[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
As expressões entre parêntesis na penúltima linha não são ambas iguais a 1?E por que ´´para n par...´´? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios Date: Tue, 24 Sep 2013 23:00:14 -0300 Sendo cp = 1/ap a1a2...an = +-1/an a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -+1/an a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) = +-1/an Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1 (1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1 x=c1+c2+ ... +cn = -1 y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1 c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1, absurdo, logo para n par temos que pelo menos 2 raízes são complexas []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Polinômios Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 + Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 + x^2 + x + 1 com coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
Tome o polinomioQ(y)= P(1/x) fazendo y=1/x, temos: Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^n sendo r1, r2, ..., rn as raizes de Q(y) (com repetição). note que se R1, R2,..., Rn são as raizes de P(x), Ri=1/ri (note que an é diferente de zero, então Q não possui raiz nula) Então: r1+r2+...+rn=-1; (soma sobre ij)(ri*rj)=1; então (r1)²+(r2)²+...+(rn)²=(r1+r2+...+rn)²-2*(soma sobre ij)(ri*rj)= -1 - 2*1=-3. Então não podemos ter todas as raízes reais. Em 25 de setembro de 2013 12:51, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: As expressões entre parêntesis na penúltima linha não são ambas iguais a 1? E por que ´´para n par...´´? -- From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios Date: Tue, 24 Sep 2013 23:00:14 -0300 Sendo cp = 1/ap a1a2...an = +-1/an a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -+1/an a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) = +-1/an Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1 (1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1 x=c1+c2+ ... +cn = -1 y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1 c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1, absurdo, logo para n par temos que pelo menos 2 raízes são complexas []'s João -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Polinômios Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 + Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 + x^2 + x + 1 com coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Como que faz??
Acho que saiu uma resolução pro problema 1, mas ficou bem complicada: Seja C(x, y) = x!/(x-y)!y! Considere os dois sinais de iguais como idêntico a f(2x²-1) == 2f(x)²-1 a13(2x²-1)^13 + a2(2x²-1)^12 + a11(2x²-1)^11 +... + a0 = 2(a13x^13 + a12x^12 + a11x^11+ ... +a0)²-1 Repare que o termo da direita só tem potências pares de x Vamos achar o termo x^26 2^13.(C(13, 0).a13) = 2.a13² - a13 = 2^12 Vamos achar o termo x^25 0 = 2(2a13a12) - a12=0 Vamos achar o termo x^23 0 = 2(2a13a10) (repare que teríamos o 2a11a12, mas como a12 = 0, esse termo é nulo) a10 = 0 Vamos achar o termo x^21 0 = 2(2a13a8)-a8=0 Vamos achar o termo x^19 0 = 2(2a13a6)-a6=0 Vamos achar o termo x^17 0 = 2(2a13a4)-a4=0 Vamos achar o termo x^15 0 = 2(2a13a2)-a2=0 Vamos achar o termo x^13 0 = 2(2a13a0)-a0=0 Logo f(x) é da forma x(13x^12 + a11x^10 +...+a1) Vamos achar o termo x^24 2^12(-C(13, 1)a13) = 2(2a13a11) -2^12.13.a13 = 4a13.a11 - a11 = -13.2^10 Vamos achar o termo x^22 2^11(C(13, 2)a13 + C(11, 0)a11) = 2(2a13a9 + a11²) 2^11(13.6.2^12 -13.2^10) = 2(2^13a9 + 169.2^20) (13.6.2^9 -13.2^7) = a9 + 169.2^7 a9 = 13.2^7(6.4-1-13) = 13.10.2^7 Vamos achar o termo x^20 2^10(-C(13, 3)a13 - C(11, 1)a11) = 2(2a13a7 + 2a11a9) -2^10(13.22.2^12 -13.11.2^10) = 4(2^12a7 -13.2^10.13.10.2^7) -2^8.13.11.2^10.7 = 2^12(a7 - 13.13.10.2^5) -2^6.13.11.7 = a7-13.13.10.2^5 a7 = 13.2^5(-2.11.7 + 13.10) = -13.2^5.24 = -13.3.2^8 Vamos achar o termo x^18 2^9(C(13, 4)a13 + C(11, 2)a11 + C(9, 0)a9) = 2(2a13a5 + 2a11a7 + a9²) 2^9(13.11.5.2^12 - 11.5.13.2^10 + 13.10.2^7) = 2(2.2^12a5 +2.13.2^10.13.3.2^8 + 169.100.2^14) 2^8.13.5.2^8(11.16-11.4+1) = 2^13(a5+169.3.2^6 + 169.100.2) 2^3.13.5.133 = a5+169.3.2^6 + 169.100.2 2^3.13(5.133-13.3.8-13.25) = 2^5.13.7 = 2912 Logo o termo de quinto grau vale 2912 Date: Tue, 24 Sep 2013 19:30:34 -0300 Subject: Re: [obm-l] Como que faz?? From: victorcar...