[obm-l] Probabilidade

[João Maldonado]

Meu amigo me passou a seguinte questão, que não pude resolverO ano era 1872, 
auge do velho oeste americano, quando numa pequena cidade ao sul do Texas, os 3 
maiores pistoleiros da época se encontraram Billy, Doolin e Dalton, 
contaminados pelos seus enormes egos, se desentenderam e resolveram tirar a 
história a limpo, naquilo que seria o maior confronto da história daquele país.

Apesar de rivais, os 3 pistoleiros eram homens muito honrados, e resolveram 
propor uma série de regras para o duelo:

1 - eles iriam se posicionar em vértices de um triângulo equilátero, de tal 
forma que a distância entre eles sempre fosse a mesma, assim, nenhum pistoleiro 
alteraria suas chances de acerto durante o duelo.

2 - Como Billy tinha um índice de acerto menor que o dos outros dois, ele seria 
o primeiro a atirar, depois Doolin e em seguida o destemido e nunca antes 
derrotado Dalton.

3 - Billy tinha um índice de acerto de 1/4, enquanto Doolin acertava 1 em cada 
dois tiros, e Dalton inacreditáveis 75%.

4 - Os pistoleiros obrigatoriamente devem atirar em alguém, não podendo passar 
a vez ou errar de propósito.

Suponha que nenhum deles fuja e que é necessário apenas um tiro para um 
pistoleiro morrer e que o duelo só termina quando só restar um sobrevivente, 
calcule a probabilidade de cada um deles vencer supondo que todos adotem uma 
estratégia perfeita.
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probabilidade

[Ralph Teixeira]

Nao eh soh probabilidade, eh Teoria dos Jogos. E fica mais dificil
porque dois pistoleiros comecam com D. Francamente! :) :) :) )

Como todos os problemas com jogos sequenciais, tem que pensar de tras
para frente. Primeiro, pense o que ocorre se ficarem soh dois
pistoleiros...

Claramente, eles vao atirar um no outro ateh alguem acertar. Por
exemplo, se ficarem B e Do, com B atirando primeiro... hmm, desenhe
uma arvore de probabilidades. Fica:
a. 25% de chance de B matar Do; senao, dos 75% restantes...
   b. 50% de chance de Do Matar B; dos 50% restantes...
  c. 25% de chance de B matar Do. etc.

Ou seja, a chance de B vencer eh
25%+75%.50%.25%+75%.50%.75%.50%.25%+... Esta eh uma PG infinita, soma
25%/(1-75%.50%)=2/5=40%.

Em geral, no caso XY (onde X comeca) se X tem chance p de acertar o
tiro e Y tem chance q, entao a chance de X ganhar o duelo eh
p/(1-(1-q)(1-p)). Fazendo isso para todos os casos XY (onde X comeca
atirando), chegamos a uma tabela que acho ser...

BDo: B=40%, Do=60%
DoB: Do=80%; B=20%
BDa: B=4/13; Da=9/13
DaB: Da=12/13; B=1/13
DoDa: Do=4/7; Da=3/7
DaDo: Da=6/7; Do=1/7

Se B acertar Do, ele leva tudo para DaB, e tem soh 1/13 de chance; se
ele acertar Da, leva para DoB, e tem 20% de chance. A segunda opcao eh
melhor para B! Entao B vai atirar em Da.

Analogamente, a partir do truelo, Do decide atirar em Da (60%1/7), e
Da atira em Do (9/133/7).

Deixa eu fazer uma pausa aqui: de fato, era meio obvio pelas regras do
problema que cada um vai atirar no melhor cara restante. O que nao
era tao obvio eh o seguinte: B talvez preferisse passar a vez! De
fato, ele poderia deixar Do atirar em Da... se Do acerta, vai para BDo
(com **B** comecando!!!), com 40% de chance para B (melhor que 1/5);
se Do erra, nao tem problema, porque agora Da atira em Do -- se
acertar, fica BDa, com 4/13 de chance, ainda melhor que 1/5; se errar,
volta tudo ao inicio! Ou seja, a melhor coisa que B faria seria atirar
para o alto -- mas seu enunciado NAO PERMITE isso (regra 4), entao
este paragrafo eh inutil.

Voltando ao problema original entao, fica assim:
1. 25% de chance de B matar Da (deixando DoB); senao, dos 75% restantes...
   2. 50% de chance de Do matar Da (para BDo); dos 50% restantes...
   3. 75% de chance de Da matar Do (para BDa); dos 25% restantes...
  4. 25% de chance de B matar Da (DoB); senao...

