Olá :)
Existem várias identidades que "dão " certo quando se tem 0^0=1
**Binômio de Newton
por exemplo, o binômio de newton funciona em casos triviais ( usando c(n,k)
pro coeficiente binomial )
(1+x)^n = soma (k= 0 até n) c( n, k) x^k
tomando x=-1 tem-se
(0)^n = soma (k= 0 até n) c( n, k) (-1)^k
tomando n=0
soma (k= 0 até 0) c( 0, k) (-1)^k = c( 0, 0) (-1)^0=1
além do caso
(y+x)^n = soma (k= 0 até n) c( n, k) x^k y^(n-k)
se x=0, caso trivial, deve dar y^n
soma (k= 0 até n) c( n, k) 0^k y^(n-k)
só resta o termo em k=0
que é c( n, 0) 0^0 y^(n) para isso dar y^n devemos ter
0^0=1 pois c(n,0)=1.
** Soma geométrica
A fórmula da soma geométrica funciona em "todos" casos quando temos 0^0=1
soma (k=0 até n) x^k = (x^{n+1} -1) / (x-1)
para x diferente de 1
se x=0
soma (k=0 até n) 0^k = (0^{n+1} -1) / (0-1) = -1/-1 =1
do lado esquerdo só resta o termo 0^0
** série exponencial
e^x = soma (k=0 até infinito ) x^k/k!
que converge para todo x real( 0 incluído)
se x=0
e^0=1
e^0 = soma (k=0 até infinito ) 0^k/k!
mais uma vez só resta o termo com k=0
0^0/k! =e^0, 0^0=1
sempre quando usamos notação compacta
** Produtório
Definimos
a^n= produto (k=1 até n) a
com "a" real e n natural (0 incluído) .
definimos produtório
produto (k=a até a) f(k) = f(a) ( condição inicial )
e com a propriedade de abrir um produtório em "dois"
produto (k=a até b) f(k) = produto (k=a até p) f(k) . produto (k=p+1 até b)
f(k) ( recorrência)
podemos com isso dar sentido a coisas como
produto (k=a até a-1) f(k), quando o limite superior é menor que o inferior,
pela relação acima tomando p=a-1 tem-se
*produto (k=a até b) f(k)* = produto (k=a até a-1) f(k) . *produto (k=a até
b) f(k)*
*
*
as partes em negrito são iguais, então é necessário que
produto (k=a até a-1) f(k) seja o elemento neutro do produto, então produto
(k=a até a-1) f(k)=1
que podemos chamar de produto vazio
logo voltando a definição de potência por produtório
a^0= produto (k=1 até 0) a =1
independente do valor de "a", incluíndo "0", pois caímos num produto vazio.
O mesmo pode ser usado para definir fatorial de forma compacta
produto (k=1 até n) k =n!
para todo n natural, caso n=0 temos um produto vazio logo
0!=1
tentei fazer um pdf mostrando alguns desses casos, se alguém quiser dar uma
olhada
http://www.4shared.com/dir/HLZtU_v7/zeroazero.html
Abraço
Rodrigo
Em 16 de setembro de 2010 21:50, Johann Dirichlet
escreveu:
> Nessas horas eu me pergunto: por que existem tantas arestas
> não-aparadas na matemática?
>
> A aresta mais pontuda, na minha opinião, é o paradoxo de
> Banach-Tarski: é possível desmontar uma bolinha de gude e juntar os
> pedaços de modo a se obter uma bola do tamanho do sol.
>
> Em 16/09/10, Ralph Teixeira escreveu:
> > Eu sou um dos defensores de 0^0=1. Apresento dois motivos:
> >
> > i) Se f(x) e g(x) sao analiticas em 0 com f(x),g(x)->0 quando x->a, entao
> > f^g -> 1 quando x-> a (bom, desde que f^g faca sentido em volta de x=a).
> A
> > *unica* excecao a esta regra eh o caso em que f eh identicamente nula,
> > quando o limite dah 0 (se f^g faz sentido) ou nao existe (se g<0 ali por
> > perto de x=a).
> > Isto explica porque 99.9% dos exercicios de limite que ficam "da forma
> 0^0"
> > acabam dando 1 como resposta!
> >
> > Acho que isto tambem explica porque eu nao faria 0/0=1 ou algo assim --
> nao
> > ha teorema semelhante para 0/0.
> >
> > ii) Como escrever um polinomio generico de grau 17 usando somatorios?
> Acho
> > que muita gente concorda que uma boa representacao eh:
> > p(x) = SUM (n=0 a 17) a_n x^n
> > onde os a_n sao coeficientes arbitrarios. Agora eu pergunto -- quanto
> vale
> > p(0)?
> >
> > Com a convencao 0^0=1, nada especial precisa ser feito, eh soh substituir
> > x=0 no somatorio.
> >
> > Com a convencao "0^0 nao existe" bom, ai a nossa representacao por
> > somatorio ficaria tecnicamente errada. Teriamos que escrever:
> >
> > p(x) = SUM (n=0 a 17) a_n x^n, se x<>0
> > p(x) = a_0, se x=0
> >
> > ou entao tirar o x^0 do somatorio:
> >
> > p(x) = a_0 + SUM (n=1 a 17) a_n x^n
> >
> > (e se voce acha que esta ultima eh bem razoavel -- escreva p'(x). Separou
> o
> > a1? Argh!)
> >
> > Como eu nao tenho paciencia de ficar escrevendo este a_0 separado toda
> hora,
> > prefiro logo pensar que 0^0=1 e resolvo meus problemas com um somatorio
> soh.
> > :)
> >
> > Isto tudo dito, claro que eh soh uma convencao, questao de gosto. Mas eu
> > *gosto* de 0^0=1. :)
> >
> > Abraco,
> > Ralph
> >
> > 2010/9/16 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis
> >
> >> Olá, Pessoal! Vale lembrar que o "símbolo do nada" está entre as mais
> >> importantes descobertas feita pelo homem. É difícil acreditar que os
> >> homens
> >> levaram 5 mil anos entre escrever números e conceber o nosso sistema de
> >> numeração posicional, ponto crucial num desenvolvimento sem o qual o
> >> progresso da ciência moderna seria inconcebível. Hoje parece simples,
> mas
> >> a
> >> mentalidade concreta dos antigos gregos, não podia
