Re: [obm-l] Conjecturas especiosas
Esta eu vi em [1]: Com um computador pode-se verificar que os primeiros 42 bilhões dígitos do pi e da série abaixo são iguais, [image: Inline image 1] mas a identidade é falsa. [1] Borwein, Jonathan M., and Peter B. Borwein. Strange series and high precision fraud. *The American mathematical monthly* 99.7 (1992): 622-640. Abraços, Tadashi 2013/10/24 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Nao funciona para n=41, por exemplo. []'s Rogerio Ponce 2013/10/23 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Não sei se ajuda muito mas n^2 - n + 41 parece que gera só primos -- Date: Wed, 23 Oct 2013 18:38:11 -0300 Subject: [obm-l] Conjecturas especiosas From: rigillesbmene...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá pessoal, não vou falar sobre nenhuma questão, só fazer uma pergunta. Que conjecturas vocês conhecem que parecem muito ser verdade, sem o ser? Tenho procurado por elas para ter alguns exemplos da importância de provar coisas na matemática para mostrar a meus amigos :) Abraços, Rígille Scherrer Borges Menezes -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. pi.png
Re: [obm-l] Conjecturas especiosas
2013/10/30 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br É possível montar essa série no EXCEL? Claro para os primeiros dígitos. Montar, sim. Com precisão para PROVAR que os primeiros dígitos são o que o Excel acha (ou qualquer outro software simples de contas), provavelmente, não. Porque o Excel não prova nada ;-) Vamos ver então como provar que algumas contas não vão dar muito errado ! Note que os termos são exp(-n^2 / 10^10). Ou seja, quando n é pequeno (leia-se, tal que n^2 10^10) temos que os termos são, praticamente, iguais a 1. Para que os termos se tornem pequenos, é preciso que n^2 seja razoavelmente maior do que 10^10. Note que exp(-1) 1/3, logo você com certeza vai ter que somar, pelo menos, um monte de termos até 10^5 (e até -10^5 do outro lado). Só isso pode já ser um problema de caber no Excel. Eu acho (só acho) que a partir de n = 10^6 o resto será suficientemente pequeno para ser desprezado. Isso tem a ver com (a+b)^2 = a^2 + 2*a*b + b^2 : se b for muuito menor do que a, os primeiros dígitos serão os de a^2. Aqui, eu tomaria a = soma dos termos com |n| 10^6, b = cauda da série. Restam, é claro, os problemas de precisão: somar 2 * 10^6 números de ponto flutuante, sem contar que cada conta exp(-n^2 / 10^10) já tem um erro embutido (exceto para n = 0, onde dá 1 exatamente, e o computador acerta) pode gerar um erro relativo grande, algo como eps*2*10^6 (eps = precisão da máquina = 2^-53). Isso quer dizer que o a tem um erro deste tamanho, e portanto a^2 terá um erro também, de novo pela fórmula (a+b)^2 mais ou menos igual ao dobro do erro. Assim, deve dar algo como 8-10 dígitos exatos ao fazer essa conta. A única coisa que falta é provar que o rabicho da série a partir de 10^6 + 1 é realmente pequeno. Comparando com a integral, temos rabicho = b 1/10^5 * integral de 10^6 até infinito de exp(-n^2 / 10^10), substitua n = 10^5 * x, = 10^5 / 10^5 * integral de 10 até infinito de exp(-x^2) = erfc(10) ~ 2*10^(-45) (nota: essa integral não tem primitiva bonitinha, e daí nasceram as erf e erfc, que foram bastante estudadas para justamente ter estimativas legais quando aparecem, e serem calculadas de forma eficiente Se você não conhece as erfc - ou não tem acesso a um cara que calcule ele -, você pode estimar a integral assim: int_M^infinito exp(-n^2) dn int_M^infinito(-M*n) dn = 1/M * exp(-M*M), o que no nosso caso dá que erfc(10) exp(-100)/10 que é realmente bem menor do que 1 para ser desprezado; na verdade, é menor do que o eps da máquina, que é 2^(-53), e portanto a partir daí não faz mais diferença nenhuma.) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjecturas especiosas
Sem muita análise de precisão das contas, um programa em C acha os seguintes valores somando entre +- k*10^5 : k = 1 série = 2.23099613103075889, erro =0.91059652255903445 k = 2 série = 3.11227096594849684, erro =0.02932168764129647 k = 3 série = 3.14145386081124123, erro =0.00013879277855176 k = 4 série = 3.14159255672422244, erro =0.0009686557082 k = 5 série = 3.14159265358006223, erro =0.000973097 k = 6 série = 3.14159265358972117, erro =0.07216 k = 7 série = 3.14159265358972117, erro =0.07216 note que para k a partir de 6, os erros de truncamento (que eu não me dei ao trabalho de eliminar) dominam e não adianta mais somar nada. Tem também a ver que a cauda da série fica menor do que o epsilon da máquina, mas nesse caso deveria haver um erro de no máximo 1 (ou 2, se dermos azar) casa decimal, não 4 como vemos aqui. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjecturas especiosas
2013/10/30 Hugo Tadashi tada...@gmail.com Esta eu vi em [1]: Com um computador pode-se verificar que os primeiros 42 bilhões dígitos do pi e da série abaixo são iguais, [image: Inline image 1] mas a identidade é falsa. [1] Borwein, Jonathan M., and Peter B. Borwein. Strange series and high precision fraud. *The American mathematical monthly* 99.7 (1992): 622-640. Abraços, Tadashi Humpf, eu devia ter adivinhado... quanto maior for N (= 10^5 nesse caso), mais próxima estará a fórmula de Pi. Ou, melhor dizendo: lim N-infinito (1/N * soma exp(-n^2 / N^2) )^2 = Pi Seria interessante provar (analiticamente) uma estimativa da diferença em função de N. Viva Riemann, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. pi.png
