[obm-l] FW: Sistema de inteiros positivos
Existe alguma fórmula para se determinar a quantidade de soluções inteiras positivas para o sistema = K Ex: 3x + 2y + z = 30 (um sistema desses é fácil de se resolver, mas é possível generalizar a fórmula para um somatório com n variáveis?) []'sJoão
Re: [obm-l] Raizes da unidade
Para o primeiro problema, considere a=x.exp(iA), b=y.exp(iB) e c=z.exp(iC). Note que Kr é a parte imaginária de S(r)=a^r+b^r+c^r. Seja Q(w) o polinômio (mônico) de grau 3 cujas raízes são a, b e c. Note que: Q(w)=w^3-S.w^2+D.w-P onde S=a+b+c=S(1) é real pois sua parte imaginária, K1, é nula; D=ab+ac+bc=(S(1)^2-S(2))/2 é real pois S(1) e S(2) são reais (já que K1=K2=0); P=abc=xyz exp(i(A+B+C)) é real pois A+B+C é múltiplo de pi (e x,y,z são reais). Em suma, Q(w) tem coeficientes reais. Agora, "lembre" que, para todo r natural, temos: S(r+3)-S.S(r+2)+D.S(r+1)-P.S(r)=0 ou seja S(r+3)=S.S(r+2)-D.S(r+1)+P.S(r) Como S(0)=3 é real, assim como S(1) e S(2), fica claro (já que os coeficientes da recorrência acima também são reais) que S(n) é real para todo n. Em outras palavras, Kn=0 para todo n natural. Abraço, Ralph > >> Em 3 de março de 2012 17:02, Heitor Bueno Ponchio Xavier < >> heitor.iyp...@gmail.com> escreveu: >> >> Não estou conseguindo resolver os seguintes problemas: >>> >>> 1) Sejam x,y,z,A,B,C reais tais que (A+B+C)/π é inteiro. >>> Defina Kr = (x^r) sen (rA) +(y^r) sen (rB) + (z^r) sen (rC) >>> Prove se K1 = K2 = 0 então Kn = 0 para todo n>0 >>> >>> 2)Seja (1+x+x²+x³+x^4)^496 = A0 +A1 x+A2x² +...+A1984 x^1984 >>> i)Determine MDC(A3,A8,...,A1983) >>> ii)Prove que 10^340 >> >> >> >
Re: [obm-l] Raizes da unidade
Jeferson, como assim calcular a soma por numeros complexos? você fala fatorar em ((x^5 -1)/(x-1))^496 e abrir observando que são as raizes quintas da unidade diferentes de 1? Em 5 de março de 2012 17:43, Jeferson Almir escreveu: > A segunda questao eh de uma Shortlist da Imo romenia/8?, antes de tudo vc > deve calcular a soma por numeros complexos A0 +A1 x+A2x² +...+A1984 x^1984 > que seu eu nao me engano dar (5^496-4)/3 (seria um otimo exercicio em > outro momento provar que esta soma é inteira) voltando seja *d *o M.D.C > de (A3,A8,...,A1983) como o M.D.C divide ambos tambem dividira a sua soma > ou diferenca entre eles pelas propriedades de M.D.C, entao *d/ *(5^496-4)/3 > porem este valor é impar entao *d é impar *o A1983=496 que é penultimo > binomial (496/2) entao entao d/496=2^4.31 logo d=1 ou 31 entao devemos > achar o resto de 5^496 por 31 ??? por Fermat temos que 5^30=1(mod31) > entao (5^30)^16=1 (mod31)entao 5^480=1 (mod31) logo 5^496=5^16 (mod31) . > ... . .. 5^16=5 ou -5 (mod 31) entao 5^16-4=1 ou -9 temos 5^496-4=1 ou -9 > (mod31) entao *d *=1* > * > Em 3 de março de 2012 17:02, Heitor Bueno Ponchio Xavier < > heitor.iyp...@gmail.com> escreveu: > > Não estou conseguindo resolver os seguintes problemas: >> >> 1) Sejam x,y,z,A,B,C reais tais que (A+B+C)/π é inteiro. >> Defina Kr = (x^r) sen (rA) +(y^r) sen (rB) + (z^r) sen (rC) >> Prove se K1 = K2 = 0 então Kn = 0 para todo n>0 >> >> 2)Seja (1+x+x²+x³+x^4)^496 = A0 +A1 x+A2x² +...+A1984 x^1984 >> i)Determine MDC(A3,A8,...,A1983) >> ii)Prove que 10^340 > > >
