Nao eh soh probabilidade, eh Teoria dos Jogos. E fica mais dificil
porque dois pistoleiros comecam com D. Francamente! :) :) :) )
Como todos os problemas com jogos sequenciais, tem que pensar de tras
para frente. Primeiro, pense o que ocorre se ficarem soh dois
pistoleiros...
Claramente, eles vao atirar um no outro ateh alguem acertar. Por
exemplo, se ficarem B e Do, com B atirando primeiro... hmm, desenhe
uma arvore de probabilidades. Fica:
a. 25% de chance de B matar Do; senao, dos 75% restantes...
b. 50% de chance de Do Matar B; dos 50% restantes...
c. 25% de chance de B matar Do. etc.
Ou seja, a chance de B vencer eh
25%+75%.50%.25%+75%.50%.75%.50%.25%+... Esta eh uma PG infinita, soma
25%/(1-75%.50%)=2/5=40%.
Em geral, no caso XY (onde X comeca) se X tem chance p de acertar o
tiro e Y tem chance q, entao a chance de X ganhar o duelo eh
p/(1-(1-q)(1-p)). Fazendo isso para todos os casos XY (onde X comeca
atirando), chegamos a uma tabela que acho ser...
BDo: B=40%, Do=60%
DoB: Do=80%; B=20%
BDa: B=4/13; Da=9/13
DaB: Da=12/13; B=1/13
DoDa: Do=4/7; Da=3/7
DaDo: Da=6/7; Do=1/7
Se B acertar Do, ele leva tudo para DaB, e tem soh 1/13 de chance; se
ele acertar Da, leva para DoB, e tem 20% de chance. A segunda opcao eh
melhor para B! Entao B vai atirar em Da.
Analogamente, a partir do truelo, Do decide atirar em Da (60%>1/7), e
Da atira em Do (9/13>3/7).
Deixa eu fazer uma pausa aqui: de fato, era meio obvio pelas regras do
problema que cada um vai atirar no "melhor" cara restante. O que nao
era tao obvio eh o seguinte: B talvez preferisse passar a vez! De
fato, ele poderia deixar Do atirar em Da... se Do acerta, vai para BDo
(com **B** comecando!!!), com 40% de chance para B (melhor que 1/5);
se Do erra, nao tem problema, porque agora Da atira em Do -- se
acertar, fica BDa, com 4/13 de chance, ainda melhor que 1/5; se errar,
volta tudo ao inicio! Ou seja, a melhor coisa que B faria seria atirar
para o alto -- mas seu enunciado NAO PERMITE isso (regra 4), entao
este paragrafo eh inutil.
Voltando ao problema original entao, fica assim:
1. 25% de chance de B matar Da (deixando DoB); senao, dos 75% restantes...
2. 50% de chance de Do matar Da (para BDo); dos 50% restantes...
3. 75% de chance de Da matar Do (para BDa); dos 25% restantes...
4. 25% de chance de B matar Da (DoB); senao...
Entao a chance de B vencer eh:
(25%)(20%)+(75%)(50%)(40%)+(75%)(50%)(75%)(4/13)+(75%)(50%)(25%)(25%)(20%)+(75%)(50%)(25%)(75%)(50%)(40%)+...
que eh outra PGs infinita de razao (75%)(50%)(25%) (o primeiro termo
sao as 3 primeiras parcelas da soma). Eu devo ter errado contas com
chance 97.55%, mas achei aqui 596/1885=31.62% de chance de B ganhar
(como eh bom ficar "sob o radar", deu quase 1/3!). Os outros podem ser
calculados de maneira analoga -- aproveite para conferir minhas
contas... :)
Abraco,
Ralph
2013/9/1 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>:
> Meu amigo me passou a seguinte questão, que não pude resolver
> O ano era 1872, auge do velho oeste americano, quando numa pequena cidade ao
> sul do Texas, os 3 maiores pistoleiros da época se encontraram Billy, Doolin
> e Dalton, contaminados pelos seus enormes egos, se desentenderam e
> resolveram tirar a história a limpo, naquilo que seria o maior confronto da
> história daquele país.
>
> Apesar de rivais, os 3 pistoleiros eram homens muito honrados, e resolveram
> propor uma série de regras para o duelo:
>
> 1 - eles iriam se posicionar em vértices de um triângulo equilátero, de tal
> forma que a distância entre eles sempre fosse a mesma, assim, nenhum
> pistoleiro alteraria suas chances de acerto durante o duelo.
>
> 2 - Como Billy tinha um índice de acerto menor que o dos outros dois, ele
> seria o primeiro a atirar, depois Doolin e em seguida o destemido e nunca
> antes derrotado Dalton.
>
> 3 - Billy tinha um índice de acerto de 1/4, enquanto Doolin acertava 1 em
> cada dois tiros, e Dalton inacreditáveis 75%.
>
> 4 - Os pistoleiros obrigatoriamente devem atirar em alguém, não podendo
> passar a vez ou errar de propósito.
>
> Suponha que nenhum deles fuja e que é necessário apenas um tiro para um
> pistoleiro morrer e que o duelo só termina quando só restar um sobrevivente,
> calcule a probabilidade de cada um deles vencer supondo que todos adotem uma
> estratégia perfeita.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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