[obm-l] Re: [obm-l] números
Obrigado pela resposta! Talvez possa me ajudar com uma outra questão. Preciso comparar essa quantidade de zeros com a quantidade de zeros dessa sequência, mas com os números na base 60. Poderia usar o mesmo raciocínio que você me indicou, mas como passar o número 999...999 para a base 60 se não temos a quantidade de algarismos? Abç!! Em 21 de agosto de 2012 17:39, douglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu: Vamos calcular os que possuem 0 na unidade, são exatamente são os números de 10 à 9...90 ou seja os números a esquerda do zero variam de 1 à 999...99 (n-1) noves o que nos dá 999...999 (n-1) noves números que dá pra escrever com a idéia dos repunits como [10^(n-1)-1] Agora vamos calcular a quantidade de números que possuem zero na casa das dezenas, 10 possibilidades a direita do zero e os números a esquerda variam de 1 a 999...999 (n-2) noves , logo (10^1)[10^(n-2)-1]. Agora os que possuem zero na centena, temos 10x10 possibilidades a direita do zero e os numeros da esquerda variam de 1 a 999...999 (n-3) noves , logo (10^2)[10^(n-3)-1]. Pronto e assim sucessivamente até que calcularemos a última quantidade que seriam o números da forma 9099...999 temos 9 possibiidades a esquerda do zero e e os numeros a direita teremos [10^(n-2)][10^1)-1]. Somando todas as quantidades teremos [10ˆ(n-1)+10ˆ(n-1)+10ˆ(n-1)+10ˆ(n-1)+...+10ˆ(n-1)+10ˆ(n-1)] -(1+10ˆ1+10^2+10^3+...+10^n-2} onde a primeira parcela existem n-1 potências de 10 e a segunda vira soma dos termos de uma PG arrumando fica (n-1)[10ˆ(n-1)]-[10ˆ(n-1)-1]/9 que é a resposta final!! valeu um abraco. Douglas Oliveira!! On Tue, 21 Aug 2012 13:29:21 -0300, Mauricio barbosa wrote: Alguém pode me ajudar com a seguinte questão: Contar o número de zeros que aparecem nos números de 1 a 999...999 (n algarismos ). Obrigado!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão quaternios difícil
Olá com as dicas consegui fazer uma boa parte. Para mostrar que não é um anel de divisão considerei Z = a0 + a1 i + a2 j + a3 k. E considerei z = a0 - a1 i - a2 j - a3 k. Assim Z z = (a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)². Assim um elemento Z vai ter inverso multiplicativo se e somente se (a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)² for diferente de 0. Pois o inverso seria Z^ -1 = z/((a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)²) Mas pelo teorema de Lagrange todo inteiro pode ser escrito como soma de quadrados. Assim existem b0, b1, b2, b3 não todos nulos tais que (b0)² + (b1)² + (b2)² + (b3)² = p. Portanto (b0)² + (b1)² + (b2)² + (b3)² = 0. Assim Z = b0 + b1 i + b2 j + b3 não terá inverso e o Anel dos quaternios sobre Zp não será um anel de divisão. Mas a parte de que os únicos ideias são o 0 e o próprio A não consegui. Tentei mostrar que dado um elemento z não nulo no ideal I teremos que sempre 1 pertencerá a I. Mas não está saindo nada, tem que usar algum teorema pesado de teoria dos números? Date: Thu, 23 Aug 2012 00:49:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão quaternios difícil From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olha, é realmente um problema difícil, principalmente por que ele está escondendo o jogo. Isto faz parte de uma teoria mais geral (central simple algebras), e se você der uma pesquisada (pesquise também sobre quaternion algebras), vai encontrar as repostas para o seu problema. Para ser sincero, não pensei muito sobre esse problema, então vou dar simplesmente uma dica que deve funcionar (por que eu sei mais ou menos os teoremas gerais). Por exemplo, para mostrar que ele não é um anel de divisão, você tem que encontrar um elemento que não tem inverso. Uma das maneiras de caracterizar se um elemento é invertível ou não é usando a norma (neste caso, a norma de a +bi + cj + dk = a^2 + b^2 + c^2+ d^2). Mostrando que a norma é multiplicativa, você verá que um elemento é invertível se, e somente se, sua norma é não-nula. Minha dica é: use este critério mais o fato de que a cônica -x^2-y^2=z^2 possui um zero não trivial em Z/(p) (é claro que você tem que provar isso também, não é imediato). 2012/8/22 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com Vi essa questão e estou sofrendo bastante. Seja A o anel dos quaternios sobre Zp, p primo. Provar que A tem p^4 elementos e seus únicos ideais são (0) e A e que A não é um anel de divisão. Que tem p^4 elementos consegui tranquilamente. Mas a parte dos ideais está dando trabalho, e que não é um anel de divisão não consigo pensar em um contra-exemplo. Alguém tem alguma ideia? -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
