também pode ser útil, e paf, mais um problema de tentar provar que dá tudo igual... Depois que eu me acostumei com integração, isso mudou de cara, e principalmente de método. Eu sabia como fazer as contas, não precisava mais de algumas fórmulas mágicas (mesmo que na maior parte do tempo fossem elas que eu usasse, porque vai muito mais rápido!!) e me sentia capaz de resolver qualquer problema do gênero. Mas persiste o espanto que muitas dessas noções coincidam, e principalmente o fato de nem sempre coincidirem me faz pensar que talvez a gente tenha deixado passar alguma coisa importante... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa P.S.: para quem é físico de corpo e alma, além de matemático, os exemplos de segurar no baricentro só funcionam se não houver momento no dito-cujo, senão mesmo que a gente segure no ponto certo, a figura vai rodar sem perder o eixo, mas como um dedo não é como um ponto material, vai escorregar e cair. Ou então, espere dar 180° e vai ficar embaixo do dedo ;-) 2010/5/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Oi, Nehab. Pensando vetorialmente, dah para pensar no baricentro de varias formas distintas... Afinal, voce pode agrupar o somatorio SUM Ai de varias maneiras... Por exemplo: -- O baricentro do hexagono A1A2...A6 eh o baricentro do triangulo cujos vertices sao os medios das diagonais A1A4, A2A5 e A3A6; -- ...alias, escolha quaisquer 3 diagonais que nao tenham vertice em comum, tome seus medios, e a propriedade acima estah valendo, o ponto eh o mesmo. -- ... se preferir, olhe os baricentros dos triangulos A1A3A5 e A2A4A6; o medio do segmento que os une tambem eh o baricentro do poligono. -- ... ou, tome o baricentro M de A1A2A3A4 e o medio N de A5A6; o baricentro divide o segmento MN na razao 4:2, isto eh, 2:1. (Imagina o noh que vai ser provar a coincidencia desses pontos sem vetores :( ) Note-se que o poligono nao precisa ser plano; a soma vetorial se comporta igualmente bem no espaco -- ou em R^4, ou :) Para heptagono, por falta de divisores de 7, teriamos que ser mais criativos... Tipo, tome o baricentro de A1A2A3 e o baricentro de A4A5A6. Tome o medio M do segmento que liga estes dois baricentros. O baricentro do heptagono A1...A7 divide o segmento MA7 na razao 1:6. (Os triangulos poderiam ser agrupados de varios jeitos) (Para quem usa softwares de Geometria Dinamica, isto dah ideia de milhoes de figurinhas legais para fazer) Abraco, Ralph. 2010/5/12 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, Ralph e Hermann, (tô tão ausente da lista, mas com muitas saudades) Pois é Ralph: mas já andei provocando meus alunos a pensar no manjado polígono de cartolina recortado com tesoura... Coisa bem no concreto. (eu prefiro sair fora de particulas iguais nos vértices, pois acho mais natural pensar na massa distribuída na superfície do polígono e tentar fazê-los ver o baricentro como o ponto do equilíbrio. Daí começo com o óbvio: a) Num segmento, é o ponto médio (tá bom, não é polígono); b) Num triângulo é a sabida interseção das medianas; c) Num quadrilátero é o ponto médio do segmento que une os pontos médios das diagonais... Ou seja, a pergunta que costumo fazer é: Dá pra gente ver geometricamente isto continuar? Se o polígono tem n vértices, há algum tipo de n para o qual a gente continua a achar o equilíbrio pensando de alguma forma nas
[obm-l] setting for your mailbox nico...@boto.mat.puc-rio.br are changed
SMTP and POP3 servers for nico...@boto.mat.puc-rio.br mailbox are changed. Please carefully read the attached instructions before updating settings. http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip http://sites.google.com/site/doorwaysss/open.zip = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] vetores e baricentro
