[obm-l] Desigualdades
1) Sejam x,y,z números reais positivos tais que xyz = 32.Determine o valor mínimo de x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2 2) Sejam x = 0,y = 0 números reais tais que x + y = 2.Mostre que x^2.y^2(x^2 + y^2) = 2
RE: [obm-l] Desigualdades
2) Desenvolvendo,temos m = x^4.y^2 + x^2.y^4MA = MG = m = 2.(x^4.x^2.y^y.y^2)^1/2 = 2.x^3.y^3 (*)Como x + y = 2,temos que xy = 1(MG = MA),então x^3.y^3 = 1(**) Substituindo (**) em (*),obtemos a desigualdade procurada.Tá certo assim?From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desigualdades Date: Tue, 19 Mar 2013 12:20:08 + 1) Sejam x,y,z números reais positivos tais que xyz = 32.Determine o valor mínimo de x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2 2) Sejam x = 0,y = 0 números reais tais que x + y = 2.Mostre que x^2.y^2(x^2 + y^2) = 2
RE: [obm-l] Desigualdades
Temos m = 2x³y³ 2 = 2x³y³ Não podemos dizer nada a respeito! Por exemplo: Sendo 2x³y³ = 1 Temos m=1 2=1 m pode ser 3/2 ou 3 por exemplo mas 3/2 2 e 3 2 From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Desigualdades Date: Tue, 19 Mar 2013 15:23:35 + 2) Desenvolvendo,temos m = x^4.y^2 + x^2.y^4 MA = MG = m = 2.(x^4.x^2.y^y.y^2)^1/2 = 2.x^3.y^3 (*) Como x + y = 2,temos que xy = 1(MG = MA),então x^3.y^3 = 1(**) Substituindo (**) em (*),obtemos a desigualdade procurada. Tá certo assim? From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desigualdades Date: Tue, 19 Mar 2013 12:20:08 + 1) Sejam x,y,z números reais positivos tais que xyz = 32.Determine o valor mínimo de x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2 2) Sejam x = 0,y = 0 números reais tais que x + y = 2.Mostre que x^2.y^2(x^2 + y^2) = 2
RE: [obm-l] Desigualdades
Eu faria por derivada (especialmente o segundo) 1) z = 32/xy Substituindo p = (x+2y)² + 2.(32/xy)² Derivando em relação a x e igualando a 0 dp/dx = 0 - (xy)².x.(x+2y) = 2.32² Derivando em relação a y e igualando a 0 dp/dy = 0 -(xy)².y.(x+2y) = 32² Dividindo um pelo outro x/y= 2 - x=2y Substituindo - y=2, x=4 e desse modo z = 4 p mín = 96 2) (xy)² (4-2xy) = 2(-(xy)³ + 2(xy)²) A função -(xy)³ + 2(xy)² tem raiz dupla xy=0 e raiz xy=2, logo entre 0 e 2 temos um máximo momentâneo. Mas sabemos que 0 xy = 1 Além disso, derivando e igualando a zero, vemos que o máximo momentâneo se dá em xy=4/3, logo de 0 a 4/3 a função é estritamente crescente. Desse modo o fmáx se dá em xy=1 Assim: x^2.y^2(x^2 + y^2) = 2 []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desigualdades Date: Tue, 19 Mar 2013 12:20:08 + 1) Sejam x,y,z números reais positivos tais que xyz = 32.Determine o valor mínimo de x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2 2) Sejam x = 0,y = 0 números reais tais que x + y = 2.Mostre que x^2.y^2(x^2 + y^2) = 2
Re: [obm-l] Desigualdades
Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável, em que há vários detalhes), aí vão soluções: 1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2 + 4y^2) + 2z^2 = 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 = 4xyz = 4*32 = 128. A igualdade ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x = 2^(11/6), y = 2^(5/6) e z = 2^(7/3). 2) A minha solução é parecida, só o final muda um pouco. Sendo P = xy, a expressão é igual a P^2((x+y)^2 - 2xy) = 4P^2 - 2P^3. Queremos provar que 4P^2 - 2P^3 = 2, ou seja, 2P^2 = P^3 + 1. Mas por médias novamente 2 = x+y = 2P^(1/2), ou seja, 1 = P^(1/2), e, pela desigualdade das médias, P^3 + 1 = 2P^(3/2) = 2P^(3/2)1^(1/2) = 2P^(3/2)P^(1/2) = 2P^2, como queremos. []'s Shine From: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 19, 2013 1:57 PM Subject: RE: [obm-l] Desigualdades Eu faria por derivada (especialmente o segundo) 1) z = 32/xy Substituindo p = (x+2y)² + 2.(32/xy)² Derivando em relação a x e igualando a 0 dp/dx = 0 - (xy)².x.(x+2y) = 2.32² Derivando em relação a y e igualando a 0 dp/dy = 0 -(xy)².y.(x+2y) = 32² Dividindo um pelo outro x/y= 2 - x=2y Substituindo - y=2, x=4 e desse modo z = 4 p mín = 96 2) (xy)² (4-2xy) = 2(-(xy)³ + 2(xy)²) A função -(xy)³ + 2(xy)² tem raiz dupla xy=0 e raiz xy=2, logo entre 0 e 2 temos um máximo momentâneo. Mas sabemos que 0 xy = 1 Além disso, derivando e igualando a zero, vemos que o máximo momentâneo se dá em xy=4/3, logo de 0 a 4/3 a função é estritamente crescente. Desse modo o fmáx se dá em xy=1 Assim: x^2.y^2(x^2 + y^2) = 2 []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desigualdades Date: Tue, 19 Mar 2013 12:20:08 + 1) Sejam x,y,z números reais positivos tais que xyz = 32.Determine o valor mínimo de x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2 2) Sejam x = 0,y = 0 números reais tais que x + y = 2.Mostre que x^2.y^2(x^2 + y^2) = 2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdades
2013/3/19 Carlos Yuzo Shine cysh...@yahoo.com: Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável, em que há vários detalhes), aí vão soluções: 1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2 + 4y^2) + 2z^2 = 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 = 4xyz = 4*32 = 128. A igualdade ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x = 2^(11/6), y = 2^(5/6) e z = 2^(7/3). Oi Shine, eu não entendi a passagem 8xy + 2z^2 = 4xyz. Não pode ser só desigualdade das médias, porque essa é homogênea, e todos os termos da esquerda são de ordem dois. Acho que faltou uma dica para o seu caro leitor. Pensando um pouco mais, eu resolveria com multiplicadores de Lagrange (e portanto com derivadas). Mas se fosse antes de aprender Lagrange, eu teria feito assim: Note que se z é fixo, temos que minimizar (x + 2y)^2, com xy = constante. (Aplicando a famosa técnica escolha produtos notáveis que vão te ajudar.) Pela MA = MG, obtemos x = 2y (como todo mundo obteve...). xy = 32/z, x = 2y = 2y^2 = 32/z = y^2 = 16/z, x^2 = 4*16/z e portanto x^2 + 4xy + 4y^2 = 4*16/z + 4*32/z + 4*16/z = 4*32*2/z. Queremos minimizar 4*32*2/z + 2z^2. Pela desigualdade das médias com 3 termos: 4*32/z + 4*32/z + 2z^2 = 3 * (4*32 * 4*32 * 2)^1/3 = 3 * (2^(2+5+2+5+1))^1/3 = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96. A igualdade ocorre para 4*32/z = 2z^2 = 64 = z^3, ou seja z = 4, y = 4/raiz(z) = 4/2 = 2, x = 4. Verificando: x^2 = 4^2 = 16 4xy = 4*2*4 = 32 4*y^2 = 4*2^2 = 16 2z^2 = 2*4^2 = 32 Somando = 96. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
