[obm-l] Re: [obm-l] Corpos x³=x
Samuel, Realmente esse problema não é tão simples. Ele está proposto no livro “Topics in Algebra” de I. N. Herstein, com um asterisco, o que significa que não é imediato. Uma sugestão seria: (i) Passo 1 – Mostre que neste anel se x^2 = 0, então x = 0. (Se x está em R, então x = x^3 = x^2.x = 0) (ii) Passo 2 – Tome a um elemento qualquer do anel R e A = a^2 + a. Mostre que 2A^2 = A. (Nesse anel R temos, A = a^2 + a = (a^2 + a)^3 = (a^2 + a)^2 . (a^2 + a) = etc. = 2A^2. Passo 3 – Mostre que 2 A x A . A x = 0, onde A = a^2 + a. Passo (4) – (2 A x A . x A)^2 = 0 Passo (5) – 2 A x A = x A Passo 6 – Conclua que A = a^2 + a está no centro do anel, Z(R), para todo a no anel R. Passo 7 – Se para todo elemento a do anel R, a^2 + a está no centro do anel, então R é comutativo. Portanto, R é comutativo. É isso. Benedito From: Samuel Wainer Sent: Monday, August 20, 2012 4:44 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Corpos x³=x Seja R um anel associativo. Tal que x³=x para todo x em R. Mostre que R é um anel comutativo. Já tinha visto com x²=x. Mas com x³=x é bem difícil, tentei várias relações e não consegui nenhuma. Alguém tem alguma ideia?
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Corpos x³=x
Olá, Nossa obrigado mesmo. Sabia que ele era difícil, mas não imaginei que era tanto. São bastantes passos que não são nada imediatos. Abraços,Samuel. From: bened...@ufrnet.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Corpos x³=x Date: Tue, 21 Aug 2012 10:23:05 -0300 Samuel, Realmente esse problema não é tão simples. Ele está proposto no livro “Topics in Algebra” de I. N. Herstein, com um asterisco, o que significa que não é imediato. Uma sugestão seria: (i) Passo 1 – Mostre que neste anel se x^2 = 0, então x = 0. (Se x está em R, então x = x^3 = x^2.x = 0) (ii) Passo 2 – Tome a um elemento qualquer do anel R e A = a^2 + a. Mostre que 2A^2 = A. (Nesse anel R temos, A = a^2 + a = (a^2 + a)^3 = (a^2 + a)^2 . (a^2 + a) = etc. = 2A^2. Passo 3 – Mostre que 2 A x A . A x = 0, onde A = a^2 + a. Passo (4) – (2 A x A . x A)^2 = 0 Passo (5) – 2 A x A = x A Passo 6 – Conclua que A = a^2 + a está no centro do anel, Z(R), para todo a no anel R. Passo 7 – Se para todo elemento a do anel R, a^2 + a está no centro do anel, então R é comutativo. Portanto, R é comutativo. É isso. Benedito From: Samuel Wainer Sent: Monday, August 20, 2012 4:44 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Corpos x³=x Seja R um anel associativo. Tal que x³=x para todo x em R. Mostre que R é um anel comutativo. Já tinha visto com x²=x. Mas com x³=x é bem difícil, tentei várias relações e não consegui nenhuma. Alguém tem alguma ideia?
[obm-l] números
Alguém pode me ajudar com a seguinte questão: Contar o número de zeros que aparecem nos números de 1 a 999...999 (n algarismos ). Obrigado!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] divisibilidade(3)
Mostre,para todo n E N,que notação: a exp b significa´ a elevado a b´ a² -a + 1 divide a exp (2n+1) + (a-1) exp (n+2)
[obm-l] RE: [obm-l] números
Sendo um número com n algarismos
Podemos chamar de zero de unidade, o zero que aparece nos algarismos da
unidade, zero de dezena, o zero que aparece no algarismo das dezenas...