Entao a chance de B vencer eh:
(25%)(20%)+(75%)(50%)(40%)+(75%)(50%)(75%)(4/13)+(75%)(50%)(25%)(25%)(20%)+(75%)(50%)(25%)(75%)(50%)(40%)+...

que eh outra PGs infinita de razao (75%)(50%)(25%) (o primeiro termo
sao as 3 primeiras parcelas da soma). Eu devo ter errado contas com
chance 97.55%, mas achei aqui 596/1885=31.62% de chance de B ganhar
(como eh bom ficar sob o radar, deu quase 1/3!). Os outros podem ser
calculados de maneira analoga -- aproveite para conferir minhas
contas... :)

Abraco,
  Ralph

2013/9/1 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:
 Meu amigo me passou a seguinte questão, que não pude resolver
 O ano era 1872, auge do velho oeste americano, quando numa pequena cidade ao
 sul do Texas, os 3 maiores pistoleiros da época se encontraram Billy, Doolin
 e Dalton, contaminados pelos seus enormes egos, se desentenderam e
 resolveram tirar a história a limpo, naquilo que seria o maior confronto da
 história daquele país.

 Apesar de rivais, os 3 pistoleiros eram homens muito honrados, e resolveram
 propor uma série de regras para o duelo:

 1 - eles iriam se posicionar em vértices de um triângulo equilátero, de tal
 forma que a distância entre eles sempre fosse a mesma, assim, nenhum
 pistoleiro alteraria suas chances de acerto durante o duelo.

 2 - Como Billy tinha um índice de acerto menor que o dos outros dois, ele
 seria o primeiro a atirar, depois Doolin e em seguida o destemido e nunca
 antes derrotado Dalton.

 3 - Billy tinha um índice de acerto de 1/4, enquanto Doolin acertava 1 em
 cada dois tiros, e Dalton inacreditáveis 75%.

 4 - Os pistoleiros obrigatoriamente devem atirar em alguém, não podendo
 passar a vez ou errar de propósito.

 Suponha que nenhum deles fuja e que é necessário apenas um tiro para um
 pistoleiro morrer e que o duelo só termina quando só restar um sobrevivente,
 calcule a probabilidade de cada um deles vencer supondo que todos adotem uma
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Base e e aproximação

[Ralph Teixeira]

Suponho que voce quis dizer:

f(t)=q_0 e^(-kt) = q_0 ((e^(-k)))^t

e

g(t)=q_0 B^tonde   B=(q_f/q_0)^(-1/n)

A primeira eh uma funcao exponencial escrita do jeito usual, com base
e; a de baixo eh algo que voce descobriria partindo das condicoes
g(0)=q_0 e g(-n)=q_f. Eu escrevi exatamente o que voce escreveu,
mudando um pouquinho a notacao, e inventei este B para o proximo
paragrafo...

Sim, se voce escrever do jeito que eu escrevi, dah para ver que elas
sao EXATAMENTE a mesma funcao bom, desde que voce ajuste o k
corretamente, a saber, fazendo B=e^(-k), isto eh, k=-ln(B).

Em suma, tem 2 jeitos comuns de escrever funcoes exponenciais:
P(t)=P_0.e^(kt) ou P(t)=P_0.(a^t). Sao exatamente a mesma funcao,
desde que a=e^k! Eu chamo a de fator anual da funcao P(t) (ou
semestral, ou mensal, dependendo da unidade do t), enquanto k eh a
taxa (relativa) continua anual da funcao P(t). MESMA funcao, duas
maneiras de escrever.

(O pessoal da Matematica Financeira botaria um 3a jeito,
P(t)=P_0.(1+i)^t, onde i eh a taxa efetiva de juros anual... Mas eu
prefiro calcular o fator a=1+i, e esquecer esse i, que eh horrivel de
trabalhar. Na nossa colonia utopica em Marte, os bancos nao vao dizer
a taxa de juros, eles vao dar o ***multiplicador*** a, e ninguem
jamais vai se enrolar com juros compostos. E juros nominais nem vao
existir, porque sao ridiculos e nao significam nada de verdade. :P :P
:P)

Abraco,
   Ralph

2013/8/31 Marco Antonio Leal marcoantonio_elemen...@hotmail.com:
 Boa noite, estudando exponencial, percebi que ao usar o modelo q(x ) = qo .
 e ^-(kx)  para representar o decaimento radioativo, o gráfico da função é
 idêntico ao da função q ( x) = q i ( qi / qf ) ^ t/ n

 Gostaria de saber se existe alguma aproximação que torne uma função igual a
 outra e onde encontraria material sobre isso

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