[obm-l] Essa não é fácil
a e b são inteiros positivosab + 1 divide a^2 + b^2Mostre que (a^2 + b^2)/( 1 + ab) é um quadrado perfeitoEssa questão está na rpm 13,fez parte de uma competição importante,se não me engano em 1988,e poucos acertaram.Um amigo já tentou encontrar a solução várias vezes e não conseguiu.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão quaternios difícil
Vou te revelar a cruel verdade, prepare-se. O que acontece é que, na realidade, o anel de quaternios sobre Z/p vai ser isomorfo, como anel, ao anel M_2(Z/p) (matrizes quadradas sobre Z_p). *Deve* existir uma maneira ad-hoc de encontrar esse isomorfismo. Você pode tentar (eu nunca tentei, mas se você não conseguir vou acabar tentando). Minha sugestão é que, antes de tentar encontrar o isomorfismo, tente mostrar que o anel M_2(Z/p) é simples - isto é, não tem ideais bilaterais além de (0) e (1). Em geral o anel de matrizes n x n sobre qualquer corpo é simples, é um exercício legal também (mas não é nem um pouco trivial!). Talvez, usando uma ideia parecida com a ideia que você tiver para resolver esse da matriz, você consiga resolver o do quaternio, sem necessariamente achar o isomorfismo. Obs.: Você usou um teorema razoavelmente forte de teoria dos números, não precisava tanto, mas eu achei legal também! 2012/8/27 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com Olá com as dicas consegui fazer uma boa parte. Para mostrar que não é um anel de divisão considerei Z = a0 + a1 i + a2 j + a3 k. E considerei z = a0 - a1 i - a2 j - a3 k. Assim Z z = (a0)² + ( a1)² + (a2)² + (a3)². Assim um elemento Z vai ter inverso multiplicativo se e somente se (a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)² for diferente de 0. Pois o inverso seria Z^ -1 = z/((a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)²) Mas pelo teorema de Lagrange todo inteiro pode ser escrito como soma de quadrados. Assim existem b0, b1, b2, b3 não todos nulos tais que (b0)² + (b1)² + (b2)² + (b3)² = p. Portanto (b0)² + (b1)² + (b2)² + (b3)² = 0. Assim Z = b0 + b1 i + b2 j + b3 não terá inverso e o Anel dos quaternios sobre Zp não será um anel de divisão. Mas a parte de que os únicos ideias são o 0 e o próprio A não consegui. Tentei mostrar que dado um elemento z não nulo no ideal I teremos que sempre 1 pertencerá a I. Mas não está saindo nada, tem que usar algum teorema pesado de teoria dos números? -- Date: Thu, 23 Aug 2012 00:49:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão quaternios difícil From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olha, é realmente um problema difícil, principalmente por que ele está escondendo o jogo. Isto faz parte de uma teoria mais geral (central simple algebras), e se você der uma pesquisada (pesquise também sobre quaternion algebras), vai encontrar as repostas para o seu problema. Para ser sincero, não pensei muito sobre esse problema, então vou dar simplesmente uma dica que deve funcionar (por que eu sei mais ou menos os teoremas gerais). Por exemplo, para mostrar que ele não é um anel de divisão, você tem que encontrar um elemento que não tem inverso. Uma das maneiras de caracterizar se um elemento é invertível ou não é usando a norma (neste caso, a norma de a +bi + cj + dk = a^2 + b^2 + c^2+ d^2). Mostrando que a norma é multiplicativa, você verá que um elemento é invertível se, e somente se, sua norma é não-nula. Minha dica é: use este critério mais o fato de que a cônica -x^2-y^2=z^2 possui um zero não trivial em Z/(p) (é claro que você tem que provar isso também, não é imediato). 2012/8/22 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com Vi essa questão e estou sofrendo bastante. Seja A o anel dos quaternios sobre Zp, p primo. Provar que A tem p^4 elementos e seus únicos ideais são (0) e A e que A não é um anel de divisão. Que tem p^4 elementos consegui tranquilamente. Mas a parte dos ideais está dando trabalho, e que não é um anel de divisão não consigo pensar em um contra-exemplo. Alguém tem alguma ideia? -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