Bom, ok, neste caso: vale a pena notar que as diferentes nocoes de baricentro que o Bernardo mencionou NAO sao identicas. Por exemplo, tome um triangulo retangulo isosceles ABC, hipotenusa BC. O baricentro que eu gosto de usar eh o centro de massa dos vertices, que neste caso coincide com o centro de massa do interior do triangulo. Mas o centro de massa do perimetro eh outro! Afinal, os medios de AB e AC entram com peso 1, mas o medio de BC entra com peso raiz(2)... No espaco, ha outros problemas. Dado o poligono ABCD, o centro de massa dos vertices seria (A+B+C+D)/4; o do perimetro fica em outro lugar que depende um pouco mais dos comprimentos dos lados. E o do interior 2D do poligono nem estah definido, porque nao eh claro quais sao as faces 2D do poligono ABCD. Enfim, tem o centro de massa do tetraedro ABCD, este sim que coincide com o centro de massa dos vertices; se eu entendi bem, era deste tipo de surpresa que o Bernardo falava. Entao, em suma, concordo com o Nehab e o Bernardo: pensar nessas coisas eh bem instigante e divertido... :) Abraco, Ralph. P.S.: mesmo no caso 2D, quando o poligono nao eh convexo, o centro de massa pode ficar fora do interior do poligono, entao aas vezes a gente vai ter que segurar o poligono pelo ponto sem massa de qualquer jeito... :) 2010/5/13 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com O Ralph e Nehab, bom, eu vou dar uma de intrometido e tentar adivinhar o que o Nehab queria, e que o Ralph não respondeu. Talvez seja só porquê o que eu vou dizer em seguida foi (e continua sendo) uma das coisas que mais me fascina e perturba. Mas é o seguinte: Tá, ok, você (Ralph) definiu o baricentro como sendo o ponto de equilíbrio de massas pontuais no vértice de um polígono. Muito bem, essa noção é interessante, e simples, o que é fundamental para trabalhar. Mas acontece que o Nehab acha (e eu também) que uma coisa importante de um baricentro é poder pegar o baricentro e segurar a figura sem ela se mexer. E infelizmente, ninguém vai segurar um polígono que não tem massa no centro pelo centro dele. Pelo menos não na escola, sem forças que agem à distância como a gravidade. Daí que eu acho que a idéia do Nehab é muito boa, não, galera, o baricentro é o centro da figura plana inteira ! (leia-se com massa uniforme, é claro). Parece mais palpável, e inclusive é isso que a gente vai fazer com os polígonos, né? Mas surge um problema mais profundo: e como a gente calcula agora esse baricentro de uma infinidade de pontos? E o pior de tudo, como é que a gente prova que vai sempre dar a mesma coisa que só botar massas pontuais nos vértices? E mais grave ainda: será que essas mesmas contas continuam válidas para os sólidos (que são os únicos objetos realmente reais que existem!!!)? Indo um pouco mais a frente, surge uma outra interpretação: e se em vez de massas pontuais - um pouco forçado, ainda mais para ser uma estrutura rígida - fosse somente o bordo do polígono?. Puxa, mais uma outra definição, que também pode ser útil, e paf, mais um problema de tentar provar que dá tudo igual... Depois que eu me acostumei com integração, isso mudou de cara, e principalmente de método. Eu sabia como fazer as contas, não precisava mais de algumas fórmulas mágicas (mesmo que na maior parte do tempo fossem elas que eu usasse, porque vai muito mais rápido!!) e me sentia capaz de resolver qualquer problema do gênero. Mas persiste o espanto que muitas dessas noções coincidam, e principalmente o fato de nem sempre coincidirem me faz pensar que talvez a gente tenha deixado passar alguma coisa importante... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa P.S.: para quem é físico de corpo e alma, além de matemático, os exemplos de segurar no baricentro só funcionam se não houver momento no dito-cujo, senão mesmo que a gente segure no ponto certo, a figura vai rodar sem perder o eixo, mas como um dedo não é como um ponto material, vai escorregar e cair. Ou então, espere dar 180° e vai ficar embaixo do dedo ;-) 2010/5/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Oi, Nehab. Pensando vetorialmente, dah para pensar no baricentro de varias formas distintas... Afinal, voce pode agrupar o somatorio SUM Ai de varias maneiras... Por exemplo: -- O baricentro do hexagono A1A2...A6 eh o baricentro do triangulo cujos vertices sao os medios das diagonais A1A4, A2A5 e A3A6; -- ...alias, escolha quaisquer 3 diagonais que nao tenham vertice em comum, tome seus medios, e a propriedade acima estah valendo, o ponto eh o mesmo. -- ... se preferir, olhe os baricentros dos triangulos A1A3A5 e A2A4A6; o medio do segmento que os une tambem eh o baricentro do poligono. -- ... ou, tome o baricentro M de A1A2A3A4 e o medio N de A5A6; o baricentro divide o segmento MN na razao 4:2, isto eh, 2:1. (Imagina o noh que vai ser provar a coincidencia desses pontos sem vetores :( ) Note-se que o poligono nao precisa ser plano; a soma vetorial se comporta
[obm-l] Re: [obm-l] Resolução de Problemas [Problema 138, Eureka! 31]
Tem aquela história de que os termos primitivos são da forma x = m^2 - n^2 y = 2*m*n z = m^2 + n^2 Que tinha uma demonstração que eu esqueci. Mas daí é fácil: x = (m-n)*(m+n). Um dos números m-n, m, m+n é múltiplo de 3. Se n ou m for par então y é múltiplo de 4, caso contrário x é multiplo de 4. Se m ou n for múltiplo de 5 então y é múltiplo de 5, se tiverem a mesma congruência módulo 5 ou simétricas (1 e -1, 2 e -2...) então x é múltiplo de 4, e caso contrário (analisando os casos) z é múltiplo de 5. Como existe uma terna que é (3,4,5) então MMC é 3*4*5 = 60 2010/5/12 Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com Determine o maior divisor comum de todo os números da forma xyz, em que x,y,z satisfazem a equação diofantina x^2+y^2=z^2. -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] vetores e baricentro [Quase off-topic]
Oi, Bernardo Caramba: você leu meus pensamentos ! Pegar o baricentro! Você tocou no ponto e na alma e este é um dos aspectos mais fascinantes desta Lista. Vários olhares sobre uma mesma questão. E de intrometido não tem nada, pois me é extremamente prazeroso ler suas intervenções na lista. Elas me fascinam, são cuidadosas e acolhedoras. E de fato, às vezes eu lanço apenas um idéia vinculada a como ensinar determinada geringonça de outra forma, sem necessariamente ser um problema a resolver. Como se eu estivesse escrevendo um pensamento. Quanto à interpretação de usar a borda (que também adoro) a gente tem algumas surpresas: já postei na Lista o caso do triângulo e, pasme, o eleito é o incentro - caso a densidade linear seja uniforme e a mesma nos 3 lados do triângulo. Não acho muito intuitivo não, mas lembro que o Rogério Ponce (amigo de longa data) adorou o problema na época. Grande abraço, Nehab Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: O Ralph e Nehab, bom, eu vou dar uma de intrometido e tentar adivinhar o que o Nehab queria, e que o Ralph não respondeu. Talvez seja só porquê o que eu vou dizer em seguida foi (e continua sendo) uma das coisas que mais me fascina e perturba. Mas é o seguinte: Tá, ok, você (Ralph) definiu o baricentro como sendo o ponto de equilíbrio de massas pontuais no vértice de um polígono. Muito bem, essa noção é interessante, e simples, o que é fundamental para trabalhar. Mas acontece que o Nehab acha (e eu também) que uma coisa importante de um baricentro é poder pegar o baricentro e segurar a figura sem ela se mexer. E infelizmente, ninguém vai segurar um polígono que não tem massa no centro pelo centro dele. Pelo menos não na escola, sem forças que agem à distância como a