@globo.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Douglas,Acredito ter conseguido uma resolução para o problema 2 de geometria que vc postou aqui . Vamos lá e acompanhe fazendo a figura , ok ?vamos provar que na verdade o ângulo DEF é o dobro de ADC. Seja o ângulo ADC = x e o ângulo CDE = y . 1) Trace CE e observe que o quadrilátero ACED é inscritível . então AEC = x e EAC = y . 2) seja G a intersecção de CD com a circunferência C´ . Trace EG e observe que o ângulo CGE = x + y . Daí concluímos que o ângulo GED = x . 3) Não é difícil de mostrar que EB é bissetriz de AEG . Seja então os ângulos AEB= DEB = z . 4) Trace agora a perpendicular de B ao segmento ED e seja H o pé desta perpendicular. Observe que o quadrilátero BFHD é inscritível , então BHF = x .Trace FH e observe que EG é perpendicular a FH . Seja J a intersecção de FH com EG . 5) Como o triângulo CEG está inscrito na circunferência C´ e observando que BF é perpendicular ao lado CD , pelo enunciado ; teremos pela reta de SIMSON , que os pés das perpendiculares traçadas de B aos lados CG , EG e EC estão alinhados. Sejam então I o pé da perpendicular traçada de ao lado EG e R o pé da perpendicular traçada de B ao lado CE . 6) observando os quadriláteros inscritíveis : BIER , BIHE , teremos q Em 23 de agosto de 2013 16:03, douglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu: Olá , alguns alunos do ensino médio da instituição onde trabalho me deram alguns problemas do site https://brilliant.org/ E não consegui achar solução para dois deles, vou escreve-los abaixo e se alguém puder me ajudar agradeço. PROBLEMA 1: Dada uma função f:R-R tal que f(2x^2 -1)=2(f(x))^2 -1 e f(x) é um polinômio de grau 13, sendo assim determine o coeficiente de x^5 de f(x). PROBLEMA 2: Seja uma circunferência C' e um ponto externo A , traça-se por A duas tangentes a circunferência que a interceptam nos pontos B e C , marca-se no prolongamento de AB no sentido de A para B um ponto D tal que o ângulo ADC=25 graus, traça-se por B uma perpendicular ao segmento CD que intercepta CD em F . Agora considere um outra circunferência C'' circunscrita ao triângulo ADC que intercepta a primeira circunferência C' no ponto E . Determinar a medida do ângulo DEF. Obs: Fiz a segunda figura no geogebra e encontrei 50 graus como resposta , preciso na verdade de uma resolução. Att, Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
Esquece o para n par (vale para par ou ímpar, não sei por que escrevi isso) Na verdade o certo era dividir em dois casos, n par e n ímpar, mas quis embutir os dois juntos quando coloquei o sinal +- e -+ A primeira expressão entre parêntesis é o x e a segunda o y From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios Date: Wed, 25 Sep 2013 15:51:07 + As expressões entre parêntesis na penúltima linha não são ambas iguais a 1?E por que ´´para n par...´´? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios Date: Tue, 24 Sep 2013 23:00:14 -0300 Sendo cp = 1/ap a1a2...an = +-1/an a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -+1/an a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) = +-1/an Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1 (1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1 x=c1+c2+ ... +cn = -1 y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1 c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1, absurdo, logo para n par temos que pelo menos 2 raízes são complexas []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Polinômios Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 + Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 + x^2 + x + 1 com coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Ajuda matriz
Dada uma matriz real A n×n tal que: (a)ii0 (a)ij=0 pra i!=j E sum((a)ij)0 com i de 1 ate n (somatorio dos elementos da coluna) Prove que det(A) 0 Valeu -- Francisco Lage ITA T -16 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