Zero de unidade:
Temos9.10.10.10.10.10.10.1 = 9.10^(n-2) (9 possibilidades para o primeiro
dígito, já que não pode ser 0, dez para o segundo, dez para o terceiro, e assim
vai, até que o último tem que ser o próprio zero)
Zero de dezena9.10.10.10.10.10.1.10 = 9.10^(n-2)
Zero de centena9.10.10.10.10.1.10.10 = 9.10^(n-2)
E assim vai até o zero no algarismo n-1
logo temos (n-1).9.10^(n-2) zeros em um número com n algarismos
De 1 até 10^n-1 temos
Sum[(x-1).9.10^(x-2), {x, 1, n}]
Sendo S(n) = 0 + 1.9.10º + 2.9.10¹ + 3.9.10² + 4.9.10³ +... +
(n-1).9.10^(n-2)K(n) = 1.10º + 2.10¹ + 3.10² =...(n-1).10^(n-2)K(n+1) = K(n) +
n.10^(n-1)
10K(n+1) = 10K(n) + n.10^nK(n+2) = K(n+1) + (n+1).10^nSubtraindo
K(n+2) = 11K(n+1) - 10K(n) + 10^nLogo 10K(n+1) = 110K( n) - 100K(n-1) +
10^nSubtraindo
K(n+2) = 21K(n+1) - 120K(n) + 100K(n-1)
x³-21x²+120x-100 = 0x = 1, 10 ou 10Logo K(x) = a.1 + (bx + c).10^xSabemos
queK(1) = 0K(2) = 1K(3) = 21
a+10(b+c) = 0a + 100(2b+c) = 1a + 1000(3b+c) = 21
K(x) = 1/81 + (x/90 -1/81).(10^x)S(x) = x.10^(x-1) - (10^x-1)/9
[]'sJoão
[]'sJoão
Date: Tue, 21 Aug 2012 13:29:21 -0300
Subject: [obm-l] números
From: oliho...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Alguém pode me ajudar com a seguinte questão:
Contar o número de zeros que aparecem nos números de 1 a 999...999 (n
algarismos ).
Obrigado!!!
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] divisibilidade(3)
2012/8/21 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Mostre,para todo n E N,que notação: a exp b significa´ a elevado a b´ a² -a + 1 divide a exp (2n+1) + (a-1) exp (n+2) Recorrencia! Mostre que vale para n=0 (facil!) e depois use que x | cx + d = x | d para simplificar (voce vai ter que somar e subtrair termos iguais para poder fatorar o a^2 - a + 1. Abracos, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] divisibilidade(3)
Bom usando congruência, teremos a^2=a-1 mod (aˆ2-a+1), e substituindo fica (a^2n).a+(a-1)^(n+2)=[(a-1)^n].a+(a-1)^(n+2)=[(a-1)^n][a+(a-1)^2]=[(a-1)^n](a^2-a+1) logo como ele é fator sempre será divisível. Valeu Abs Douglas Oliveira On Tue, 21 Aug 2012 16:43:04 +, marcone augusto araújo borges wrote: Mostre,para todo n E N,que notação: a exp b significa´ a elevado a b´ a² -a + 1 divide a exp (2n+1) + (a-1) exp (n+2)
Re: [obm-l] números
Vamos calcular os que possuem 0 na unidade, são exatamente são os números de 10 à 9...90 ou seja os números a esquerda do zero variam de 1 à 999...99 (n-1) noves o que nos dá 999...999 (n-1) noves números que dá pra escrever com a idéia dos repunits como [10^(n-1)-1] Agora vamos calcular a quantidade de números que possuem zero na casa das dezenas, 10 possibilidades a direita do zero e os números a esquerda variam de 1 a 999...999 (n-2) noves , logo (10^1)[10^(n-2)-1]. Agora os que possuem zero na centena, temos 10x10 possibilidades a direita do zero e os numeros da esquerda variam de 1 a 999...999 (n-3) noves , logo (10^2)[10^(n-3)-1]. Pronto e assim sucessivamente até que calcularemos a última quantidade que seriam o números da forma 9099...999 temos 9 possibiidades a esquerda do zero e e os numeros a direita teremos [10^(n-2)][10^1)-1]. Somando todas as quantidades teremos [10ˆ(n-1)+10ˆ(n-1)+10ˆ(n-1)+10ˆ(n-1)+...+10ˆ(n-1)+10ˆ(n-1)] -(1+10ˆ1+10^2+10^3+...+10^n-2} onde a primeira parcela existem n-1 potências de 10 e a segunda vira soma dos termos de uma PG arrumando fica (n-1)[10ˆ(n-1)]-[10ˆ(n-1)-1]/9 que é a resposta final!! valeu um abraco. Douglas Oliveira!! On Tue, 21 Aug 2012 13:29:21 -0300, Mauricio barbosa wrote: Alguém pode me ajudar com a seguinte questão: Contar o número de zeros que aparecem nos números de 1 a 999...999 (n algarismos ). Obrigado!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html [1] = Links: -- [1] http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