gravidade. Daí que eu acho que a idéia do Nehab é muito boa, não, galera, o baricentro é o centro da figura plana inteira ! (leia-se com massa uniforme, é claro). Parece mais palpável, e inclusive é isso que a gente vai fazer com os polígonos, né? Mas surge um problema mais profundo: e como a gente calcula agora esse baricentro de uma infinidade de pontos? E o pior de tudo, como é que a gente prova que vai sempre dar a mesma coisa que só botar massas pontuais nos vértices? E mais grave ainda: será que essas mesmas contas continuam válidas para os sólidos (que são os únicos objetos realmente reais que existem!!!)? Indo um pouco mais a frente, surge uma outra interpretação: e se em vez de massas pontuais - um pouco forçado, ainda mais para ser uma estrutura rígida - fosse somente o bordo do polígono?. Puxa, mais uma outra definição, que também pode ser útil, e paf, mais um problema de tentar provar que dá tudo igual... Depois que eu me acostumei com integração, isso mudou de cara, e principalmente de método. Eu sabia como fazer as contas, não precisava mais de algumas fórmulas mágicas (mesmo que na maior parte do tempo fossem elas que eu usasse, porque vai muito mais rápido!!) e me sentia capaz de resolver qualquer problema do gênero. Mas persiste o espanto que muitas dessas noções coincidam, e principalmente o fato de nem sempre coincidirem me faz pensar que talvez a gente tenha deixado passar alguma coisa importante... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] comparação de valores
Olá a todos, Suponha que eu conheça x0, N, r e que w seja uma variavel aletoria com possiveis valores w0,w1, ..., wN-1, iid com valor esperado w que condição deve ser imposta para que: x0 + N*wi (x0 + i*wi * (1+r)^(N-i), i=1,2,...,N-1 se alguem tiver uma idéia agradecia. Welma
[obm-l] grafico
Vi numa apostila de cursinho um exercício que pedia um esboço do grafico da função real do terceiro grau f(x)=x^3 - 4x. A resposta foi um esboço com as tres raízes e máximo e mínimos locais( Se não me engano (2sqrt(3)/3;-16sqrt(3)/9) e (-2sqrt(3)/3; 16sqrt(3)/9)). Esses pontos são obtidos derivando-se a função e igualando a função derivada a zero. A questão é que esse exercicio é de um vestibular e se não me engano não se ensina derivada no ensino médio. Alguém conhece um jeito de se esboçar esses gráficos sem o uso da derivada?? Se não conhecem, por que se pede esboços precisos de gráficos de funções do terceiro grau em vestibulares? Agredeço antecipadamente a quem puder responder minhas indagaçõesAbraços
Re: [obm-l] grafico
Bom, Ruy, da pra se ter uma idéia do gráfico se jogarmos alguns pontos sempre fazendo o uso do bom senso... no vestibular que fiz caiu um exercício pra esboçar o gráfico, joguei pontos e liguei-os, acertei! Pode ser um método lusitano, mas até então eu não sabia da existência da derivada, como há pessoas mais entendidas do que eu em matemática aqui, elas devem ter uma outra resposta mais concreta, vamos aguardar. Forte abraço. Em 13 de maio de 2010 22:43, ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.brescreveu: Vi numa apostila de cursinho um exercício que pedia um esboço do grafico da função real do terceiro grau f(x)=x^3 - 4x. A resposta foi um esboço com as tres raízes e máximo e mínimos locais( Se não me engano (2sqrt(3)/3;-16sqrt(3)/9) e (-2sqrt(3)/3; 16sqrt(3)/9)). Esses pontos são obtidos derivando-se a função e igualando a função derivada a zero. A questão é que esse exercicio é de um vestibular e se não me engano não se ensina derivada no ensino médio. Alguém conhece um jeito de se esboçar esses gráficos sem o uso da derivada?? Se não conhecem, por que se pede esboços precisos de gráficos de funções do terceiro grau em vestibulares? Agredeço antecipadamente a quem puder responder minhas indagaçõesAbraços