Por que r1+r2+...+rn = -1? From: esdrasmunizm...@gmail.com Date: Wed, 25 Sep 2013 13:28:35 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios To: obm-l@mat.puc-rio.br Tome o polinomioQ(y)= P(1/x) fazendo y=1/x, temos:Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^nsendo r1, r2, ..., rn as raizes de Q(y) (com repetição). note que se R1, R2,..., Rn são as raizes de P(x), Ri=1/ri (note que an é diferente de zero, então Q não possui raiz nula) Então: r1+r2+...+rn=-1;(soma sobre ij)(ri*rj)=1; então (r1)²+(r2)²+...+(rn)²=(r1+r2+...+rn)²-2*(soma sobre ij)(ri*rj)= -1 - 2*1=-3. Então não podemos ter todas as raízes reais. Em 25 de setembro de 2013 12:51, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: As expressões entre parêntesis na penúltima linha não são ambas iguais a 1?E por que ´´para n par...´´? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios Date: Tue, 24 Sep 2013 23:00:14 -0300 Sendo cp = 1/ap a1a2...an = +-1/an a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -+1/an a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) = +-1/an Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1 (1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1 x=c1+c2+ ... +cn = -1 y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1 c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1, absurdo, logo para n par temos que pelo menos 2 raízes são complexas []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Polinômios Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 + Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 + x^2 + x + 1 com coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como que faz??
Oi Carlos. No item 2) vc. diz que CGE = x+y; isto significaria, CGE = ADE . Vc. poderia explicar? Obrigado [ ]'s De: Carlos Victor victorcar...@globo.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 24 de Setembro de 2013 19:30 Assunto: Re: [obm-l] Como que faz?? Olá Douglas, Acredito ter conseguido uma resolução para o problema 2 de geometria que vc postou aqui . Vamos lá e acompanhe fazendo a figura , ok ? vamos provar que na verdade o ângulo DEF é o dobro de ADC. Seja o ângulo ADC = x e o ângulo CDE = y . 1) Trace CE e observe que o quadrilátero ACED é inscritível . então AEC = x e EAC = y . 2) seja G a intersecção de CD com a circunferência C´ . Trace EG e observe que o ângulo CGE = x + y . Daí concluímos que o ângulo GED = x . 3) Não é difícil de mostrar que EB é bissetriz de AEG . Seja então os ângulos AEB= DEB = z . 4) Trace agora a perpendicular de B ao segmento ED e seja H o pé desta perpendicular. Observe que o quadrilátero BFHD é inscritível , então BHF = x .Trace FH e observe que EG é perpendicular a FH . Seja J a intersecção de FH com EG . 5) Como o triângulo CEG está inscrito na circunferência C´ e observando que BF é perpendicular ao lado CD , pelo enunciado ; teremos pela reta de SIMSON , que os pés das perpendiculares traçadas de B aos lados CG , EG e EC estão alinhados. Sejam então I o pé da perpendicular traçada de ao lado EG e R o pé da perpendicular traçada de B ao lado CE . 6) observando os quadriláteros inscritíveis : BIER , BIHE , teremos q Em 23 de agosto de 2013 16:03, douglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu: Olá , alguns alunos do ensino médio da instituição onde trabalho me deram alguns problemas do site https://brilliant.org/ E não consegui achar solução para dois deles, vou escreve-los abaixo e se alguém puder me ajudar agradeço. PROBLEMA 1: Dada uma função f:R-R tal que f(2x^2 -1)=2(f(x))^2 -1 e f(x) é um polinômio de grau 13, sendo assim determine o coeficiente de x^5 de f(x). PROBLEMA 2: Seja uma circunferência C' e um ponto externo A , traça-se por A duas tangentes a circunferência que a interceptam nos pontos B e C , marca-se no prolongamento de AB no sentido de A para B um ponto D tal que o ângulo ADC=25 graus, traça-se por B uma perpendicular ao segmento CD que intercepta CD em F . Agora considere um outra circunferência C'' circunscrita ao triângulo ADC que intercepta a primeira circunferência C' no ponto E . Determinar a medida do ângulo DEF. Obs: Fiz a segunda figura no geogebra e encontrei 50 graus como resposta , preciso na verdade de uma resolução. Att, Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
